2 Repr Classe B 2013

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Distribuição de Freqüência  Variável Contínua 
 Suponhamos que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos 
conduzisse aos seguintes valores: 
 
X: 3; 4; 2,5; 4; 4,5; 6; 5; 5,5; 6,5; 7; 7,4; 2; 3,5; 5; 5,5; 8; 8,5; 7,5; 9; 9,5; 5; 5,5; 4,5; 
 4; 7,5; 6,5; 5; 6; 6,5; 6 
 
 Observando estes valores notamos grande número de elementos distintos, o que 
significa que neste caso a variável discreta não é aconselhável na redução de dados. 
 Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixas de valores, ficando a 
série com a seguinte apresentação: 
 
 Classe Notas fi 
 1 2  4 4 
 2 4  6 12 
 3 6  8 10 
 4 8  10 4 
  30 
 
 
Portanto, devemos optar por uma variável contínua na representação de uma 
série de valores quando o número de elementos distintos da série for grande. 
Construção da Variável Contínua 
 
 A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que 
vamos estabelecer aproveitando a tabela acima como exemplificação: 
 
 
1. Amplitude Total de uma Seqüência é a diferença entre o maior e o menor 
elemento de uma seqüência. 
 Representando a amplitude total por At, o maior elemento da seqüência X por Xmáx 
e o menor elemento por Xmín, a amplitude total é denotada por: 
 
At = Xmáx  Xmín 
 
No exemplo da seqüência que deu origem a tabela acima, Chamas = 9,5 e Xmín = 2, 
portanto: 
 
At = 9,5  2 = 7,5 
 
A amplitude total representa o comprimento total da seqüência e é dada na mesma 
unidade de medida dos dados da seqüência. 
 
2. Intervalo de Classe é qualquer subdivisão da amplitude total de uma série 
estatística. 
 No exemplo da tabela acima subdividimos a amplitude total em quatro classes, 
obtendo os intervalos de classe 2  4, 4  6, 6  8, 8  10. 
 Note que na realidade não trabalhamos com a At = 7,5 e sim com a amplitude total 
ajustada para 8 como justificaremos adiante. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
3. Limite de Classe: cada intervalo de classe fica caracterizado por dois números 
reais. O menor valor é chamado limite inferior da classe e será indicado por l. O 
maior valor é chamado limite superior da classe e será indicado por L. Por exemplo, 
na classe 
2  4, l = 2 e L = 4. 
 
4. Amplitude do Intervalo de Classe é a diferença entre o limite superior e o limite 
inferior da classe. Se usarmos h para representar a amplitude do intervalo de classe 
podemos estabelecer: 
 
h = L  l 
 
Observações: 
1) Na realidade, as classes não precisam necessariamente ter a mesma amplitude como 
no exemplo acima. Porém, sempre que possível, devemos trabalhar com classes de 
mesma amplitude. Isto facilita sobremaneira os cálculos posteriores. 
2) Note que usamos para representar as classes, intervalos reais semi-abertos à direita. 
Isto significa que o intervalo contém o limite inferior, mas não contém o limite superior, 
ou seja, o intervalo de classe 2  4 contém os intervalos reais maiores ou iguais a 
2 e menores que 4. Desta forma o último intervalo da série que é 8  10 não 
contém o valor 10. É por isso que não utilizamos a amplitude 7,5, pois se isto fosse 
feito, o limite superior da última classe seria 9,5 e como o limite superior não deve 
pertencer à classe, o elemento 9,5 da seqüência estatística original ficaria sem 
classificação. Como vamos utilizar este critério, precisaremos ajustar sempre o valor 
máximo da série ao definir a amplitude total. Outros critérios poderiam ser adotados 
como o intervalo real semi-aberto à esquerda ou mesmo o intervalo real aberto, mas 
nenhum destes critérios é melhor que o critério adotado. 
 
5. Número de Classes: o número de classes a ser utilizado depende muito da 
experiência do pesquisador e das questões que ele pretende responder com a variável 
contínua. 
 Isto pode ser verificado facilmente pelo próprio interessado ao longo desta 
exposição. 
 Para efeito de nossos exemplos, utilizaremos o critério da raiz para a determinação 
do número de classes. 
 
