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ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
CURSOS: ENGENHARIA BIOMÉDICA
ENGENHARIA MECÂNICA
M. FÁTIMA PACHECO, ANA I. PEREIRA,
JOÃO P. ALMEIDA E PAULA BARROS
ANO LECTIVO 2012/13
Conteúdo
1 Números Complexos 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Representação de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Representação Geométrica de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Representação Trigonométrica de Números Complexos . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Representação Exponencial de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Igualdade e Operações com Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Igualdade de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Simétrico de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Conjugado de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.5 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.6 Inverso de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.7 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.8 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.8.1 Potências de base i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.8.2 Potências de base z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.9 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Teorema Fundamental da Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Propriedades dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Representação de Conjuntos de Pontos no Plano Complexo . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Matrizes e Determinantes 19
2.1 Definições e notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2.1 Multiplicação por um escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i
CONTEÚDO
2.2.2.2 Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Transposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 Decomposição de matrizes em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Matrizes com entradas complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Matrizes em escada por linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Sistemas de Equações Lineares 49
3.1 Classificação de sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Forma matricial de um sistema de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Resolução de sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Método baseado na matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Método de eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.3 Método de eliminação de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.4 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Discussão de sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Cálculo da matriz inversa usando o método de eliminação de Gauss-Jordan . . . . . 60
3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Geometria Analítica 69
4.1 Generalidades sobre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Representação de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2 Operações com vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2.1 Adição de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2.2 Multiplicação de um vector por um escalar . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.2.3 Subtracção de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.3 Norma euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1 Ângulo entre dois vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 Projecções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Produto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Representação de rectas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1 Equações da recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
ii
CONTEÚDO
4.5.2 Equações do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6 Posição relativa de rectas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.1 Posição relativa de duas rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.2 Posição relativa de dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.1 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.2 Distância de um ponto a uma recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.3 Distância entre duas rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.4 Distância de um ponto a um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7.5 Distância de uma recta a um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7.6 Distância entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.8 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.8.1 Ângulo entre duas rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.8.2 Ângulo entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Espaços vectoriais 91
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Subespaços vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Base e dimensão de um espaço vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Matriz de mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6 Transformações lineares 109
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Núcleo e Imagem de uma transformação linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Matriz de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7 Valores próprios e vectores próprios 125
7.1 Valores e Vectores próprios de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2 Valores próprios e vectores próprios de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.3 Diagonalização de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8 Soluções dos Exercícios 137
8.1 Soluções dos Exercícios do Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2 Soluções dos Exercícios do Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
iii
CONTEÚDO
8.3 Soluções dos Exercícios do Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.4 Soluções dos Exercícios do Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.5 Soluções dos Exercícios da Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.6 Soluções dos Exercícios do Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.7 Soluções dos Exercícios do Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
iv
Capítulo 1
Números Complexos
1.1 Introdução
O conjunto dos números complexos é uma extensão do conjunto dos números reais, e permite resolver
equações que não têm solução no conjunto dos reais. Consideremos os seguintes exemplos:
Exemplo 1. Resolva a equação x2 − x− 6 = 0.
Resolução:
Usando a fórmula resolvente, obtemos
x =
1±√1− 4× 1× (−6)
2× 1 ⇔
=
1±√25
2
A equação tem duas soluções x = 3, x = −2.
⊔⊓
Consideremos agora outro exemplo,
Exemplo 2. Resolva a equação 2x2 + 2x+ 5 = 0.
Resolução:
Usando a fórmula resolvente, obtemos
x =
−2±√22 − 4× 2× 5
2× 2
=
−2±√−36
4
Não existe solução em IR.
⊔⊓
1
Números Complexos
Tal acontece porque, em IR, não existe
√−36, uma vez que o quadrado de qualquer número real é
sempre não-negativo.
Designemos por unidade imaginária i o número que satisfaz a equação x2 = −1, ou seja, i = √−1.
Logo i e −i são soluções da equação x2 = −1.
Como
√−36 = √36√−1 = 6√−1 e fazendo i = √−1, obtêm-se √−36 = 6i. Logo,
x = −1
2
+
3
2
i e x = −1
2
− 3
2
i
são as soluções da equação 2x2 + 2x+ 5 = 0.
Definição 1. Os número da forma z = a + bi, em que a, b ∈ IR e i2 = −1 designam-se por
números complexos. O conjunto dos números complexos, denota-se por C. Assim,
C =
{
a+ bi : a, b ∈ IR, i2 = −1} .
A representação de um número complexo por z = a+bi, com a, b ∈ IR é designada por representação algébrica,
cartesiana ou rectangular.
Dado um número complexo z = a+ bi, dizemos que a parte real de z é o número real a e escreve-se
Re(z) = a, e que o coeficiente da parte imaginária de z é o número real b e escreve-se Im(z) = b.
Considere que o número complexo z é:
• um número real se e só se Im(z) = 0.
• um imaginário puro se e só se Re(z) = 0 e Im(z) 6= 0.
• nulo se e só se Re(z) = Im(z) = 0.
Assim, podemos definir:
• O conjunto dos números reais como IR = {a+ bi ∈ C : b = 0}.
• O conjunto dos números imaginários puros como I = {a+ bi ∈ C : a = 0 ∧ b 6= 0}.
1.2 Representação de Números Complexos
Existem diversas formas para representar um número complexo: algébrica, geométrica, trigonométrica
ou exponencial.
2
1.2 Representação de Números Complexos
1.2.1 Representação Geométrica de Números Complexos
A representação geométrica dos complexos é feita num referencial cartesiano, em que se fixa o eixo
das abcissas para o conjunto IR e o eixo das ordenadas para o conjunto I . Assim, o número complexo,
z = a + bi, corresponde a um par ordenado de números reais (a, b). Ao referencial com estas
características dá-se o nome de Plano Complexo ou Diagrama de Argand.
1.2.2 Representação Trigonométrica de Números Complexos
Consideremos o vector que une a origem ao ponto (a, b). Na representação trigonométrica, um
número complexo z é representado pela distância, entre a origem e o ponto (a, b), e pelo ângulo
que forma com o semieixo positivo das abcissas.
Ao ângulo θ chama-se argumento de z e representa-se por
arg(z) = θ e a r dá-se o nome de módulo de z, representado
por |z| = r.
Para representar um número complexo podemos utilizar as coordenadas polares
{
a = r cos(θ)
b = r sen(θ)
,
logo, z = a+ bi = r cos(θ) + r sen(θ)i = r(cos(θ) + i sen(θ)).
Assim, a representação trigonométrica de z é definida por z = r(cos(θ)+i sen(θ)) com θ ∈ Θ. Desi-
gnamos o conjunto Θ =]−π, π] por argumento principal e Θ = [0, 2π[ por argumento positivo mínimo.
Nesta Unidade Curricular iremos considerar o argumento positivo mínimo.
A cos(θ) + i sen(θ) dá-se o nome de cis(θ) e podemos escrever z = r cis(θ).
Logo, dado um número complexo representado na forma algébrica z = a + bi, facilmente transfor-
mamos z para a sua representação trigonométrica.
Da relação
b
a
=
r sen(θ)
r cos(θ)
= tg(θ)
3
Números Complexos
e da posição geometrica do número complexo, obtém-se o valor de θ.
Esta fórmula não pode ser usada se a = 0. Neste caso arg(z) = π
2
ou arg(z) =
3π
2
.
Para a determinação do módulo de z, pode ser aplicado o teorema de Pitágoras, para obter a seguinte
relação
r2 = a2 + b2
logo, r =
√
a2 + b2
Exemplo 3. Represente na forma trigonométrica o complexo z = −i.
Resolução:
O módulo de z é dado por
r = |z| =
√
02 + (−1)2 = 1
como z pertence ao semieixo negativo imaginário, logo arg(z) = θ = 3π
2
. Então z = cis
(
3π
2
)
⊔⊓
Exemplo 4. Represente na forma trigonométrica o complexo z = 1 + i.
Resolução:
O módulo de z é dado por
r = |z| =
√
12 + 12 =
√
2
e
tg(θ) = 1⇔ θ = π
4
+ kπ para k ∈ Z.
No intervalo [0, 2π[, temos os valores θ = π
4
e θ =
π
4
+ π =
5π
4
.
Como z pertence ao primeiro quadrante logo θ = π
4
. Assim,
z =
√
2 cis
(π
4
)
.
⊔⊓
4
1.2 Representação de Números Complexos
Exemplo 5. Represente na forma trigonométrica o complexo z = −1− i.
Resolução:
O módulo de z é dado por
r = |z| =
√
(−1)2 + (−1)2 =
√
2
e
tg(θ) = 1⇔ θ = π
4
+ kπ para k ∈ Z.
No intervalo [0, 2π[, temos os valores θ = π
4
e θ =
π
4
+ π =
5π
4
.
Como z pertence ao terceiro quadrante, θ = 5π
4
, logo z =
√
2 cis
(
5π
4
)
.
⊔⊓
1.2.3 Representação Exponencial de Números Complexos
Usando a fórmula de Euler
eθi = cos(θ) + sin(θ)i,
podemos escrever um número complexo z na forma exponencial
z = r(cos(θ) + sin(θ)i) = reθi.
Exemplo 6. Represente na forma exponencial o complexo z = −1− i.
Resolução:
Como concluímos no exemplo anterior, z =
√
2 cis
(
5pi
4
)
, então na representação exponencial tem-se
z =
√
2e
5pi
4
i
.
⊔⊓
5
Números Complexos
1.3 Igualdade e Operações com Números Complexos
