aula 1 Número e numeral

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Número e numeral 
Aula 1 
Agenda 
1. Número e numeral 
2. Sistema de numeração 
3. O nosso sistema de numeração 
4. Sistema de numeração romana 
5. Exercícios resolvidos sobre sucessão 
numérica 
6. Base de um sistema de numeração 
7. Lista de exercícios número 1 
1.Número e numeral 
 
A quantidade de elementos de um conjunto é 
traduzida por um número. 
 
Assim, no conjunto das vogais; a, e, i, o, u; o 
número de elementos é 5 ou cinco. 
1.Número e numeral 
 
Para representarmos o número, podemos usar 
palavras ou símbolos, que são os numerais. 
 
Ex.: A = 𝑎, 𝑏 os dois elementos do conjunto A 
podem ser representados por 2 ou dois. 
1.Número e numeral 
 
Um mesmo número pode apresentar vários 
numerais. 
O número é uma ideia da quantidade de 
elementos do conjunto, ao passo que o numeral 
é a maneira de se falar ou escrever os números. 
2.Sistema de numeração 
 
 
O conjunto das regras adotadas para ler e 
escrever o numeral de um conjunto qualquer, 
usando poucas palavras e poucos símbolos, 
chama-se sistema de numeração. 
3.O nosso sistema de numeração 
 
 
O nosso sistema de numeração é de base dez e 
adota regras para escrita e leitura dos números. 
 
3.O nosso sistema de numeração 
 
Numeração escrita – para escrever qualquer 
número, usamos apenas os dez algarismos indo-
arábicos. 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e empregamos o 
princípio decimal, criado pelos hindus. 
3.O nosso sistema de numeração 
 
Todo algarismo escrito à esquerda de outro vale 
dez vezes mais do que se estivesse no lugar 
desse outro. 
Ex.: No número 23 o 3 vale 3 mesmo, mas o 2 da 
esquerda vale 10 × 2 𝑜𝑢 20. 
3.O nosso sistema de numeração 
 
Observações: 
O algarismo 0 (zero) denomina-se não 
significativo e os nove outros algarismos 
denominam-se significativos. 
3.O nosso sistema de numeração 
Observações 
Cada algarismo significativo tem dois valores: 
valor absoluto e valor relativo. Valor absoluto é 
o valor do número representado pelo algarismo 
quando considerado isoladamente, e, valor 
relativo é o valor que o algarismo tem de acordo 
com a posição que ocupa. 
3.O nosso sistema de numeração 
 
 
No número 5491, temos: 
Valor absoluto de 5 = 5 
Valor relativo de 5 = 5000 
3.O nosso sistema de numeração 
Observação 
O primeiro algarismo da direita indica as 
unidades de 1° ordem, o segundo indica 2° 
ordem, e assim por diante. Cada dez unidades 
de uma ordem formam uma unidade de ordem 
imediatamente superior e cada três ordens 
constituem uma classe. 
3.O nosso sistema de numeração 
A primeira classe, a contar da direita, é a classe 
das unidades simples; a segunda, dos milhares e 
a terceira, dos milhões, etc. Em cada classe, o 
primeiro algarismo a contar da direita, é o das 
unidades, o segundo o das dezenas e o terceiro, 
o das centenas. 
A separação das classes pode ser feita por ponto 
ou espaço. 
3.O nosso sistema de numeração 
 
Exemplo: 
O número 846.279.152 
a) Tem 9 ordens e 3 classes 
b) O 8 ocupa a 9º ordem denominada centenas 
de milhões. 
Exercícios de aplicação 
 
Sobre o número 6.734.290.815, responda: 
1) Tem quantas ordens e quantas classes? 
2) Quais os valores absoluto e relativo do 
algarismo que ocupa a 7º ordem? 
3) Qual é o algarismo que ocupa a ordem: 
dezenas de milhões? 
4.Sistema de numeração romano 
 
É um sistema de pouca utilização, mas ainda 
empregado atualmente. Os numerais usados são 
as letras maiúsculas do alfabeto latino. 
𝐼 = 1, 𝑉 = 5, 𝑋 = 10, 
𝐿 = 50, 𝐷 = 500,𝑀 = 1000 
4.Sistema de numeração romano 
 
Para escrever os números, utilizam-se as 
seguintes regras: 
1) Só os símbolos 𝐼, 𝑋, 𝐶,𝑀 podem ser 
repetidos e no máximo três vezes 
consecutivos. 
Ex.: 𝐼𝐼𝐼 = 3, 𝐶𝐶 = 200,𝑀𝑀𝑀 = 3000 
4.Sistema de numeração romano 
2) Se um ou mais símbolos estiverem escritos à 
direita de outro de igual ou maior valor, somam-
se os seus valores. 
Ex.: 𝐿𝑋𝑋𝑉 = 75,𝑀𝐶𝑋 = 1.110 
 
3) colocando-se sobre um número um traço 
horizontal, ele terá o seu valor aumentado de 
mil vezes. 
Ex.: 𝐼𝑉 = 4.000, 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐼𝐼𝐼 = 20.300.403 
 
4.Sistema de numeração romano 
 
4) Se os símbolos 𝐼, 𝑋, 𝐶 estiverem escritos 
respectivamente, antes de 𝑉 𝑜𝑢 𝑋, antes de 
𝐿 𝑜𝑢 𝐶 e antes de 𝐷 𝑜𝑢 𝑀, subtraem-se seus 
valores 
Ex.: 𝐼𝑉 = 4, 𝐼𝑋 = 9, 𝐶𝐷 = 400, 𝑋𝐿 = 40, 𝑋𝐶 =
90, 𝐶𝑀 = 900 
 
