Exercícios - Rotações

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FIS1059—LISTA 1
EZEQUIEL C. SIQUEIRA
NUMERAC¸A˜O DAS PROBLEMAS CORRESPONDEM A` 6a EDIC¸A˜O DO LIVRO “FUNDAMENTOS DE
FI´SICA—Vol.I, HALLIDAY, RESNICK & WALKER1”
I. AS VARIA´VEIS DE ROTAC¸A˜O
3E. Nosso Sol esta´ a 2, 3× 104 anos-luz do centro de
nossa gala´xia, e movendo-se em um c´ırculo ao redor deste
centro a uma velocidade de 250 km/s. (a) Quanto tempo
o Sol leva para fazer uma volta completa em torno do
centro da gala´xia? (b) Quantas voltas o Sol completou
desde quando ele foi formado, ha´ cerca de 4, 5×109 anos?
5E. A posic¸a˜o angular de um ponto sobre uma
roda que esta´ girando e´ dada por θ = 2 + 4t2 + 2t3,
onde θ esta´ em radianos e t em segundos. Em t = 0,
quais sa˜o (a) a posic¸a˜o angular do ponto (b) a sua
velocidade angular? (c) Qual a sua velocidade angular
em t = 4, 0 s? (d) Calcule a sua acelerac¸a˜o angular em
t = 2, 0 s. (e) A acelerac¸a˜o angular do ponto e´ constante?
II. ROTAC¸A˜O COM ACELERAC¸A˜O ANGULAR
CONSTANTE
8E. Aumenta-se a velocidade angular do motor de
um automo´vel a uma taxa constante de 1200 rpm ate´
3000 rpm em 12 s. (a) Qual a acelerac¸a˜o angular do
motor em rotac¸o˜es por minuto ao quadrado ? (b)
Quantas voltas o motor completa durante o intervalo de
12 s.
13P. Uma roda tem acelerac¸a˜o angular constante
de 3, 00 rad/s
2
. Durante um certo intervalo de 4, 0 s,
ela gira de um aˆngulo igual a 120 rad. Supondo que a
roda parte do repouso, ha´ quanto tempo ela estava em
movimento no in´ıcio do intervalo de 4, 0 s?
14P. Uma roda partindo do repouso, gira com
uma acelerac¸a˜o angular constante de 2, 00 rad/s
2
.
Durante um certo intervalo de tempo de 3, 00 s, ela
gira de 90, 0 rad. (a) Ha´ quanto tempo a roda estava
girando antes do in´ıcio do intervalo de 3, 00 s? Qual a ve-
locidade angular da roda no in´ıcio do intervalo de 3, 00 s?
16P. Um disco gira em torno de seu eixo central
partindo do repouso e se acelera com acelerac¸a˜o angular
constante. Em um dado instante, ele esta´ girando a
10 voltas/s; 60 voltas depois, a sua velocidade angular
e´ de 15 voltas/s. Calcule (a) acelerac¸a˜o angular, (b)
o tempo necessa´rio para completar as 60voltas, (c) o
tempo necessa´rio para atingir a velocidade angular de
10 voltas/s e (d) o nu´mero de voltas do repouso ate´ o
tempo em que o disco alcanc¸a a velocidade angular de
10 voltas/s.
17P. Um volante completa 40 voltas enquanto reduz
sua velocidade angular de 1, 5 rad/s ate´ o repouso. (a)
Supondo que a acelerac¸a˜o angular seja constante, ache
o tempo necessa´rio para que ele chegue ao repouso. (b)
Qual a acelerac¸a˜o angular? (c) Qual o tempo necessa´rio
para que ele complete as primeiras 20 das 40 voltas?
III. RELACIONANDO AS VARIA´VEIS
LINEARES COM AS ANGULARES
25P. Um me´todo utilizado nos primo´rdios da medic¸a˜o
da velocidade da luz utilizada uma roda dentada em
rotac¸a˜o. Um feixe de luz atravessa um recorte na borda
externa da roda, como na figura 1, viaja ate´ um espelho
distante e volta para a roda bem a tempo de atravessar
o pro´ximo recorte da roda. Uma dessas rodas dentadas
possui um raio de 5, 0 cm e 500 recortes em sua borda.