Sejam z1 e z2 dois números complexos representados na forma algébrica por z1 = a1 + b1i e
z2 = a2 + b2i e, na forma trigonométrica por, z1 = r1 cis(θ1) e z2 = r2 cis(θ2).
1.3.1 Igualdade de Números Complexos
Tem-se, na forma algébrica:
z1 = z2 ⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2
Na forma trigonométrica:
z1 = z2 ⇔ r1 = r2 ∧ θ1 = θ2 + 2kπ, k ∈ Z
1.3.2 Simétrico de um Número Complexo
Na forma algébrica, o simétrico de um número complexo z = a+ bi é o número
−z = −(a+ bi) = (−a) + (−b)i.
Na forma trigonométrica, o simétrico de
z = r cis(θ) é −z = r cis(θ + π).
1.3.3 Conjugado de um Número Complexo
Na forma algébrica, o conjugado de um número complexo z = a+bi é o número complexo z¯ = a−bi.
6
1.3 Igualdade e Operações com Números Complexos
Na forma trigonométrica, o conjugado de
z = r cis(θ)é z¯ = r cis(−θ) = r cis(2π − θ).
Corresponde a uma reflexão do vector z sobre o
eixo das abcissas.
1.3.4 Adição
A soma de z1 com z2 é o número complexo z1 + z2 definido por:
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
De notar que z1 + z2 = z2 + z1.
Considerando os números como vectores,
geometricamente, a soma de complexos não
passa da soma, pela "regra do paralelo-
gramo", dos vectores que os representam.
1.3.5 Multiplicação
O produto de z1 por z2 é o número complexo z1 × z2 definido por
z1 × z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
ou, na forma trigonométrica,
z1 × z2 = r1 cis(θ1)r2 cis(θ2) =
= r1r2 [(cos(θ1) cos(θ2)− sen(θ1) sen(θ2)) + (sen(θ1) cos(θ2) + cos(θ1) sen(θ2)) i]
= r1r2 [cos(θ1 + θ2) + sen(θ1 + θ2)i]
7
Números Complexos
assim,
z1 × z2 = r1r2 cis(θ1 + θ2).
Para mais detalhes veja-se [Car98].
Considere o seguinte teorema que relaciona o número complexo, z, com o seu conjugado.
Teorema 1. Seja z um número complexo da forma z = a+ bi, com a, b ∈ IR. Então
zz¯ = |z|2.
Demonstração.
Considerando z = a+ bi e z¯ = a− bi, então
zz¯ = (a+ bi)(a− bi) = (a2 + b2) + (−ab+ ab)i
= a2 + b2 =
(√
a2 + b2
)2
= |z|2
⊔⊓
1.3.6 Inverso de um Número Complexo
Sendo z = a+ bi( 6= 0) , o seu inverso é
z−1 =
1
z
=
1
a+ bi
=
a− bi
(a+ bi)(a− bi) =
a− bi
a2 + b2
,
ou simplesmente
z−1 =
z¯
|z|2 . (1.1)
usando o Teorema 1.
Note que se a+ bi 6= 0 então a− bi 6= 0.
Na representação trigonométrica, o inverso de z = r cis(θ) é
1
z
=
1
r
cis(−θ).
1.3.7 Divisão
O quociente entre z1 e z2, considerando que z2 6= 0, é o produto de z1 pelo inverso de z2, ou seja,
z1
z2
= z1 × (z2)−1.
Na prática, basta multiplicar z1 por
1
z2
.
8
1.3 Igualdade e Operações com Números Complexos
Na forma algébrica temos
z1
z2
= z1(z2)
−1 = z1
z¯2
|z2|2 .
Na forma trigonométrica, obtemos
z1
z2
= z1(z2)
−1 =
r1
r2
cis(θ1 − θ2).
1.3.8 Potenciação
1.3.8.1 Potências de base i.
Sabemos que i2 = −1. Quanto vale i3?
i1 = i i5 = i4i = i
i2 = −1 i6 = i4i2 = −1
i3 = −i i7 = i4i3 = −i
i4 = 1 i8 = i4i4 = 1
... ...
A potência de i de expoente n ∈ Z é sempre igual à potência de i que tem por expoente o resto da
divisão de n por 4.
Exemplo 7. Calcule i22.
Resolução:
Como 22 = 4× 5 + 2, logo
i22 = i4×5i2 = (i4)5i2 =
= (1)5i2 = i2 = −1
⊔⊓
1.3.8.2 Potências de base z.
Seja z ∈ C. Uma potência de base z é do tipo
zn = z.z.....z
com n natural.
Na forma trigonométrica
zn = rn cis(nθ),
9
Números Complexos
também conhecida por Fórmula de De Moivre.
1.3.9 Radiciação
As raízes índice n de um número complexo z são as soluções da equação
wn = z
que, no conjunto dos números complexos, tem exactamente n raízes distintas. Tais soluções dispõem-
se sobre uma circunferência de raio n
√|z| com argumentos sucessivamente espaçados de 2π
n
.
Sendo z = r cis(θ), as raízes índice n de z são dadas pela fórmula de De Moivre.
Seja w = p cis(α). Tem-se
wn = z ⇔ (p cis(α))n = r cis(θ)⇔
pn cis(nα) = r cis(θ)⇔
pn = r ∧ nα = θ + 2kπ, para k ∈ Z.
Então
p = n
√
r ∧ α = θ + 2kπ
n
, para k ∈ Z.
Assim, para um dado n ∈ N, as n-ésimas raízes complexas de um número complexo, wk, são dadas
pela seguinte fórmula:
wk =
n
√
r cis
(
θ + 2kπ
n
)
, para k = 0, ..., n− 1.
Exemplo 8. Determine os números complexos:
a) (5 + 7i)(3− 2i)
b) (cis(π/4))/(2 cis(π/6))
c) (1− i)(√2 cis(5pi4 ))
d) w4 = cis(π)
Resolução:
a)
(5 + 7i)(3− 2i) = 15− 10i+ 21i− 14i2 = 29 + 11i
b)
cis
(
pi
4
)
2 cis
(
pi
6
) = 1
2
cis
(π
4
− π
6
)
=
1
2
cis
( π
12
)
10
1.4 Teorema Fundamental da Álgebra
c)
(1− i) (√2 cis (5pi4 )) = (√2 cis (7pi4 )) (√2 cis (5pi4 ))
= 2 cis
(
5π
4
+
7π
4
)
= 2 cis
(
12π
4
)
= 2 cis(π)
d)
w0 = cis
π
4
,
w1 = cis
3π
4
,
w2 = cis
5π
4
e w3 = cis
7π
4
.
⊔⊓
1.4 Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema 2. Seja p(x) um polinómio não nulo com coeficientes complexos. Então p(x) pode ser
escrito de maneira única (a menos da ordem dos factores) como um produto
p(x) = k(x− z1)(x− z2)...(x− zn)
onde k, zi, para i = 1, ..., n, pertencem a C, isto é, como um produto de polinómios de grau 1.
Com este Teorema, podemos concluir que um polinómio de grau n possui sempre n raízes, não
necessariamente distintas.
Exemplo 9. Seja p(x) = 2x3 + 3x− 5. Determine todas as raízes do polinómio p.
Resolução:
O polinómio p é de grau 3, logo pelo teorema anterior, concluímos que possui três raízes não
necessariamente distintas.
Considerando que x = 1 é uma raiz do polinómio p, pois p(1) = 0, é possível aplicar a Regra de
Ruffini. Assim, concluímos que
2 0 3 −5
+1 2 2 5
2 2 5 0
Logo, p(x) = (x − 1)(2x2 + 2x + 5). Assim, as raízes do polinómios podem ser calculadas
resolvendo as seguintes equações: x− 1 = 0 e 2x2 + 2x+ 5 = 0.
Então, as raízes do polinómio são: x1 = 1, x2 = x = −12 + 32 i e x3 = −12 − 32 i.
⊔⊓
11
Números Complexos
1.5 Propriedades dos Números Complexos
Existem várias propriedades úteis no conjunto dos números complexos.
Relativamente às propriedades associadas ao conjugado, analisemos as seguintes.
Propriedade 1. Considere z e w números complexos. As seguintes igualdades são válidas em C:
• z + w = z + w
• zw = z w
• z−1 = (z)−1, considerando z 6= 0
• z = z
Relativamente às propriedades associadas ao simétrico, analisemos as seguintes.
Propriedade 2. Considere z e w números complexos. As seguintes igualdades são válidas em C:
• Re(−z) = −Re(z)
• Im(−z) = −Im(z)
• | − z| = |z|
• arg(−z) = arg(z) + π
Existem, também, algumas propriedades associadas ao módulo de um número complexo.
Propriedade 3. Considere z e w números complexos. As seguintes igualdades são válidas em C:
• |ez| = eRe(z)
• |z| = 0⇔ z = 0
• |zw| = |z||w|
•
∣∣∣ z
w
∣∣∣ = |z||w| , com w 6= 0
• |z| = |z|
• |z + w| 6 |z|+ |w| (desigualdade triangular)
Existem ainda outras propriedades associadas aos número complexos. Algumas delas podem ser
consultadas nas seguintes referências [Car98, CDH96].
12
1.6 Representação de Conjuntos de Pontos no Plano Complexo
Exemplo 10. Seja z um número complexo. Prove que
z + z¯ = 2Re(z).
Resolução:
Seja z = a+ bi. Então z¯ = a− bi e sabemos que Re(z) = a. Assim,
z + z¯ = (a+ bi) + (a− bi)
= 2a
= 2Re(z).
⊔⊓
Exercício 1. Considere z um número complexo. Prove as seguintes propriedades:
a. z − z¯ = 2i Im(z)
b. Re(z) = z + z¯
2
e Im(z) =
z − z¯
2i
1.6 Representação de Conjuntos de Pontos no Plano Complexo
A distância entre dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i é dada por
d(z1, z2) = |z1 − z2| =
√
(a1 − a2)2 + (b1 − b2)2
Definição 2. Seja r ∈ IR+ e z1 ∈ C. Chama-se círculo de centro z1 e raio r ao conjunto constituido
por todos os números complexos z ∈ C que estão a uma distância ao ponto z1 que é menor ou igual
a r, isto é,
{z ∈ C : |z − z1| 6 r}
Outras regiões podem ser definidas no plano complexo.
Exemplo 11. Verifique que o conjunto D = {z ∈ C : |z − 2| = |z − 3i|} é uma recta no plano
complexo.
Resolução:
Seja z = x+ yi. Substituindo na equação, obtemos
|z − 2| = |z − 3i| ⇐⇒ |(x+ yi)− 2| = |(x+ yi)− 3i|
⇐⇒ |(x− 2) + yi| = |x+ (y − 3)i|
⇐⇒ √(x− 2)2 + y2 =√x2 + (y − 3)2
13
Números Complexos
então
(x− 2)2 + y2 = x2 + (y − 3)2 ⇐⇒ y = 23x+ 56 .
⊔⊓
1.7 Exercícios
1. Exprima os seguintes números complexos na forma a+ bi:
(a) z = (2 12 − i)− i(1− i2 12 ) (b) z = (2− 3i)(−2 + i)
(c) z = 1 + 2i
3− 4i +
2− i
5i
(d) z = 1
(1− i)(2− i)(3− i)
(e) z = 1 + i+ i2 + i3 (f) z = i5 + i
19
i3
(g) z =
100∑
k=0
ik
2. Dados os números complexos z1 = 4− 5i e z2 = 2 + 3i, determine na forma algébrica a+ bi:
(a) z1z2 (b) 1
z2
(c)(z1 + z2)2
(d) z2
z1
(e) 3z1 − 5z2 (f) z1
z1 + z2
3. Calcule:
(a) Re
(
1
2 + i
)
(b) Im
(
2 + i
3 + 4i
) (c) Re
(
(1 + i)2
3 + 2i
)
(d) Im
(z
z
)
4. Verifique as seguintes igualdades:
(a) z + 3i = z − 3i (b) iz = −iz (c) (2 + i)
2
3− 4i = 1
14
1.7 Exercícios
(d) Re (iz) = − Im (z) (e) zz¯ = |z|2 (f) Re(z) = 0⇔ z = −z
5. Calcule:
(a) |cos θ + i sin θ|
(b)
∣∣∣∣1 + 4i4 + i
∣∣∣∣
(c)
∣∣∣z
z
∣∣∣
(d)
∣∣∣∣z + 1z − 1
∣∣∣∣
6. Represente na forma trigonométrica os números complexos:
(a) z = 2i (b) z = −1 (c) z = 2i− 2
(d) z = 1 + i
1− i (e) z =
√
2i
2 + 2i
(f) z = 2 + 2i
1 + i
7. Represente na forma algébrica a+ bi os seguintes números complexos:
(a) z = 2i
2 + 2i
(b) z = 1− i
1 + i
(c) z = (2i− 2)2
(d) z =
(
1 + i
1− i
)30
(e) z =
√
2i
2− 2i (f) z = 2
√
2 cis
(
3π
4
)
(g) z = 4 cis
(π
3
)
(h) z = (1− i)
2 − 2i95
i− 3
(i) z = π cis (π)
(j) z = √8 cis
(
5π
6
)
(k) z = cis
(
7π
3
)
8. Escreva os seguintes números complexos na forma exponencial
(a) z = 1 + i
(1− i)2 (b) z =
1
2i− 2
(c) z = i4 − 2i3 + 4i2 + 2i− 6
(d) z = −3 + 3i (e) z = −2− 3πi (f) z = π − 1
2
i
(g) z = 9
2
πi (h) z =
√
81 (i) z = −1
2
+
1
2
i
15
Números Complexos
9. Identifique todos os valores reais de a de forma que:
(a) z = (a− i)(a+ 3− 4i) seja um número imaginário puro.
(b) w = 1 + 2i
2 + ai
seja um número real.
10. Represente na forma algébrica a+ bi os números complexos:
(a) z = epi2 i (b) z = 1 + e2pii (c) z = epi4 i − e−pi4 i
11. Considerando z = x+ yi, calcule as seguintes expressões.
(a)
∣∣∣e4z2−iz∣∣∣ (b) Im(ez2) (c) Re(e 1z)
12. Determine e represente no plano complexo as regiões definidas por:
(a) |z − 2i| = 2 (b) |z + 1| > 2 (c) 1 6 |z + 1− i| 6 3
(d) | arg(z)| < π
4
(e) Re (z2) 6 1 (f) Im (z2) = 2
(g) z + z = 1 (h) z − z = i (i) |z − 1| = |z + i|
(j) |z − 2| = 2 |z + 2i| (k) |z − 1| 6 |z + 1| (l)
∣∣∣∣z + iz − i
∣∣∣∣ = 1
(m) Im
(
2z + 1
4z − 4
)
6 1
13. Calcule e represente no plano complexo os pontos definidos por cada uma das seguintes condições.
(a) z2 = i
(b) z2 = −8i
(c) w2 = −4
(d) z3 = 1 + i
(e) w4 = −1
(f) w3 = −1−
√
3i
(g) z6 = 1−
√
3i
(h) z4 = 1 +
√
3i
(i) w3 = −2 (1− i)
16
1.7 Exercícios
14. Resolva as seguintes equações.
(a) z2 + z + 1− 3
4
i = 0 (b) 2x2 + 2x+ 5 = 0
(c) w2 + (1− 2i)w + (1 + 5i) = 0 (d) 5eiz + i = 0
(e) cosh(z) + 2 sinh(z) = 0 (f) z4 − 3z2 + 2 = 0
(g) cosh(z) + 2ez = 0 (h) 3e2z−1 − 1 = 0
(i) ez−2(z6 + 64) = 0 (j) (1− i)z3 − 2i = 0
(k) z3 + 3
√
2 cis
(
3π
4
)
= 0 (l) z
2 + z = −1
15. Deduza as seguintes igualdades trigonométricas a partir da fórmula de De Moivre
(cis θ)n = cis(nθ).
(a) sin(3θ) = 3 cos2(θ) sin(θ)− sin3(θ)
(b) cos(3θ) = cos3(θ)− 3 cos(θ) sin2(θ)
16. Seja z ∈ C um complexo na forma z = x + yi. Determinar o conjunto dos pontos do plano
complexo que satisfazem a condição
z + z 6 |z|2.
Represente esse conjunto no plano complexo.
17. Resolva a equação z4 + 2z2 + 2 = 0 no conjunto dos números complexos.
17
Números Complexos
18
Capítulo 2
Matrizes e Determinantes
As matrizes, cadeias rectangulares de números, têm aplicações em inúmeros contextos da
modelação matemática em Engenharia. Nesta unidade curricular, considerá-las-emos como
objectos com interesse por si mesmos e apresentaremos algumas das suas propriedades algébricas.
2.1 Definições e notações
Definição 3. Uma matriz é uma cadeia (array) ou tabela rectangular de números a que chamaremos
entradas ou elementos.
A =


