Cálculo I- apoio para iniciantes

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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Tecnologia - FT
Cálculo de Uma Variável Real
Profa. Dra. Elaine Cristina Catapani Poletti
Limeira-SP
2014
Capítulo 1
Introdução
O objetivo desta seção é chamar a atenção para algumas operações e proprie-
dades dos números reais muito utilizadas na disciplina de Cálculo. Para um estudo
mais efetivo, sugere-se o complemento destas notas através da bibliografia da dis-
ciplina explicitada no cronograma.
A disciplina de Cálculo requer estudo e acompanhamento das aulas, desta
forma é importante que o aluno se atente para suas principais dificuldades e busque
saná-las através dedicação, estudos, revisões e pesquisas.
1.1 Símbolos
N : conjunto dos números naturais {1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · }
Z : conjunto dos números inteiros {· · · ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · }
Q : conjunto dos números racionais
{
p
q
, p, q ∈ Z, q 6= 0
}
É o conjunto dos
inteiros ou decimais com número finito de casas e daqueles com infinitas casas
decimais, porém neste caso, seus elementos são iguais ou formam dízimas perió-
2
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3
dicas.
I : conjunto dos números irracionais. São decimais com infinitas casas, cujos
elementos aparecem aleatoriamente, ou seja, sem estabelecer nenhuma seqüência
tais como o número π = 3, 1415926535897932384626433832795..., o número
√
2 = 1, 4142135623730950488016887242097..., entre outros.
R : conjunto dos números reais. R = Q ∪ I
R∗ :conjunto dos números reais sem o zero.
R+ :conjunto dos números reais positivos (incluido o zero).
R∗+ :conjunto dos números reais positivos sem o zero).
A× B = {(x, y), x ∈ A, y ∈ B} (produto cartesiano)
R2 = R× R = {(x, y), x ∈ R, y ∈ R}
∀ para todo
/ ou tq: tal que
∈: pertence (elemento pertence a conjunto: (x, y) ∈ R2)
/∈ não pertence
⊂: está contido (sub-conjunto está contido em conjunto: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R)
⊃: contém
∪: união
∩: intersecção
=: é equivalente a
∃ : existe
∃! : existe um único
<: menor que
>: maior que
≤: menor ou igual a
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4
≥: maior ou igual a
⇒: implica
⇔: se, e somente se
(a, b) : intervalo aberto = {x ∈ R : a < x < b}
[a, b] : intervalo fechado = {x ∈ R : a ≤ x ≤< b}
[a, b) : intervalo semi-aberto = {x ∈ R : a ≤ x < b} ou (a, b] : intervalo semi-
aberto = {x ∈ R : a < x ≤ b}
(−∞,∞) : Infinito
1.2 Operações e propriedades
No conjunto dos números reais R estão definidas as operacoes da adição e
multiplicação, as quais satisfazem as seguintes propriedades:
1. Comutativa: quaisquer que sejam dois numeros reais a e b, tem-se: a+ b =
b+ a e ab = ba
2. Associativa: quaisquer que sejam os numeros reais a, b e c, tem-se: (a +
b) + c = a+ (b+ c) e a(bc) = (ab)c
3. Elemento neutro: existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais
que, para qualquer número real a valem a+ 0 = a e a.1 = a
4. Elemento oposto e elemento inverso:
(a) Dado um numero real a, existe um único número real, indicado por
−a, chamado oposto de a, tal que a+ (−a) = 0.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5
(b) Dado um numero real a 6= 0, existe um único número real indicado por
1
a
ou por a−1, chamado inverso multiplicativo de a, tal que: a. 1
a
= 1.
5. Distributiva: quaisquer que sejam a, b e c reais, tem-se: a(b+ c) = ab+ ac
e (b+ c)a = ba+ ca
Consequências das regras básicas:
1. Subtração: a diferença entre b e a, indicada por b− a é definida por b− a =
b+ (−a).
Consequentemente, para todo a, b reais, tem-se: −(a + b) = −a − b ,
a(b− c) = ab− ac e (b− c)a = ab− ca
2. Potenciação: sendo a um número real, definimos: a1 = a, an = aaa...a (n
fatores), se n = 2, 3, 4, ...
Se a 6= 0, podemos estender esta definição para n inteiro e assim, a0 = 1
a−n = 1
an
, n = 1, 2, 3, 4, ...
Regras da potenciação: sendo a e b números reais não nulos, m e n inteiros,
tem-se:
(a) am+n = aman
(b) am−n = am
an
(c) (am)n = amn
(d) (ab)m = ambm
(e) (a
b
)
= a
m
bm
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6
3. Divisão: o quociente de b por a, onde a 6= 0 , indicado por b
a
, é definido por:
b
a
= b 1
a
, onde b é referido como numerador e a, denominador.
b
a
também e referido como fração.
Regras da divisão: sejam a, b, c, d diferentes de zero. Então:
(a) É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO !!!!!
(b) a
a
= 1
(c) −b
a
= b−a = − ba
(d) −b−a = ba
(e) a
c
+ b
c
= a+b
c
= (a+ b).1
c
(f) a
c
+ b
d
= ad
cd
+ bc
cd
= ad+bc
cd
(g) a
c
b
d
= ab
cd
(h) acb
d
= a
c
d
b
Importante: Define-se a0 = 1 para que todas as propriedades de potenciação
continuem válidas. Veja, para todo n ∈ Z+, temos:
a0 = an−n =
an
a1
= 1
que é uma expressão verdadeira na matemática. Portanto se a0 fosse defi-
nido de outra forma, a expressão anterior seria falsa.
1.3 Expressões Algébricas
Nas expressões algébricas normalmente trabalhamos com equações. Em ma-
temática, uma equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas
expressões matemáticas.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 7
Exemplo 1
x+ 1 = 7
2− 5y2 = y − 1
sen(x) =
1
x
Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incóg-
nita que tornem a igualdade verdadeira. É importante saber que uma solução da
equação também é chamada raiz da equação.
Algumas equações matemáticas descrevem identidades matemáticas, isto é,
afirmações que são verdadeiras para todos os valores de x.
Exemplo 2 x(x+ 5) = x2 + 5x
1.4 Expressões Polinomiais
Uma expressão polinomial pode ser representada por uma soma de parcelas
do tipo axn, com a ∈ R e n ∈ N.
Os números que multiplicam as potências de x nas expressões e os que figuram
isoladamente são chamados de coeficientes.
Exemplo 3 Em 3x5+2x−7 os números 3,2,e,-7 são os coeficientes do polinômio.
Ainda, cada parcela da expressão polinomial é referida como termo, ou seja,
3x5, 2x e−7 são os termos do polinômio. O termo no qual não aparece a incógnita
x é denominado termo independente.
Operações:
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 8
1. Soma: A soma de expressões polinomiais é feita somando todos os termos
semelhantes.
Exemplo 4
(3x+ 1) + (x2 − x+ 5) = x2 + 2x+ 6
2. Produto: O produto de expressões polinomiais é feito termo a termo, respeitando-
se as regras de potência e a propriedade distributiva.
Exemplo 5
(x+1).(x3+2x+7) = x4+2x2+7x+x3+2x+7 = x4+x3+2x2+9x+7
3. Produtos notáveis:
(x+ a)(x− a) = x2 − a2
(x+ a)2 = x2 + 2ax+ a2
(x− a)2 = x2 − 2ax+ a2
(x+ a)3 = x3 + 3x2a+ 3xa2 + a3
(x− a)3 = x3 − 3x2a+ 3xa2 − a3
Importante:
(a) Os produtos notáveis são identidades, ou seja, as igualdades acima são
verdadeiras ∀x ∈ R.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 9
(b) A expressão (x + a)n com n > 1 é denominada Binômio de Newton,
cuja fórmula geral é dada por:
(x+ a)n =
= xn +
n
1!
xn−1a+
n(n− 1)
2!
xn−2a2 +
n(n− 1)(n− 2)
3!
xn−3a3 + ...
+
n(n− 1)...2
(n− 1)! xa
n−1 + an
(c) Importante, em geral:
(x± a)2 6= x2 ± a2
(x± a)3 6= x3 ± a3
(x± a)n 6= xn ± an, n > 1
4. Quociente: Dados a, b ∈ Z+, existe um único par ordenado (q, r) de núme-
ros inteiros tal que a = bq + r, com 0 ≤ r < b.
Ressalta-se que q é denominado quociente e r é denominado resto da divisão
de a por b, onde a é o dividendo e b o divisor. Para divisão polinômios temos
uma situação similar à divisão de números inteiros.
Exemplo 6 Divida 10x2−43x+40
2x−5 e
6x4−10x3+9x2+9x−5
2x2−4x+5
5. Fatoração: Fatorar um polinômio significa escrevê-lo como um produto de
outros polinômios, onde cada fator é um polinômio de grau inferior ao do
polinômio fatorado.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 10
Teorema 1 Teorema Fundamental da Álgebra: Seja Pn(x) um polinômio
de grau n e variável x. Então Pn(x) pode ser escrito na forma:
Pn(x) = c(x− a1)r1(x− a2)r2 ...(x− an)rn
onde c é uma constante, a1,a2, an são as n raízes de Pn(x) e ri denota a
multiplicidade da i-ésima raiz.
Observações:
(a) Um número a é dito raiz de um polinômio em x, então a anula o
polinômio quando substitui-se x = a.
(b) Chamamos de multiplicidade de uma raiz o número de vezes que ela
ocorre no mesmo polinômio.
(c) Um polinômio é dito irredutível quando só possui raízes simples, ou
seja raizes de multiplicidade 1.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 11
(d) O Teorema Fundamental da Álgebra garante que todo polinômio pode
ser fatorado, bastando para isso, conhecer suas raízes.
Exemplo 7 x = 1 é raiz do polinômio P (x) = x3 − 1, pois substituindo
x = 1, temos P (1) = 0. Logo, (x1) é um fator do polinômio P (x), quando
na forma fatorada, ou seja, P (x) pode ser escrito na forma P (x) = (x −
1)Q(x).
Para determinarmos Q(x) basta dividirmos P (x) por (x − 1) e obteremos
Q(x) = x2 + x+ 1. Assim: P (x) = x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x+ 1).
Neste exemplo observamos que x = 1 é uma raiz simples (de multiplicidade
1) de P (x) = x3 − 1 e que Q(x) = x2 + x + 1 é um polinômio irredutível
em R, pois não possui raízes reais. Portanto, se estamos trabalhando apenas
no conjunto dos reais, a expressão fatorada de P (x) é (x− 1)(x2 + x+ 1).
1.5 Expressões Racionais
Como já foi visto, as operações com expressões algébricas seguem as mesmas
regras das operações com números reais. Todavia, quando se trata de frações, um
cuidado a mais sempre é necessário:
1. O denominador não pode ser zero. Portanto, ao efetuar um cálculo do tipo:
2
x2 − 1 −
x4
x2 + 2x+ 1
a preocupação deve ser a determinação dos valores de x que podem ser
utilizados nas operações.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 12
Neste caso, verificamos que x2−1 = 0⇔ x = ±1 e que x2+2x+1 = 0⇔
x = −1. Portanto, ao manipular a expressão acima, devemos ter sempre em
mente que estamos considerando x 6= ±1.
2. A fatoração deve ser sempre utilizada para verificar a presença ou não de
fatores comuns nos denominadores, o que facilitarão os cálculos.
Exemplo 8
x1 − 1 = (x− 1)(x+ 1)
(x2 + 2x+ 1) = (x+ 1)2
3. Para a+b
c
, c 6= 0, temos a+b
c
= a
c
+ b
c
, ∀ a, b ∈ R. Entretanto a
b+c
6= a
b
+ a
c
.
4. Ainda 0
a
= 0, ∀ a 6= 0 ∈ R e b
a
= 0⇔ b = 0.
1.6 Valor Absoluto ou Módulo
Definição 1 Seja x ∈ R, então |x| é dado por:
|x| =


x, x ≥ 0
−x, x < 0
Exemplo 9
|2x− 3| =


2x− 3, 2x− 3 ≥ 0
−(2x− 3), 2x− 3 < 0 =
=


2x− 3, 2x ≥ 3
−2x+ 3, 2x < 3 =
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 13
=