Medic¸o˜es feitas quando o espelho esta´ a uma distaˆncia
de L = 500 m da roda indicam uma velocidade da luz
de 3, 0× 105 km/s. (a) Qual a velocidade angular (cons-
tante) da roda ? (b) Qual a velocidade linear de um
ponto na borda da roda ?
feixedeluz
Espelho
perpendicularao
feixedeluz
Feixede
luz
Roda
dentadaem
rotação
Figura 1. Veja problema 25P.
26P. O volante de um motor a vapor funciona a uma
velocidade angular constante de 150 rpm. Quando o
vapor e´ desligado, o atrito dos mancais e do ar pa´ra o vo-
lante em 2, 2 h. (a) Qual a acelerac¸a˜o angular constante,
2
em voltas por minuto ao quadrado, do volante durante
a desacelerac¸a˜o? (b) Quantas voltas o volante completa
antes de parar? (c) No instante em que o volante esta´
girando a 75 rpm, qual e´ a componente tangencial da
acelerac¸a˜o linear de uma part´ıcula do volante que esta´
a 50 cm do eixo de rotac¸a˜o? (d) Qual a intensidade da
acelerac¸a˜o linear resultante da part´ıcula no item (c)?
31P. Um pulsar e´ uma estrela de neˆutrons que gira
rapidamente e emite um feixe de ra´dio como um farol
emite um feixe de luz. Recebemos um pulso de ra´dio
para cada rotac¸a˜o da estrela. O per´ıodo T de rotac¸a˜o e´
determinado medindo-se o tempo de rotac¸a˜o entre pulsos.
O pulsar na nebulosa de caranguejo tem um per´ıodo de
rotac¸a˜o T = 0, 033 s que esta´ aumentando a` taxa de
1, 26 × 10−5 s/ano. (a) Qual a acelerac¸a˜o angular do
pulsar? (b) Se a sua acelerac¸a˜o angular for constante,
em quantos anos a partir de agora o pulsar vai parar
de rodar? (c) O pulsar se originou de uma explosa˜o de
uma supernova vista no ano de 1054. Qual era o per´ıodo
inicial para o pulsar? (Considere que a acelerac¸a˜o angular
se manteve constante desde a origem do pulsar).
IV. ENERGIA CINE´TICA DE ROTAC¸A˜O
33P. Calcule a energia cine´tica de rotac¸a˜o de um
volante que possui uma energia cine´tica de 24400 J
quando esta´ girando a 602 rpm.
34P. A mole´cula de oxigeˆnio O2 tem uma massa de
5, 30 × 10−26 kg e uma ine´rcia a` rotac¸a˜o de 1, 94 ×
10−46 kg.m2 em torno de um eixo que passa pelo cen-
tro da linha que une os a´tomos e e´ perpendicular a essa
linha. Suponha que o centro de massa de uma mole´cula
de O2 em um ga´s possui uma velocidade de translac¸a˜o
igual a 500 m/s e a mole´cula apresenta energia cine´tica
de rotac¸a˜o que e´
2
3
da energia cine´tica de translac¸a˜o do
seu centro de massa. Qual e´ enta˜o a velocidade angular
da mole´cula em torno do seu centro de massa?
V. CALCULANDO O MOMENTO DE INE´RCIA
(OU INE´RCIA A` ROTAC¸A˜O)
36E. Um sate´lite de comunicac¸o˜es e´ um cilindro so´lido
com 1210 kg de massa, 1, 21 m de diaˆmetro e 1, 75 m de
comprimento. Antes de ser lanc¸ado do compartimento
de carga do oˆnibus espacial, ele e´ colocado para girar a
1, 52 volta/s em torno do eixo do cilindro (veja Fig. 2).
Calcule o momento de ine´rcia do sate´lite em torno do
eixo de rotac¸a˜o e (b) a energia cine´tica de rotac¸a˜o do
sate´lite.
