Mecanica-Trabalho_Energia

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Trabalho e Energia
Nota
Alguns slides, figuras e exercícios pertencem às seguintes referências:
 HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos da Física. V 1. 4a.Edição. Ed. Livro Técnico Científico S.A. 2002;
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física. Volume 1, 5a Ed, Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2006;
 da Silva, E. Z, et al., “Curso de Física Geral F-128”;
Trabalho e Energia
Força
Trabalho e Energia
2
Trabalho
Gradiente de Energia
As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. 
Essa análise pode ser bastante complexa, necessitando de 
detalhes do movimento simplesmente inacessíveis. 
00v

?v

Trabalho e Energia
3
Por exemplo, o cálculo da 
velocidade final de um 
carrinho na chegada da 
percurso da montanha russa 
da figura ao lado seria 
bastante complicado se 
utilizarmos as leis de Newton. 
Porém, com as definições de 
trabalho e energia, este 
problema se torna bastante 
simples, como veremos neste 
capítulo.
Considere deslocamento em x.
cosxFxFW x
Trabalho e Energia
4
Trabalho: Forças constantes
onde F e ∆x são módulos (>0) e
θ é o ângulo entre a força e o
deslocamento.
1 joule = 1 J = 1 N.mUnidade SI:
Trabalho: Forças constantes
Se N forças atuarem sobre o corpo, o trabalho total é a soma dos 
trabalhos realizados por cada força.
xFxFxFW Nxxxtotal ...21
Ou seja, para que haja trabalho é necessário ocorrer 
um deslocamento ao longo do qual a resultante de 
forças é diferente de zero!
Trabalho e Energia
5
xFW
N
i
ixtotal )(
1
cos, xFxFW resxrestotal
2
2
1
mvK
 A energia cinética não pode assumir valores
negativos e é uma grandeza escalar.
 O trabalho também é uma grandeza escalar e pode
assumir valores negativos.
Trabalho e Energia
6
Energia Cinética: definição
Energia cinética de um corpo 
com velocidade v.
1 joule = 1 J = 1 N.m = 1 kg.m2.s-2Unidade SI:
Teorema Trabalho - Energia Cinética
Se a força resultante é constante, a aceleração também será. Assim,
xavv x2
2
0
2
2
0
2
2
1
2
1
mvmvxFx
Apesar desta dedução ser válida apenas para força resultante 
constante, o teorema trabalho-energia é válido mesmo 
quando a força variar e o movimento não for retilíneo.
Trabalho e Energia
7
x
vv
ax
2
)( 20
2
x
vv
mmaF xx 2
)( 20
2
KWtotal
Exemplo
Um guindaste ergue uma peça de 1t, com velocidade
constante, do chão até o terraço de um prédio, a 10m
do chão. (a) Qual é o trabalho realizado por cada força
que atua sobre a peça? (b) Do resultado do item a,
calcule o trabalho total sobre a peça. (c) Este resultado
poderia ser obtido pelo teorema trabalho-energia
cinética? Justifique.
Trabalho e Energia
8
cosyFyFW y
)1x(10x81,9x1000180cos oyP ymgyPW
JWP 98100
1x10x81,9x10000cos oyT ymgyTW
JWT 98100
0, yFWWW yresTPtotal
(a) 
(b) 
(c) 
0
2
1
2
1 2
0
2 mvmvKWtotal
(velocidade constante!)
Trabalho para uma força variável
O trabalho é a área sob a curva 
da força, no intervalo ∆x.
Trabalho e Energia
9
Para uma força constante, teremos:
Inicialmente, podemos aproximar uma 
força variável F(x) por uma série de 
forças constantes Fi.
O trabalho realizado pela força 
variável, no intervalo ∆x, é 
aproximadamente a soma das áreas 
dos retângulos Fi∆xi, entre x1 e x2.
No limite
0ix
Trabalho e Energia
10
Trabalho para uma força variável
2
1
lim
x
x
ii xFW
2
1
)(
x
x
dxxFW
0ix
O trabalho é a área sob a curva da 
força, no intervalo entre x1 e x2.
Força elástica:
kxF
Força restauradora da mola
Trabalho e Energia
11
Exemplo: força varia com a posição
Trabalho realizado pela força da mola
x
F
xi xf
)(
2
1
)(
22
if
x
x
x
x
mola
xxk
xdxk
dxxFW
f
i
f
i
Se xi < xf W < 0
Trabalho e Energia
12
Exemplo: força varia com a posição
Trabalho e Energia
13
Trabalho de força variáveis em 2 e 3D
Considere uma partícula
movendo-se ao longo de uma
curva qualquer no espaço, sob a
ação de uma força F.
A força pode ser decomposta em
uma componente tangencial à
curva, Fs, na direção do
deslocamento (responsável pela
variação do módulo da
velocidade), e outra componente
perpendicular ou radial à curva,
F┴,(responsável pela variação da
direção da velocidade).
Trabalho e Energia
14
Trabalho de força variáveis em 2 e 3D
O trabalho dW, de uma força F agindo ao longo de um deslocamento
infinitesimal ds será apenas devido à componente na direção do
deslocamento. Ou seja,
cosFdsdsFdW s
Podemos expressar o resultado acima através da definição de produto
escalar. Dado dois vetores A e B, o produto escalar entre eles é
definido como:
onde Ф é o ângulo entre A e B.
Assim, o trabalho dW pode ser escrito da forma:
sdFdW

