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Fenômenos de Transporte I Aula 06 Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez 1 5.3- A Primeira Lei da Termodinâmica A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da conservação da energia. A formulação de sistema para a primeira lei foi estabelecida na forma onde a energia total do sistema é dada por e W Q dt dE .. Sistema ( 1 ) ρdV dm E M(sistema) V(sistema) sistema ee ( 2 ) gz 2 v u 2 e ( 3 ) 2 Na equação 1, a taxa de transferência de calor, , é positiva quando o calor é adicionado ao sistema pelo meio que o envolve (vizinhança); a taxa de transferência de trabalho, , é positiva quando trabalho é realizado pelo sistema sobre o meio. Para deduzir a formulação de volume de controle da primeira lei da termodinâmica, fazemos: N = E e = e Na equação A.dvρ ρdV t dt dN SCVCs A.dvρ ρdV t dt dE SCVCs ee 3 ( 4 ) . W . Q 4 Substituindo a equação 1 na equação 4, temos: A equação 5 fornece a formulação de volume de controle da primeira lei da termodinâmica. Para obter uma formulação adequada e conveniente à solução de problemas, examinaremos o termo de taxa de trabalho, . Taxa de trabalho realizado por um volume de controle A taxa de trabalho realizado pelo VC é convenientemente subdividida em quatro classificações: A.dvρ ρdV t W Q SCVC .. ee ( 5 ) . W W W W W W outros . tocisalhamen . normal . s .. 5 s . W 1. Trabalho de eixo Ws Designaremos o trabalho de eixo por Ws e, portanto, a taxa de trabalho de eixo transferido para fora através da superfície de controle é designada por . Exemplos de trabalho de eixo são o trabalho produzido por uma turbina a vapor (trabalho de eixo positivo) de um central termelétrica, e o trabalho requerido para acionar um compressor de um refrigerador ou bomba centrífuga (trabalho de eixo negativo). 2. Trabalho realizado por tensões normais na superfície de controle A taxa de trabalho para fora através da SC é o negativo do trabalho feito sobre o VC; a taxa total de trabalho para fora do volume de controle devido às tensões normais é A.dvP A.dvP)( A.dv W SCSCSC nnormal . 6 3. Trabalho realizado por tensões de cisalhamento na superfície de controle Para uma superfície de controle (SC) perpendicular a velocidade, a taxa de trabalho por cisalhamento será igual a zero. 4. Outros trabalhos Energia elétrica poderia ser adicionada ao volume de controle. Energia eletromagnética também poderia ser absorvida, como em radares ou feixes a laser. Na maioria dos problemas, tais contribuições estão ausentes, mas devemos considerá-las em nossa formulação geral. 0 W tocisalhamen . SC v 7 Com avaliação de todos os termos em , obtemos Substituindo a equação 6 na equação 5, temos . W W W A.dvP W W outros . tocisalhamen . SC s .. ( 6 ) SCVC outros . tocisalhamen . s .. SCSCVC outros . tocisalhamen . s .. SCVC outros . tocisalhamen . SC s .. A.dvρ ρ P ρdV t W W W Q A.dv ρ ρ P A.dvρ ρdV t W W W Q A.dvρ ρdV t W W A.dvP W Q ee ee ee gz 2 v u 2 e 0 0 8 A.dvρgz 2 v ρ P u ρdV t W W W Q SC 2 VC outros . cis . s .. e ( 7 ) Cada termo de trabalho da equação 7 representa a taxa de trabalho realizado pelo volume de controle sobre o meio (vizinhança). Note que na termodinâmica, por conveniência, a combinação u + P/ é substituída pela entalpia específica, h = u + P/. O termo 1/ é conhecido como volume específico, . Equação da conservação da energia 9 Exemplo 01: Ar a 14,7 psia, 70F, entra em um compressor com velocidade desprezível e é descarregado a 50 psia, 100F, através de um tubo com área transversal de 1 ft2. A vazão mássica é 20 lbm/s. A