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn


onde aij , para i = 1, ...,m e j = 1, ..., n, são escalares, e m, n ∈ N. Abreviadamente escrevemos:
A = [aij ] para i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
O elemento aij da matriz A está situado na linha i e na coluna j. Vamos representar por Li a i-ésima
linha da matriz e por Cj a sua j-ésima coluna. A uma matriz com m linhas e n colunas chamaremos
matriz do tipo m por n, escrevendo m × n. Em geral, usaremos uma letra maiúscula para designar
uma matriz e a respectiva minúscula (com índices) para as suas entradas.
Definição 4. Designa-se por Mm×n(K) o conjunto de todas as matrizes do tipo m× n sobre K.
O conjunto K pode ser IR ou C. A matriz diz-se real ou complexa consoante os seus elementos forem
números reais ou complexos.
19
Matrizes e Determinantes
Exercício 2. Indique o tipo das seguintes matrizes
A =


1 1 0 0
1 0 0 −1
2 1 −1 1

 e B = [ −21i ] .
Resolução:
A matriz A é do tipo 3× 4 e A ∈M3×4(IR). A matriz B é do tipo 1× 1 e B ∈M1×1(C).
⊔⊓
Uma matriz com uma só coluna diz-se uma matriz coluna e uma matriz que só tenha uma linha é uma
matriz linha.
Uma matriz m× n com todas as entradas iguais a zero diz-se matriz nula e denota-se por 0m×n.
Uma matriz do tipo m× n diz-se rectangular se m 6= n e diz-se quadrada de ordem n se m = n.
Exemplo 12. Na matriz coluna A =


1
2
−2

 tem-se a21 = 2. A matriz B =
[
1 1
2 0
]
é uma matriz
quadrada de ordem 2.
Uma submatriz de A é uma matriz que se obtém da matriz A por supressão de linhas e/ou colunas de
A.
Chamamos diagonal principal de uma matriz quadrada A de ordem n aos elementos aii para i =
1, ...n.
Exemplo 13. A diagonal principal da matriz M =


1 0 2
2 1 1
−2 0 1

 é formada pelos elementos
m11 = 1,m22 = 1 e m33 = 1.
Definição 5. Matriz identidade de ordem n (escreve-se In) é a matriz quadrada de ordem n que tem
1s na diagonal principal e 0s fora dela. Simbolicamente, na matriz identidade tem-se
aij =
{
0 se i 6= j
1 se i = j
para i, j = 1, ..., n.
Exemplo 14. A matriz identidade de ordem 3 é dada por I3 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

.
20
2.2 Operações com matrizes
Definição 6. Se A for uma matriz quadrada de ordem n, então o traço de A, tr(A), é a soma dos
elementos da diagonal principal de A, isto é
tr(A) =
n∑
i=1
aii.
Exemplo 15. tr




−1 −1 0
0 2 −1
1 0 −1



 = −1 + 2− 1 = 0.
Duas matrizes A e B são iguais se e só se forem do mesmo tipo, n × m, e tiverem os elementos
homólogos iguais, isto é, aij = bij , para i = 1, ..., n e j = 1, ...,m.
2.2 Operações com matrizes
Vejamos como se generalizam ao conjunto das matrizes as operações usuais e como neste universo se
definem novas operações.
2.2.1 Adição
Se A e B forem matrizes do tipo m × n, então a soma A + B é a matriz do mesmo tipo, ou seja,
m × n, que se obtém adicionando cada entrada de A à correspondente entrada de B. Só é possível
adicionar matrizes do mesmo tipo.
Em linguagem simbólica, se A = [aij ] e B = [bij ],
A+B = [aij + bij ] para i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
Exercício 3. Considerando A =


1 −1 0
0 1 2
0 0 −1

 e B =


1 0 0
−2 1 1
0 0 0

, calcule A+B.
Resolução:
A soma de A com B é dada por
A+B =


1 −1 0
0 1 2
0 0 −1

+


1 0 0
−2 1 1
0 0 0

 =


2 −1 0
−2 2 3
0 0 −1

 .
⊔⊓
21
Matrizes e Determinantes
Propriedade 4. Sejam A,B,C ∈Mm×n(K). Então:
1. A+B = B +A (Propriedade comutativa)
2. (A+B) + C = A+ (B + C) (Propriedade associativa)
3. A+ 0 = 0 +A = A (A matriz nula é o elemento neutro da adição de matrizes)
4. A+ (−A) = (−A) +A = 0 (−A é a matriz simétrica de A).
2.2.2 Multiplicação
2.2.2.1 Multiplicação por um escalar
Se A for uma matriz do tipo m× n e c um escalar, então o produto cA é a matriz do mesmo tipo que
se obtém multiplicando c por cada entrada de A. Em linguagem simbólica, se A = [aij ],
cA = [caij ] para i = 1, ...,m e j = 1, ...,n.
Exercício 4. Seja A =


1 −1 0
0 1 2
0 0 −1

. Calcule −2A.
Resolução:
O produto do escalar −2 pela matriz A é dado por
−2A = −2×