Trabalho e Energia
15
Trabalho de força variáveis em 2 e 3D
O trabalho, W, realizado sobre a partícula quando ela se move entre
os pontos s1 e s2 será:
2
1
s
s
sdFW

Se várias forças atuarem sobre a partícula, o trabalho total será
i
iitotal sdFsdFFsdFsdFdW

)()(... 2121
iresF ,
ou seja,
2
1
s
s
restotal sdFW

Pergunta: força centrípeta 
realiza trabalho?
v

sd

cF

090cos ocdsFdW
Ou, pelo teorema trabalho – energia cinética:
ctev

WK 0
Trabalho e Energia
16
sdFdW cc

0W
KW
Lembre-se que força 
centrípeta não muda o 
módulo da velocidade!
Potência
Até agora não nos perguntamos sobre quão rápido é realizado um trabalho!
Potência, P, é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de tempo:
dt
dW
P
Dado que o trabalho dW realizado por uma força F é:
sdFdW

dt
sd
F
dt
sdF
dt
dW
P


Ou seja, 
vFP

Unidades SI:
J/s = W
Trabalho e Energia
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Podemos escrever:
Curiosidades
Esquema da 1a máquina 
a vapor de J. Watt - 1788
1 hp = 550 ft.lb/s=746 W
No sistema de unidades inglesa, a potência é medida em pé-libra por
segundo. A unidade de potência cavalo-valor (hp, do inglês “horse
power”) é um múltiplo da unidade inglesa, criada por Watt para fazer o
marketing de sua máquina a vapor, utilizando algo familiar à sociedade da
época: o trabalho realizado por cavalos.
Trabalho e Energia
18
O “horse power” é a potência necessária 
para elevar verticalmente, a uma 
velocidade de 1 pé/min (≈ 0,3 m/min), 
uma massa de 33.000 libras (≈15 t).
A “conta de luz” que pagamos mensalmente, traz a quantidade de energia
gasta na residência, e não a potência. O consumo é medido em quilowatt-
hora de energia, ou seja:
1 kW.h = (103 W)(3600 s) = 3,6 x 106 W.s = 3.6 MJ
Exemplo
Trabalho e Energia
19
Exemplo 6-11 – Tipler, 5ª Edição: Mostre que a potência fornecida a
uma partícula por uma força resultante atuante sobre ela é igual à taxa
temporal com a qual a energia cinética da partícula varia.
v
dt
vd
mvamvFP resres



Mas,
v
dt
vd
dt
vd
vv
dt
vd
dt
vvd
dt
dv 



2
)(
2
ou seja, 
dt
dv
v
dt
vd
2
2
1

continuação exemplo:
Trabalho e Energia
20
)()(
22
1
22 mv
dt
d
dt
dv
mv
dt
vd
mPres


Assim,
K
dt
dK
Pres
Trabalho e Energia
21
Trabalho e Energia em 3D
dt
dK
vFres

Do exemplo anterior, temos que,
Integrando ambos os lados da equação acima em função do tempo, 
teremos,
td
dt
dK
dtvF
t
t
t
t
res
2
1
2
1