potência fornecida ao compressor é 600 hp. Determine a taxa de transferência de calor. Dado: h = CpT (entalpia específica) Cp = 0,24 Btu/lbm.R (capacidade calorífica a pressão constante do ar) WS = 600 hp 10 0 A.dvρ ρdV t SCVC SC 2 VC outros . tocisalhamen . s .. A.dvρ ρ P gz 2 v u ρdV t W W W Q e Equações básicas: Considerações: 1) Escoamento permanente; 2) Propriedades uniformes nas seções de entrada e saída; 3) O ar é tratado como um gás ideal; 4) As áreas de SC em (1) e (2) são perpendiculares à velocidade; 5) Z1 = Z2 6) Energia cinética desprezível na entrada; 7) Não há outros trabalhos. = 0 (1) = 0 (1)= 0 (4) = 0 (7) 11 Com estas considerações, a primeira lei torna-se A equação da conservação de massa torna-se SC 2 s .. SC 2 s .. SC 2 h s .. A.dvρgz 2 v h W Q A.dvρgz 2 v h W Q A.dvρgz 2 v ρ P u W Q 0 A.dvρ SC 12 Para propriedades uniformes, consideração (2) e consideração (5), podemos escrever 2222 2 2 21111 2 1 1s .. AvρgZ 2 v h AvρgZ 2 v h W Q = 0 (6) Da conservação de massa para escoamento permanente, vem = 0 (5) = 0 (5) 222 2 2 21111s .. Avρ 2 v h Avρh W Q ( 1 ) 0 A.dvρ SC 0 Avρ Avρ 222111 m Avρ Avρ 222111 ( 2 ) 13 Substituindo a equação (2) na equação (1), temos 2 v T TCm W Q 2 2 12ps .. ( 3 ) m 2 v T TCm W Q m 2 v h hm W Q m 2 v h m h W Q 2 2 12ps .. 2 2 T TC 12s .. 2 2 21s .. 12p 14 Da continuidade ou conservação de massa, temos: 2 22 0 02 22 2 2 0 2 2 2 22 2 222111 144in ft 50lbf in R560 Rlbm. ft.lbf 3,53 1ft 1 s 20lbm PA TRm v Rlbm. ft.lbf 53,3 R ; TR P ρ ; Aρ m v m Avρ Avρ ft/s 82,9 v2 ( Constante universal para o ar ) Tabelado R560 459,67 100 RT 459,67 FT RT 00 00 15 Da equação (3), temos slug.ft lbf.s 778ft.lbf Btu 32,2lbm slug s ft 2 9,82 s lbm 20 R30 Rlbm. Btu 0,24 s lbm 20 ft.lbf 778 Btu hp.s ft.lbf 550 hp600 Q 2 v m T TCm W 2 v T TCm W Q 2 2 22 0 0 . 2 2 12ps .2 2 12ps .. 277Btu/s Q . ft.lbf 778,2 Btu 1; lbm 32,2 slug 1 ; ft lbf.s 1 slug 1 ; s ft.lbf 550 hp 1 2 459,67 FT RT 00 16 Exemplo 02: Um tanque, com volume de 0,1m3, está conectado a uma linha de ar de alta pressão (linha de ar comprimido); tanto a linha quanto o tanque estão inicialmente a uma temperatura uniforme de 20C. A pressão manométrica inicial no tanque é 100kPa. A pressão absoluta na linha de ar é 20 MPa; a linha é suficientemente grande, de forma que a temperatura e a pressão do ar comprimido podem ser consideradas constantes. A temperatura no tanque é monitorada por um termopar de resposta rápida. Imediatamente após a abertura da válvula, a temperatura do ar no tanque sobe à taxa de 0,05C/s. Determine a vazão em massa (g/s) instantânea de ar entrando no tanque se a transferência de calor for desprezível. Dado: u = CvT (energia interna específica) Cv = 717N.m/kg.K (capacidade calorífica a volume constante do ar) 17 Considerações: 1) (dado); 2) ; 3) ; 4) ; 5) As velocidades na linha e no tanque são pequenas; 6) Energia potencial é desprezível Z1 = Z2; 7) Escoamento uniforme na entrada do tanque; 8) Propriedades uniformes no tanque 9) Gás ideal, , du = CvdT 0 Q . 0 Ws . 0 Wcis . 0 Woutros . TRρ P 18 SC 2 VC outros . tocisalhamen . s .. A.dvρ ρ P gz 2 v u ρdV t W W W Q e gz 2 v u 2 e = 0 (1) = 0 (2) = 0 (3) = 0 (4) = 0 (5) = 0 (6) = 0 (6)= 0 (5) entrada de fluxo ideal gás VC SCVC ρvA TR u ρdVu t 0 A.dvρ ρ P u ρdVu t 0 19 Uma vez que as propriedades no tanque são uniformes, temos m TR u dt uMd m TR u dt ρVu d 0 M tanqueno ainstantâne massa a é M mássica) (vazãoρvA m 20 m TR u dt uMd mTR mu dt du M dt dM u ( 1 ) O termo dM/dt pode ser avaliado pela equação da conservação da massa. m ρvA dt dM 0 ρvA t ρV 0 A.dvρ ρdV t SCVC ( 