1 −1 0
0 1 2
0 0 −1

 =


−2 2 0
0 −2 −4
0 0 2

 .
⊔⊓
Propriedade 5. Sejam A, B ∈Mm×n(K) e considere os escalares c e d. Então:
1. c(A+B) = cA+ cB;
2. (c+ d)A = cA+ dA;
3. c(dA) = (cd)A.
Exercício 5. Prove que, se A for uma matriz de ordem n e c for uma número real, então
tr(cA) = ctr(A).
22
2.2 Operações com matrizes
2.2.2.2 Multiplicação de matrizes
Se A for uma matriz do tipo m× l e B for uma matriz do tipo l × n, então o produto AB é a matriz
m × n cujos elementos se obtêm do seguinte modo: a entrada da linha i e da coluna j de AB é o
produto interno entre a linha i de A e a coluna j de B, isto é,
AB =
[
l∑
k=1
aikbkj
]
para i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
Exemplo 16. Seja A =
[
1 −1 0
−1 1 −1
]
e B =


1 −1
0 1
0 0

 . É possível calcular AB?
Resolução:
A matriz A é do tipo 2 × 3 e B do tipo 3 × 2. Como o número de colunas da matriz A é igual ao
número de linhas da matriz B, então é possível fazer a operação, obtendo-se uma matriz do tipo 2×2.
Então,
AB =
[
1 −1 0
−1 1 −1
]
1 −1
0 1
0 0

 =
[
1× 1− 1× 0 + 0× 0 1× (−1)− 1× 1 + 0× 0
−1× 1 + 1× 0− 1× 0 −1× (−1) + 1× 1− 1× 0
]
=
=
[
1 −2
−1 2
]
.
⊔⊓
Só podemos multiplicar a matriz A pela matriz B se o número de colunas de A for igual ao número
de linhas de B. Em geral, o produto de matrizes não é comutativo.
Propriedade 6. Se A,B e C forem matrizes do tipo conveniente e c um escalar, então:
1. (AB)C = A(BC) (associatividade da multiplicação).
2. A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC (distributividade da multiplicação em
relação à adição).
3. c(AB) = (cA)B = A(cB).
4. A0 = 0 e 0A = 0, onde 0 representa a matriz nula.
5. IA = A e AI = A, onde I representa a matriz identidade.
23
Matrizes e Determinantes
2.2.3 Transposição
Se A for uma matriz do tipo m×n, chama-se transposta de A à matriz n×m que se obtém trocando
as linhas e as colunas de A . Se A = [aij ],
AT = [aji] para j = 1, ..., n e i = 1, ...,m.
Exemplo 17. Seja A =


−1 1
1 2
0 −1

. Calcule AT .
Resolução:
A transposta de A é dada por
AT =


−1 1
1 2
0 −1


T
=
[
−1 1 0
1 2 −1
]
.
⊔⊓
Propriedade 7. Sejam A e B do tipo adequado, então:
1. (A+B)T = AT +BT .
2.
(
AT
)T
= A.
3. (AB)T = BTAT .
4. (cA)T = cAT , sendo c um escalar.
5. (Ak)T = (AT )k, sendo k um número natural.
2.2.4 Decomposição de matrizes em blocos
Muitas vezes, no tratamento matemático de fenómenos, surgem matrizes de grande dimensão, que
são mais fáceis de operar depois de subdivididas em blocos, isto é, decompostas em submatrizes.
Por exemplo, se
A =


1 2 | 1
3 4 | 1
−− −− | −−
0 0 | 1

 e B =


1 2 3 | 1
4 5 6 | 1
−− −− −− | −−
0 0 0 | 1

 ,
o cálculo do produto AB é simplificado se se proceder do seguinte modo:
24
2.3 Matrizes com entradas complexas
• fazer A =
[
X Y
01×2 Z
]
e B =
[
W T
01×3 U
]
, sendo
X =
[
1 2
3 4
]
, Y =
[
1
1
]
, Z =
[
1
]
,W =
[
1 2 3
4 5 6
]
, T =
[
1
1
]
, U =
[
1
]
as submatrizes correspondentes de A e B. Esta decomposição permite reescrever A com 2 colunas
e B com 2 linhas.
• AB =
[
XW XT + Y U
01×3 ZU
]
=


9 12 15 4
19 26 33 8
0 0 0 1

 .
Não esquecer que a multiplicação de matrizes decompostas em blocos só é possível quando as dimen-
sões dos blocos a multiplicar forem as ”adequadas” (número de colunas do primeiro igual ao número
de linhas do segundo). Isso verificar-se-á se as n colunas de A forem decompostas da mesma maneira
que as n linhas de B, podendo as linhas de A e as colunas de B ser decompostas de qualquer maneira.
Exemplo 18. Seja M =
[
A B
C D
]
uma matriz decomposta em blocos.
Mostre que
MT =
[
AT CT
BT DT
]
.
2.3 Matrizes com entradas complexas
Se A for uma matriz com entradas em C, podemos generalizar ao conjunto de tais matrizes algumas
das operações que se efectuam sobre os números complexos.
Definição 7. Conjugada de uma matriz, A, com entradas complexas é a matriz que se denota por, A,
e se obtém substituindo cada entrada de A pelo seu conjugado:
A = [aij ] para i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
Propriedade 8. Sejam A e B matrizes de tipo adequado e c ∈ C :
1. (A) = A
2. (cA) = cA
3. A+B = A+B
4. (A)T = AT
25
Matrizes e Determinantes
Exemplo 19. Seja A =
[
3 1− i
−1− i 2
]
. Determine (A)T .
Resolução:
Como
A =
[
3 1 + i
−1 + i 2
]
, então (A)T =
[
3 −1 + i
1 + i 2
]
.
Outra forma de determinar AT seria,
AT =
[
3 −1− i
1− i 2
]
=
[
3 −1 + i
1 + i 2
]
.
⊔⊓
Definição 8. A transconjugada de uma matriz A é a matriz que se denota por A∗, definida por
A∗ = AT .
Propriedade 9. Sejam A e B matrizes do tipo adequado e c ∈ C :
1. (A∗)∗ = A.
2. (A+B)∗ = A∗ +B∗.
3. (cA)∗ = c¯A∗.
4. (AB)∗ = B∗A∗.
5. (Ak)∗ = (A∗)k, com k ∈ N.
2.4 Inversa de uma matriz
Definição 9. Se A for uma matriz quadrada de ordem n e se B for uma matriz do mesmo tipo tal que
AB = BA = In, entãoA diz-se uma matriz invertível ou regular e aB chama-se matriz inversa de A.
Definição 10. Uma matriz que não é invertível diz-se matriz singular.
26
2.4 Inversa de uma matriz
Exemplo 20. As matrizes A =
[
2 5
1 3
]
e B =
[
3 −5
−1 2
]
são inversas uma da outra pois
AB = BA =
[
1 0
0 1
]
= I2.
Exemplo 21. As matrizes
[
1 2
1 3
]
e
[
1 −1
0 1
]
não são inversas uma da outra pois
AB =
[
1 1
1 2
]
6= I2.
Uma matriz invertível não pode ter mais do que uma inversa!
Teorema 3. (Unicidade da inversa) Se B e C forem ambas inversas de uma matriz A, então B = C.
Demonstração.
Como B é inversa da matriz A, tem-se:
BAC = (BA)C = InC = C.
Por outro lado, como C também é inversa da matriz A, tem-se:
BAC = B(AC) = BIn = B.
Logo,
B = C.
⊔⊓
Se A for uma matriz invertível, denotaremos a sua inversa por A−1.
Consequentemente,
AA−1 = I e A−1A = I.
Seja In a matriz identidade de ordem n. A inversa da matriz identidade In é ela própria, isto é,
I−1n = In.
Teorema 4. Sejam A,B ∈Mn×n(K). Então, BA = I se e só se AB = I .
27
Matrizes e Determinantes
Propriedade 10. Sejam A e B matrizes de ordem n invertíveis e seja c um escalar não nulo. Então:
1. AB é invertível e (AB)−1 = B−1A−1;
2. A−1 é invertível e (A−1)−1 = A;
3. cA é invertível e (cA)−1 = 1
c
A−1;
4. AT é invertível e (AT )−1 = (A−1)T ;
Demonstração.
1. Como
(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1InB = B−1B = In.
Por outro lado,
(AB)(B−1A−1) = A(B−1B)A−1 = AInA−1 = AA−1 = In.
Logo, concluímos que AB é invertível e a inversa da matriz AB é a matriz B−1A−1.
2. Como
A−1(A−1)−1 = (A−1A)−1 = I−1n = In.
e
(A−1)−1A−1 = (AA−1)−1 = I−1n = In.
Logo, concluímos que A−1 é invertível.
Além disso, como a matriz A é invertível, sabemos que
A−1A = AA−1 = In.
Pelo Teorema da unicidade da inversa podemos concluir que
(A−1)−1 = A.
⊔⊓
Exercício 6. Determine a inversa da matriz D =
[
1 6
−2 −4
]
, se ela existir.
28
2.5 Matrizes especiais
2.5 Matrizes especiais
Definição 11. Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n.
A matriz A é triangular superior se abaixo da diagonal principal só tem 0s, isto é, A é triangular
superior sse
aij = 0 quando i > j.
A matriz A é triangular inferior se acima da diagonal principal só tem 0s, ou seja, A é uma matriz é
triangular inferior sse
aij = 0 quando i < j.
Exemplo 22.

1 −1 0
0 1 2
0 0 −1

 é uma matriz triangular superior.
Teorema 5. As seguintes afirmações são verdadeiras.
(a) A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior e vice-versa.
(b) O produto de 2 matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular inferior e o produto de 2
matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior.
(c) Uma matriz triangular é invertível se e só se todas as entradas da diagonal principal são não
nulas.
(d) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior e a inversa de uma
matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
Exercício 7. Justifique a seguinte afirmação. A matriz A =


1 2 −1
0 5 4
0 0 3

 é invertível e a matriz
B =


3 −2 −6
0 0 4
0 0 1

 é singular.
Definição 12. Matriz diagonal é uma matriz quadrada de ordem n que fora da diagonal principal só
tem zeros, isto é,
aij = 0 para i 6= j.
29
Matrizes e Determinantes
Matriz escalar é uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são todos iguais,
isto é,
aii = c, para i = 1, ..., n,
onde c é uma constante.
Exemplo 23.
[
0 0
0 1
]
é uma matriz diagonal e


−10 0 0
0 −10 0
0 0 −10

 é uma matriz escalar.
Teorema 6. Seja D uma matriz diagonal, escrita na forma
D =


d1 0 · · · 0
0 d2 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · dn

 . (2.1)
D é invertível se e só se todas as entradas da diagonal principal são não nulas, isto é, di 6= 0, para
i = 1, ..., n.
Nesse caso a sua inversa,D−1, é também uma matriz diagonal e pode ser representada por
D−1 =


1
d1
0 · · · 0
0 1
d2
· · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 1
dn