2x− 3, x ≥ 3
2
−2x+ 3, x < 3
2
Propriedades: ∀ a, b ∈ R
1. |a| ≥ 0 e |a| = 0⇔ a = 0
2. |ab| = |a| |b|
3.
∣∣a
b
∣∣ = |a||b| , b 6= 0
4. |−a| = a
5. |a|2 = a2
6. |a+ b| ≤ |a|+ |b|
1.7 Raiz n-ésima
Definição 2 Seja a > 0 um número real. Chama-se raiz n-ésima de a ao número
b ≥ 0 tal que bn = a.
A notação é dada por: b = n
√
a.
1. n
√
ab = n
√
a n
√
b
2. n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
3. ( n
√
a)m = n
√
am = a
m
n
4. m
√
n
√
a = mn
√
a
Observação n
√
a+ b 6= n√a+ n√b
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 14
1.8 Exercícios
1. Calcule os produtos notáveis:
(a) [(25t+ 9)2]
(b) [(7x− 6)2]
(c) [(17y + 14)(17Y − 14)]
(d) [(3z − 5)3]
2. Fatore os polinômios:
(a) [125x3 + 216]
(b) [27x3 − 32]
(c) [7x2 − 343]
(d) [9x3 + 12x2 + 2x]
3. Efetue as divisões de polinômios:
(a) x2−4x+4
x−2
(b) x4+2x3−2x2−4x−21
x−3
(c) −x3+x−3
x−1
3
(d) x5−3x3+x−12
x−2
4. Resolva:
(a) |x− 3| > 4
(b) |2x+ 1| ≤ 5
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 15
(c) |5x+ 1| = 2
(d) ∣∣6−3x
1−x
∣∣ ≥ 3
5. Verifique que:
(a) |7− 5| 6= |5|+ |−5|
(b) 2 |3− 2| = |1|+ |0|
Capítulo 2
Funções
2.1 Introdução
Definição 3 Uma função f deA emB é uma correspondência que associa a cada
elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B.
O elemento y de B é o valor de f em x, e denota-se por f(x).
O conjunto A é denominado domínio da função e o contradomínio que con-
siste em todos os valores f(x) possíveis para x é o conjunto B.
Exemplo 10 Seja f(x) =
√
4+x
1−x . Determine o domínio de f e calcule f(5),
f(−2), f(−a), −f(a).
Resolução.
D(f) = {x ∈ R|x ≥ −4 e x 6= 1}. Calculando os valores da função, tem-se:
f(5) = −3
4
, f(−2) =
√
2
3
, f(−a) =
√
4−a
1+a
e −f(a) = −
√
4+a
1−a =
√
4+a
a−1 .
As funções são úteis para o desenvolvimento de modelagens matemáticas e
para representação de fenômenos e comportamentos de variáveis.
16
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 17
Exemplo 11 A expressão A = πr2 que calcula a área de um círculo de raio r
associa a cada número real postivo r exatamente um valor para a área A.
Ou seja,
A(r) = πr2
logo se r = 2, então A(2) = π22 = 4π
Exemplo 12 Se um carro se move a uma velocidade constante de 50km/h, então
o tempo é medido em horas e a distância é percorrida é uma função do tempo.
Denominando a distãncia por s, temos:
s(t) = 50t
A distância é o produto da velocidade pelo tempo. Desta forma, após 2 horas,
a distância percorrida é de s(2) = 50km
h
.2h = 100km
O que se verifica nessas correspondências são relações entre variáveis inde-
pendentes e variáveis dependentes.
2.2 Exercícios
1. Se f(x) = 1
x
. Quem é f (−2
3
)
?
2. Se f(x) = 1
x
. Quem é f(2x+ 1), com x 6= −1
2
?
3. Se g(x) = |x| − x. Quem é g(1), g(−1), g(−7)?
4. Se f(y) = 2y − y2. Quem é f(z), f(w)?
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 18
5. Para quais números f(x) está definida?
f(x) =
1
x2 − 2
Qual o valor de f para x = 5?
6. Para quais números definimos f(x) = 3
√
x? Qual o valor de f(27)?
7. Seja f(x) = x|x| , x 6= 0. Calcule:
(a) f(1)
(b) f(2)
(c) f(−3)
(d) f(−4
3
)
8. Seja f(x) = x+ |x|. Calcule:
(a) f(1
2
(b) f(2)
(c) f(−4)
(d) f(−5)
9. Seja f(x) = 2x+ x2 − 5. Calcule:
(a) f(1)
(b) f(−1)
(c) f(x+ 1)
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 19
2.3 Gráficos
Para a representação de uma dada função utilizamos o gráfico no eixo de
coordenadas cartesianas para ilustrar a variação do valor funcional de f(x) quando
x varia no domínio de f .
Exemplo 13 Veja o gráfico de f(x) = x3 + 3x2.
É importante notar que, como há exatamente um valor f(a) para cada a no
domínio, cada reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo em um
ponto - o que é chamado de teste da vertical.
Os pontos de interseção entre o gráfico de f e o eixo-x são as soluções da
equação f(x) = 0, são os chamados zeros da função. Os valores que interceptam
o eixo-y são os pontos f(0), se existirem.
Exemplo 14 Verifique o gráfico abaixo da função f(x) = x3 − x que tem seus
zeros em x = 1, x = −1 e x = 0.
Se f é uma função par, ou seja f(−x) = f(x) para todos os pontos do
domínio, então o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo-y.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 20
Exemplo 15 Observe: f(x) = x2.
Se f é uma função ímpar, ou seja f(−x) = −f(x) para todos os pontos do
domínio, então o gráfico de f é simétrico em relação a origem.
Exemplo 16 Observe f(x) = x3.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 21
Vale mencionar que uma função que não se caracteriza como par não deve ser
caracterizada automaticamente como ímpar, pois existem funções não par nem
ímpar.
Propriedades. Se f e g são funções, definimos a soma f + g, a diferença
f − g, o produto fg e o quociente f/g da seguinte forma:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f − g)(x) = f(x)− g(x)
3. (fg)(x) = f(x)g(x)
4. (f
g
)(x) = f(x)
g(x)
, g(x) 6= 0
Ainda, para funções, define-se a função composta f ◦g, lê-se f composta com
g, como (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Obs: normalmente f ◦ g 6= g ◦ f .
Exemplo 17 Se f(x) = x2−1 e g(x) = 3x+5, determine (f+g)(x), (f−g)(x),
(fg)(x), (f
g
)(x), f ◦ g(x) e g ◦ f(x).
Resolução.
h(x) = (f + g)(x) = x2 + 3x+ 4,
h(x) = (f − g)(x) = x2 − 3x− 6,
h(x) = (fg)(x) = 3x3 + 5x2 − 3x− 5,
h(x) = (f
g
)(x)= x
2−1
3x+5
,
h(x) = f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(3x+5) = (3x+5)2− 1 = 9x2+30x+24 e
h(x) = g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x2 − 1) = 3(x2 − 1) + 5 = 3x2 + 2
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 22
2.4 Tipos de Funções
Podemos classificar uma dada função. Diremos que trata-se de uma:
1. função polinomial se f(x) é um polinômio da forma: f(x) = anxn +
an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0, os coeficientes a0, a1, · · · , an são números reais
e os expoentes são inteiros não negativos. Se an 6= 0 então f é de grau n.
Veja alguns casos especiais:
grau 0: f(x) = a ≡ função constante
grau 1: f(x) = ax+ b ≡ função linear
grau 2: f(x) = ax2 + bx+ c ≡ função quadrática
2. função racional é o quociente de duas funções polinomiais.
3. função algébrica é uma função que pode ser expressa em termos de somas,
diferenças, produtos, quocientes ou potências racionais de polinômios.
Por exemplo: f(x) = 5x4 − 2 3√x+ x(x2+5)√√
x3+
√
x
.
4. função transcendente é uma função não algébrica.
5. função inversa Seja f uma função de A em B. Se para cada y ∈ B, existir
exatamente um x ∈ A tal que y = f(x), então podemos definir uma função
g de B em A tal que x = g(y).
A função g definida assim é chamada função inversa de f e denotada por
f−1.
Dentre as funções transcendentes temos as funções trigonométricas, exponen-
ciais e logarítmicas.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 23
• função seno é uma função f de R em R que a cada x real faz corresponder
y = f(x) = senx.
O domínio da função é o conjunto dos números reias e a imagem é o inter-
valo [−1, 1].
É uma função periódica e seu período é 2π.
• função cosseno é uma função f de R em R que a cada x real faz correspon-
der y = f(x) = cosx.
O domínio da função é o conjunto dos números reias e a imagem é o inter-
valo [−1, 1].
Também é uma função periódica com período 2π.
• função tangente, cotangente, secante e cossecante são funções definidas
em termos de seno e cosseno.
As funções tangente e secante são definidas por: tgx = senxcosx e secx =
1
cosx ,
respectivamente.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 24
O domínio dessas funções são o conjunto dos números reias tais que cosx 6=
0.
Com relação aos períodos, as funções tangente e cotangente são de períodos
π;
O gráfico de f(x) = tgx é dado por:
O gráfico de f(x) = secx é dado por:
As funções cotangente e cossecante são defindas por: cotgx = cosxsenx e
cossecx = 1senx .
O domínio dessas funções são o conjunto dos números reias tais que senx 6=
0.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 25
Com relação aos períodos, as funções secante e cossecante são de períodos
2π.
O gráfico de f(x) = cotgx é dado por:
O gráfico de f(x) = cossecx é dado por:
• função exponencial. Chamamos de função exponencial de base a uma
função de R em R∗+ tal que a cada x real associa o número real ax, sendo a
um número real, 0 < a 6= 1.
O domínio da função exponencial é R e a imagem R∗+. Vale mencionar que
f(x) = ax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 26
Veja o gráfico de f(x) = 2x.
Veja o gráfico de f(x) = (1
2
)x
.
• função logarítmica. Chamamos de função logarítmica de base a uma fun-
ção de R∗+ em R tal que a cada x real associa o número real logax, sendo a
um número real, 0 < a 6= 1.
O domínio da função logarítmica é R∗+ e a imagem R. Vale mencionar que
f(x) = logax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Veja o gráfico de f(x) = lnx.
Veja o gráfico de f(x) = log 1
2
x.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 27
2.5 Exercícios
1. Expresse a área e o perímetro de um triângulo equilátero em função de x, o
comprimento do lado do triângulo.
2. Expresse a área e o perímetro de um quadrado em função de x,o compri-
mento de seu lado.
3. Encontre o domínio e a imagem de cada função:
(a) f(x) = 1 + x2
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 28
(b) f(x) = 1−√x
(c) f(x) = 1√
x
(d) f(x) = 1
(1+
√
x)
(e) f(x) = √4− x2
(f) f(x) = 3√x− 3
4. Esboce o gráfico das funções:
(a) y = −x3
(b) y = − 1
x2
(c) y = 1
x
(d) y = |x|
(e) f(x) = −|3− x|+ 2
(f) f(x) = 3x
(g) f(x) = 4− x2
5. No mesmo eixo cartesiano, esboçe os gráficos de:
(a) f(x) = x; g(x) = 2x; h(x) = 3x
(b) f(x) = x; g(x) = 1
2
x; h(x) = 1
3
x
(c) f(x) = x; g(x) = x2; h(x) = x3
(d) f(x) = x2; g(x) = x4
(e) f(x) = x3; g(x) = x5
(f) f(x) = x; g(x) = −x; h(x) = x2; t(x) = −x2
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 29
6. Verifique se f é par ou ímpar.
(a) f(x) = x3 + 4;
(b) f(x) = x5 + x3;
(c) f(x) = |x|
7. Determine a função inversa.
(a) f(x) = 3x+ 4
(b) f(x) = 1
x−a
(c) f(x) = x3
(d) f(x) = x2 + 1
8. Determine (f + g), (f − g), (f.g), (f/g), (g/f), (f ◦ g), (g ◦ f).
(a) f(x) = x2 − 3x e g(x) = √x+ 2
(b) f(x) = √x− 15 e g(x) = x2 + 2x
(c) f(x) = √x− 2 e g(x) = √x+ 5
(d) f(x) = √3− x e g(x) = √x+ 2
(e) f(x) = √3− x e g(x) = √x2 − 16
(f) f(x) = x
3x+2
e g(x) = 2
x
(g) f(x) = x
x−2 e g(x) =
3
x
9. Considere as funções abaixo como composição (f ◦ g)(x) e encontre f(x)
e g(x).
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 30
(a) y = (x2 + 3x)
1
3
(b) y = 1
(x−3)4
(c) y = 4√x4 − 16
(d) y = (x4 − 2x2 + 5)5
(e) y =
√
x+4−2√
x+4+2
10. Construa o gráfico de:
(a) y = ln (−x)
(b) y = ln (x+ 1)
(c) y = 2x
(d) y = −2x
(e) f(x) = cosx
(f) f(x) = cos (2x)
(g) f(x) = senx
(h) f(x) = 1 + senx
11. Ache o domínio, a imagem da função dada e esboçe o gráfico:
(a) f(x) = 2x+ 3 ,−6 < x < 2
(b) f(z) = 9− z ,−15 ≤ z ≤ 4
(c) f(x) = 1
5x−5
(d) f(x) = √x− 5
(e) f(x) = √4− x2
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 31
(f) t(g) = √−g
(g) f(v) = 1
v
(h) h(t) = 1|t|
(i) f(x) = |x|
x
(j) f(x) = |x+ 3|
(k) f(x) = 3√x− 8
(l) f(x) = 2 3√x− 8
(m) f(x) = 2x − 2
(n) f(x) = 3x+12
(o) f(x) = 22−3x
(p) f(x) = 2 + logx : determine f(10), f(20), f(35)