2 ) Substituindo (2) em (1) temos : 21 mTR mu dt du M mu TR dT/dtρVC TR dT/dtMC m mTR mu dt dT MC mu vv v )(Ar kg.K N.m 287 R (Ar) kg.K N.m 717 C ; ideal gás dTC du vv 22 TR dT/dtρVC m v (dado) s C 0,05 dt dT 0 3 tanque 23 atmmantanque tanque kg/m 2,39 ρ K273,15 20 K287N.m/kg. N/m10101,3 100 TR P P TR P ρ kg g 1000 293K 1 287N.m kg.K s K 0,05 kg.K N.m 7170,1m m kg 2,39 m 3 3 g/s 0,102 m Os dois problemas ilustram o uso da primeira lei da termodinâmica para VC. É, também, um exemplo do cuidado que se deve ter com as conversões de unidades, energia e potência. 23 5.3.1- Equação de Bernoulli interpretada como uma equação de energia. Considere um escoamento permanente na ausência de forças de cisalhamento. Escolhamos um volume de controle (VC) limitado por linhas de corrente ao longo da periferia do escoamento. Um VC como este, mostrado na Figura 1, é usualmente chamado de tubo de corrente. Figura 1: Escoamento através de um tubo de corrente 24 SC 2 VC outros . tocisalhamen . s .. A.dvρ ρ P gz 2 v u ρdV t W W W Q e Equação básica da energia: gz 2 v u 2 e Restrições: 1- 2- 3- 4- Escoamento permanente 5- Escoamento e propriedades uniformes em cada seção 0 Ws . 0 Woutros . 0 Wcis . = 0 (1) = 0 (2) = 0 (3) = 0 (4) 25 SC 2. A.dvρ ρ P gz 2 v u Q Sob estas restrições, a equação da energia torna-se Avρ ρ P gz 2 v u Avρ ρ P gz 2 v u Q 222 2 2 2 2 2111 1 1 2 1 1 . Porém, da continuidade sob estas restrições, torna-se 0 A.dvρ ρdV t SCVC = 0 (4) 0 A.dvρ SC 0 Avρ Avρ 222111 m Avρ Avρ 222111 26 m dm δQ dt dm dm δQ dt δQ Q . Assim a equação de conservação de energia, torna-se: 0 dm δQ u u ρ P gz 2 v ρ P gz 2 v m ρ P gz 2 v u m ρ P gz 2 v u m dm δQ 12 1 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ( 8 ) A equação (8) ficaria reduzida à equação de Bernoulli se o termo entre parênteses fosse zero. dm δQ u u ρ P gz 2 v ρ P gz 2 v 12 2 2 2 21 1 2 1 27 0 dm δQ u u 12 ( 9 ) Assim, sob a restrição da equação (9), tem-se a equação de Bernoulli. gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 2 2 22 1 2 11 ( 10 ) constante gz 2 v ρ P 2 A equação de Bernoulli é válida para: 1- Escoamento permanente; 2- Fluido incompressível; 3- Escoamento sem atrito; 4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente. 28 Exemplo 03: Água escoa em regime permanente de um grande reservatório aberto através de um tubo curto e de um bocal com área de seção transversal A = 0,864 in2. Um aquecedor de 10kW, bem isolado termicamente, envolve o tubo. Determine o aumento de temperatura da água. 29 Equações básicas: constante gz 2 v ρ P 2 0 A.dvρ ρdV t SCVC SC 2 VC outros . cis . s .. A.dvρ ρ P gz 2 v u ρdV t W W W Q e Equação de Bernoulli Equação da conservação de massa Equação da conservação da energia 30 Considerações: 1- Escoamento permanente; 2- Escoamento sem atrito; 3- Fluido incompressível; 4- Não há trabalho de eixo, de cisalhamento e outros; 5- Escoamento ao longo de uma linha de corrente. 0 A.dvρ ρdV t SCVC SC 2 VC outros . cis . s .. A.dvρ ρ P gz 2 v u ρdV t W W W Q e = 0 (1) = 0 (1)= 0 (4) = 0 (4) = 0 (4) 31 Com as considerações adotadas, a primeira lei da termodinâmica para VC mostrado torna-se: 2A 2 A 2. SC 2. A.dvρ ρ P gz 2 v u A.dvρ ρ Pgz 2 v u Q A.dvρ ρ P gz 2 v u Q 1 Para propriedades uniformes na seção 1 e 2, fica: 22222 2 2 2111 1 1 2 1 1 . Avρ ρ P gz 2 v u Avρ ρ P gz 2 v u Q Da conservação da massa, temos: m Avρ Avρ 222111 32 1 2 11 2 2 22 12 . 