Note que as entradas da diagonal principal de D−1 são os inversos das entradas da diagonal principal
de D.
Proposição 1. Seja D a matriz diagonal definida em (2.1). Para qualquer inteiro não negativo
k ∈ N0, a matriz Dk é uma matriz diagonal e pode ser representada na forma
Dk =


dk1 0 · · · 0
0 dk2 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · dkn


Se D for invertível a Proposição 1 é válida para todo o inteiro k ∈ Z.
O produto de matrizes envolvendo matrizes diagonais é muito fácil de determinar.
Exemplo 24. O produto de
[
d1 0
0 d2
][
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
é dado por
[
d1a11 d1a12 d1a13
d2a21 d2a22 d2a23
]
.
30
2.5 Matrizes especiais
Definição 13. Uma matriz A ∈ Mn×n(K) diz-se simétrica se AT = A e diz-se anti-simétrica se
AT = −A.
Exercício 8. Prove que a matriz A =
[
2 −3
−3 5
]
é simétrica e que a matriz B =
[
0 −5
5 0
]
é
anti-simétrica.
Teorema 7. Toda a matriz quadrada real A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica
com uma matriz anti-simétrica do seguinte modo:
A =
1
2
(
A+AT
)
+
1
2
(
A−AT ) .
Demonstração.
A matriz 1
2
(
A+AT
)
é simétrica pois
(
1
2
(
A+AT
))T
=
1
2
(
AT +
(
AT
)T)
=
1
2
(
A+AT
)
e a matriz 1
2
(
A−AT ) é anti-simétrica pois
(
1
2
(
A−AT ))T = 1
2
(
AT − (AT )T) = 1
2
(
AT −A) = −1
2
(
A−AT ) .
⊔⊓
Exemplo 25. Escrevamos a matriz A =
[
−1 1
0 1
]
como a soma de uma matriz simétrica com uma
matriz anti-simétrica:
1
2
(A+AT ) =
1
2
([
−1 1
0 1
]
+
[
−1 0
1 1
])
=
[
−1 12
1
2 1
]
.
1
2
(A−AT ) = 1
2
([
−1 1
0 1
]
−
[
−1 0
1 1
])
=
[
0 12
−12 0
]
.
De facto, [
−1 1
0 1
]
=
[
−1 12
1
2 1
]
+
[
0 12
−12 0
]
.
31
Matrizes e Determinantes
Proposição 2. Sejam A e B duas matrizes simétricas com a mesma dimensão e α ∈ IR. Então,
1. AT é simétrica.
2. A+B e A−B são simétricas.
3. αA é simétrica.
Se A e B são duas matrizes simétricas, com a mesma dimensão, então o produto AB não é, em geral,
uma matriz simétrica. De facto,
(AB)T = BTAT = BA
Então, para que AB seja uma matriz simétrica, tem de se verificar AB = BA, o que é falso, em
geral.
Definição 14. Uma matriz quadrada invertível A tal que A−1 = AT diz-se uma matriz ortogonal.
Exemplo 26. A matriz A =
[
1
2
√
3
2√
3
2 −12
]
é ortogonal, pois
ATA = AAT =
[
1
2
√
3
2√
3
2 −12
][
1
2
√
3
2√
3
2 −12
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Definição 15. Uma matriz P de ordem n diz-se uma matriz de permutação se tiver as mesmas linhas
que a matriz identidade In, não necessariamente pela mesma ordem.
Exercício 9. As matrizes


0 1 0
0 0 1
1 0 0

 e


0 1 0
1 0 0
0 0 1

 são matrizes de permutação. Que trocas se
efectuaram sobre as linhas de I3 para as obter?
Nas definições seguintes considere que A é uma matriz com entradas complexas.
Definição 16. Uma matriz quadrada A diz-se hermítica se A∗ = A e diz-se hemi-hermítica se
A∗ = −A.
Note-se que as entradas da diagonal principal de uma matriz hermítica são, necessariamente, números
reais e as as entradas da diagonal principal de uma matriz hemi-hermítica são, necessariamente, zero
ou imaginários puros.
32
2.6 Matrizes em escada por linhas
Exemplo 27. A matriz C =
[
3 i
−i 0
]
é hermítica pois
C∗ = CT =
[
3 −i
i 2
]
=
[
3 i
−i 2
]
= C.
Exercício 10. Prove que toda a matriz quadrada com entradas complexas pode ser escrita como a
soma de uma matriz hermítica com uma matriz hemi-hermítica.
Definição 17. Uma matriz quadrada A diz-se normal se A∗A = AA∗.
Definição 18. Uma matriz quadrada invertível A diz-se unitária se A∗ = A−1.
Exercício 11. Verifique se A =


i 0 0
0 −i 0
0 0 i

 é uma matriz unitária.
2.6 Matrizes em escada por linhas
Uma matriz A está em escada por linhas se possuir as seguintes características:
1. cada linha não nula está antes de todas as linhas nulas que existam;
2. se o primeiro elemento não nulo numa linha i está na coluna j, então a linha seguinte começa
com pelo menos j elementos nulos, isto é, se o primeiro elemento não nulo na linha i é aij ( 6= 0)
então para k = 1, ..., j tem-se ai+1,k = 0.
Exemplo 28. A matriz A =


−1 1 −1 1 −1
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0

 é uma matriz em escada por linhas e a matriz
B =


1 1 −1
2 4 −2
0 6 3

 não está em escada por linhas.
Podemos transformar uma matriz qualquer (que não está em escada por linhas) numa matriz em
escada por linhas recorrendo às operações elementares.
33
Matrizes e Determinantes
Chamamos operações elementares sobre as linhas de uma matriz A às seguintes operações:
1. troca de linhas;
2. multiplicação de uma linha por um escalar não nulo;
3. adição a uma linha do produto de outra por um escalar.
Ao processo de transformação de uma matriz em matriz triangular ou em escada recorrendo a ope-
rações elementares chama-se condensação.
Exercício 12. Transforme a matriz B =


1 1 −1
2 4 −2
0 6 3

 em escada por linhas.
Resolução:
Apliquemos as operações elementares à matriz B.


1 1 −1
2 4 −2
0 6 3

 −→L2 ← L2 − 21L1


1 1 −1
0 2 0
0 6 3


−→
L3 ← L3 − 62L2


1 1 −1
0 2 0
0 0 3


A matriz resultante


1 1 −1
0 2 0
0 0 3

 é uma matriz em escada por linhas.
⊔⊓
Definição 19. Chama-se característica de uma matriz A ao número de linhas não nulas da matriz
depois de transformada em matriz em escada por linhas. Denota-se por c(A) ou car(A).
Exemplo 29. Considere as matrizes definidas no Exemplo 28. A característica da matriz A é 2, isto
é, car(A) = 2 e a característica da matriz B é 3, car(B) =3.
Exercício 13. Determine a característica da matriz C =


2 −1 −2
−4 2 4
1 −1/2 −1


34
2.7 Determinante de uma matriz
Nas secções seguintes, introduziremos a função determinante que associa a cada matriz quadrada A
um escalar a que chamaremos determinante de A.
2.7 Determinante de uma matriz
Um escalar é invertível se e só se for não nulo. Portanto, uma matriz do tipo 1× 1 é invertível se e só
se for não nula. Para matrizes de ordem superior a 1 a equivalência anterior não se verifica.
Será possível associar a cada matriz quadrada um número que dependa apenas dos elementos da
matriz e que nos permita saber se a matriz é invertível? A resposta é afirmativa.
Definição 20. Determinante de uma matriz A de ordem n é uma função
det : Mn×n(K) → K
A → det(A) ≡ |A|
definida de tal modo que as seguintes condições sejam satisfeitas:
1. Para i = 1, ..., n e c ∈ K tem-se:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n
.
.
. · · · ...
ai1 + bi1 · · · ain + bin
.
.
. · · · ...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n
.
.
. · · · ...
ai1 · · · ain
.
.
. · · · ...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n
.
.
. · · · ...
bi1 · · · bin
.
.
. · · · ...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n
.
.
. · · · ...
cai1 · · · cain
.
.
. · · · ...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= c
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n
.
.
. · · · ...
ai1 · · · ain
.
.
. · · · ...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
2. Se A tiver duas linhas iguais, tem-se |A| = 0.
3. |In| = 1.
O determinante de uma matriz só pode ser calculado se a matriz for quadrada e denota-se por |A| ou
det(A).
Teorema 8. Seja A ∈Mn×n(K). Então:
1. Se A tiver duas linhas (colunas) múltiplas uma da outra, então |A| = 0.
35
Matrizes e Determinantes
2. O determinante muda de sinal quando se trocam entre si duas linhas (colunas) de A.
3. Se P for uma matriz de permutação, tem-se |P | = ±1.
4. O determinante não se altera se a uma linha (coluna) de A adicionarmos um múltiplo de outra.
5. Se A for uma matriz triangular (superior ou inferior) então o determinante de A é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal.
6. Se A tiver uma linha (coluna) de zeros, então |A| = 0.
Exemplo 30. São válidas as seguintes igualdades:
1.
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 7 5
2 0 3
1 4 7
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 7 5
2 0 3
1 + 2× 2 4 + 2× 0 7 + 2× 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 7 5
2 0 3
5 4 13
∣∣∣∣∣∣∣∣
pois substituiu-se a 3ª
linha pela soma desta com o dobro da 2ª linha (L3 ← L3 + 2L2).
2.
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2
2 0 4
2 −2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 porque a 3ª coluna é múltipla da 1ª (C3 = 2C1).
3.
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 −3 6
2 0 4
0 −1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2
2 0 4
0 −1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Exemplo 31. Calcule
∣∣∣∣∣ 1 2−1 0
∣∣∣∣∣.
Resolução:
∣∣∣∣∣ 1 2−1 0
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 1 20 2
∣∣∣∣∣ (L2 ← L2 + L1)
= 1× 2 = 2.
⊔⊓
36
2.7 Determinante de uma matriz
Exemplo 32. Use as propriedades dos determinantes para calcular
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1
−1 0 −2
−1 3 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Resolução:
Usemos as propriedades dos determinantes.
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1
−1 0 −2
−1 3 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1
0 0 −1
−1 3 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ (L2 ← L2 + L1)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1
0 0 −1
0 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ (L3 ← L3 + L1)
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1
0 3 4
0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ (L2 ↔ L3)
= −(1× 3× (−1)) = 3
.
⊔⊓
O determinante de uma matriz de ordem 1 é dado por |a11| = a11.
Seja A uma matriz de ordem 2. O determinante de A é dado por
∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12.
Pois, considerando a11 6= 0, temos∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ a11 a120 a22 − a21a11a12
∣∣∣∣∣ L2 ← L2 − a21a11L1
= a11 × (a22 − a21
a11
a12) = a11a22 − a21a12
Propriedade 11. Sejam A e B matrizes de ordem n e c um escalar. Então:
1. |AB| = |A||B|;
2. |cA| = cn|A|;
37
Matrizes e Determinantes
3. |AT | = |A|;
4. Se A for ortogonal, então |A| = ±1;
5. Se A for invertível, então |A−1| = 1|A| .
Demonstração.
Provemos a alínea 5 da propriedade anterior.
Como AA−1 = In, então |AA−1| = |In| = 1. Além disso, como |A||A−1| = 1 podemos concluir
que |A| 6= 0.
Consequentemente, obtemos
|AA−1| = 1⇔ |A||A−1| = 1⇔ |A−1| = 1|A| .
⊔⊓
Exemplo 33. Sejam A =
[
3 1
2 1
]
e B =
[
−1 3
5 8
]
. Determine |AB|.
Resolução:
Como |A| = (3× 1)− (1× 2) = 1 e |B| = ((−1)× 8)− (3× 5) = −23, então
|AB| = |A||B| = 1× (−23) = −23.
⊔⊓
O Teorema de Laplace fornece-nos um algoritmo para o cálculo de determinantes de qualquer ordem
[CDH96, SQ03].
Definição 21. Se A for uma matriz quadrada de ordem n, chama-se submatriz Aij à matriz que
se obtém de A eliminando a linha i e a coluna j. Ao número Cij = (−1)i+j |Aij | chama-se
complemento algébrico ou cofactor associado a aij .
Exemplo 34. Seja A =