(q) f(x) = 2log 1
2
x : determine f(1), f(4), f(64)
(r) f(x) = sen(2x) : determine f(π
2
), f(π
4
), f(3π
2
)
(s) f(x) = sen(x
2
) : determine f(π
2
), f(π), f(3π
2
)
(t) f(t) = sen(t) + cos(t) : determine f(π
2
), f(π
4
), f(3π
2
)
(u) f(d) = tg(d
2
) : determine f(π
2
), f(π
4
), f(3π)
(v) f(x) = arctg(2x) : determine f(1
2
), f(
√
2
4
), f(
√
2)
12. Ache as funções inversas, seus domínios e suas imagens. Esboce os gráfi-
cos.
(a) f(x) = x5 + 5
(b) h(x) = √−1− x
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 32
(c) t(x) = 2+3x
5−2x
(d) f(x) = e(x+ 5) : determine f(ln5), f(−5), f(0)
(e) f(x) = 3x−5
x
(f) f(x) = sen(x+ 5)
13. Se f(x) = x2 − 3x , ache cada uma das seguintes funções, dando seu
domínio, imagem e gráfico.
(a)
√
f(x)− 3x− |f(x)|
(b) f(x)−f(4)
f(x−2)
Capítulo 3
Limites
3.1 Introdução.
Na disciplina de Cálculo, muitas vezes nos interessa saber o comportamento
de funções numa dada vizinhança. Por exemplo: Sabemos que a função f(x) = 1
x
está definida somente para R∗, ou seja, x não pode assumir o valor 0. Entretanto
pode ser de interesse analisar o comportamento da função para valores de x bem
próximos de 0, à direita e à esquerda.
O que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja por
valores ainda que pequenos, positivos? E o que acontece com f(x) quando x se
aproxima de 0 pela esquerda, ou seja por valores negativos?
Em geral, se uma função f é definida num intervalo aberto que contêm um
certo número a, exceto possivelmente o próprio número a, verificamos que quando
x tende à a, os valores f(x) se aproximam de um certo limite L. Ainda, é possível
tornarmos o valor da função f(x) tão próximos de L quanto queiramos, esco-
lhendo x suficientemente próximo de a, com x 6= a.
33
CAPÍTULO 3. LIMITES 34
Respondendo afirmativamente, temos: limx→af(x) = L e dizemos que o
limite de f(x), quando x se aproxima de a, é L. Ou ainda, f(x) se aproxima de L
quando x se aproxima de a.
Nocálculo e suas aplicações irão nos interessar valores f(x) de uma função
que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais
a a. De fato, há muitos casos em que a não está no domínio de f , isto é, f(a) não
é definida.
Exemplo 18 Tomemos a função f(x) = x3−2x2
3x−6 .
Resolução. Vejamos, x = 2 /∈ Df , deste modo limx→2 x3−2x23x−6 = 00 que trata-
se de uma indeterminação matemática. No entando podemos simplificar essa
expressão da seguinte forma x3−2x2
3x−6 =
x2(x−2)
3(x−2) =
x2
3
.
Então limx→2 x
3−2x2
3x−6 = limx→2
x2
3
= 2
2
3
= 4
3
.
Definição 4 Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a é L, ou que f(x)
se aproxima de L quando x se aproxima de a. Isso significa que o ponto (x, f(x))
do gráfico de f se aproxima do ponto (a, L) quando x→ a.
No exemplo anterior temos que o limite de f(x), quando x tende a 2 é 4
3
, ou
que f(x) se aproxima de 4
3
quando x se aproxima de 2. Isso significa que o ponto
CAPÍTULO 3. LIMITES 35
(x, f(x)) do gráfico de f se aproxima do ponto
(
2, 4
3
)
quando x→ 2.
Propriedades de Limites. Se existem limx→af(x) e limx→ag(x), então são
válidas:
1. limx→a [f(x) + g(x)] = limx→af(x) + limx→ag(x)
2. limx→a [f(x)− g(x)] = limx→af(x)− limx→ag(x)
3. limx→a [f(x) ∗ g(x)] = limx→af(x) ∗ limx→ag(x)
4. limx→a
[
f(x)
g(x)
]
= limx→af(x)
limx→ag(x)
, desde que limx→ag(x) 6= 0.
5. limx→a [c ∗ f(x)] = c ∗ limx→af(x)
Ainda podemos afirmar que são válidos os seguintes Teoremas:
Teorema 2 1. limx→ak = k, onde f(x) = k, ou seja f(x) é uma função
constante
2. limx→ax = a, onde f(x) = x, ou seja f(x) é a função identidade
3. limx→a (mx+ b) = ma+ b, onde f(x) = mx+ b
4. limx→axn = an, onde f(x) = xn
5. limx→a [f(x)]n = [limx→af(x)], desde que limx→af(x) exista.
Teorema 3 Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente
em a) e se limite de f e de g existem quando x tende a a, então:
limx→af(x) ≤ limx→ag(x)
CAPÍTULO 3. LIMITES 36
Teorema 4 (Teorema do Confronto) Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está
próximo de a (exceto possivelmente em a) e:
limx→af(x) = limx→ah(x) = L
então:
limx→ag(x) = L
Exemplo 19 Mostre limx→0x2sen
(
1
x
)
= 0.
Resolução. Não podemos usar a propriedade de limite limx→2x2sen
(
1
x
)
=
limx→0x2.limx→0sen
(
1
x
)
porque o segundo limite não existe.
No entando −1 ≤ sen ( 1
x
) ≤ 1. Logo multiplicando ambos os lados por x2,
temos −x2 ≤ x2 sen ( 1
x
) ≤ x2.
Daí, sabe-se que limx→0x2 = limx→0 − x2 = 0, logo, pelo teorema do con-
fronto (ou do sanduiche), como f(x) = −x2 ≤ g(x) = x2sen ( 1
x
) ≤ h(x) =
x2, temos: limx→0x2sen
(
1
x
)
= 0.
Exercícios
1. limx→1007
2. limx→−1e
3. limx→π1
4. limx→−1 x+42x+1
5. limx→5 x+2x−4
6. limx→−3 (x+3)(x−4)(x+3)(x+1)
CAPÍTULO 3. LIMITES 37
7. limx→−1 (x+1)(x
2+3)
(x+1)
8. limx→−2 x
2−4
x−2
9. limx→3 2x
3−6x2+x−3
x−3
10. limx→−1 x
2−x
2x2+5x−7
11. limx→−3 x
2+2x−3
x2+7x+12
12. limx→−4 x
2−16√
x−2
13. limx→−25
√
x−5
x−25
Definição 5 (Definição formal) Seja f(x) definida num intervalo aberto I, con-
tendo a, exceto, possivelmente o próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando
x se aproxima de a é b e esrevemos:
limx→af(x) = b
se, para todo ǫ > 0, existe um δ > 0, tal que |f(x)− b| < ǫ sempre que 0 <
|x− a| < δ.
Exemplo 20 Prove que limx→13x− 1 = 2.
Pela definição: |f(x)− b| < ǫ ⇒ |3x− 1− 2| < ǫ ⇒ |3x− 3| < ǫ ⇒
|3(x− 1)| < ǫ ⇒ |x− 1| < ǫ
3
Logo se tomarmos δ = ǫ
3
teremos que |(3x− 1)− 2| < ǫ sempre que 0 <
|x− 1| < δ.
Observe que o valor de δ não é único, qualquer valor menor que o especifi-
cado atende ao pressuposto.
CAPÍTULO 3. LIMITES 38
Exemplo 21 Prove que limx→4x2 = 16.
Pela definição: |f(x)− b| < ǫ ⇒ |x2 − 16| < ǫ ⇒ |x− 4| |x+ 4| < ǫ
Observe que se conseguirmos substituir |x+ 4| por uma constante seguimos
analogamente ao exemplo anterior.
Suponhamos 0 < δ < 1, então de 0 < |x− 4| < δ segue que:
|x− 4| < 1 ⇒ −1 < x− 4 < 1 ⇒ 3 < x < 5 ⇒
7 < x+ 4 < 9. Logo, |x− 4| < 9.
Escolhendo δ = min
{
ǫ
9
, 1
}
, temos que se |x− 4| < δ, então
|x2 − 16| = |x− 4| |x+ 4| < ǫ.9 ≤ ǫ
9
.9 = ǫ
Exemplo 22 Prove que limx→0 1x não existe.
Suponhamos que limx→af(x) = b para algum número b. Consideremos retas
arbitrárias horizontais y = b ± ǫ. Suponhando que o limite existe, devemos
encontrar um intervalo aberto (0− δ, 0 + δ) tal que −δ < x < δ e x 6= 0, então
o ponto
(
x, 1
x
)
do gráfico está entre as retas horizontais.
Mas como 1
x
pode ser tão grande quanto queiramos, bastando tomar x pró-
ximo de 0, alguns pontos estarão acima ou abaixo das linhas. Logo a suposição
de que o limite existe é falsa.
Exemplo 23 Quão próximo de a = 4 devemos manter x para termos a certeza
de que f(x) = 2x− 1 fique a uma distância menor que 2 unidades de b = 7?
A pergunta correta é para quais valores de x, |f(x)− 7| < 2? Para encon-
trarmos a resposta, primeiramente expressemos |f(x)− 7| em termos de x.
|f(x)− 7| = |(2x− 1)− 7| = |2x− 8|. Agora, quais valores de x satiszafem
temos |2x− 8| < 2?
Resolvendo a inequação, temos: |2x− 8| < 2 ⇒ −2 < 2x− 8 < 2 ⇒
CAPÍTULO 3. LIMITES 39
6 < 2x < 10 ⇒ 3 < x < 5 ⇒ −1 < x− 4 < 1. Ou seja, se mantivermos
uma variação de 1 unidade na vizinhança de a = 4, materemos f(x) variando 2
unidades em torno de b = 7.
3.2 Limites Laterais
.
As vezes pode ser útil calcular o limite de uma função quando a variável in-
dependente tende a um certo valor apenas de um dos lados. Se f(x) tende a L
quando x tende à a pelo lado esquerdo (x < a), escrevemos limx→a−f(x) = L.
Se f(x) tende a M quando x tende à a pelo lado direito (x > a), escrevemos
limx→a+f(x) = M .
Teorema 5 (Limite lateral) Ao limx→af(x) chamamos de limite geral, que so-
mente existirá se os limites laterais existirem e forem iguais. Desta forma, dize-
mos que o limx→af(x) = L se, e somente se, limx→a+f(x) = limx→a−f(x) = L.
3.3 Exercícios
Use o teorema sobre a existência de limite geral para determinar:
1. limx→√215
2. limx→−3
√
2
3. limx→−2x
CAPÍTULO 3. LIMITES 40
4. limx→3x
5. limx→4(3x− 4)
6. limx→−2(−3x+ 1)
7. limx→−2 x−54x+3
8. limx→4 2x−13x+1
9. limx→−2 x
3+8
x4−16
10. limx→1
(√
x+ 1√
x
6
)
3.4 Assíntotas
.
Uma assíntota de uma curva C, geralmente, é uma reta que limita uma dada
curva.
Definição 6 (Assíntota vertical) A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico
y = f(x), se pelo menos uma das situações seguintes ocorrer:
• limx→a+f(x) =∞
• limx→a−f(x) =∞
• limx→a+f(x) = −∞
• limx→a−f(x) = −∞
CAPÍTULO 3. LIMITES 41
Exemplo 24 A reta x = 1 é uma assíntota vertical do gráfico de f(x) = 1
(x−1)2 ?
De fato, limx→1+f(x) = limx→1+ 1(x−1)2 = 10+ = ∞ e limx→1−f(x) =
limx→1− 1(x−1)2 =
1
0+
=∞
Definição 7 (Assíntota horizontal) A reta y = b é uma assíntota horizontal do
gráfico y = f(x), se pelo menos uma das situações seguintes ocorrer:
• limx→∞f(x) = b
• limx→−∞f(x) = b
Exemplo 25 As retas y = 1 e y = −1 são assíntotas horizontais do gráfico
de f(x) = x√
x2+2
pois limx→∞f(x) = limx→∞ x√x2+2 = 1 e limx→−∞f(x) =
limx→∞ x√x2+2 = −1
Há outros tipos de assíntotas e uma mesma função pode ter várias.
3.5 Limites que envolvem infinito
.
Ao analisarmos o limite de algumas funções, podemos constatar que a função
f(x) aumenta sem limite, por um lado de a e que pelo outro lado a, a função
decresce sem limite. Tal como acontece com f(x) = 1
x
ao redor de x = 0.
Notamos que quando x tende à 0 ”pela direita”, ou seja por valores maiores que
0, a função f(x) aumenta indefinidamente e quando x tende à 0 ”pela esquerda”,
ou seja por valores menores que 0, a função f(x) diminui indefinidamente. Desta
forma escrevemos: limx→a+f(x) =∞ e limx→a−f(x) = −∞.CAPÍTULO 3. LIMITES 42
O símbolo∞ (infinito) não representa um número real. É apenas uma notação
para denotar o comportamento de algumas funções, desta forma, quando dizemos
que a função f(x) tende ao infinito, não estamos dizendo que tende a um certo
número, ou que o limite exista, idem para −∞.
Em alguns casos temos os limites bilaterais, tais como em f(x) = 1
(x−2)2 , onde
existe uma assíntota vertical em x = 2, e constata-se o comportamente de f(x)
tendendo ao infinito positivo de ambos os lados: com x → 2+ e x → 2−, desta
forma dizemos que o limte limx→2f(x) =∞.
Se limx→a+f(x) = ∞ e limx→a−f(x) = −∞, ou vice versa, dizemos que o
limite de f(x) não existe, quando x tende à a.
Consideremos agora funções cujos valores tendem para um número L quando
|x| se torna muito grande. Seja limx→∞f(x) = L, ou limx→−∞f(x) = L. Exem-
plo: f(x) = 2 + 1
x
. Como pode ser observado, o gráfico desta função apresenta
uma assíntota horizontal em x = 2. Verificamos que à medida que x cresce, f(x)
se aproxima da reta y = 2, com x muito grande positivamente ou ainda com x
grande negativamente, ou seja limx→∞2 + 1x = 2 = limx→−∞2 + 1x .
Neste sentido há um teorema importante que diz:
Teorema 6 (Limite no infinito) Se n é um número inteiro positivo e c um número
qualquer, então limx→∞ cxn = 0 e limx→−∞
c
xn
= 0, desde que xn seja sempre
definido.
Também podemos considerar casos em que tanto x como f(x) tendem para
∞ ou −∞: Por exemplo: limx→−∞f(x) = ∞, ou seja f(x) aumenta sem limite
quando x descrece sem limite, assim como acontece para f(x) = x2.
Teorema 7 (Limite infinito) Se n é um número inteiro positivo e c um número
CAPÍTULO 3. LIMITES 43
qualquer, então limx→0+ cxn =∞ e limx→0− cxn =