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 . gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P u um Q m ρ P gz 2 v u m ρ P gz 2 v u Q Para escoamento incompressível, sem atrito, permanente e ao longo de uma linha de corrente, Portanto, constante gz 2 v ρ P 2 u um Q 12 . ( 1 ) 33 Como, para um fluido incompressível, u2 – u1 = Cágua( T2 – T1). A equação 1 fica: Da conservação de massa, para a seção 4, temos: Para determinar v4, escreva a equação de Bernoulli entre as seções 3 e 4. Cm Q T T água . 12 ( 2 ) Aρv m 44 ( 3 ) gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 4 2 44 3 2 33 ( 4 ) 34 Como P3 = P4 = Patm e v3 0, segue que x10ft s ft 2x32,2 z z2g v z z2g v gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 2 434 43 2 4 4 2 4atm 3 2 3atm = 0 ft/s 25,4 v4 ( 5 ) 2 2 2 344 144in ft xx0,864in s ft x25,4 ft slug 1,94 Aρv m slug/s 0,296 m ( 6 ) 35 Admitindo que não há perda de calor para o ambiente e que Cágua = 1 Btu/lbmR, obtemos: Btu 1 Rlbm. x 32,2lbm slug x 0,296slug s x 3600s h x kW.h Btu 10kWx3413 T T Cm Q T T 0 12 v . 12 R0,995 T T 012 lbm 32,2 slug 1 ; h Btu 3413 kW 1 36 Exemplo 04: Um tubo em U atua como um sifão de água. A curvatura no tubo está 1 m acima da superfície da água; a saída do tubo está 7 m abaixo da superfície da água. A água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine (após listar as condições necessárias) a velocidade do jato livre e a pressão absoluta mínima da água na curvatura (ponto A). 37 Considerações: 1- Atrito desprezível; 2- Escoamento permanente; 3- Escoamento incompressível; 4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente; 5- O reservatório é grande comparado com o tubo. Aplique a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2. 2 2 22 1 2 11 gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 38 Visto que a área do reservatório é muito maior que a área do tubo, então v1 = 0. Também P1 = P2 = Patm, v1 = 0, z1 = 0, logo: m72x9,81m/s v 2gz v 2gz v gz 2 v 0 2 22 2 2 2 2 2 2 m/s 11,7 v2 39 Para determinar a pressão no ponto A, escrevemos a equação de Bernoulli entre 1 e A. A 2 AA 1 2 11 gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 40 Novamente, v1 = 0 e, da conservação da massa, vA = v2. Então, 2 22 3232 5 A 2 2 A11A A A 2 2 1 1 A 2 2A 1 1 s m 2 11,7 m kg 999 m1 0 s m x9,81 m kg 999 m N 1,01x10 P 2 v ρ z zρg P P ρ P gz 2 v gz ρ P gz 2 v ρ P gz ρ P ca)(manométri kPa5,78ou ta)kPa(absolu 22,8 P A Obs: Neste problema, desprezar atrito é razoável se o tubo for de parede lisa e relativamente curto. 41 Exemplo 05: Água escoa sob uma comporta, num leito horizontal na entrada de um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é 1,5 ft e a velocidade é desprezível. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, as linhas de corrente são retilíneas e a profundidade é 2 in. Determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão em pés cúbicos por segundo por pé de largura (Q/w = ft3/s/ft). 42 Considerações: 1- Atrito desprezível; 2- Escoamento permanente; 3- Escoamento incompressível; 4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente; 5- Escoamento uniforme em cada seção; 6- Distribuição hidrostática de pressão. Se considerar a linha de corrente que passa ao longo do chão do canal (z = 0), devido a consideração 6, as pressões em 1 e 2 são: 2atm2 1atm1 ρgD P P ρgD P P + h 43 Aplicando a equação de Bernoulli para a linha de corrente entre os pontos 1 e 2, com z1 = z2 = 0, temos: 21212 2 2 2 1 2 1 2 22atm 2 11atm v D D2g v gD 2 v gD 2 v 2 v ρ ρgD P 2 v ρ ρgD P Porém v1 0, logo 12in ft 2in 1,5ft s 32,2ft 2 v D D2g v 22 212 ft/s 9,27 v2 12in 1ft in2 s ft 9,27 D v w Q wD vA v Q 22 222 largura de /s/péft 1,55 w Q 3 + h 44 Exemplo 06: Água escoa em um tanque muito grande através de um tubo de 2 in de diâmetro. O líquido escuro no manômetro é mercúrio. Estime a velocidade no tubo e a vazão de descarga. 