3 1 −4
2 5 6
1 4 8

. Determine o complemento algébrico C12.
Resolução:
Tem-se A12 =
[
2 6
1 8
]
e C12 = (−1)3 ×
∣∣∣∣∣ 2 61 8
∣∣∣∣∣ = −10. ⊔⊓
38
2.8 Matriz adjunta
Teorema 9 (Teorema de Laplace). O determinante de uma matriz A = [aij ] de ordem n é igual à
soma dos produtos das entradas de qualquer linha ou coluna pelos respectivos cofactores, isto é,
para qualquer i = 1, ..., n,
|A| =
n∑
j=1
aijCij ,
ou, no caso das colunas, para qualquer j = 1, ..., n,
|A| =
n∑
i=1
aijCij .
Exemplo 35. Calcule o determinante da matriz A =


2 1 0
1 1 1
−1 −2 2

.
Resolução:
Usando o Teorema de Laplace, considerando a 1ª linha, o determinante é dado por∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 0
1 1 1
−1 −2 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= 2× (−1)1+1 ×
∣∣∣∣∣ 1 1−2 2
∣∣∣∣∣+ 1× (−1)1+2 ×
∣∣∣∣∣ 1 1−1 2
∣∣∣∣∣+ 0× (−1)1+3
∣∣∣∣∣ 1 1−1 −2
∣∣∣∣∣
= 2×
∣∣∣∣∣ 1 1−2 2
∣∣∣∣∣−
∣∣∣∣∣ 1 1−1 2
∣∣∣∣∣+ 0
= 2(2− (−2))− (2− (−1)) = 8− 3 = 5.
⊔⊓
Propriedade 12. Seja A ∈Mn×n(K). A matriz A é invertível se e só se det(A) 6= 0.
De seguida apresentaremos um método para o cálculo da inversa de uma matriz, recorrendo ao cálculo
do determinante.
2.8 Matriz adjunta
Definição 22. Se A for uma matriz de ordem n, designa-se por matriz adjunta de A à transposta da
matriz dos cofactores de A. Escreve-se adj(A).
39
Matrizes e Determinantes
Exemplo 36. Seja A =


3 2 −1
1 6 3
2 −4 0

. Determine adj(A).
Resolução:
adj(A) =


12 6 −16
4 2 16
12 −10 16


T
=


12 4 12
6 2 −10
−16 16 16

 .
Com C11 = 12, C12 = 6, C13 = −16, C21 = 4, C22 = 2, C23 = 16, C31 = 12, C32 = −10 e
C33 = 16. ⊔⊓
Teorema 10. Se A for uma matriz invertível,
A−1 =
adj(A)
|A| .
Exemplo 37. Considere a matriz A =


1 1 1
2 3 4
5 8 9

 . Caso exista, determine A−1.
Resolução:
Comecemos por calcular |A|.
|A| = 27− 32− 18 + 20 + 16− 15 = −2.
Como |A| 6= 0, existe A−1. Determinemos A−1, começando por calcular a adj(A).
adj(A) =


−5 2 1
−1 4 −3
1 −2 1


T
=


−5 −1 1
2 4 −2
1 −3 1

 .
Finalmente,
A−1 =


−5/− 2 −1/− 2 1/− 2
2/− 2 4/− 2 −2/− 2
1/− 2 −3/− 2 1/− 2

 =


5/2 1/2 −1/2
−1 −2 1
−1/2 3/2 −1/2

 .
⊔⊓
40
2.9 Exercícios
2.9 Exercícios
1. Considere as seguintes matrizes:
A =
[
−2 1 3
4 0 −1
]
, B =
[
4 1 −2
5 −1 3
]
, C =


2 −1
0 6
−3 2

 e D =


−4 2
3 5
−1 −3


Calcule, se possível, as seguintes expressões.
(a) 3A (b) 0B (c) A+B e B +A (d) B + C
(e) C −D (f) 4A− 2B (g) AB (h) (CD)T
(i) (2A)(5C) (j) (5D)(4C) (k) A2 (l) (AC)2
(m) ADB (n) BC e CB (o) (AT )A (p) (DT )CA
2. Calcule os produtos xy e yx para os vectores
x =
[
−2 3 −1
]
, y =

4
−1
3

 .
3. Determine o número real x para o qual se tem vu = 17, onde v =
[
−3 2 x
]
e u =


−3
2
x

 .
4. Que linhas/colunas de matrizes A, B e/ou C é preciso multiplicar para determinar:
(a) a 3ª coluna de AB?
(b) a primeira linha de AB?
(c) a entrada da 3ª linha e 4ª coluna de AB?
(d) a entrada da 1ª linha e 1ª coluna de ABC?
41
Matrizes e Determinantes
5. Considere que A, B e C são matrizes tais que as expressões seguintes fazem sentido. Sejam
r, s ∈ C. Prove as seguintes propriedades do cálculo matricial.
(a) A+B = B +A (b) (A+B) + C = A+ (B + C)
(c) (r + s)A = rA+ sA (d) (AT )T = A
(e) (A+B)T = AT +BT (f) (AB)T = BTAT
6. (a) Seja A =
[
a c
b d
]
. Prove que A2 = (a+ d)A− (ad− bc)I2.
(b) Seja A =
[
1 0
−1 1
]
. Prove que A2 = 2A− I2.
7. Determine para que matrizes quadradas de ordem 2, A e B, são válidas as igualdades:
(a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2
(b) (A+B)(A−B) = A2 −B2
8. Uma matriz escalar de ordem n é uma matriz diagonal, de ordem n, em que os elementos da
diagonal são todos iguais a um escalar k ∈ C. Seja A uma matriz escalar de ordem n. Determine
uma expressão para tr(An).
9. Complete as entradas em falta na matriz A de modo a que torná-la uma matriz simétrica.
A =


1 −1 5
4 8
2 −7 −1
6 3


10. Prove que:
(a) Se A é uma matriz quadrada, então A+AT é uma matriz simétrica.
(b) Se A é uma matriz, então AAT é uma matriz simétrica.
(c) Se A é uma matriz quadrada, então (A2)T = (AT )2.
42
2.9 Exercícios
11. Classifique cada uma das seguintes matrizes como simétricas, hermíticas, anti-simétricas ou hemi-
hermíticas.
A =
[
2 0
1 −1
]
, B =
[
0 1
−1 0
]
, C =
[
0 −i
i 0
]
e D =

 1√3 1+i√3
1−i√
3
−i√
3


12. Considere as matrizes A, B e C com ordem adequada. As seguintes afirmações são verdadeiras
ou falsas? Justifique.
(a) Se A2 estiver definida, então A tem que ser quadrada.
(b) Se AB e BA estiverem definidas, então A e B são quadradas.
(c) Se AB e BA estiverem definidas, então AB e BA são quadradas.
(d) Se AB = B, então A = I.
(e) Se A = B então AC = BC.
(f) Se AC = BC então A = B.
(g) Se AB = 0 então A = 0 ou B = 0.
(h) Se A+ C = B + C então A = B
(i) Se A2 = I então A = ±I .
(j) Se AB = C e C é um vector coluna então B é também um vector coluna.
(k) Se A2 = I então An = I para todo o n inteiro superior a 2.
(l) Se A2 = I então An = I para todo o n inteiro par superior a 2.
(m) Se B = A2 e A é uma matriz quadrada de ordem n e simétrica. Então bii > 0 para i =
1, ..., n.
13. Seja A =
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
]
. Verifique que A2 =
[
cos(2θ) − sin(2θ)
sin(2θ) cos(2θ)
]
e determine An.
Calcule AAT .
14. Em cada uma das seguintes alíneas, dê exemplos de matrizes quadradas A e B nas condições
indicadas. Se não for possível, indique a razão.
(a) A2 = 0 ∧A 6= 0 (b) A2 = −I (c) AB = 0 ∧BA 6= 0
43
Matrizes e Determinantes
15. Determine a característica de cada uma das seguintes matrizes, transformando-as em matrizes em
escada por linhas.
(a) A =


1 2 3
4 5 6
7 8 9

 (b) B =
[
1 −1 1
2 −1 0
]
(c) C =


1 −1 1
2 −1 0
−1 −1 1

 (d) D =


2 1 1
1 0 1
−1 0 1


16. Calcule, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes.
A =
[
2 0
1 −1
]
,
B =


0 1 0
1 0 0
0 0 1

, C =


3 0 0
0 1 0
0 0 1


17. Sabendo que |A| = −8 e |B| = 6, determine:
(a) |AB| (b) |(AB)T | (c) |(AB)−1| (d) |Ak|, com k ∈ N
18. Considere a seguinte matriz
A =


5 2 4 0
2 −3 −1 2
3 −4 3 7
1 −1 0 1

 .
Sabendo que |A| = −8 e usando as propriedades dos determinantes, calcule:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
10 4 8 0
2 −3 −1 2
3 −4 3 7
1 −1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 2 4 0
5 2 4 0
3 −4 3 7
1 −1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 −1 2
5 2 4 0
3 −4 3 7
1 −1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 2 4 0
2 −3 −1 2
5 −6 3 9
1 −1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 −1 2
3 −4 3 7
1 −1 0 1
5 2 4 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(f)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 −1 2
5 2 4 0
3 −4 3 7
−2 3 −3 −6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
44
2.9 Exercícios
19. Usando as propriedades dos determinantes, calcule o determinante das seguintes matrizes.
A =