Critério da raiz: Se a seqüência estatística contém n elementos e se indicarmos por K 
o número de classes a ser utilizado, então pelo critério da raiz: 
 
K = n 
 
Como o número K de classes deve ser necessariamente um número inteiro e como 
dificilmente n , é um número inteiro, deixaremos como opção para o valor K o valor 
inteiro mais próximo de n 
No exemplo utilizado n = 30 e conseqüentemente 30 = 5, 4777, portanto o valor 
inteiro mais próximo de 30 é 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
A amplitude do intervalo de classe que designamos por h é determinada da seguinte 
forma: 
h = At e portanto h = 8 = 2 
 K 5 
 
Observe que a opção por classes foi feita em função de um valor de h mais fácil de se 
operar. 
Veja que o melhor valor para se trabalhar em cálculos é o h = 2. Foi por isto que 
optamos por quatro classes. 
Conhecendo-se o valor Xmín = 2 e a amplitude de classes h = 2, concluímos que o 
limite da primeira classe é 4. Portanto, a primeira classe é o intervalo 2  4. O 
limite inferior da segunda classe é 4. Somando-se a amplitude de classe obteremos 6. 
Portanto, a segunda classe é 4  6. A terceira classe por analogia é 6  8 e 
a quarta classe é 8  10. 
Comentário: Existem outros critérios para a determinação do número de classes, 
como por exemplo a fórmula de Sturges. 
Segundo Sturges, o número K de classes é dado por: K = 1 + 3,3.log n 
Para valores de n muito grandes, esta fórmula apresenta mais vantagens que o critério 
da raiz, embora apresente o mesmo problema de aproximação do valor de K. 
Como acreditamos que na prática a experiência do pesquisador é que na verdade vai 
determinar o número de classes, optamos pelo método mais simples que é o critério 
da Raiz. 
 
6. Freqüência Simples de uma Classe fi: chama-se freqüência simples de uma 
classe ao número de elementos da seqüência que são maiores ou iguais ao limite 
inferior desta classe e menores que o limite superior desta classe. 
 No exemplo utilizado, a freqüência simples da primeira classe é o número de 
elementos da seqüência que são maiores ou iguais a 2 e menores do que 4. 
 Note que os valores da seqüência nestas condições são os valores 3; 2,5; 2; 3,5. 
 Portanto, a freqüência simples da primeira classe é 4. 
 Da mesma forma determinamos as freqüências simples das demais classes, 
completando o quadro representativo da variável contínua. 
 
 
7. PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE (XI): é, como o próprio nome indica, o ponto que 
 divide o intervalo de classe em duas partes iguais. É o valor que representa 
 a classe. 
2
Ll
x iii

 
 Assim, o ponto médio da Segunda classe, em nosso exemplo, é: 
 
 X2 = 4  6 = 5 
 2 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de Construção de uma Variável Contínua:1 
 
 Um teste para aferir o Quociente de Inteligência em determinada classe de alunos 
de uma Faculdade deu origem a seqüência de valores: 
 
 111 90 121 105 122 61 128 112 128 93 
 108 138 88 110 112 112 97 128 102 125 
 87 119 104 116 96 114 107 113 80 113 
 123 95 115 70 115 101 114 127 92 103 
 78 118 100 115 116 98 119 72 125 109 
 79 139 75 109 123 124 108 125 116 83 
 94 106 117 82 122 99 124 84 91 130 
 
 A primeira preocupação que temos, na construção de uma distribuição de 
freqüências, é a determinação do número de classes e, conseqüentemente, da 
amplitude e dos limites dos intervalos de classe. 
 
