NotasdeAula FisicaQuantica 13

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Física Quântica 1
Notas de Aula de Física Quântica (BCK0103)
Prof. Dr. Marcelo Augusto Leigui de Oliveira
Física atômica II
I. QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
O momento angular de uma partícula em torno da origem é definido pelo produto vetorial do seu vetor posição pelo momento
linear:
~L = ~r × ~p,
onde ~p = m~v = m
d~r
dt
.
Problema 7-15: mostre que se o potencial é esfericamente simétrico, então o momento angular é conservado:
V = V (r)⇒ ~F = −∇V (r) = −
(
∂V
∂r
rˆ +
1
r�
��∂V
∂θ
θˆ +
1
rsen θ�
��
∂V
∂ϕ
ϕˆ
)
= −∂V
∂r
rˆ = F (r)rˆ
Agora:
~L = ~r × ~p⇒ d
~L
dt
=
d~r
dt
× ~p+ ~r × d~p
dt
=���
�~v ×m~v +���~r × ~F = 0⇒ ~L = const.
Figura 1: Decomposição do momento nas direções radial e
transversal.
Observe a figura 1. O momento na direção radial é:
pr = p cosα = µvr = µ
dr
dt
,
e o momento na direção transversal é:
pt = p sen α = µvt = µrω = µr
dα
dt
,
onde [α]= rad.
Então:
L = rp sen α = rpt.
A energia cinética é:
p2
2µ
=
p2r + p
2
t
2µ
=
p2r
2µ
+
L2
2µr2
.
De onde a energia total fica:
E =
p2
2µ
+ V (r) =
p2r
2µ
+
L2
2µr2
+ V (r) =
p2r
2µ
+ Vef ,
onde Vef é o potencial efetivo.
Física Quântica 2
Os operadores (em coordenadas esféricas) são:
pˆr
2 = −~2 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
, Lˆ2 = −~2
[
1
sen θ
∂
∂θ
(
sen θ
∂
∂θ
)
+
1
sen 2θ
∂2
∂ϕ2
]
,
da equação (1) da aula passada, vem:
−
[
1
sen θ
∂
∂θ
(
sen θ
∂
∂θ
[f(θ)g(ϕ)]
)
+
1
sen 2θ
∂2
∂ϕ2
[f(θ)g(ϕ)]
]
= l(l + 1)[f(θ)g(ϕ)]
e lembrando que Ylm(θ, ϕ) = flm(θ)gm(ϕ), vem:
−
[
1
sen θ
∂
∂θ
(
sen θ
∂
∂θ
)
+
1
sen 2θ
∂2
∂ϕ2
]
Ylm(θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm(θ, ϕ),
ou, ainda, usando que ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Ylm(θ, ϕ):
Lˆ2ψ(r, θ, ϕ) = l(l + 1)~2ψ(r, θ, ϕ) .
esta é uma equação de autovalores, cujos valores permitidos (autovalores) levam à quantização do momento angular:
L = |~L| =
√
l(l + 1)~ , para l = 0, 1, 2, ...,
onde l é o número quântico orbital. Analogamente, podemos verificar que a componente z do momento angular é quantizada:
Lz = m~ , para |m| ≤ l
e m é o número quântico magnético.
Obs.: para cada valor de l existem (2l + 1) valores possíveis de m : −l,−l + 1, ...,−1, 0, 1, ..., l − 1, l.
De forma que podemos propor o seguinte modelo:
Figura 2: O modelo vetorial do átomo.
Física Quântica 3
Exemplo 1)
Seja um sistema com número quântico orbital l = 2. Determine os valores possíveis de Lz , o módulo de ~L e o menor ângulo
entre L e Lz .
Os valores possíveis de Lz:
Lz = m~, onde |m| ≤ l⇒ m = −2,−1, 0, 1, 2⇒ Lz = −2~,−~, 0, ~, 2~ .
O módulo de L:
L = |L| =
√
l(l + 1)~ =
√
6~⇒ L ≈ 2, 45~ .
O menor ângulo entre L e Lz:
cos θmin =
Lz
L
=
m�~√
l(l + 1)�~
=
m√
l(l + 1)
=
2√
6
≈ 0, 816⇒ θmin ≈ 35, 3◦
II. QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA
Figura 3: Energias de uma partícula
num estado não-ligado E′ ou num
estado ligado En, sujeitas a um
potencial coulombiano.
Seja o potencial coulombiano (conforme a figura 3):
V (r) = −kZe
2
r
.
O nível de energia positiva E′ indica um estado de uma partícula não-ligada e o nível de
energia En um estado ligado (com número quântino n).
Da parte radial da equação diferencial da equação (1) da aula passada:
− ~
2
2µr2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
R(r)
)
+
[
−kZe
2
r
+
l(l + 1)~2
2µr2
]
R(r) = ER(r),
cujos valores permitidos são:
En = −
(
kZe2
~
)2
µ
2n2
= −Z
2
n2
E1 , onde n = 1, 2, 3, .. e l < n.
Note que:
E1 =
µk2e4
2~2
≈ 13, 6 eV.
