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Matemática Superior - UVB
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Aula 08 Derivadas de Ordem 
Superior
Objetivos da Aula
Desenvolver técnicas para o uso de derivadas sucessivas, fazendo 
uma interpretação da segunda derivada, mostrando aplicações 
na Física e Economia.
A idéia de “segunda derivada” vem naturalmente em conexão com o 
movimento de uma partícula P ao longo de uma reta orientada. 
Seja s = f(t) a função que determina a localização de P no tempo t, 
chamada de equação do movimento da partícula. A velocidade da 
partícula P é definida como a taxa de variação da coordenada s de P 
em relação ao tempo. Assim, 
Na Física, a variação instantânea de velocidade em relação ao 
tempo é denominada aceleração de P, logo:
Entretanto, a aceleração é a derivada da velocidade ou a segunda 
derivada da coordenada s em relação ao tempo.
Exemplo1:
Seja s = 2t + 3t², para t > 0, a equação do movimento de uma 
partícula P, com s em metros e t em segundos. Determine a 
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velocidade e a aceleração da partícula quando t = 5 segundos.
Solução:
A velocidade da partícula t segundos após sua partida é dado por
para t = 5s, a velocidade de P é dado por
A aceleração da partícula t segundos após sua partida é dada pela 
taxa de variação da velocidade (ou segunda derivada de s), isto é:
Uma outra interpretação da segunda derivada de uma função — 
desta vez na área de Economia — é mostrada a seguir. Suponha que 
o índice de preços ao consumidor (IPC) de uma economia entre os 
anos a e b é descrito pela função I (t) (a t b ).
Assim, a primeira derivada de I, I’(t), fornece a variação da taxa 
de inflação em qualquer instante de tempo t. Assim, quando um 
economista ou um político alega que a “inflação esta diminuindo”, o 
que ele quer dizer é que a taxa de inflação esta decrescendo. 
Matematicamente, isto é equivalente a notar que a segunda derivada 
I”(t) é negativa no instante t sob consideração. 
Observe que I’(t) poderia ser positiva em um instante de tempo 
quando I”(t) fosse negativa (veja o exemplo 2). Assim, não se pode 
concluir, da alegação mencionada, que os preços dos bens e dos 
serviços estejam prestes a cair!
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Exemplo 2:
O IPC da economia é descrito pela função 
I (t) = - 0,2t³ + 3t² +100 (0 t 9)
Onde t=0 corresponde ao inicio de 1998. Calcule I’(6) e I”(6) e use 
estes resultados para mostrar que apesar do IPC estar subindo no 
inicio de 1994 “a inflação estava moderada naquele período”.
Solução: 
Determinamos I’ (t) e I” (t).
I (t) = - 0,2t³ + 3t² +100 
I’ (t) = - 0,6t² + 6t 
I” (t) = - 1,2t + 6 
Assim,
I’(6) = -0,6 (6)² + 6 (6) = 14,4
I”(6)= -1,2(6) + 6= -1,2
Os cálculos revelam que no inicio de 1994 (t=6), o IPC aumentava a 
uma razão de 14,4 pontos por ano, enquanto a taxa de inflação estava 
moderada naquela época, como mostra a figura abaixo.
Derivadas de ordem n: De um modo geral, se f é uma função 
diferenciável em algum intervalo aberto, então a derivada f’ (derivada 
primeira) é novamente uma função definida neste intervalo aberto, e 
podemos perguntar se f’ é diferenciável no intervalo. Se o for, então 
sua derivada (f’)’ é escrita, por simplicidade, f” (lê-se f duas linhas). 
Denominamos f” de derivada de segunda ordem, ou simplesmente 
de derivada segunda da função f.