2 3 −1
0 6 −2
0 1 −1

 , B =


1 0 6
0 1 −1
5 0 1

 e C =


1 0 6 −1
4 1 −1 0
0 0 1 2
5 0 1 2


20. Usando o Teorema de Laplace, calcule os determinantes das seguintes matrizes.
A =


2 2 0 4
3 3 2 2
0 1 3 2
2 0 2 1

 , B =


2 −1 0 0
4 5 0 0
0 0 3 6
0 0 −4 2

 e C =


2 −i 0 0 −1
4 5 0 0 0
0 1 −3 6 −2
0 0 −4 2 2
−1 4 2i −1 0


21. Quais das matrizes definidas no exercício 11 são ortogonais?
22. Prove que se uma matriz A é ortogonal, então |A| = ±1.
23. Considere A uma matriz quadrada de ordem 2. Sabendo que |A| = 3, determine a matriz A.
24. Se possível, determine as matrizes adjunta e inversa de cada uma das seguintes matrizes:
a. A =


1 −2 0
3 1 5
−1 2 3

 b. B =


4 0 1
2 2 0
3 1 1

 c. C =


1 2 −1
3 6 −3
−2 0 1


d. D =


5 2 4 0
2 −3 −1 2
3 −4 3 7
1 −1 0 1

 e. E =


2 −1 0 0
4 5 0 0
0 0 3 6
0 0 −4 2

 f. F =


1 2 0 5
3 4 1 7
−2 5 2 0
0 1 2 −7


25. Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis. Prove:
(a) |A−1| = 1|A|
(b) |A| = |B−1AB|
45
Matrizes e Determinantes
26. Seja A uma matriz de ordem (n+m)×(n+m) definida por A =
[
In B
0 Im
]
onde B representa
uma matriz de ordem n × m, In e Im representam as matrizes de identidade de ordem n e m,
respectivamente. Determine a matriz inversa de A.
27. Determine a inversa da seguinte matriz:
A =


1 0 −1 0 2 10
0 1 0 −1 −1 −22
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1


28. Considere as seguintes matrizes
A =


1 0 0
0 1 0
1 0 1

 , B =


1 1 1
3 1 0
0 −2 2

 , C =


−2 0 0
2 1 0
1 1 1

 .
Seja X uma matriz de ordem adequada.
Resolva as seguintes equações matriciais.
(a) 2A−X = B−1 (b) CX +B = BX + C (c) 12AT +X = −2X +B
(d) CTX +B = C−1A+B (e) (CB)−1X = CX +BAT (f) (CA)TX = AX + 13B
29. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis:
(a) A =


2 1 1
1 4 −4
1 0 2

 (b) B =


3 0 8
5 0 7
−1 4 2


(c) C =
[
a 1
2 a
]
(d) D =


3 −1 5 1
2 5 4 0
1 2 1 2
0 2 0 2


46
2.9 Exercícios
(e) E =


3 1 −2 −3 2
−1 0 −5 5 3
1
4 4 0 −23 2
−3 −1 −1 0 1
1 1 14 1 0


(f) F =


2 1 2
−1 1 1
0 1 0


(g) G =


0 1 2
1 −1 −1
2 1 1


30. Utilize as propriedades dos determinantes para calcular:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 1 1
1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1
a b c d
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
31. Determine os valores do escalar λ ∈ IR para os quais a matriz A− λI é singular, sendo:
(a) A =
[
0 3
2 −1
]
(b) A =


1 0 2
0 −1 −2
2 −2 0


32. Considere as seguintes matrizes invertíveis A e B.
A =


1 2 −1
−1 1 2
2 −1 1

 , B =


1 0 −2
3 1 4
5 2 −3

 .
Sem calcular nenhuma das inversas, A−1 ou B−1, prove que A e B não são inversas uma da outra.
33. Determine se cada uma das seguintes afirmaçõesé verdadeira ou falsa. Justifique as respostas.
(a) Uma matriz 4× 4 com uma linha de zeros não é invertível.
(b) Se A é uma matriz cujas entradas da diagonal principal são todas iguais a 1 então A é in-
vertível.
(c) Se A for invertível, então A−1 também o é.
47
Matrizes e Determinantes
34. Prove a igualdade seguinte recorrendo às propriedades dos determinantes.∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣
= (b− a)(c− a)(c− b).
35. Sabendo que A−1 é uma matriz quadrada de ordem 2 com |A−1| = 4, determine a matriz A.
36. Resolva a equação seguinte em ordem à variável x.
∣∣∣∣∣ x −13 1− x
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 −3
2 x −6
1 3 x− 5
∣∣∣∣∣∣∣∣
.
37. Para α ∈ IR\{−1, 1}, diga se a seguinte matriz é unitária ou ortogonal.

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1√
1−α2
αi√
1−α2
0 0 − αi√
1−α2
1√
1−α2


48
Capítulo 3
Sistemas de Equações Lineares
O objecto de estudo deste capítulo, os sistemas de equações lineares, é, de entre os
que abordaremos neste curso, um dos mais ricos em aplicações. Introduziremos al-
guma terminologia e apresentaremos alguns métodos para a resolução de sistemas.
3.1 Classificação de sistemas de equações lineares
Uma equação do tipo
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b1
onde a1, a2, ..., an são escalares e x1, x2, ..., xn são incógnitas diz-se uma equação linear. Se b1 = 0,
a equação diz-se homogénea.
Um sistema de equações lineares ou sistema linear é uma conjunção de equações lineares.
Um sistema homogéneo de equações lineares é uma conjunção de equações lineares homogéneas
[Agu92, Mag89, Str86].
Exemplo 38. O sistema {
x+ y − 2z = 0
2x− y + z = 1
é um sistema de equações lineares, mas o sistema{
x2 − y + z = 1
x+ y + z = 1
não é (por causa do termo x2). O segundo sistema é um sistema de equações não lineares.
49
Sistemas de Equações Lineares
Exemplo 39.


−x− y + z = 0
x− 3y + 2z = 0
x+ y − z = 0
é um sistema homogéneo.
Definição 23. Designamos por solução de um sistema de equações lineares nas incógnitas x1, ..., xn
à sequência ordenada (α1, ..., αn) de números tais que as substituições xi = αi para i = 1, ..., n
transformam todas as equações do sistema em identidades verdadeiras.
Resolver um sistema significa determinar todas as suas soluções ou provar que não há nenhuma.
Todo o sistema de equações lineares pode ser classificado de uma e só uma das seguintes formas:
• impossível, isto é, sem solução;
• possível e determinado, isto é, com uma e uma só solução;
• possível e indeterminado, ou seja, com uma infinidade de soluções.
Exemplo 40. O sistema linear {
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
tem uma solução única (x1, x2) = (3, 2), logo o sistema é possível e determinado. Geometricamente
as equações do sistema são representadas no plano por rectas concorrentes. O ponto P , de coorde-
nadas (3, 2), é o único ponto que pertence a ambas as rectas.
50
3.2 Forma matricial de um sistema de equações lineares
O sistema linear {
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 2x2 = 3
é impossível. Geometricamente as equações do sistema são representadas por rectas estritamente
paralelas.
O sistema linear {
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 2x2 = 1
é possível e indeterminado. Geometricamente as equações do sistema são representadas por rectas
coincidentes. Neste caso, todos os pontos da recta são soluções do sistema.
Exercício 14. Um sistema homogéneo é sempre possível. Porquê?
3.2 Forma matricial de um sistema de equações lineares
As matrizes são particularmente úteis na simplificação da escrita e na resolução de sistemas de
equações lineares podendo as propriedades do cálculo matricial ser usadas nessa resolução.
Consideremos um sistema de equações lineares genérico com m equações e n incógnitas:
51
Sistemas de Equações Lineares


a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
Construam-se as matrizes
A =


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ...
am1 am2 ... amn

 , x =


x1
x2
...
xn

 , b =


b1
b2
...
bm

 .
Recorrendo ao produto de matrizes, podemos reescrever o sistema de equações na forma
Ax = b
menos pesada que a forma apresentada atrás. À matrizA chama-se matriz dos coeficientes ou matriz do sistema,
x é o vector das incógnitas e b é o vector dos termos independentes.
À matriz [A|b] chama-se matriz ampliada do sistema, sendo
[A|b] =


a11 a12 ... a1n | b1
a21 a22 ... a2n | b2
... ... ... ... | ...
am1 am2 ... amn | bm

 .
Em geral, se um sistema de equações lineares tiver m equações e n incógnitas, então a sua matriz
simples será do tipo m× n e a sua matriz ampliada será m× (n+ 1).
Definição 24. Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se e só se tiverem as mesmas
soluções.
Teorema 11. Seja Ax = b um sistema de equações lineares, com A ∈ Mm×n. Seja E ∈ Mm×m
uma matriz invertível. Então, o sistema EAx = Eb é equivalente ao sistema Ax = b.
Demonstração.
Dois sistemas são equivalentes se têm as mesmas soluções. É obvio que qualquer solução do sistema
Ax = b é também solução do sistema EAx = Eb.
Reciprocamente, seja u uma solução do sistema EAx = Eb. Tem-se
EAu = Eb⇔ E−1EAu = E−1Eb⇔ IAu = Ib⇔ Au = b
ou seja, u é solução do sistema Ax = b.
⊔⊓
52
3.3 Resolução de sistemas de equações lineares
3.3 Resolução de sistemas de equações lineares
3.3.1 Método baseado na matriz inversa
A matriz inversa da matriz dos coeficientes do sistema pode ser usada para determinar a solução de
um sistema de equações lineares.
Consideremos o sistema de equações lineares na forma matricial Ax = b. Se a matriz dos coefi-
cientes, A, for invertível então prova-se que o sistema é possível e determinado e a solução é dada
por
x = A−1b.
Muito simplesmente, é possível verificar que os sistemas Ax = b e x = A−1b são equivalentes. Uma
vez que, se existir A−1, então
Ax = b⇔ A−1Ax = A−1b⇔ Ix = A−1b⇔ x = A−1b.
Exemplo 41. Use o método baseado na matriz inversa para resolver o seguinte sistema

3x1 + 2x2 − x3 = −4
x1 + 6x2 + 3x3 = 11
2x1 − 4x2 = 0
.
Resolução:
A matriz do sistema é A =