Para a construção da variável contínua, devemos determinar o número deelementos 
da seqüência. Verificamos que a seqüência possui n = 70 elementos. 
Pelo critério da raiz K = n . No caso, K = 70 = 8,37. O valor inteiro mais próximo é 8. 
O maior valor da seqüência é Xmáx = 139 e o menor valor da seqüência é Xmín = 61. 
Portanto, a amplitude total da seqüência é At = 139  61 = 78. 
 
 h = At = 78 =� 10 
 K 8 
A experiência do pesquisador, nesta situação, o levaria a distribuir essa aproximação, 
iniciando a representação da série em 60 e terminando em 140. 
O comprimento do intervalo de classe é h = 10 e o número de classes é K = 8. 
Aproveitando o que você já conhece, complete a tabela abaixo, apresentando a 
distribuição de freqüências da variável contínua representativa desta série. 
 
Intervalo de 
Classe 
 
fi 
 
fri % 
 
Fi 
 
Fri % 
 
xi 
 
xi fi 
 60  70 
 70  80 
 80  90 
 90  100 
100  110 
110  120 
120  130 
130  140 
 
 
 
 
 
 
1 E. Medeiros, V. Gonçalves, A. C. Murolo em Estatística para os cursos de Economia, Administração e Ciências 
Contábeis, 2ª. ed., v. 1, p. 24-25. 
 
 
 
 
 
 
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 A distribuição é uma representação tabular em que colocamos na primeira coluna os 
Intervalos de classe e na segunda coluna os valores das freqüências simples 
correspondentes. 
A coluna “classe” tem a finalidade apenas de facilitar a referência às classes, não 
fazendo parte da variável contínua. 
 
Histograma - variável contínua 
 
É um conjunto de retângulos justapostos, representados em um sistema de 
coordenadas cartesianas cujas bases são o intervalo de classes e cujas alturas são 
valores proporcionais as freqüências simples correspondentes (fi ). 
 
 
Exemplo: Consideremos a série: 
 
 
Intervalo de 
Classe 
Freqüência fi F. Acumulada Fi 
0 |- 2 
2 |- 4 
4 |- 6 
6 |- 8 
 8 |- 10 
3 
6 
8 
5 
2 
3 
9 
17 
22 
24 
 
Então o histograma assume a forma: 
0 2 4 6 8 10 12
1
2
3
4
5
6
7
8
 
fi
Int. classe
 
 Deixamos propositalmente um espaço igual a um intervalo de classe no início e no 
final da representação gráfica. Também não colocamos o zero no eixo horizontal, na 
origem do sistema, apenas, para maior clareza na representação gráfica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
Polígono de Freqüências – variável contínua 
 
Unindo com segmentos de reta os pontos médios dos lados superiores de cada 
coluna de um histograma, obtemos uma linha poligonal. Note que os pontos médios 
dos lados superiores de cada coluna coincidem com os pontos médios de cada 
intervalo de classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos 
completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios das classes 
anteriores a primeira e posterior à última. 
0 2 4 6 8 10 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 
fi
Int. classe
 
 
 Polígono de Freqüência Acumulada – variável contínua 
 
É traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao 
eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos 
intervalos de classe. 
 
2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
25
Fi
lim. sup. int. classe
 
 
Curva de Freqüências ou Curva polida: 
 
É a representação gráfica de uma distribuição por meio de uma curva regular, 
que procura acompanhar o mesmo traçado e a mesma área subentendida pelo 
polígono. Em geral, os dados coletados em uma pesquisa dizem respeito a uma 
amostra extraída de uma população. Se imaginarmos que a amostra está se tornando 
cada vez maior e que a amplitude das classes esta ficando cada vez menor, teremos 
um maior número de pontos no polígono e a tendência deste polígono será a de se 
transformar numa curva. 
 