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Não existe nada que prove ao se tomar, sucessivamente, derivadas de 
uma função tantas vezes quantas forem necessárias, que as funções 
derivadas permanecem diferenciáveis em cada estágio. Desta forma, 
se f é uma função e se f, f’, f” são diferenciáveis num intervalo aberto, 
nós podemos formar a derivada de terceira ordem, ou derivada 
terceira, f’’’=(f”)’; se f’’’ também é diferenciável no intervalo, podemos 
obter a derivada de quarta ordem , ou derivada quarta, f’’’’ = (f’’’)’ , 
assim por diante. Se f pode ser sucessivamente diferenciável n vezes 
desta forma, dizemos que f é n vezes diferenciável e escrevemos sua 
derivada de n-ésima ordem, ou derivada n-ésima como f(n) (neste 
caso, os parênteses ao redor de n são colocados para evitar que seja 
confundido com um expoente). 
Se f é escrita na forma y = f(x), então as notações para suas 
derivadas são
Exemplo 3:
Determine as derivadas de todas as ordem da função polinomial
f(x) = 3x5 - 2 x4 + 5x² + 2x - 8
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Solução:
f’(x) = 15x4 - 8 x3 + 10x + 2
Visto que é uma função constante, todas as derivadas subseqüentes 
são nulas, isto é, f(n)(x) = 0 para n 6 
Exemplo 4:
 Uma certa espécie de tartaruga está ameaçada de extinção em virtude 
de comerciantes estarem vendendo supercarregamentos de ovos 
como afrodisíaco. Depois que várias medidas de preservação forem 
implementadas espera-se que a população de tartarugas cresça de 
acordo com a regra
N(t) = 2t³ + 3t² - 4t + 1000 (0 t 10)
Onde N (t) denota o tamanho da população ao fim do ano t . Calcule 
N”(2) e N”’(8), interpretando os resultados.
Solução:
Determinaremos N’(t) e N”(t).
N(t) = 2t³ + 3t² - 4t + 1000 
N’(t) = 6t² + 6t - 4 
N”(t) = 12t + 6 
Para t = 2, temos:
N”(2) = 12.2 + 6 = 30 
Para t = 8, temos:
N”(8) = 12.8 + 6 = 102 
Portanto, N”(2) =30 e N”(8) = 102. Os cálculos revelam que ao final 
do segundo ano a taxa de crescimento da população de tartarugas 
aumentará a uma razão de 30 tartarugas/ano/ano. Ao final do oitavo 
ano a taxa estará aumentando a uma razão de 102 tartarugas/ano/
ano. Claramente, as medidas de preservação terão um grande êxito.
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Exemplo 5:
Determine o valor da segunda derivada de f no ponto x.
a) f(x) = 2x³ - x² + 5; x = 1
b) f(t) = (3t - 2)³; x = 2
Solução: 
a) f(x) = 2x³ - x² + 5
 f’(x) = 6x² - 2x 
 f”(x) = 12x - 2 para x = 1, temos:
 f”(1) = 12.1 - 2 = 10 
 
b) f(t) = (3t - 2)³ fazendo U = 3t - 2, temos U’ = 3, então:
 f(t) = (U)³
 f’(t) = 3(U)².U’ = 3(U)².3 = 9U²
 f”(t) = 18U.U’ = 18U3 = 54U = 54(3t - 2) para x = 2, temos:
 f”(2) = 54(3.2 - 2) = 216
As derivadas de ordem superior são muitos importantes em certos 
problemas teóricos de matemática e estatística. No entanto, em 
muitos trabalhos aplicados as derivadas de ordem superior à segunda 
não são encontradas com freqüência.
As derivadas de segunda ordem são úteis para a representação gráfica 
das funções, como será discutido em aulas posteriores, e também são 
úteis sempre que a taxa de variação da quantidade representada pela 
primeira derivada seja de interesse. Por exemplo, a taxa de variação 
da velocidade é a aceleração e a taxa de variação do custo marginal 
indica se o custo marginal está crescendo, decrescendo ou é constante, 
sob condições variáveis de produção.
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Referências Bibliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: 
Harbra,1988.