∞, se n par
−∞, se n ímpar
3.6 Exercícios
1. Verifique limx→a+f(x), limx→a−f(x) e limx→af(x)
(a) f(x) = 5
x−4 ; a = 4
(b) f(x) = 5
4−x ; a = 4
(c) f(x) = 8
(2x+5)3
; a = −5
2
(d) f(x) = −4
7x+3
; a = −3
7
2. Determine o limite se existir.
(a) limx→∞ 5x2−3x+12x2+4x−7
(b) limx→∞ 3x3−x+16x3+2x2−7
(c) limx→−∞ 4−7x2+3x
(d) limx→−∞ 2x−34x3+5x
(e) limx→∞ 2x2−x+3x3+1
(f) limx→∞−x3+2x2x2−3
(g) limx→−∞ 2−x2x+3
(h) limx→−∞ x2+2x−1
3. Prove os limites:
CAPÍTULO 3. LIMITES 44
(a) limx→15x− 3 = 2
(b) Para limx→5
√
x− 1 = 2, determine δ > 0 de modo que ǫ = 1, ou seja
determine δ > 0 tal que 0 < |x− 5| < δ ⇒ ∣∣√x− 1− 2∣∣ < 1
3.7 Limites Fundamentais
.
Há proposições matemáticas que caracterizam os chamados limites fundamen-
tais. São casos particulares de indeterminações do tipo 0
0
, c
0
1∞, 00, ∞0, ∞∞...
1. limx→0 senxx = 1
2. limx→±∞(1 + 1x)
x = e
3. limx→0 a
x−1
x
= lna, (a > 0, a 6= 1)
Consequências fundamentais.
1. limx→0 cos(x−1)x = 0
2. limx→0 e
x−1
x
= 1
3. limx→0 ln(x+1)x = 1
3.8 Exercícios
1. Esboçar o grafico das seguintes funçoes e dar uma estimativa dos limites
indicados.
CAPÍTULO 3. LIMITES 45
(a) f(x) = x2−9
x−3 ; limx→3 f(x)
Resposta. limx→3 f(x) = 6
(b) f(x) = x3−3x+2
x2−4 ; limx→−2 f(x)
Resposta. limx→3 f(x) = −94
(c) f(x) =
√
x−1
3√x−1 ; limx→1 f(x)
Resposta. limx→3 f(x) = 32
CAPÍTULO 3. LIMITES 46
(d) f(x) = x−1
x3−1 ; limx→1 f(x)
Resposta. limx→3 f(x) = 13
2. Calcule os limites.
(a) limx→−1 x3+1x2−1
Resp. −3
2
(b) limx→−2 t3+4t2+4t(t+2)(t−3)
Resp. 0
(c) limx→2 x2+3x−103x2−5x−2
Resp. 1
(d) limx→5/2 2t2−3t−52x−5
Resp. 7
2
(e) limx→−1 x2+6x+5x2−3x−4
Resp. −4
5
(f) limx→−1 x2−1x2+3x+2
Resp. −2
(g) limx→2 x2−4x−2
Resp. 4
CAPÍTULO 3. LIMITES 47
(h) limx→2 x2−5x+6x2−12x+20
Resp. 1
8
(i) limt→0 (4+t)
2−16
t
Resp. 8
(j) limt→0
√
25+3t−5
t
Resp. 3
10
(k) limh→1
√
h−1
h−1
Resp. 1
2
(l) limh→0
3√8+h−2
h
Resp. 1
12
(m) limx→0
√
1+x−1
−x
Resp. −1
2
(n) limx→4 3−
√
5+x
1−√5−x
Resp. 1
3
(o) limx→+∞ (3x3 + 4x2 − 1)
Resp. ∞
(p) limx→+∞
(
2− 1
x
+ 4
x2
)
Resp. 2
(q) limt→+∞ t+1t2+1
Resp. 0
(r) limt→−∞ t+1t2+1
Resp. 0
CAPÍTULO 3. LIMITES 48
(s) limt→+∞ t2+2t+32t2+5t−3
Resp. 1
2
(t) limx→+∞ 2x5+3x3+2−x2+7
Resp. −∞
(u) limx→+∞ 3x5−x2+72−x2
Resp. −∞
(v) limx→−∞−5x2+27x3+3
Resp. 0
(w) limx→+∞ x2+3x+1x
Resp. ∞
(x) limv→+∞ v
√
v−1
3v−1
Resp. ∞
(y) limx→−∞
√
x2+1
x+1
Resp. −1
3. Calcule os limites.
(a) limx→+∞ 10x2−3x+43x2−1
Resp. 10
3
(b) limx→−∞ x3−2x+1x2−1
Resp. −∞
(c) limx→+∞
√
2x2−7
x+3
Resp.
√
2
CAPÍTULO 3. LIMITES 49
(d) limx→+3+ xx−3
Resp. ∞
(e) limx→+3− xx−3
Resp. −∞
(f) limx→+2+ xx2−4
Resp. ∞
(g) limx→+2− xx2−4
Resp. −∞
(h) limx→0 sen(2x)x
(i) limx→0 sen(3x)sen(4x)
(j) limx→0 tgxx
(k) limx→0 ax−bxx
Capítulo 4
Continuidade
Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não
apresenta interrupções. Assim, para que uma função f seja contínua em um ponto
x = a é necessário que a função esteja definida em a e que os valores de f(x),
para x próximos de a, estejam próximos de f(a). Uma definição formal é dada a
seguir:
Definição 8 Uma função f é contínua no ponto a se:
1. ∃ f(a);
2. ∃ limx→af(x)
3. limx→af(x) = f(a)
Exemplo 26 Verifique a continuidade das funções abaixo, nos pontos indicados:
1. f(x) = x2−1
x2+1
em a = −1.
∃f(−1) = 0;
50
CAPÍTULO 4. CONTINUIDADE 51
∃ limx→af(x) = limx→a x2−1x2+1 = 0 e ainda:
limx→af(x) = 0 = f(−1)
logo f(x) é contínua em a = −1
2. f(x) =