Exercício de Aplicação 
1) Escreva em algarismo arábicos: 
a. 𝑀𝑀𝑉𝐼𝐼 = 
b. 𝑀𝐶𝑀𝑋𝐶𝐼 = 
c. 𝑀𝐶𝑀𝐿𝑋𝑋𝑋 = 
2) Escreva em algarismos romanos: 
a. 405 = 
b. 2001 = 
 c. 654.798.321 = 
 
5.Exercícios resolvidos sobre sucessão 
numérica 
 
1. Quantos são os números e quantos são os 
algarismos são utilizados quando se escreve 
de 12 a 23? 
Solução: 
a) 23 − 12 + 1 = 12 → 12 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 
b) 12 × 2 = 24 → 24 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠 
 
5.Exercícios resolvidos sobre sucessão 
numérica 
 
2. Quantos algarismos são utilizados quando se 
escreve de 1 a 78? 
Solução: 
a) 78 − 1 + 1 = 78 números, sendo 9 𝑑𝑒 1 
algarismo e 69 𝑑𝑒 2 algarismos, logo, o total de 
algarismos é: 69 × 2 + 9 = 147algarismos. 
5.Exercícios resolvidos sobre sucessão 
numérica 
 
3. Quantos algarismos são utilizados quando 
escrevemos de 1 a 1429? 
a) De 1 a 9 existem 9 números de 1 algarismo e 
necessariamente de: 9 × 1 = 9 algarismos. 
b) De 10 a 99 temos 99 − 10 + 1 = 90 
números de 2 algarismos: 90 × 2 = 180 
algarismos 
Continua... 
5.Exercícios resolvidos sobre sucessão 
numérica 
Continuação 
a) De 100 a 999 existem 900 números de 3 
algarismos: 900 × 3 = 2700 algarismos. 
b) De 1000 a 1429 temos 1429 − 1000 +
1 = 430 números de 4 algarismos: 
430 × 4 = 1720 algarismos. 
c) Somando tudo, temos: 9 + 180 + 2700 +
1720 = 4609, portanto, 4609 algarismos 
 
5.Exercícios resolvidos sobre sucessão 
numérica 
4. Para numerar as páginas de um livro foram 
gastos 147 tipos de algarismos. Quantas páginas 
tem esse livro? 
Solução: 
a) 147 − 9 = 138 
b) 138 ÷ 2 = 69 
c) 69 + 9 = 78 páginas 
5.Exercícios resolvidos sobre sucessão 
numérica 
5. escrevendo-se a sucessão natural dos 
números sem separar os algarismos, qual 
ocupará o 321° lugar? 
Solução: 
a) 321 − 9 = 312 
b) 312 − 180 = 132 
c) 132 ÷ 3 = 44 (divisão exata) 
d) 9 + 90 + 44 = 143 (… 142143 144… ) 
5.Exercícios resolvidos sobre sucessão 
numérica 
6. Para numerar as cadeiras de um auditório 
foram usados 171 tipos de algarismos. Quantas 
cadeiras tem esse auditório? 
Solução: 
a) 171 − 9 = 162 
b) 162 ÷ 2 = 81 
c) 81 + 9 = 90 cadeiras 
Exercício de aplicação 
1) Determinar o número de algarismos 
necessários para escrever todos o números 
de 1 a 756. 
2) Escrevendo-se seguidamente os números 
naturais sem separar os algarismos, dizer o 
algarismo que ocupa o 985° lugar. 
3) Quantos, algarismos são necessários para se 
escrever todos os números pares, de 6 a 281? 
6. Base de um sistema de numeração 
 
 
Para efetuarmos a contagem dos elementos de 
um conjunto, grupamos esses elementos num 
mesmo número de elementos. Esse número é 
chamado de Base do sistema de numeração. 
6. Base de um sistema de numeração 
 
 
Assim, quando contamos os elementos de um 
conjunto de 10 em 10, estamos contando na 
base 10; se contamos esses elementos de 6 em 
6, estamos contando na base 6. 
6. Base de um sistema de numeração 
 
 
Base de um sistema de numeração é o número 
que exprime quantas unidades de uma ordem 
são necessárias para formar uma unidade deordem superior. 
6. Base de um sistema de numeração 
Exemplo: 
Contando os 8 elementos de um conjunto e usando 
a base 3, teremos 22. 
Solução: 
#, #, # #, #, # #, # → 10 + 10 + 2 = 22 
Usando a base 3 para contagem, cada grupo de 3 
elementos, corresponde 10 (uma dezena), como 
temos 2 dezenas e mais duas unidades, o resultado 
é da contagem é 223. 
6. Base de um sistema de numeração 
Exemplo: 
Passar 14 para a base 3. 
Solução: 
14 ÷ 3 = 4 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2) 
4 ÷ 3 = 1 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 , 𝑙𝑜𝑔𝑜, 14 = 1123 
Passar 8 para base 3. 
8 ÷ 3 = 2(𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2) 
𝑙𝑜𝑔𝑜, 8 = 223 
6. Base de um sistema de numeração 
Passando um número de uma base qualquer 
para base decimal (base 10) 
Passar 1123 para a base 10 
2 × 30 = 2 × 1 = 2 
1 × 31 = 1 × 3 = 3 
1 × 32 = 1 × 9 = 9 
2 + 3 + 9 = 14 
𝑙𝑜𝑔𝑜, 1123 = 14 
Exercícios de aplicação 
 
1) Passe para as bases 3 e 4, o número 29. 
 
2) Passar para base 10 os números: 
2517, 538 𝑒 430056 
3) Passar o número 5837 do sistema decimal 
para o sistema de base 6. 
Resolver 
 
 
 
Lista de exercícios Número 1...