3 2 −1
1 6 3
2 −4 0

, o vector das incógnitas é definido por x =


x1
x2
x3

 e
o vector dos termos independentes é b =


−4
11
0

.
Comecemos por determinar |A|.
Pelo teorema de Laplace, e considerando a 3ª linha da matriz, tem-se
|A| = 2× (−1)4 ×
∣∣∣∣∣ 2 −16 3
∣∣∣∣∣− 4× (−1)5 ×
∣∣∣∣∣ 3 −11 3
∣∣∣∣∣+ 0× (−1)6 ×
∣∣∣∣∣ 3 21 6
∣∣∣∣∣
= 2× (6− (−6)) + 4× (9− (−1)) + 0 = 64.
.
Como det(A) 6= 0, logo existe A−1.
53
Sistemas de Equações Lineares
Determinemos A−1.
A matriz adjunta de A é dada por
adj(A) =


12 4 12
6 2 −10
−16 16 16

 , logo
A−1 =
adj(A)
|A| =
1
64


12 4 12
6 2 −10
−16 16 16

 .
A solução do sistema é dada por
x = A−1b =
1
64


12 4 12
6 2 −10
−16 16 16




−4
11
0

 =


− 116
− 132
15
4

 .
⊔⊓
3.3.2 Método de eliminação de Gauss
A técnica subjacente à resolução de um sistema é a de determinar um sistema equivalente ao dado
que seja mais fácil de resolver. Para encontrar tal sistema recorre-se às operações elementares (ver
Capítulo 2). De facto, se se trocarem duas equações de um sistema, o novo sistema tem as mesmas
soluções (é equivalente) que o inicial. Se se multiplicar uma equação por um número diferente de
zero, o novo sistema é equivalente ao inicial. Finalmente, se se substituir uma equação pela soma de
outras duas, obtém-se de novo um sistema equivalente ao dado.
Os seguintes sistemas de equações lineares:


x+ 2y − 4z = −4
3x− 2y + 3z = 11
x+ y − z = 0⇔


x+ 2y − 4z = −4
−8y + 15z = 23
−y + 3z = 4
são equivalentes. Pois, apenas se multiplicou a 1ª linha por −3 e somou-se à 2ª; multiplicou-se a 1ª
linha por −1 e somou-se à 3ª. Por sua vez, o seguinte sistema também é equivalente aos sistemas
anteriores


x+ 2y − 4z = −4
−8y + 15z = 23
−9z = −9
54
3.3 Resolução de sistemas de equações lineares
uma vez que se multiplicou a 2ª linha por −1
8
e se somou à 3ª linha.
Obtém-se assim um sistema equivalente ao inicial cuja resolução é muito simples, começando-se com
a 3ª equação , resolvendo depois a 2ª e, por fim, a 1ª . A sua solução é:


x = 2
y = −1
z = 1
Note-se que sistemas de equações lineares cuja matriz dos coeficientes é triangular são muito fá-
ceis de resolver. Concentremo-nos então em transformar a matriz do sistema numa matriz triangular
superior ou em escada por linhas usando operações elementares.
Vamos traduzir para a linguagem do cálculo matricial os cálculos efectuados na resolução do sistema
do exemplo anterior. A sua matriz ampliada é


1 2 −4 | −4
3 −2 3 | 11
1 1 −1 | 0


.
As operações elementares efectuadas sobre as equações do sistema correspondem a


1 2 −4 | −4
0 −8 15 | 23
0 −1 3 | 4

 e


1 2 −4 | −4
0 −8 15 | 23
0 0 −9 | −9


tendo-se obtido uma matriz em escada que corresponde ao sistema de fácil resolução


x+ 2y − 4z = −4
−8y + 15z = 23
−9z = −9
⇔


x = 2
y = −1
z = 1.
A ideia subjacente ao Método de eliminação de Gauss é efectuar operações elementares sobre as lin-
has da matriz ampliada até se obter uma matriz em escada.
Considere a matriz dos coeficientes do sistema A = [aij ] de ordem m× n.
Inicialmente, consideremos a matriz ampliada [A|b]. Supondo que a11 6= 0, adicionamos à segunda
equação a primeira multiplicada por −a21
a11
, eliminando assim a incógnita x1 da segunda equação.
Devemos repetir o procedimento a todas as equações seguintes, isto é, eliminar a incógnita x1 desde
a segunda até à m-ésima equação.
55
Sistemas de Equações Lineares
Depois, e considerando a(1)22 6= 0 (elemento da linha 2, coluna 2 da matriz ampliada após ter sofrido
uma operação elementar), elimina-se a incógnita x2 de todas as equações a partir da terceira. Este
processo repete-se até obter uma matriz em escada.
Sempre que surja um zero na posição em que devia estar um pivot, efectua-se uma troca dessa equação
com uma outra que contenha a incógnita em questão. Se nenhuma troca resolver o problema, o pivot
passa a ser procurado entre os coeficientes da incógnita seguinte.
Quando obtemos uma matriz em escada, deve-se escrever o sistema correspondente e resolvê-lo.
As primeiras entradas não nulas de cada linha da matriz dos coeficientes (após transformação em
matriz em escada) chamam-se pivots.
Exemplo 42. Exemplos do aspecto de uma matriz em escada (os símbolos • representam os pivots):


• ⋆ ⋆
0 0 •
0 0 0

 ,


• ⋆ ⋆ ⋆
0 • ⋆ ⋆
0 0 • ⋆
0 0 0 •

 ,
[
• ⋆
0 0
]
O Teorema 11 garante que cada uma das operações elementares do método de eliminação de Gauss
transforma um sistema noutro equivalente.
O algoritmo do método de eliminação de Gauss pode ser resumido como se segue:
1. escrever a matriz ampliada do sistema;
2. transformá-la numa matriz em escada por linhas recorrendo a operações elementares;
3. escrever o novo sistema correspondente a tal matriz;
4. resolver esse sistema.
Exemplo 43. Resolver o sistema de equações lineares


x+ 2y + 3z = 1
x+ y − 2 = 0
x− 2z = 0
usando o método de
eliminação de Gauss.
Resolução:
Considerando a matriz ampliada
[A|b] =


1 2 3 | 1
1 1 0 | 2
1 0 −2 | 0


56
3.3 Resolução de sistemas de equações lineares
iremos transformá-la numa matriz em escada.


1 2 3 | 1
1 1 0 | 2
1 0 −2 | 0


−→
L2 ← L2 − 11L1
L3 ← L3 − 11L1


1 2 3 | 1
0 −1 −3 | 1
0 −2 −5 | −1


−→
L3 ← L3 − −2−1L2


1 2 3 | 1
0 −1 −3 | 1
0 0 1 | −3


Como obtivemos uma matriz em escada, temos


x+ 2y + 3z = 1
−y − 3z = 1
z = −3
⇔


x = −6
y = 8
z = −3
A solução é


x
y
z

 =


−6
8
−3

.
⊔⊓
3.3.3 Método de eliminação de Gauss-Jordan
O método de eliminação de Gauss-Jordan acrescenta dois passos ao algoritmo do método de elimi-
nação de Gauss:
1. começando na última linha não nula e fazendo os cálculos regressivamente, usar cada pivot
para transformar em zero os elementos da respectiva coluna.
2. transformar em uns todos os coeficientes da diagonal principal.
Ou seja, transformar em zero todos os elementos da matriz simples que não sejam elementos da
diagonal principal e transformar em uns todos os elementos que pertencem à diagonal principal.
Exemplo 44. Resolver o sistema de equações lineares


x+ 2y + 3z = 1
x+ y − 2 = 0
x− 2z = 0
usando o método de
eliminação de Gauss-Jordan.
57
Sistemas de Equações Lineares
Resolução:
Considerando a matriz ampliada
[A|b] =


1 2 3 | 1
1 1 0 | 2
1 0 −2 | 0


Aplicando o método de Gauss-Jordan, descrito anteriormente, obtemos:


1 2 3 | 1
1 1 0 | 2
1 0 −2 | 0


−→
L2 ← L2 − 11L1
L3 ← L3 − 11L1


1 2 3 | 1
0 −1 −3 | 1
0 −2 −5 | −1


−→
L3 ← L3 − −2−1L2


1 2 3 | 1
0 −1 −3 | 1
0 0 1 | −3


−→
L2 ← L2 − −31 L3
L1 ← L1 − 31L3


1 2 0 | 10
0 −1 0 | −8
0 0 1 | −3


−→
L1 ← L1 − 2−1L2


1 0 0 | −6
0 −1 0 | −8
0 0 1 | −3


−→
L2 ← −L2


1 0 0 | −6
0 1 0 | 8
0 0 1 | −3


A solução é


x
y
z

 =


−6
8
−3

.
⊔⊓
3.3.4 Regra de Cramer
A fórmula que se segue fornece uma técnica muito útil para a resolução de sistemas com igual número
de equações e de incógnitas.
58
3.4 Discussão de sistemas de equações lineares
Teorema 12 (Regra de Cramer). Seja Ax = b um sistema de n equações lineares com n incógnitas
tal que |A| 6= 0. Então, o sistema tem uma só solução que pode ser obtida do seguinte modo:
x1 =
|A1|
|A| , x2 =
|A2|
|A| , ..., xn =
|An|
|A| ,
sendo Ai a matriz que se obtém de A substituindo a coluna i pela coluna dos termos independentes.
Exemplo 45. Aplique a Regra de Cramer para resolver o sistema


x+ y + 3z = 1
x+ y = 2
x− z = 0
.
Resolução:
A matriz do sistema é A =


1 1 3
1 1 0
1 0 −1

 cujo determinante é igual a −3.
Continuando a aplicar a Regra de Cramer:
|A1| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 3
2 1 0
0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1, |A2| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 3
1 2 0
1 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= −7 e |A3| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 1 2
1 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1.
Consequentemente, a solução do sistema é x = −1
3
, y =
7
3
e z = −1
3
. ⊔⊓
3.4 Discussão de sistemas de equações lineares
Vamos agora fazer o estudo e a classificação dos sistemas lineares quanto à existência de solução, em
função do número de incógnitas e das características das matrizes dos coeficientes e ampliada.
Teorema 13. Um sistema de equações lineares é possível se e só se a característica da sua matriz
dos coeficientes for igual à característica da matriz ampliada.
Recordemos que a característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas da matriz em escada
que se obtém de A por meio de operações elementares.
Num sistema linear Ax = b com m equações e n incógnitas, podemos ter:
1. c(A) = c(A|b) = n sistema possível e determinado;
2. c(A) = c(A|b) < n sistema possível e indeterminado;
3. c(A) < c(A|b) sistema impossível.
59
Sistemas de Equações Lineares
Exemplo 46. Discuta o sistema


2x+ y + z