45 Considerações: 1- Atrito desprezível; 2- Escoamento permanente; 3- Escoamento incompressível; 4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente; 5- Escoamento uniforme na tubulação; 6- Distribuição hidrostática de pressão. A equação de Bernoulli para a linha de corrente passando pelos pontos 1 e 2 é: gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 2 2 22 1 2 11 46 Considerando que v1 0 (tanque grande), z2 = 0 e que P1 = Patm, a equação de Bernoulli fica: 2gz ρ P P 2 v 1 água 2atm 2 1 água 2atm2 2 2 2 água 2 1 água atm 2gz ρ P P 2 v 2 v ρ P gz ρ P ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 47 hSG Dgρ P P ghρ gDρ P P ghρ P P gDρ P P Hgágua2atm Hgágua2atm HgAatm água2A Por manometria, temos: ( 2 ) P2 PA Patm + h 48 12ft 12in 1ft 13,6x6in 2ft s ft 2x32,2 v z hSG D2g v 2gz hSG D2g v 2gz ρ hSG Dg2ρ v 22 1Hg2 1Hg2 1 água Hgágua 2 Substituindo 2 em 1, temos: ft/s 21,5 v 2 2 2 ft in12 in2 4s ft 21,5 A v Q s ft 0,469 Q 3 49 Exemplo 07: O respiro do tanque mostrado na Figura está fechado e o tanque foi pressurizado para aumentar a vazão Q. Qual é a pressão no tanque, P1, para que a vazão no tubo seja igual ao dobro daquela referente à situação onde o respiro está aberto? 50 Considerações: 1- Atrito desprezível; 2- Escoamento permanente; 3- Escoamento incompressível; 4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente; 5- Escoamento uniforme na tubulação;Considerar a linha de corrente no tubo (z = 0). A equação de Bernoulli para a linha de corrente passando pelos pontos 1 e 2 com o suspiro aberto é: ( 2 ) ( 1 ) 51 2 v gz P P P ; 0 v; 0 z gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 2 2 1 atm21122 2 22 1 2 11 x3,05m s m 2x9,81 2gz v 212 m/s 7,74 v2 Considerando o suspiro fechado, qual seria a pressão P1 para que a vazão no tubo seja o dobro quando o suspiro estava aberto? Aplicando a equação de Bernoulli para o suspiro fechado, fica: 2 v ρ P gz ρ P 0 v; 0 z gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 2 22(atm) 1 1(abs) 122 2 22(atm) 1 2 11(abs) Considerando o suspiro aberto: 52 21(man) m N 89.804,8 P 3,05m s m 9,81 2 x7,74m/s2 m kg 999 P gz 2 2v ρ P 2 2v ρ P gz ρ P P 2 2 31(man) 1 2 2 1(man) 2 2atm 1 1(man)atm 89,8kPa P 1(man) S/suspiro2C/suspiro2S/suspiro22C/suspiro22 S/suspiroC/suspiro v2 v Av2 Av 2Q Q 53 Exemplo 08: Ar na condição padrão escoa na chaminé axisimétrica mostrada na Figura. Determine a vazão em volume na chaminé sabendo que o fluido utilizado no manômetro é água. Admita que os efeitos viscosos são desprezíveis. Dado: ar = 1,23 kg/m 3 54 Aplicando as considerações para o uso da equação de Bernoulli através da linha de corrente no tubo (z = 0), temos: ( 2 ) ( 1 ) 2 2 22 1 2 11 gz 2 v ρ P gz 2 v ρ P 2 v v ρ P P 2 1 2 221 ( 1 ) ( P1 ) ( P2 ) h 55 Por manometria, P1 – P2, é: Pela conservação de massa em regime permanente, entre os pontos 1 e 2, temos: 2 v 16 2 v 1m 2m 2 v 2 v D D 2 v 2 v D D v A A v v 0 A.vρ A.vρ 2 1 2 2 42 1 2 2 4 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 12 2211 221 0 2321 0 água21 0 água21 m.s kg 50,73 P P sen15m02,0 s m 9,81 m kg 999 P P sen150,02mgρ P P sen150,02m h ;gh ρ P P h ( P1 ) ( P2 ) 56 2 v v ρ P P 2 1 2 221 2 v 16 2 v 2 1 2 2 m.s kg 50,73 P P 221 m/s 2,35 v1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 ar 2 m kg 23,1 m.s kg 50,73 15 2 v 2 15v 2 v 16v ρ m.s kg 50,73 4 π(2m) s m 2,35 4 πD vA v Q 22 11 /sm 7,38 Q 3
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