40P. Quatro part´ıculas ideˆnticas de massa igual a
0, 50 kg cada uma sa˜o colocadas nos ve´rtices de um qua-
drado de 2, 0 m × 2, 0 m e mantidas nesta posic¸a˜o por
Figura 2. Veja problema 36E.
quatro hastes de massa desprez´ıvel, que formam os lados
do quadrado. Qual a ine´rcia a` rotac¸a˜o deste corpo r´ıgido
em torno de um eixo que (a) passa pelos pontos me´dios
de lados opostos e esta´ situado no plano do quadrado,
(b) passa pelo ponto me´dio de um dos lados e e´ perpen-
dicular ao plano do quadrado e (c) esta´ situado no plano
do quadrado e passa por duas part´ıculas na diagonal do
quadrado?
VI. TORQUE
45E. Uma pequena bola de massa igual a 0, 75 kg
esta´ presa a uma extremidade de uma haste de 1, 25 m
de comprimento e de massa desprez´ıvel, enquanto a
outra extremidade esta´ pendurada em uma articulac¸a˜o
pivotada. Quando o peˆndulo resultante estiver afastado
30
o
da vertical, qual sera´ a intensidade do torque em
torno da articulac¸a˜o?
46E. O comprimento da manivela que liga o pedal ao
eixo do pedaleiro de uma bicicleta e´ igual a 0, 152 m, e
o pe´ do ciclista aplica ao pedal uma forc¸a para baixo de
111 N. Qual a intensidade do torque em torno do eixo
do pedaleiro quando a manivela fizer um aˆngulo (a) 30
o
,
(b) 90
o
e (c) 180
o
com a vertical?
Figura 3. Veja problema 47E.
47E. O corpo da figura 3 esta´ pivotado em O e duas
forc¸as atuam sobre ele como mostrado. (a) Encontre uma
expressa˜o para o torque resultante sobre o corpo em torno
do pivoˆ. (b) se r1 = 1, 30 m, r2 = 2, 15 m, F1 = 4, 20 N,
3
F2 = 4, 90 N e θ2 = 60, 0
o
, qual e´ o torque resultante em
torno do pivoˆ?
VII. SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA A
ROTAC¸A˜O
52E. Na figura 4, um cilindro que possui uma massa
de 2, 0 kg pode girar em torno do seu eixo centralque
passa pelo ponto O. Quatro forc¸as sa˜o aplicadas como
mostrado na figura 4: F1 = 6, 0 N, F2 = 4, 0 N, F3 =
2, 0 N e F4 = 5, 0 N. Ale´m disso, R1 = 5, 0 cm e R2 =
12 cm. Determine a intensidade, a direc¸a˜o e o sentido da
acelerac¸a˜o angular do cilindro. (Durante a rotac¸a˜o, as
forc¸as manteˆm o mesmo aˆngulo em relac¸a˜o ao cilindro.)
Eixode
Rotação
Figura 4. Veja problema 52E.
m
M
Figura 5. Veja problema 55P.
55P. Na figura 5, um bloco de massa M = 500 g,
o outro apresenta massa m = 460 g, e a roldana, que
esta´ montada em mancais horizontais sem atrito, tem
um raio de 5, 00 cm. Quando solto do repouso, o bloco
mais pesado cai a 75, 0 cm em 5, 00 s (sem que a corda
escorregue na roldana). (a) Qual a intensidade da
acelerac¸a˜o dos blocos? Qual a trac¸a˜o na parte da corda
que sustenta (b) o bloco mais pesado e (c) o bloco mais
leve? (d) qual a intensidade da acelerac¸a˜o angular da
roldana? (e) qual a sua ine´rcia a` rotac¸a˜o?
56P. Uma roldana, com uma ine´rcia a` rotac¸a˜o de 1, 0×
10−3 kg.m2 em torno de seu eixo e um raio de 10 cm,
recebe a ac¸a˜o de uma forc¸a aplicada tangencialmente na
sua borda. A intensidade da forc¸a varia no tempo de
acordo com F = 0, 50t + 0, 30t2, com F em newtons e t
em segundos. A roldana esta´ inicialmente em repouso.
Em t = 3, 0 s, quais sa˜o (a) a sua acelerac¸a˜o angular (b)
a sua velocidade angular ?
1 R. Resnick, D. Halliday, and J. Walker, Fundamentos de
F´ısica, 6th ed., Fundamentos de F´ısica, Vol. 1 (LTC, 2002).