 
 
 
 
 
 
18 
0 2 4 6 8 10
2
3
4
5
6
7
8fi
Int. de classe
 
 
 Considerando os dados de um dos exemplos anteriores onde: 
 
 “Suponhamos que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos 
conduzisse aos seguintes valores": 
 
X: 3; 4; 2,5; 4; 4,5; 6; 5; 5,5; 6,5; 7; 7,4; 2; 3,5; 5; 5,5; 8; 8,5; 7,5; 9; 9,5; 5; 5,5; 4,5; 
 4; 7,5; 6,5; 5; 6; 6,5; 6 
Determine: 
a) Distribuição de freqüências (começar por 2 e usar amplitude de classe igual a 2) 
b) Pontos médios das classes xi 
c) Histograma 
d) Polígono de freqüências 
 e) Calcule a média 
 
Classes fi fri % Fi Fri % xi xi fi 
 2  4 
 4  6 
 6 --- 8 
 8  10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 
 revendedores em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de 
 unidades adquiridas por estes revendedores. Observe os seguintes dados: (V.C.) 
 
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32 
 9 14 19 20 32 18 16 26 24 20 
 7 18 17 28 35 22 19 39 18 21 
15 18 22 20 25 28 30 16 12 20 
 
Determine: 
a) Amplitude total 
b) Distribuição de freqüências (começar por 5 e usar amplitude de classe igual a 5) 
c) Pontos médios das classes xi 
d) Histograma 
e) Polígono de freqüências. 
 f) Calcule a média 
 
 
2) Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de100 pessoas, dadas em cm. 
 
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 
161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 
166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 
168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 
170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 
173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190 
 
 
Pede-se: ( para a V.C.) 
 
a) Amplitude total 
b) Distribuição de freqüências (iniciar por 150 e usar amplitude de classe igual a 5) 
c) Histograma 
d) Polígono de freqüências 
e) Qual a porcentagem de elementos da classe: 170 cm e menores que 175 cm? 
f) Qual a porcentagem de elementos menores que 175 cm? 
g) Qual a porcentagem de elementos menores que 180? 
 l) Calcule a média das alturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
3) Uma auditoria em uma grande empresa observou o valor de 50 notas fiscais 
 emitidas durante um mês. Esta amostra apresentou os seguintes valore em reais: 
15.315,00 23.440,00 6.551,00 13.253,00 25.312,00 
35.780,00 42.320,00 34.782,00 27.435,00 17.661,00 
 20.414,00 23.313,00 26.432,00 30.515,00 27.610,00 
 8.598,00 12.417,00 22.300,00 25.400,00 21.200,00 
16.820,00 38.000,00 40.300,00 15.800,00 18.300,00 
 21.780,00 32.414,00 32.000,00 18.700,00 19.600,00 
 22.540,00 22.010,00 30.000,00 21.380,00 24.780,00 
 29.000,00 30.400,00 12.319,00 36.728,00 36.483,00 
 27.312,00 35.318,00 18.620,00 38.661,00 40.681,00 
 19.302,00 23.300,00 21.350,00 28.412,00 21.313,00 
 
Determine: (V.C.) 
 
a) Distribuição de freqüências(começar por 6551e usar amplitude de classe igual a 
5110) 
b) Pontos médios das classes xi 
c) Histograma 
d) Polígono de freqüências 
 e) Calcule a Média 
 
 4) Considere os dados obtidos pelas medidas das estaturas, dadas em cm. 
 
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168 
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 
154 161 156 172 153157 156 158 158 161 
 
 Determine: (V.C.) 
 
a) Distribuição de freqüências (iniciar por 150 e usar amplitude de classe igual a 4) 
b) Pontos médios das classes xi 
c) Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm? 
d) Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm? 
e) Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 162 cm? 
f) Qual o limite superior da 2ª classe. 
g) Qual o limite inferior da 4ª classe. 
h) Qual o ponto médio da 3ª classe. 
k) Calcule a média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 5) Complete o quadro e calcule a média das idades: 
 
 Idade (anos) 
xi 
Número de 
Alunos 
fi 
 
fri % 
 
Fi 
 
Fri % 
 2 16 
 5 24,00 
 8 57,00 
 10 76 
 13 
  200 
 
 
 6) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência: 
 
CLASSES fi xi fri% Fi Fri 
0|-2 4 1 4,00 
2|-4 8 
4|-6 5 18,00 30 
 27 7 27,00 
8|-10 15 72 
10|-12 83 
 10 13 10,00 93 
14|-16 7,00 