Física Quântica 4
As soluções são: Rnl(r) = Anle−r/na0rlLnl(r/a0), onde a0 = ~
2
µke2
é o raio de Bohr e Lnl(r/a0) são os polinômions de
Laguerre:
n = 1 l = 0 R10 =
2√
a30
e−r/a0
n = 2 l = 0 R20 =
1√
2a30
(
1− r
2a0
)
e−r/2a0
l = 1 R21 =
1
2
√
6a30
r
a0
e−r/2a0
n = 3 l = 0 R30 =
2
3
√
3a30
(
1− 2r
3a0
+
2r2
27a20
)
e−r/3a0
l = 1 R31 =
8
27
√
6a30
r
a0
(
1− r
6a0
)
e−r/3a0
l = 2 R32 =
4
81
√
30a30
r2
a20
e−r/3a0
III. AS FUNÇÕES DE ONDA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
ψnlm(r, θ, ϕ) = CnlmRnl(r)flm(θ)gm(ϕ),
com
• n: número quântico principal (quantização da energia): n = 1, 2, 3, ...;
• l: número quântico orbital (quantização do momento angular): l = 0 = 1, 2, ..., n− 1;
• m: número quântico magnético (quantização da projeção z do momento angular): m = −l,−l + 1, , ..., l.
1. O estado fundamental é o nível de energia n = 1, com um único valor possível de momento angular (l = 0) e uma única
projeção z possível (m = 0). Como l = 0, a função de onda do estado é independente de θ e φ, isto é, tem simetria
esférica. Em espectroscospia, os orbitais com l = 0 são chamados de s (sharp). Assim, o estado fundamental é o orbital 1s
(n = 1, l = 0, m = 0):
ψ100 = C100e
−Zr/a0 ,
onde C100 é determinada pela condição de normalização:∫
ψ∗ψ dV =
∫ ∞
0
∫ pi
0
∫ 2pi
0
ψ∗ψ r2sen θ dr dθ dϕ = 1⇒
C100 =
1√
pi
(
Z
a0
)3/2
=
1√
pi
(
1
a0
)3/2
, para Z = 1.
Física Quântica 5
2. O primeiro estado excitado é o nível de energia n = 2, com dois valores possíveis de momento angular:
• l = 0 (simetria esférica) e m = 0, o orbital 2s (n = 2, l = 0, m = 0):
ψ200 = C200
(
2− Zr
a0
)
e−Zr/2a0
• l = 1 e m = −1, 0, 1, os orbitais 2p (principal).
→ com (n = 2, l = 1, m = 0):
ψ210 = C210
Zr
a0
e−Zr/2a0 cos θ
→ com (n = 2, l = 1, m = ±1):
ψ21±1 = C21±1
Zr
a0
e−Zr/2a0sen θe±iϕ
3. O segundo estado excitado é o nível de energia n = 3, com três valores possíveis de momento angular:
• l = 0 (simetria esférica) e m = 0, o orbital 3s (n = 3, l = 0, m = 0):
ψ300 = C300
(
Z
3a0
)3/2(
1− 2Zr
3a0
+
2Z2r2
27a20
)
e−Zr/3a0
• l = 1 e m = −1, 0, 1, os orbitais 3p:
→ com (n = 3, l = 1, m = 0):
ψ310 = C310
(
Z
3a0
)3/2(
Zr
a0
)(
1− Zr
6a0
)
e−Zr/3a0 cos θ
→ com (n = 3, l = 1, m = ±1):
ψ31±1 = C31±1
(
Z
3a0
)3/2(
Zr
a0
)(
1− Zr
6a0
)
e−Zr/3a0sen θe±iϕ
• l = 2 e m = −2,−1, 0, 1, 2, os orbitais 3d (diffuse):
→ com (n = 3, l = 2, m = 0):
ψ320 = C320
(
Z
3a0
)3/2(
r
a0
)2
e−r/3a0(3 cos2 θ − 1)
→ com (n = 3, l = 2, m = ±1):
ψ32±1 = C32±1
(
Z
3a0
)3/2(
r
a0
)2
e−r/3a0sen θ cos θe±iϕ
→ com (n = 3, l = 2, m = ±2):
ψ32±2 = C32±2
(
Z
3a0
)3/2(
r
a0
)2
e−r/3a0sen 2θe±2iϕ
Física Quântica 6
4. O terceiro estado excitado é o nível de energia n = 4, com quatro valores possíveis de momento angular: o orbital 4s, com
l = 0 (simetria esférica) e m = 0, os orbitais 4p, com l = 1 e m = −1, 0, 1, os orbitais 4d, com l = 2 e m = −2,−1, 0, 1, 2
e os orbitais 4f (fundamental), com l = 3 e m = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3;
5. etc.
Figura 4: Funções de distribuição de probabilidade |ψ|2 para os orbitais s (estados com l = 0).
Figura 5: Funções de distribuição de probabilidade |ψ|2 para diversos orbitais: s, p, d, f .
Física Quântica 7
IV. EXERCÍCIOS
1. Para o átomo de hidrogênio no estado fundamental, determine:
(a) A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo ∆r = 0, 02 a0 com centro em r = a0;
(b) A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo ∆r = 0, 02 a0 com centro em r = 2a0;
(c) O valor médio da distância elétron-núcleo em termos de a0.
2. Considere que as autofunções da equação de Schrödinger para um elétron num átomo tipo hidrogênio são dadas por:
ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r)Ylm(θ, ϕ); e que os autovalores de energia, En, são calculados levando-se em conta apenas o
potencial coulombiano.
(a) Quantas órbitas existem para a energia E2 (nível n = 2);
(b) Considerando o spin do elétron, quantos estados existem para o níveln = 2?
(c) Para o orbital cuja função radial é:
R21(r) =
1
2
√
6a30
r
a0
e−r/2a0 ,
determine o raio mais provável do átomo, isto é, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Dica: use para a
probabilidade na direção radial Pnl = R2nlr
2.
Respostas:
1. (a) 0,0107;
(b) 0,0059;
(c) < r >= 3a0/2.
2. (a) 4;
(b) 8;
(c) 4a0.