5 Amostragem enunciado e solução

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Paula Vicente 
Estatística, ECONOMIA 2014/15 1 
5- Amostragem – Exercícios 
 
1. De uma população de Bernoulli, na qual se define p-probabilidade de ser homem, retirou-se 
uma amostra aleatória de dimensão 6. 
a) Qual a função de probabilidade conjunta da amostra? 
b) Qual a probabilidade de o 1º elemento da amostra ser homem e os restantes mulheres? 
 
2. Deduza a função de probabilidade conjunta de uma amostra aleatória de dimensão n=5 
retirada de uma população com a seguinte f.d.p.: xλeλxf −=)( , para x > 0 e λ >0. 
 
3. Considere uma amostra aleatória de dimensão 5, (X1; X2;X3; X4; X5) retirada de uma população 
com distribuição de Poisson. 
a) Deduza a função de probabilidade conjunta da amostra 
b) Calcule a probabilidade de obter a amostra (1; 3; 2; 0; 4) admitindo que 2=λ . 
 
4. Admite-se que X-tempo de transmissão de um SMS numa certa rede de comunicações (em 
segundos), é uma v.a. com a seguinte f.d.p. ݂ሺݔሻ ൌ ௘
షೣഀ
ఈ
 , x>0, α>0, com parâmetros 
média=α e variância = α2. Foram retiradas duas amostras aleatórias de dimensão 3 desta 
população: 
 
Amostra 1: (1; 2; 3) Amostra 2: (2; 3; 4) 
 
Qual das duas amostras é mais provável para α=1? 
 
5. Seja (X1, X2,X3) uma amostra aleatória de uma população de Bernoulli. 
a) Quantas amostras diferentes (n=3) se podem obter a partir desta população? 
b) Qual a amostra mais provável de ocorrer no caso de 1,0=p ? 
 
6. Considere uma amostra aleatória retirada de um população de Bernoulli de parâmetro p e a 
seguinte estatística: 
∑
=
=
5
1
1
i
iXT 
 
a) Deduza a distribuição amostral de T1, indicando os respectivos parâmetros. 
b) Assumindo que p=0,3, qual a probabilidade de T1 ser igual a 3? 
c) Deduza a distribuição amostral da proporção de sucessos em amostras de dimensão n=5 e 
faça a sua representação gráfica. 
 
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7. Seja X uma população com distribuição de Bernoulli com parâmetro 2,0=p . Considere a 
estatística: ∑ −== 111 ni iXT 
a) Determine a distribuição amostral de 1T para amostras de dimensão 6=n e 37=n . 
b) Para 6=n e 37=n calcule )2( 1 <TP . 
8. Pretende-se estimar a proporção de jovens do grupo etário dos 18 aos 25 anos que se 
interessam pela actividade económica do país. Para tal, retirou-se uma amostra aleatória de 
tamanho 100 daquela população e definiram-se as seguintes estatísticas: 
∑
=
=
100
50
1
i
iXT 100
100
1
2
∑
== i
iX
T 
 
a) Explique o significado das estatísticas T1 e T2. Qual lhe parece ser mais adequada ao 
objectivo do estudo? 
b) Deduza a distribuição amostral aproximada (assimptótica) de T2, indicando os respectivos 
parâmetros. 
c) Qual a estimativa que sugere para proporção de jovens (idade entre 18 aos 25 anos) com 
interesse pela economia do país se na amostra recolhida verificar que 19
100
1
=∑
=i
iX ? 
9. O nº de condutores que, por hora, são sujeitos a controlo por uma brigada de trânsito, em 
determinada via da cidade de Lisboa tem distribuição de Poisson de parâmetro λ. 
a) Deduza a função de probabilidade conjunta para amostras de tamanho n=120 retiradas desta 
população. 
b) Deduza a distribuição amostral de T, indicando os respectivos parâmetros, considerando que 
∑ == 1201i iXT 
 
10. Considere as variáveis (X1, X2, …, Xn) com distribuição Binomial em que 
 
Xi ∩ b(xi, ni=i, p=0,5) sendo i=1, …, 9. 
 
