Geometria com desigualdades Exercícios Resolvidos

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Geometria com Desigualdades - Exercícios Resolvidos 
 
Exercício Resolvido 01) Demonstre que em um triângulo ABC , retângulo em A , subsiste a seguinte 
relação: ( )( )( )2 2
a a b cB Ctg tg
a b a c
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 
 
Solução: 
 
Consideremos M sobre AC tal que 2
BABM MBC= =) ) . Assim, teremos: 
 
i) 
2
B AMtg
c
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Como
AM MC
c a
= (teorema da bissetriz interna), podemos afirmar que bcAM
a c
= + . 
 
Logo, teremos: 
2
B btg
a c
⎛ ⎞ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ . Analogamente, podemos escrever 2
C ctg
a b
⎛ ⎞ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ . Somando essas 
equações: 
 
( )( )
( )
( )( )
2 2
2 2
a a b cB C b c ab b c actg tg
a c a b a b a c a b a c
+ ++ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . c.q.d 
 
 
Exercício Resolvido 02) No triângulo ABC , seja Ad a distância entre os pés das perpendiculares aos 
lados e AB AC a partir do ponto de interseção de BC e a bissetriz interna de A . Definimos e B Cd d de 
modo análogo. Demonstre a seguinte relação: ( )3
1
642
A B Cd d d
p
≤ . 
 
Solução: 
 
Seja 1A o encontro entre a bissetriz interna do ângulo A e o lado BC . Considere também 2A e 3A os 
pés das perpendiculares traçadas de 1A a AB e AC , respectivamente. O 1 2 3A A AA≠ é inscritível e 
possui 1AA como diâmetro. Aplicando a lei dos senos no 2 3AA A∆ , temos: 
1
AdsenA
AA
= . 
 
Lembrando que 
( )
1
2
 e que 
2
bcp p aasenA AA
R b c
−= = + , teremos a seguinte expressão: 
 
( )
( )
( )
( )
2
2A
bcp p a a bcp p aad
R b c b c R
⎡ ⎤− −⎢ ⎥= =+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos mostrar, pois, a seguinte desigualdade: 
 
( )
( )( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
22 2 2 3 33 3
3 3
1 8
64 64 8 42
A B C
abc a b c p p a p b p c abc pSd d d p p abc
R b c c a a b b c c a a b Sp
− − − ⎛ ⎞≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔⎜ ⎟+ + + + + + ⎝ ⎠
( )
( )( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 23 23 4 2 2
3
2 2 23 3 8 * .8 4 8 8
abc pS p p a p b p c abc b c c a a bp abc S abcp p abc
b c c a a b S b c c a a b b c c a a b p a p b p c
− − − + + +⎛ ⎞≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥⎜ ⎟+ + + + + + + + +⎝ ⎠ − − −
 
 
No desenvolvimento anterior, tivemos de utilizar a seguinte relação para um triângulo qualquer: 
( )( )( )
4
abcS p p a p b p c
R
= = − − − . 
 
Façamos a seguinte mudança de variáveis em ( )* : 
( )( )
( )( )
( )( )
1
2
1
2
1
2
a b c m b c aa m
a b c
a b c n c a bb n
a b c
a b c p a b cc p
a b c
+ + −⎧ + −= → =⎪ + +⎪ + + −⎪ + −= → =⎨ + +⎪⎪ + + − + −= → =⎪ + +⎩
 
 
Dessa forma, teremos de provar que: ( )( )( )( )( )( ) 32 2 21 1 1 1 1 1 8m n p m n pm n p
− − − + + + ≥ . 
 
Notando que 1m n p+ + = , teremos de provar a seguinte expressão: 
 
( )( )( )( )( )( ) 3
2 2 2 8
n p m p m n m m n p n n m p p p n m
m n p
+ + + + + + + + + + + + ≥ . 
 
Sabemos que: 
( )
( )
2 3 4 4 44 4
3 2 2 2
4
4
2
2
cíclico
cíclico
m m n p m np m m n p m n p
m n mn m n m n p
+ + +⎧ ≥ → + + + ≥⎪⎪ →⎨ +⎪ ≥ → + ≥⎪⎩
∏
∏
 
 
( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )3 3 2 2 2 32 2 24 2 8 . c.q.d
cíclico cíclico
n p m p m n m m n p n n m p p p n m
m m n p m n m n p
m n p
+ + + + + + + + + + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + ≥ → ≥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∏ ∏
 
 
Desafios) 
 
Desafio 01) Sejam , e a b c lados de um triângulo ABC , bem como S sua área. Demonstrar a seguinte 
desigualdade: 2 2 2 4 3a b c S+ + ≥ . 
 
 
 
 
 
Desafio 02) Para três pontos não-colineares , e X Y Z , seja XYZR o raio do círculo circunscrito ao 
triângulo XYZ . Provar a seguinte desigualdade: 1 1 1 1 1 1
ABI BCI CAIR R R AI BI CI
+ + ≤ + + , onde I é o 
incentro do triângulo ABC.