KdsdF
s
s
K
K
res
2
1
2
1

sd
KKKWtotal 12
resP
Energia Potencial
O trabalho realizado sobre um sistema de partículas pode
tanto variar a energia cinética de uma ou mais partículas do
sistema, como também pode ser armazenado em forma de
energia potencial U do sistema.
Trabalho e Energia
22
A energia potencial é uma energia
associada com a configuração (ou
arranjo) de sistemas cujas partículas
exercem forças umas sobre as outras.
Se a configuração muda, a energia
potencial também pode mudar.
Energia PotencialTrabalho e Energia
23
Considere um levantamento de peso, conforme figura 
ao lado. Vamos considerar que o haltere possui massa 
m e é elevado até uma altura h, em relação ao ponto 
mais baixo do movimento.
O trabalho realizado pela força peso, durante o
levantamento do haltere será,
o
yP mghyPW 180cos
mghWP
deslocamento e peso 
em sentidos opostos
O trabalho realizado pelas mãos do esportista será,
0KWtotal
0NmPtotal WWW
mghWNm
vi = vf = 0
)( mghWW PNm
Energia PotencialTrabalho e Energia
24
onde Pse é a força
gravitacional que o esportista
faz sobre o sistema (no caso,
a Terra); Nsm é a força de
contato entre a mão do
esportista e o sistema (no
caso, o haltere) e Nsp é a
força de contato entre os pés
do esportista e o sistema (no
caso, o chão).
Que forças realizam trabalho sobre o sistema?
Considere agora que o sistema é formado pelo
haltere e pela Terra (incluindo o chão).
O diagrama de forças (externas) para este sistema
será,
Energia PotencialTrabalho e Energia
25
 O trabalho é armazenado no sistema haltere-Terra como energia
potencial, que neste caso é gravitacional.
 Esta energia está associada à configuração do sistema, ou seja, à
posição do haltere em relação à Terra.
O movimento da Terra é desprezível, assim Pse e Nsp não
realizam trabalho.
O trabalho realizado por Nsm é mgh (calculado anteriormente).
mghWWWW NsmNsmPseexttotal 00,
mghW exttotal ,
Assim o trabalho total realizado sobre o sistema por todas as
forças externas será,
Mas, 
0K
vsist,i = vsist,f = 0
Trabalho e Energia
26
Forças Conservativas
Uma força é conservativa quando o trabalho total que ela realiza sobre
uma partícula é nulo, quando esta partícula percorre um caminho
fechado (posição final = posição inicial).
Considere então que uma
partícula saia da posição 1 e
percorra um caminho fechado,
voltando à posição 1, conforme
figura ao lado. O trabalho total
pode ser calculado através da
soma,
2112 WWWtotal
onde W12 é o trabalho realizado pela força na trajetória 1-2 e W21 é o 
trabalho realizado pela força na trajetória 2-1.
Trabalho e Energia
27
Forças Conservativas
Se a força aplicada for conservativa, então,
0totalW
Isto significa que, independente da trajetória que a partícula percorrer
para ir de um ponto a outro, se a força aplicada a ela for conservativa, o
trabalho total realizado por esta força será sempre o mesmo.
Assim,
02112 WWWtotal
02112 WW
2112 WW
Trabalho e Energia
28
Exemplo: forças conservativas
Caminho fechado: sair de A e voltar a A, passando por B.
1º Caso
A
B
BAAB WW
A
B
0'BAABtotal WWW
'
BAAB WW
'
BABA WW
A
B
0' BAABtotal WWW
BAAB WW
'
'
ABAB WW
2º Caso 3º Caso
trajetória
AB
trajetória
BA
trajetória
BA’
trajetória
AB’
trajetória
AB
trajetória
BA
0BAABtotal WWW
Funções Energia Potencial
Trabalho e Energia
29
Força conservativa → Trabalho não depende
da trajetória → Trabalho depende apenas da
posição inicial e final → Função de estado
→ Associa-se uma função energia potencial
à força.
UsdFW
s
s
c
2
1

Funções Energia PotencialTrabalho e Energia
30
UsdFW
s
s
c
2
1

Desta definição vemos que o trabalho positivo acarreta a diminuição da
energia potencial, e vice-versa.
Podemos ver o exemplo do haltere da seguinte forma: o trabalho realizado
pela força gravitacional (força interna ao sistema), sobre o haltere,
aumenta a energia potencial do sistema, durante seu levantamento, e
diminui a energia potencial do sistema, quando ele é abaixado.
No exemplo acima já estamos considerando o fato de que a força
gravitacional é uma força conservativa.
Funções Energia Potencial
Trabalho e Energia
31
UsdFW
s
s
c
2
1