x+ 1 se x < 1;
2− x se x ≥ 1.
em a = 1
∃f(1) = 2− 1 = 1;
limx→1f(x) =


limx→1−x+ 1 = 2;
limx→1+2− x = 1.
logo não existe o limite geral de
f(x) em a = 1 e portanto f(x) é descontínua em a = 1.
Observação: Se uma função não é contínua em um ponto a, dizemos que ela
é descontínua neste ponto.
Continuidade em intervalo: Uma função f é dita contínua em um intervalo
aberto (a, b) se for contínua em todos os valores de x contidos neste intervalo. f
CAPÍTULO 4. CONTINUIDADE 52
é dita contínua no intervalo fechado [a, b] se for contínua no aberto (a, b) e, além
disso, limx→a+f(x) = f(a) e limx→b−f(x) = f(b)
Para afirmar que uma função é contínua em todo um intervalo podemos tomar
um ponto genérico do intervalo, por exemplo, x0 , e verificar, usando a definição,
se f é contínua neste ponto. Se for, será em todo o intervalo, uma vez que x0
representa um ponto qualquer do intervalo em questão. Outra maneira é utilizar
as propriedades válidas para continuidade, apresentadas abaixo.
Propriedades:
1. Toda função polinomial é contínua em todos os reais.
2. Toda função racional (divisão de polinômios) é contínua em seu domínio.
3. As funções f(x) = sen(x) e f(x) = cos(x) são contínuas para todo número
real x.
4. A função exponencial f(x) = ex é contínua para todo número real x.
5. Se f e g são funções contínuas em um ponto a, então: f + g; f − g e f ∗ g
são contínuas em a e ainda f
g
também é contínua em a desde que g(a) 6= 0.
6. Se f e continua em a e g e contínua em f(a), entao a função composta g ◦f
e contínua em a.
7. Seja y = f(x) definida e contínua em um intervalo real I . Seja J = Im(f).
Se f admite uma função inversa f−1 : J → I , então f−1 é contínua em
todos os pontos de J .
CAPÍTULO 4. CONTINUIDADE 53
Observação: Devido a esta propriedade, a função f(x) = ln(x) é contínua
em todo o seu domínio R+∗ uma vez que e a inversa da função exponencial, que é
continua.
Teorema 8 Teorema do Valor Intermediário: Se f é contínua no intervalo fe-
chado [a, b] e L é um número real tal que f(a) ≤ L ≤ f(b) ou f(b) ≤ L ≤ f(a),
então existe pelo menos um x ∈ [a, b] tal que f(x) = L.
Consequência: Se f é contínua no intervalo em [a, b] e se f(a) e f(b) têm
sinais opostos, então existe pelo menos um número c entre a e b tal que f(c) = 0.
CAPÍTULO 4. CONTINUIDADE 54
4.1 Exercícios1. Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções no ponto
indicado:
(a) f(x) =


0, x ≤ 0
x, x > 0
em a = 0
(b) f(x) =


x2−4
x+2
, x 6= −2
1, x = −2
em a = −2
(c) f(x) =


x
|x| , x 6= 0
−1, x = 0
em a = 0
(d) f(x) =


ln(x+ 1), x ≥ 0
−x, x < 0
em a = 0
(e) f(x) = x3+3x2−x−3
x2+4x+3
2. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a) f(x) =


x2 + px+ 2, x 6= 3
3, x = 3
Resp. p = −8
3
(b) f(x) =


x+ 2p, x ≤ −1
p2, x > −1
Resp. p = 1
3. Determine se existem os valores de x ∈ D(f), nos quais a função f(x) não
é contínua.
CAPÍTULO 4. CONTINUIDADE 55
(a) f(x) =


x
x2−1 , x
2 6= 1
0, x = −1
Resp. O limite de f com x tendendo a−1 não existe, logo f é descon-
tínua no ponto.
(b) f(x) = 1+cos x
3+sen x
Resp. f é contínua em todos os reais pois o denominador nunca se
anula.
(c) f(x) = x−|x|
x
Resp. f é contínua em todos os reais pois o denominador nunca se
anula.
(d) f(x) =


√
x2 + 5x+ 6, x < −3 e x > −2
−1, −3 ≤ x ≤ −2
Resp. f é descontínua em a = −3 e a = −2.
(e) f(x) =


1− cosx, x < 0
x2 + 1, x ≥ 0
Resp. f é descontínua em a = 0.
(f) f(x) = 2
ex−e−x
Resp. f é contínua em todos os reais.
(g) f(x) =


x2−3x+4
x−1 , x 6= 1
1, x = 1
Resp. f é descontínua em a = 1.
(h) f(x) = cos x
x+π
Resp. f é contínua em todos os reais.
4. Determine, se existirem os pontos onde as seguintes funções não são contí-
nuas.
CAPÍTULO 4. CONTINUIDADE 56
(a) f(x) = x
(x−3)(x+7)
Resp. f não é contínua em x = 3 e x = −7
(b) f(x) =
√
(3− x)(6− x)
Resp. f não é contínua no intervalo 3 < x < 6
(c) f(x) = 1
1+2sen x
Resp. f não é contínua nos valores de x tais que sen(x) = −1
2
(d) f(x) = x2+3x−1
x2−6x+10
Resp. f é contínua em todos os reais pois o denominador nunca se
anula.
Capítulo 5
Derivadas
5.1 Tangentes e Taxas de Variação
Definição 9 A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é
a reta tangente P que tem inclinação m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a desde que o limite
existe.
Exemplo 27 Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto
P (1, 1).
Resolução.
Para a = 1 e y = x2, temos: m = lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1
x2 − 1
x− 1 =
lim
x→1
x+1 = 1+1 = 2. Desta forma, pela equação da reta y−y0 = m(x−x0)⇒
y − 1 = 2(x− 1)⇒ y = 2x− 1
Fazendo uma troca de variável: h = x− a, temos x = a+h, daí a inclinação
da reta secante PQ é mPQ = f(a+h)−f(a)h . Então a inclinação da reta tangente
fica: m = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
57
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 58
Exemplo 28 Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole y = 3
x
no ponto
(3, 1).
Resolução.
m = lim
h→0
f(3 + h)− f(3)
h
= lim
h→0
3
3+h
− 1
h
= lim
h→0
3−(3+h)
3+h
h
= lim
h→0
−h
h(3 + h)
=
lim
h→0
−1
3 + h
=
−1
3
. Desta forma, pela equação da reta y − y0 = m(x − x0) ⇒
y − 1 = −1
3
(x− 3)⇒ y = −1
3
x+ 2
O m = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
surge sempre que calculamos uma taxa de vari-
ação tal como uma reação química, um custo marginal, uma velocidade, etc. Ele
é tão comum que recebe uma notação especial.
Definição 10 A derivada de uma função f em um número a, denotada por f ′(a)
é f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
se o limite existe.
5.2 Exercícios
1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 − 8x + 9 em
x = a no ponto (3,−6).
2. Encontre a derivada de f em x = a.
(a) f(x) = x
(b) f(x) = 2x
(c) f(x) = 1
3
x
(d) f(x) = ax+ b
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 59
(e) f(x) = x2
(f) f(x) = 3x2
(g) f(x) = x3
Definição 11 A Derivada como uma função. No seção anterior consideramos a
derivada de uma função f em um número fixo a, desta forma a derivada como
uma função é dada por f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Notações. f ′(x) = y′ = y
dx
= df
fx
= f
dx
f = Df(x) = Dxf(x).
Propriedades. Se f e g forem funções diferenciáveis (deriváveis), então:
(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)
(f(x)− g(x))′ = f ′(x)− g′(x)
(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) regra do produto
(f(x)
g(x)
)′ = f
′(x)g(x)−f(x)g′(x)
(g(x))2
regra do quociente.
Algumas derivadas.
f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex
f(x) = ln(x)⇒ f ′(x) = 1
x
f(x) = sen(x)⇒ f ′(x) = cos(x)
f(x) = cos(x)⇒ f ′(x) = −sen(x)
f(x) = tg(x)⇒ f ′(x) = sec2(x)
f(x) = cossec(x)⇒ f ′(x) = −cossec(x)cotg(x)
f(x) = sec(x)⇒ f ′(x) = sec(x)tg(x)
f(x) = cotg(x)⇒ f ′(x) = −cossec2(x)
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 60
Teorema 9 Toda função derivável em um ponto a é contínua neste ponto.
5.3 Derivadas laterais
Definição 12 • Se uma função y = f(x) está definida em a, então a derivada
à direita de f em a, denotada por f ′+(a) é definida por:
f ′+(a) = lim∆x→0+
f(x+∆x)− f(x)
∆x
= limx→a+
f(x)− f(a)
x− a =
caso o limite exista.
• Se uma função y = f(x) está definida em a, então a derivada à esquerda
de f em a, denotada por f ′−(a) é definida por:
f ′−(a) = lim∆x→0−
f(x+∆x)− f(x)
∆x
= limx→a−
f(x)− f(a)
x− a =
caso o limite exista.
Exemplo 29 Seja f(x) =