Sejam também as variáveis 
 
Yj ∩ N(μ=2; σ=1) sendo j=1,2. 
Estas variáveis são todas independentes. 
a) Deduza a distribuição amostral de ∑
=
=
5
1i
iXT . 
b) Calcule E(T) e Var (T). 
c) Deduza a distribuição amostral de ∑∑
==
−=
2
1
9
1 j
j
i
i YXR . 
 
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Estatística, ECONOMIA 2014/15 3 
 
11. O conteúdo (em litros) de garrafas de óleo alimentar segue uma distribuição Normal. Admita 
que os respectivos parâmetros são 99.0=μ litros e 02.0=σ litros. 
a) Qual a probabilidade do conteúdo médio numa amostra de 16 garrafas seleccionadas ao 
acaso para inspecção ser superior a 1 litro? 
b) Qual a probabilidade de numa amostra de 100 garrafas, o conteúdo médio ser inferior a 
9.85 decilitros? 
c) Determine os valores a e b tais que: 95,0)( 100 =≤≤ bXaP . 
 
12. O salário mensal da população activa da região A tem um valor médio de 1400 u.m. e um 
desvio-padrão de 200 u.m., enquanto que na região B o salário mensal é, em média, de 1200 
u.m. com desvio-padrão de 100 u.m.. Se forem seleccionadas amostras aleatórias de 125 
indivíduos da população activa de cada região, qual é a probabilidade do salário mensal médio 
dos indivíduos da região A ser superior ao da região B em pelo menos 160 u.m.? 
 
13. As vendas diárias nas lojas de Lisboa e Faro de certa cadeia de franchising alimentar são 
aleatórias. Suponha que se conhecem os seguintes parâmetros: 
μL=1250 u.m. σL=180 u.m. 
μF=1400 u.m. σF=150 u.m. 
Nestas condições qual a probabilidade de, em 2 meses de actividade (60 dias), a média diária 
de vendas na loja de Lisboa se revelar superior à da loja de Faro? 
 
Soluções: 
1. a) ݂ሺݔଵ, … , ݔ଺ሻ ൌ ݌∑ ௫೔
ల
೔సభ ሺ1 െ ݌ሻ଺ି∑ ௫೔
ల
೔సభ ; b) 0,018 
2. ݂ሺݔଵ, … , ݔହሻ ൌ ߣହ݁ିఒ∑ ௫೔
ఱ
೔సభ 
3. a) ௘
షఱഊఒ∑ ೣ೔
ఱ
೔సభ
∏ ௫೔!
ఱ
೔సభ
; b) 0,000161 
4. (1;2;3) 
5. a) 8; b) (0;0;0) 
6. a) ଵܶ ת ܾሺ݊ ൌ 5; ݌ሻ; b) 0,1323; c) -- 
7. a) ଵܶ ת ܾሺ݊ ൌ 5; ݌ ൌ 0,2ሻ para n=6 e ଵܶ תሶ ܰሺߤ ൌ 7,2; ߪଶ ൌ 5,76ሻ para n=37; b) 0,7373 e 0,0087 
8. a) --; b) ଶܶ תሶ ܰሺ݌;
௣·௤
ଵ଴଴
ሻ; c) 0,19. 
 
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9. a) ݂ሺݔଵ, … , ݔଵଶ଴ሻ ൌ
௘షഊ·ఒ∑ ೣ೔
భమబ
೔సభ
∏ ௫೔!
భమబ
೔సభ
; b) ܶ ת ݌ሺ120ߣሻ; ܧሺܶሻ ൌ 120ߣ, ܸܣܴሺܶሻ ൌ 120ߣ 
10. a) ܶ ת ܾሺ݊ ൌ 15; ݌ ൌ 0,5ሻ; b) ܧሺܶሻ ൌ 7,5, ܸܣܴሺܶሻ ൌ 3,75; c) ܴ תሶ ܰሺߤ ൌ 18,5;  ߪ ൌ 3,64ሻ 
11. a) 0,0228; b) 0,0062; c) a=0,986, b=0,994 
12. 0,0228 
13. ≈ 0