UsdFW
s
s
c
0
ou
s
s
sdFUUU
0
0

s
s
sdFUU
0
0

onde U0 é a energia potencial em s0.
Nota: Sempre que possível, faremos U0 = 0 em s0 = 0.
Próximo à superfície da Terra: 
Trabalho e Energia
32
Energia Potencial Gravitacional
y
y
s
s
s
s
mgdyUsdmgUsdFUU
000
000 )
ˆ(

j
gmwF

Eixo vertical (y) positivo para cima: 
jˆmggm
Como , teremos
ymgUU 0
Considerando U0 = 0 em y0 = 0, teremos
mgyU
Trabalho e Energia
33
Energia Potencial de Uma 
Mola ou Elástica
iˆkxFx
considerando eixo x
positivo para a direita
x
x
s
s
s
s
kxdxUsdkxUsdFUU
000
000 )
ˆ(

i
)( 2020
2
1
2
1
kxkxUU
Vamos considerar U0 = 0 em x0 = 0. Veja
que a posição é definida como x0 = 0
quando a mola está relaxada. Assim, 2
2
1
kxU
Trabalho e Energia
34
Exemplo
Um projétil de massa 2,40kg é disparado para cima, do alto
de uma colina de 125m de altura, com uma velocidade de
150m/s e numa direção que faz 410 com a horizontal. (a)
Qual a energia cinética do projétil no momento em que é
disparado? (b) Qual a energia potencial do projétil no
momento em que é disparado? Suponha que a energia
potencial gravitacional é nula na base da colina ( y=0 ).
Exercício 10(a) e (b) – Capítulo 8 – Halliday, 4ª Edição
(a)
(b)
Qual será a resposta dos itens (a)
e (b) para o projétil no ponto mais
alto de seu movimento?
dx
dU
Fx
Trabalho e Energia
35
Energia Potencial e Equilíbrio
s
s
sdFU
0

A variação de energia dU, em um deslocamento infinitesimal ds, será
sdFdU

Uma força conservativa unidimensional genérica pode ser escrita da forma 
F = Fxî, desta forma, a equação acima ficará
sdFsdFdU x

)ˆ( i
dxFdU x
dx
dU
Fx
Trabalho e Energia
36
Considere o gráfico da energia potencial elástica em função da
posição de uma mola ideal qualquer
2
2
1
kxU
A força é o valor negativo da 
inclinação da reta tangente à 
curva no ponto analisado.
Equilíbrio Estático
Em x=0, a inclinação da curva é igual a zero e, consequentemente, Fx =0.
Defini-se que uma partícula está em equilíbrio estático quando 
a força resultante sobre ela é nula.
No caso acima, a partícula estará em equilíbrio estático quando x=0, ou
seja, quando a mola estiver relaxada.
Trabalho e Energia
37
Como a força é o valor negativo da
inclinação da reta tangente à curva no
ponto analisado, teremos que, para
valores positivos de x, a força será
negativa, e vice-versa. Ou seja, para
qualquer lado que nos afastarmos de x
=0, sempre haverá uma força acelerando
a partícula na direção à menor energia
potencial (à posição de equilíbrio).
Equilíbrio (Estático) Estável
Defini-se como equilíbrio estável a condição onde um pequeno 
deslocamento ocasiona uma força, conhecida como força 
restauradora, que acelera a partícula no sentido de retorno à 
posição de equilíbrio estático.
Ainda considerando, como exemplo, o gráfico de U versus x para uma mola. 
Trabalho e Energia
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A curva ao lado é um exemplo onde a
energia potencial é um máximo no ponto
de equilíbrio (x = 0). Neste caso, teremos
que, para valores positivos de x, a força
será negativa, e vice-versa. Comoanteriormente, para qualquer lado que nos
afastarmos de x =0, sempre haverá uma
força acelerando a partícula na direção à
menor energia potencial (extremos da
curva). Ou seja, a partícula tenderá a se
afastar do ponto de equilíbrio.
Defini-se como equilíbrio instável a condição onde um pequeno 
deslocamento ocasiona uma força que acelera a partícula no 
sentido de afastá-la da posição de equilíbrio estático.
ponto de equilíbrio: x=0
Equilíbrio (Estático) Instável
Trabalho e Energia
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Equilíbrio (Estático) Neutro ou
Indiferente
Defini-se como equilíbrio neutro (ou indiferente) a condição onde a 
força permanece nula para um pequeno deslocamento,mantendo a 
partícula em equilíbrio estático.
No exemplo ao lado, a energia
potencial possui um valor constante na
região em torno de x = 0. A força é
nula tanto em x =0, quanto nos pontos
vizinhos (pequenos deslocamentos).
Trabalho e Energia
40
Exemplo
EQUILÍBRIO ESTÁVEL
EQUILÍBRIO INSTÁVEL
EQUILÍBRIO NEUTRO