3x− 1 se x < 2;
7− x se x ≥ 2.
Observe que f(x) é contínua
em x = 2, entretanto não é derivável em a = 2 pois:
f ′−(2) = lim∆x→0−
f(2 + ∆x)− f(2)
∆x
= lim∆x→0−
[3(2 + ∆x)− 1]− 5
∆x
=
= lim∆x→0−
6 + 3∆x− 1− 5
∆x
= 3
f ′+(2) = lim∆x→0+
f(2 + ∆x)− f(2)
∆x
= lim∆x→0+
[7− (2 + ∆x)]− 5
∆x
=
= lim∆x→0+
5−∆x− 5
∆x
= −1
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 61
Regras de derivação.
• f(x) = k ⇒ f ′(x) = 0, k constante
• f(x) = kxn ⇒ f ′(x) = nkxn−1
• f(x) = kg(x)⇒ f ′(x) = kg′(x), k constante
• f(x) = kxn ⇒ f ′(x) = nkxn−1
• f(x) = u(x) + v(x)⇒ f ′(x) = u′(x) + v′(x)
• f(x) = u(x)
v(x)
⇒ f ′(x) = u′(x).v(x)−u(x).v′(x)
v2(x)
• Se y = f(u) e u = g(x) então y′(x) = f ′(u).g′(x)
• y = ax ⇒ y′ = axlna com a > 0 e a 6= 1
• y = ex ⇒ y′ = exlne = ex
• y = logax⇒ y′ = 1x logae com a > 0 e a 6= 1
• y = lnx⇒ y′ = 1
x
logee = 1x
• y = senx⇒ y′ = cosx
• y = cosx⇒ y′ = −senx
• y = tgx⇒ y′ = sec2x
• y = cotgx⇒ y′ = −cosec2x
• y = secx⇒ y′ = secxtgx
• y = cosecx⇒ y′ = −cosecxcotgx
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 62
5.4 Derivada da Função Inversa.
Teorema 10 Seja uma função y = f(x) definida em (a, b). Suponhamos que f(x)
admita uma função inversa x = g(y) contínua. Se f ′(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b) então
g = f−1 é derivável e vale:
g′(y) =
1
f ′(x)
=
1
f ′[g(y)]
Exemplo 30 Se y = f(x) = 4x − 3, calcule a derivada de sua função inversa,
caso exista.
y = 4x− 3⇒ x = y + 3
4
daí y′ = f ′(x) = 4 e g′(y) = 1
4
Exemplo 31 Se y = f(x) = 8x3, calcule a derivada de sua função inversa, caso
exista.
y = 8x3 ⇒ x = 3
√
y
8
=
1
2
3
√
y daí y′ = f ′(x) = 24x2 > 0 para x 6= 0
e g′(y) =
1
24x2
=
1
24
(
1
2
3
√
y
)2 = 1
6y
2
3
5.5 Derivadas de funções trigonométricas inversas
• Seja f : [−1, 1]→ [−π
2
, π
2
] definida por:
f(x) = arc senx⇔ x = seny, y ∈ [−π
2
,
π
2
]
Então y = f(x) é derivável em (−1, 1) e y′ = 1
(seny)′ =
1
cosy
Como y ∈ (−π
2
, π
2
) temos que cosy =
√
1− sen2y, logo y′ = 1√
1−sen2y
,
mas se seny = x, então: y′ = 1√
1−x2
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 63
• Seja f : [−1, 1]→ [0, π] definida por:
f(x) = arc cosx⇔ y = f(x) é derivável em (−1, 1) e y′ = − 1√
1− x2
• Seja f : R→ (−π
2
, π
2
) definida por:
f(x) = arc tgx⇔ y = f(x) é derivável e y′ = 1
1 + x2
• Se y = arc cotgx⇒ y′ = − 1
1+x2
• Se y = arc secx, |x| ≥ 1, então y′ = 1|x|√x2−1
• Se y = arc cosecx, |x| ≥ 1, então y′ = − 1|x|√x2−1
5.6 Derivadas de Funções Hiperbólicas e suas inver-
sas
As funções hiperbólicas têm esse nome porque, em muitos casos onde o uso
de funções trigonométricasgeram círculos ou elipses, as funções hiperbólicas vão
gerar hipérboles.
Estas funções podem ser definidas em termos de função exponencial da se-
guinte forma: senx = ex−e−x
2
e cosx = e
x+e−x
2
, então:
• y = senh(x)⇒ y′ = cosh(x)
• y = cosh(x)⇒ y′ = senh(x)
• y = tgh(x)⇒ y′ = sech2(x)
• y = cotgh(x)⇒ y′ = −cosech2(x)
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 64
• y = sech(x)⇒ y′ = −sech(x)tgh(x)
• y = cosech(x)⇒ y′ = −cosech(x)cotgh(x)
• y = arg senh(x)⇒ y′ = 1√
x2+1
• y = arg cosh(x)⇒ y′ = 1√
x2−1 , x > 1
• y = arg tgh(x)⇒ y′ = 1
1−x2 , |x| < 1
• y = arg cotgh(x)⇒ y′ = 1
1−x2 , |x| > 1
• y = arg sech(x)⇒ y′ = − 1
x
√
1−x2 , 0 < x < 1
• y = arg cosech(x)⇒ y′ = − 1|x|√1+x2 , |x| 6= 1
5.7 Derivadas Sucessivas.
Definição 13 Seja f uma função derivável. Se f ′ também for uma função deri-
vável, então sua derivada e chamada derivada segunda de f e é representada por
f ′′. Se f ′′ é uma função derivável, sua derivada indicada por f ′′′ é denominada
terceira derivada de f e assim sucessivamente.
5.8 Exercícios
1. Calcule os limites
(a) limx→∞ x+9√x2+4
(b) limx→0 x2+4x4x2
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 65
(c) limx→5 1(x−5)3
(d) limx→1 x2−3x+2x2+x−2
2. Determine o(s) valor(es) p que torna(m) f(x) contínua em x = −1
f(x) =


x+ 3p se x ≤ −1;
2p2 se x > −1.
3. Derive f(x) =
√
x pela definição.
4. Determine f ′(x).
(a) f(x) = ln√x
(b) f(x) = x+3
x2
(c) f(x) = 2x
(d) f(x) = x2+3x−4
2x3−7
(e) f(x) = 1 + 1
x
+ 1
4x2
+ 2
x3
+ 3
x4
(f) f(x) =
√
1−x2
x−1
(g) f(x) = 2
(1−x3)
(h) f(x) = 33√x
(i) f(x) = xcos(x)
(j) f(x) = 3x√
x3
(k) f(x) = x8√x
(l) f(x) = (x5 − 2x) 5√x
(m) f(x) = 2x2
tg(x)
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 66
(n) f(x) = (x4 − 2x3 + 5x2 − x
2
+ 8x
)
(1− x)
(o) f(x) = 2
5x
(p) f(x) = 2x
5
(q) f(x) = sen(x)cos(x)
5. Derive:
(a) f(x) =
(
x2−x
−x−1
)2
(b) f(x) = 2x+4
3x−1
(c) f(x) = 2
3
(5x− 3)−1(5x− 1)
(d) f(x) =
√
x+6
3
(e) f(x) = 2(ex − x)
(f) f(x) = (x+ 1)√x2 − 3
(g) f(x) = x
1−x2+x3
(h) f(x) = xln(x2)
(i) f(x) = x33√x2−1
(j) f(x) = sen(2x)
(k) f(x) = ecos(x)
(l) f(x) = tg(ln(x))
(m) f(x) = 52x2+3x−1
(n) f(x) = ln ( 1
x
)
(o) f(x) =
√
(2x+ 4)(2x+ 1)
(p) f(x) = 7x2
2 5
√
3x+1
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 67
6. Determine f ′′′(x).
(a) f(x) = x2 − x
3
+ 2
x
(b) f(x) = e2x
(c) f(x) = √x
(d) f(x) = sen(x)
(e) f(x) = cos(x)
(f) f(x) = ln(x)
(g) f(x) = x4 + 1
x
7. Estima-se que daqui a t anos, a circulação de um jornal será C(t) = 100t2+
400t+ 5000 por mês.
(a) Encontre a taxa de variação da circulação por mês do jornal em função
do tempo daqui a t anos.
(b) Qual será a taxa de variação da circulação por mês do jornal com o
tempo daqui a 5 anos? Nesta ocasião a circulação está aumentando ou
diminuindo?
(c) Qual será a variação média de circulação por mês do jornal durante o
sexto ano?
8. Um estudo ambiental realizado revela que, em determinada região, daqui a
t anos, a concentração de monóxido de carbono no ar será Q(t) = 0.05t2 +
0.1t+ 3.4 partes por milhão.
(a) Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono
em função do tempo daqui a 1 ano?
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 68
(b) Qual será a variação média da concentração de monóxido de carbono
durante o primeiro ano?
9. Um estudo realizado em certa fábrica mostra que os operários do turno da
manhã, que chegam para trabalhar as 8h, terão montado em média f(t) =
−t3 + 6t2 + 15t receptores de rádio t horas mais tarde.
(a) Escreva a expressão para o número de receptores por hora que os ope-
rários estarão montando t horas depois de começarem a trabalhar.
(b) Quantos receptores por hora os operários estarão montando as 9h da
manhã?
10. Estima-se que daqui a x anos, a nota média de matemática no vestibular de
certa universidade será f(x) = −6x+ 582.
(a) Encontre a expressão para a taxa com que a nota média de matemática
estará variando com o tempo daqui a x anos.
(b) O que significa a expressão do item a) ser constante? O que significa
a expressão do item a) ser negativa?
11. Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será P (x) =
2x+4x
3
2 +5000. Qual a taxa de variação da população em função do tempo
daqui a 9 meses?
12. Estima-se que daqui a x meses a população de um certo município será
P (x) = 20x+ 8000.
(a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 15
meses?
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 69
(b) Qual será a variação média da população durante o 16o mês?
13. A receita bruta anual de uma certa empresa era A(t) = 0.1t2 + 10t + 20
mil reais, t anos após a fundação da companhia em 1998. Qual a taxa de
variação da reita bruta anual da empresa no início de 2010?
14. O produto interno bruto (PIB) de um certo país é dado por N(t) = 5t+106
bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1990. Qual foi a taxa de
variação do PIB em 2000?
15. Os registros mostram que x anos depois de 1994, o imposto predial médio
que incide sobre um apartamento de três quartos em um certo município era
T (x) = 20x2 + 40x + 600 reais. Qual era a taxa de aumento do imposto
predial no início do anos de 2000?
16. Derive:
(a) f(x) = 3√x+ 13√x
(b) f(x) = (2x−1)(2x+3)
(x+1)
(c) f(x) = (2x−1)5(2x+3)
(x+1)
(d) f(x) = (2x−1)(2x+3)4
(x+1)
(e) f(x) = (2x−1)(2x+3)
(x+1)2
(f) f(x) =
√
(5x−1)
(1−2x)
(g) f(x) =
√
(5x−1)
(1−2x)
(h) f(x) = (5x−1)√
(1−2x)
(i) f(x) = x+
√
x
x
√
x
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 70
(j) f(x) = x
sen(x)+cos(x)
(k) f(x) = sen(ex)
(l) f(x) = esen(x)
(m) f(x) = ln(x)
(n) f(x) = ln(x+ 1)
(o) f(x) = ln(x2)
(p) f(x) = ln(x3)
(q) f(x) = 5ln(x3)
(r) f(x) = ln( 1
x3
)
(s) f(x) = ln(cos(x3))
(t) f(x) = sen(x+1)
x+1
(u) f(x) = 3√x2 − 3x+ 1
(v) f(x) = 1
cos(x)
(w) f(x) = 1
sen(x)
(x) f(x) = sen(x)
cos(x)
(y) f(x) = cos(x)
sen(x)
5.9 Diferenciação Implícita
Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é
uma função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e
a expressão da função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente
e, caso isso ocorra, dizemos que y é uma função implícita da variável x.
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 71
Vejamos, por exemplo, a equação y = 2x2 − 3. Observamos que y é uma
função explícita de x, pois podemos escrever y = f(x), onde f(x) = 2x2 − 3.
Entretanto, a equação 4x2 − 2y = 6 define a mesma função, pois isolando y
obtemos y = 2x2 − 3. Quando escrita na forma 4x2 − 2y = 6, dizemos que y é
uma função implícita de x.
Observação: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em
x e y pode definir mais de uma função implícita.
Exemplo 32 A equação x2 + y2 = 1 pode definir várias funções implícitas, tais
como y =
√
1− x2, y = −√1− x2, y =


√
1− x2 se − 1 ≤ x < 0, 3;
−√1− x2 se 0, 3 ≤ x ≤ 1.
dentre outras.
Para derivar uma função dada na forma implícita, basta lembrar que y é função
de x e usar a regra da cadeia.
Exemplo 33 Dada a equação 4x2 − 2y = 6, determine y′(x).
Para não esquecermos que y é função de x, podemos escrever a equação como
4x2 − 2y(x) = 6.
Assim, derivando ambos os lados em relação à x, obtemos 8x − 2y′(x) = 0
ou y′(x) = 4x, que coincide com a derivada de y = 2x2 − 3.
Exemplo 34 Dada a equação x2y + 2y3 = 3x+ 2y, determine y′(x).
Reescrevendo a equação, temos x2y(x) + 2y3(x) = 3x+ 2y(x).
Assim, derivando ambos os lados em relação à x, obtemos:
2xy(x) + x2y′(x) + 6y2(x)y′(x) = 3 + 2y′(x)⇒ y′(x) = 3− 2xy
x2 + 6y2 − 2
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 72
Exemplo 35 Utilize a derivação implícita para mostrar que se y = arcsen(x),
então y′(x) = 1√
1−x2 .
Sabemos que y = arcsen(x) ⇔ sen(y) = x. Assim, derivando a última
equação em relacao à x, obtemos:
cos(y).y′(x)= 1⇒ y′(x) = 1
cos(y)
=
1√
1− sen2(y) =
1√
1− x2
Portanto, y′(x) = dy
dx
= 1√
1−x2
Exemplo 36 Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante
tem interesse em produzir x mil unidades, onde a oferta e o preço estão relacio-
nados pela equação x2 − 2x√p − p2 = 31. Qual é a taxa de variação da oferta
quando o preço unitário é R$9, 00 e está aumentando à taxa de 20 centavos por
semana?
Sabemos que para p = 9, dp
dt
= 0, 20 reais/semana. Queremos saber qual o
valor de dx
dt
. Observemos que para p = 9, a equação é:
x2 − 2x
√
9− 92 = 31⇔ x2 − 6x− 112 = 0⇔ (x+ 8)(x− 14) = 0⇔ x = 14
pois x = −8 não tem significado físico para o problema.
Derivando implicitamente os dois membros da equação de oferta em relação
ao tempo, obtemos:
2x
dx
dt
−
(
2
dx
dt
√
p+ 2x
1
2
√
p
dp
dt
)
− 2pdp
dt
= 0
Fazendo x = 14, p = 9 e dp
dt
= 0, 20, fica:
28
dx
dt
− 6dx
dt
− 14
3
0, 20− 3, 6 = 0⇒
22
dx
dt
− 0, 93− 3, 6 = 0⇒ dx
dt
=
4, 53
22
= 0, 206
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 73
Como a oferta é dada em milhares de unidades, concluímos que se dx
dt
=
0, 206, a oferta está aumentando à taxa de 206 unidades por semana.
5.10 Exercícios
1. Derive as seguintes funções:
(a) f(x) = 3
(b) f(x) = 11
(c) f(x) = 9
(d) f(x) = −12
(e) f(x) = 0
(f) f(x) = x
(g) f(x) = x2
(h) f(x) = x3
(i) f(x) = x4
(j) f(x) = x5
(k) f(x) = 2x
(l) f(x) = 3x
(m) f(x) = 4x
(n) f(x) = −3x
(o) f(x) = −7x+ 1
(p) f(x) = −5x2 − 6x+ 7
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 74
(q) f(x) = 3x2 + 2x+ 3
(r) f(x) = x3 + 2x
(s) f(x) = x3 − x
(t) f(x) = −3x+ 3
(u) f(x) = 23
(v) f(x) = r3
(w) f(x) = 1
x
(x) f(x) = 1
x2
(y) f(x) = 1
x3
2. Derive mais:
(a) f(x) = 1
x4
(b) f(x) = 4x12
(c) f(x) = 4x13
(d) f(x) = 4x73
(e) f(x) = 7x34 + x
(f) f(x) = 3x0
(g) f(x) = 6x7
(h) f(x) = t2 − t3
(i) f(x) = −4
7x+3
(j) f(x) = 3x
(x+8)2
(k) f(x) = 2x2
x2−x−2
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 75
(l) f(x) = 1
x(x−3)2
(m) f(x) = −1
(x+1)2
(n) f(x) = 2x2
x2+1
(o) f(x) = x2−x
16−x2
(p) f(x) = 16−x2
4−x
(q) f(x) = 1
4
sen(x)
(r) f(x) = −4sen(x)
(s) f(x) = sen(x− r
4
)
(t) f(x) = −3cos(x)
(u) f(x) = 4tg(x)
(v) f(x) = 1
4
tg(x)
(w) f(x) = tg2(x+ 4)
3. Utilizando as propriedades, calcule as derivadas:
(a) f(x) = (x3 − 7)(2x2 + 3)
(b) f(x) = x4 − x 34
(c) f(x) = (2x2 − 4x+ 1)(6x− 5)
(d) f(x) = x 12 (x2 + x− 4)
(e) f(x) = x 23 (3x2 − 2x+ 5)
(f) f(x) = x2(3x2 − 2x+ 2)
(g) f(x) = (8x2 − 5x)(13x2 + 4)
(h) f(x) = 4x−5
3x+2
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 76
(i) f(x) = 8−x+3x2
2−9x
(j) f(x) = x3−1
x3+1
(k) f(x) = 1
1+x+x2+x3
(l) f(x) = 7
x2+4
(m) f(x) = t2 + 1
t2
(n) f(x) = (5x− 4)2
(o) f(x) = (5x− 4)−2
(p) f(x) = 35t−12
t2
+7
(q) f(x) = 2x3−7x2+4x+3
x2
(r) f(x) = 5x4+x3−2x
x3
(s) f(x) = cos(x2)
(t) f(x) = tg(x)4
(u) f(x) = sen(−x) + cosx
(v) f(x) = x− xcos(x3)
(w) f(x) = 3xsen(x)
(x) f(x) = tg(x)
1+x2
(y) f(x) = 4
3
x5sen(3x)
4. Determine dy
dx
por derivação implícita para cada uma das funções.
(a) x2 − 5xy + 3y2 = 7 Resp : dy
dx
= 2x−5y
5x−6y
(b) sen
(
x
y
)
= 1
2
Resp : dy
dx
= y
x
(c) cos(x+ y) + sen(x+ y) = 1
3
Resp : dy
dx
= −1
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 77
(d) xex2+y2 = 5 Resp : dy
dx
= −2x2+1
2xy
(e) 2x+3y
x2+y2
= 9 Resp : dy
dx
= 2x
2−2y2+6xy
3x2−4xy−3y2
(f) x3 + y3 = 8 Resp : −x2
y2
(g) 4x2 − 9y2 = 17 Resp : 4x
9y
(h) ytan(x+ y) = 4 Resp : − y
sen(x+y)cos(x+y)+y
(i) x2−y2
x2+y2
= 1
2
Resp : y
x
(j) ecos(x) + esen(y) = 1
4
Resp : sen(x)e
cos(x)
cos(y)esen(y)
5. Mostre, utilizando derivação implícita, que se y = arccos(x) então dy
dx
=
−1√
1−x2
6. Um estudo ambiental revela que haverá em certa cidade Q(p) = p2 + 4p+
900 unidades de partículas de determinado poluente no ar quando a popu-
lação for de p mil habitantes. Se a população atual é de 50.000 habitantes
e está aumentando à taxa de 1.500 habitantes por ano, qual é a taxa de au-
mento da poluição causada pelo produto?
7. Nos processos adiabáticos não existe troca de calor com o ambiente. Su-
ponha que um balão de oxigênio seja submetido a um processo adiabático.
Nesse caso, se a pressão do gás é P e o volume é V , pode-se demonstrar
que PV 1,4 = C, onde C é uma constante. Em certo instante, V = 5m3,
P = 0, 6kg/m2 e P está aumentando à razão de 0, 23kg/m2/s. Qual é a
taxa de variação do volume neste instante? O volume está aumentando ou
diminuindo?
8. Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 metros
de altura e 2 metros de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 78
0, 001m3/min, calcule aproximadamente a razão na qual o nível da água
estará subindo quando a profundidade for de 1 metro. Dica: Pense no vo-
lume do cone e de que forma ele varia instatâneamente em termos da altura.
Observação, tente uma relação entre altura e raio do cone para viabilizar a
solução.
9. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal de espessura desprezível, seu
diâmetro varia à razão de 0, 01cm/min. Determine a taxa à qual a área das
faces varia quando o diâmetro está em 30cm. Dica: Pense na área da circun-
ferência em termos do diâmetro e de que forma ela varia instatâneamente
em termos da variável independente.
10. Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio
do círculo aumenta à uma razão de 1m/min. Determine a taxa à qual a área
incendiada está aumentando quando o raio é de 20m. Dica: Pense na área da
circunferência em termos do raio e de que forma ela varia instatâneamente
em termos da variável independente.
11. Um gás está sendo bombeado para um balão esférico à razão de 0, 1m3/min.
Ache a taxa de variação do raio quando este é de 0, 45m. Dica: Pense no
volume da esfera e de que forma ele varia instatâneamente em termos do
raio.
12. Uma escada de 6 metros de comprimento está apoiada em uma parede ver-
tical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de
1m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando está
2, 5m acima do solo? Dica: Pense na regra de Pitágoras que estabelece a
relação de um triângulo retâgulo.
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 79
13. A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sem-
pre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15cm/min, deter-
mine a taxa à qual a areia estará escoando quando a altura da pilha for 25cm.
Dica: Pense no volume do cone e de que forma ele varia instatâneamente
em termos da altura.
14. As extremidades de um cocho de 2,5 metros de comprimento são triângulos
equiláteros cujos lados têm 60cm de comprimento. Se a água está entrando
no cocho à razão de 1421L/min, determine a taxa à qual a altura do nível
de água está aumentando quando a profundidade da água é de 20cm.
5.11 Máximos e Mínimos
Suponhamos que um gráfico tenha registrado a variação de uma quantidade
física tais como temperatura, resistência em um circuito elétrico, pressão sangüí-
nea de um indivíduo, quantidade de um produto químico em uma solução, ou
contagem de bactérias em uma cultura. Se o gráfico cresce e decresce, ele indica
que a quantidade aumentou em alguns intervalos, dimunuiu em outros e assim por
diante.
Definição 14 Seja uma função f definida em um intervalo I, e sejam c1, c2 núme-
ros em I.
• f é crescente em I se f(c1) < f(c2) quando c1 < c2;
• f é decrescente em I se f(c1) > f(c2) quando c1 < c2;
• f é constante em I se f(c1) = f(c2) para todo c1 < c2.
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 80
Definição 15 Seja f uma função gráfica em um conjunto S de reais, e seja c1, c2
um número em S.
• f(c1) é o valor máximo def em S se f(x) ≤ f(c1) para todo x em S,
• f(c2) é o valor mínimo de f em S se f(x) ≥ f(c2) para todo x em S.
Exemplo 37 Seja f(x) = 4 − x. Determine os extremos de f nos seguintes
intervalos: (a) [-2,1] (b) (-2,1) (c) (1,2] (d) (1,2)
Exemplo 38 Seja f(x) = 1
x2
. Determine os extremos de f em: [-1,2] e [-1,2)
Teorema 11 (Teorema do valor Extremo) Se uma função f é contínua em um
intervalo fechado [a, b], então f toma seu valor máximo e seu mínimo ao menos
uma vez no intervalo.
Definição 16 Sejam x1, x2 no domínio de uma função f .
• f(x1) é um máximo local de f se existe um intervalo aberto (a, b) contendo
x1, tal que f(x) ≤ f(x1) para todo x em (a, b).
• f(x2) é um mínimo local de f se existe um intervalo aberto (a, b) contendo
x2, tal que f(x) ≥ f(x2) para todo x em (a, b).
Teorema 12 Se uma função f tem um extremo local em um número c em um
intervalo aberto, então ou f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe.
Definição 17 Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de
f onde f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe.
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 81
Teorema 13 Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a, b], é dife-
renciável no intervalo aberto (a, b) e f(a) = f(b) então exite um número c do
intervalo aberto (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Teorema 14 (Teorema do Valor Médio) Se uma função f é contínua em um in-
tervalo fechado [a, b] e é diferenciável no intervalo aberto (a, b) então exite um
número c do intervalo aberto (a, b) tal que f ′(c) = f(b)−f(a)
b−a .
Teorema 15 Se f ′(x) = 0, para todo x em um intervalo (a, b), então f é cons-
tante em (a, b).
Teste da Primeria Derivada
• Se f ′(x) > 0 sobre um intervalo, então f é crescente nele.
• Se f ′(x) < 0 sobre um intervalo, então f é decrescente nele.
• Se f ′ mudar o sinal de positivo para negativo em c, c é máximo local de f .
• Se f ′ mudar o sinal de negativo para positivo em c, c é mínimo local de f .
• Se f ′ não mudar o sinal em c, e se ambos os sinais de f ′ for positivo ou
negativo, então c não é mínimo nem máximo local de f .
Definição 18 Se o gráfico de f estiver acima de todas as retas tangentes no inter-
valo I, disemos que ele é côncavo para cima. Se estiver abaixo de todas as retas
tangentes no intervalo I, disemos que ele é côncavo para baixo.
Teste da Segunda Derivada
• Se f ′′(x) > 0 sobre um intervalo, então f é côncavo para cima em I.
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 82
• Se f ′′(x) < 0 sobre um intervalo, então f é côncavo para baixo em I.
Definição 19 Se f ′′(c) = 0 para número c no domínio de f então dizemos que
cé um ponto de inflexão. O ponto de inflexão é o ponto no qual a função muda a
concavidade.
Diretrizes para determinar os extremos de uma função contínua em f em
[a, b].
• Determinar todos os números críticos de f em (a, b).
• Calcular f(c) para cada número crítico c obtido em I.
• Calcular os valores extremos f(a) e f(b).
• Os valores máximo e o mínimo de f em [a, b] são o maior e o menor valores
da função calculados.
Exemplo 3. Se f(x) = x3 − 12x, determinar os valores máximo e mínimo de
f no intervalo fechado [−3, 5] e esboçar o gráfico de f .
Exemplo 4. Se f(x) = (x− 1) 23 + 2, ache os valores máximo e mínimo de f
em [0, 9] e esboce o gráfico de f .
Exemplo 5. Se f(x) = x3 , prove que f não tem extremo local.
Exemplo 6. Determine os números críticos de f(x) = (x− 5)2 3√x− 4
5.12 Exercícios
1. Esboce o gráfico de f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7.
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 83
2. A receita obtida com a produção de x unidades de uma certa mercadoria é
dada por: R(x) = 63x−x2
x2+63
milhões de reais. Qual é aprodução que proporci-
ona a máxima receita? Qual é essa receita?
3. Determine os intervalos onde a função cresce e decresce:
f(x) = x2 − 4x+ 5
f(x) = x3 − 3x− 4
f(x) = 3x5 − 5x3
4. Determine os pontos críticos classificando-os como máximo ou mínimo:
f(x) = (x− 1)5
f(x) = 2x2(3− x)
5. Determine o máximo absoluto e mínimo absoluto de f(x) = 2x3 + 3x2 −
12x− 10 para −3 ≤ x ≤ 0.
6. Durante várias semanas, o departamento de trânsito vem registrando a velo-
cidade dos veículos que passam em um certo local. Os resultados mostram
que entre 13h e 18h de um dia de semana, a velocidade nesse quarteirão é
aproximadamente dada por: v(t) = t3− 10, 5t2 +30t− 20 quilômetros por
hora, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante entre 13h
e 18h em que o trânsito é mais rápido? Qual o instante em que o trânsito é
mais lento?
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 84
5.13 Fórmula de Taylor
O objetivo deste assunto é apresentar um método de aproximação de uma fun-
ção por um polinômio com erro possível de ser determinado.
Definição 20 Sejam f : I → R uma função que admite derivadas até ordem n
num ponto c do intervalo I . O polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto c,
denotado por Pn(x) é dado por:
Pn(x) = f(c) + f
′(c)(x− c) + f ′′(c)
2!
(x− c)2 + . . .+ f (n)(c)
n!
(x− c)n.
Observe que Pn(c) = f(c) para x = c.
Proposição. Sejam f : [a, b]→ R uma função que admite derivadas contínuas
até ordem n em [a, b] e que exista f (n+1) em (a, b). Seja c num ponto qualquer do
intervalo [a, b]. Então, para cada x ∈ [a, b], x 6= c, existe um ponto z entre c e x
tal que:
f(x) =
f(c) + f ′(c)(x− c) + f ′′(c)
2!
(x− c)2 + . . .+ f (n)(c)
n!
(x− c)n + f (n+1)(z)
(n+1)!
(x− c)(n+1).
Observação: Quando c = 0, a fórmula de Taylor fica:
f(x) = f(0) + f ′(0)x+ f
′′(0)
2!
x2 + . . .+ f
(n)(0)
n!
xn + f
(n+1)(z)
(n+1)!
x(n+1);
que recebe o nome de fórmula de Mac-Laurin.
O resto Rn(x) = f
(n+1)(z)
(n+1)!
x(n+1) é chamado Forma de Lagrange do Resto.
Exemplo 39 Determine o polinômio de taylor para f(x), conforme indicado:
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 85
1. Ordem 4, f(x) = ex e c = 0
2. Ordem 2, f(x) = cos(x) e c = 0
3. Ordem 4, f(x) = cos(x) e c = 0. Estime através de P4(x) o cos(π6 )
4. Ordem 6, f(x) = sen(2x) e c = π
4
5.14 Regras de L´Hospital
O objetivo deste assunto é apresentar um método para as indeterminações do
tipo 0/0 e ∞/∞.
Proposição. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I , exceto,
possivelmente, em um ponto a ∈ I . Suponha g′(x) 6= 0 para todo x 6= a em I .
1. Se lim
x→a
f(x) = 0 e lim
x→a
g(x) = 0, então:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
=
;
2. Se lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = ±∞, então:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
.
Exercícios: Determine os limites indicados:
1. lim
x→0
2x
ex − 1 ;
CAPÍTULO 5. DERIVADAS 86
2. lim
x→2
x2 + x− 6
x2 − 3x+ 2 ;
3. lim
x→2
(x)− x
ex + e−x − 2 ;
4. lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x2 − x− 2 ;
5. lim
x→0
x2 + 6x
x3 + 7x2 + 5x
;
6. lim
x→3
6− 2x+ 3x2 − x3
x4 − 3x3 − x+ 3 ;
7. lim
x→∞
x2 − 6x+ 7
x3 + 7x− 1 ;
8. lim
x→∞
7x5 − 6
4x2 − 2x+ 4 ;
9. lim
x→∞
ex
x2
;
10. lim
x→0
x
ex − cos(x) ;
Capítulo 6
Integrais
Definição 21 Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um
intervalo I , se para todo x ∈ I , tem-se F ′(x) = f(x).
Exemplo 40 A função F (x) = x5
5
é uma primitiva da função f(x) = x4, pois
F ′(x) = 5x
4
5
= x4 = f(x), ∀x ∈ R.
Exemplo 41 As funções T (x) = x5
5
−3 e H(x) = x5
5
+12 também são primitivas
da função f(x) = x4, pois T ′(x) = H ′(x) = f(x).
Exemplo 42 A função F (x) = √x é uma primitiva da função f(x) = 1
2
√
x
, pois
F ′(x) = f(x). As funções T (x) = √x − 4, H(x) = √x + 2
3
também podem ser
consideradas primitivas de f .
Exemplo 43 A função F (x) = −sen(x) é uma primitiva da função f(x) =
−cos(x), pois F ′(x) = −cos(x), assim como T (x) = −sen(x) + 2, H(x) =
−sen(x)−√7, entre outras também o são.
87
CAPÍTULO 6. INTEGRAIS 88
Definição 22 Seja I um intervalo em R. Se F : I → R é uma primitiva de
f : I → R, então para qualquerconstante real k , a função G(x) dada por
G(x) = F (x) + k é denominada família de primitiva de f .
Observação. Se F,G : I → R são primitivas de f então existe uma constante
real k , tal que G(x) = F (x) + k, para todo x ∈ I .
Exemplo 44 Encontrar uma primitiva F (x), da função f(x) = 2x3+4x2−5x+1,
para todo x ∈ R, que satisfaça a seguinte condição F (1) = 0.
Resolução. F (x) = x4
2
+ 4x
3
3
− 5x2
2
+ x+ k, logo k = −7
3
e daí a primitiva é
única e é dada por: F (x) = x4
2
+ 4x
3
3
− 5x2
2
+ x− 7
3
6.1 Integral Indefinida
Definição 23 Se a função F (x) é primitiva da função f(x), a expressão F (x)+c,
para c constante, é chamada integral indifinida de f e é denotada por
∫
f(x)dx = F (x) + c
O símbolo
∫
representa o sinal de integração e a função f(x) é a função inte-
grando; dx indica a diferencial que representa a variável de integração integração
A simbologia indica a integral indefinida de f(x) em relação a x ou simples-
mente a integral de f(x) em relação a x.
Propriedades. Sejam f(x) e g(x) funções em R e k uma constante real.
Então:
•
∫
kf(x)dx = k
∫
f(x)dx
CAPÍTULO 6. INTEGRAIS 89
•
∫
f(x) + g(x)dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx
•
∫
f(x)− g(x)dx =
∫
f(x)dx−
∫
g(x)dx
6.2 Exercícios
1. Encontre todas as antiderivadas de cada uma das seguintes funções:
(a) f(x) = x
(b) f(x) = 9x8
(c) f(x) = e3x
(d) f(x) = e−3x
(e) f(x) = 3
(f) f(x) = −4x
2. Encontre k para as quais a antidiferenciação é verdadeira:
(a)
∫
x−5dx = kx−4 + C
(b)
∫
x
1
3dx = kx
4
3 + C
(c)
∫ √
xdx = kx
3
2 + C
(d)
∫
6
x3
dx =
k
x2
+ C
(e)
∫
10
t6
dt = kt−5 + C
(f)
∫
3√
t
dt = k
√
t+ C
CAPÍTULO 6. INTEGRAIS 90
(g)
∫
5e−2tdt = ke−2t + C
(h)
∫
3e
t
10dt = ke
t
10 + C
(i)
∫
2e4x−1dx = ke4x−1 + C
3. Determine as seguintes antiderivadas:
(a)
∫
(x2 − x− 1)dx
(b)
∫
(x3 + 6x2 − x)dx
(c)
∫ (
2√
x
− 3√x
)
dx
(d)
∫ (
4− 5e−5t + e
2t
3
)
dt
(e)
∫
(e2 + 3t2 − 2e3t)dt
4. Encontre todas as funções f(t) com as seguintes propriedades:
(a) f ′(t) = t 32
(b) f ′(t) = 4
6+t
(c) f ′(t) = 0
(d) f ′(t) = t2 − 5t+ 7