1512328 Redes cristalinas

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Ordem de curto alcance:
Organização apenas até átomos vizinhos (< 100 nm)
Materiais Amorfos
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Ordem de longo alcance:
Arranjo especial de átomos que se estende por 
longas distâncias (~>100 nm)
Materiais cristalinos
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Sólidos Moleculares 
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Estrutura cristalina é a maneira que os átomos, íons ou
moléculas estão distribuídos.
Modelo da esfera rígida: átomos vizinhos são esferas que se 
tocam (Modelo Atômico de Dalton ).
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Como a rede cristalina tem uma estrutura repetitiva, é possível descrevê-la a partir 
de uma estrutura básica, como um “tijolo”, que é repetida por todo o espaço. 
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Células Unitárias são pequenos grupos de
átomos que formam padrões repetitivos
Células Unitárias são paralelepípedos ou prismas
cujos vértices coincidem com o centro dos átomos.
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AS 14 REDES DE BRAVAIS
•Dos 7 sistemas cristalinos podemos 
identificar 14 tipos diferentes de células 
unitárias, conhecidas com redes de 
Bravais. 
•Cada uma destas células unitárias tem 
certas características que ajudam a 
diferenciá-las das outras células 
unitárias. 
•Estas características também auxiliam 
na definição das propriedades de um 
material particular.
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OS 7 SISTEMAS CRISTALINOS
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A geometria da célula unitária é definida por três arestas a, b, c e três
ângulos , , , os parâmetros de rede.
Sistemas Cristalinos
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Célula Cúbica Simples –
c.s.
SISTEMA CÚBICO SIMPLES
Número de coordenação  Número de 
átomos vizinhos mais próximos.
NC=6
Relação parâmetro de rede / raio atômico
:
a = 2r
•Vol. dos átomos=número de átomos x Vol. Esfera (4R3/3)
•Vol. Da célula=Vol. Cubo = a3
FEA=0,52
FATOR DE EMPACOTAMENTO  Razão entre o volume da célula 
ocupada por átomos e o seu volume total.
O e F cristalizam em estruturas cúbicas 
simples
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No sistema CCC os
átomos se tocam ao
longo da diagonal do
cubo
a a
x
EST. CÚBICA DE CORPO CENTRADO - ccc
K, Na, Mo, Mn, Fe, Cr, W,... cristalizam em ccc
FEA=0,68
Número de coordenação NC = 8 (átomo central
toca os 8 átomos dos vértices.
Relação parâmetro raio:
Número de átomos na célula  2
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2
2
2
2
22
222
ax
ax
xa
xaa




   
 
 
3
443
43
42
42
22
222
222
RaRa
Ra
Raa
Raa




No sistema CCC os átomos
se tocam ao longo da
diagonal do cubo
a a
x
CCC
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EST. CÚBICA DE FACE CENTRADA - cfc
NC = 12
Nº de átomos dentro da célula unitária  4
Relação parâmetro / raio 
FEA=0,74
É o sistema mais comum encontrado nos 
metais (Al, Fe, Cu, Pb, Ag, Ni,...)
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RELAÇÃO ENTRE O RAIO ATÔMICO (R) E O 
PARÂMETRO DE REDE (a) PARA O SITEMA CFC
22
8
2
16
162
)4(
22
22
22
222
Ra
Ra
Ra
Ra
Raa





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A célula hcp é descrita por dois parâmetros: “a” 
(parâmetro de rede da base) e “c” altura.
Os parâmetros “a” e “c” estão relacionados por: c/a = 
1,633 (ideal)
Número de coordenação na estrutura hcp – 12.
Cada célula contém 6 átomos
É o sistema mais comum encontrado nos metais (Ti, Co, 
Mg, Zn, Cd,...)
FEA=0,74
EST. HEXAGONAL COMPACTA - hcp
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Átomos por 
célula
Parâmetro de rede Número de 
coordenação
Fator de 
empacotamento 
CS 1 2R 6 0,52
CCC 2 4R/(3)1/2 8 0,68
CFC 4 4R/(2)1/2 12 0,74
HC 6 2R - c/a = 1,633 12 0,74
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Densidade
O conhecimento da estrutura cristalina 
possibilita a determinação da densidade 
verdadeira  do sólido:
n = nº átomos em cada célula unitária
A = peso atômico
Vc = volume da célula unitária
NA = nº de Avogadro – 6,023 x 1023 átomos/mol AcNV
nA
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Exercício: O cobre possui raio atômico de 0,128 nm, estrutura CFC e peso
atômico de 63,5 g/mol. Calcule sua densidade.
Solução:
Como a estrutura é CFC, o cobre tem 4 átomos por célula unitária. Além disso, o volume da
célula CFC é:
3
2337
/89,8
/1002,6/)210128,02(
)/5,63)(/(4 cmg
molátomoscélulacm
molgcélulaatómos 

 
3
3
2
2 



 RaVc
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Direções Cristalográficas
Uma direção cristalográfica é definida por um vetor passando pela origem
z
x
y
a
b
c
a,b,0=1,1,0
a,0,c=1,0,1
a,b,c=1,1,1
a/2,b/2,c/2=½, ½, ½ 
Pontos Coordenados
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Direções Cristalográficas
(c) 2003 B
rooks/C
ole Publishing / Thom
son 
Learning
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son 
Learning
Exercício:
a)
b)
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Direções e planos cristalográficos na estrutura hcp:
Conversão 3  4 coordenadas
 O plano basal e a 
altura da célula 
são divididos em 
linhas paralelas 
aos 3 eixos a 
cada 1/3 de 
parâmetro de 
rede.
 A estrutura hcp não é uma célula unitária.
 Pode-se representar as direções utilizando o sistema a1-a2-z [u’ v’ w’] da 
célula unitária da estrutura hcp ou através de um sistema redundante de 4 
eixos a1-a2-a3-z [u v t w] com t = -(u + v)chamado de sistema Miller-
Bravais
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Exemplo:
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Exercício: indique as direções e os planos mostrados nas células hcp 
abaixo:
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Planos Cristalográficos
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (110)
1. Interseção 1 1 
2. Recíprocos 1/1 1/1 1/
1 1 0
3. Redução 1 1 0
exemplo a b c
Índices de Miller
Menores inteiros obtidos a partir dos recíprocos dos pontos de interseção
do plano com os eixos.
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Planos Cristalográficos
Exercício: indique os índices de Miller para os planos cristalográficos mostrados 
nas células abaixo: 
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Determinação de índices de Miller na célula hcp. Exemplo>
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Arranjos Atômicos 
A distribuição dos átomos em um plano cristalográfico 
depende da estrutura cristalina
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DENSIDADE LINEAR
Exemplo: Estrutura CFC – direção [110]
 Obs.: a densidade linear é medida em unidades de 
comprimento elevado a menos um
Exercício:
Calcule a densidade linear do 
cromo (estrutura CCC e raio 
atômico de 124,9 pm) nas 
direções [100], [101] e [111]
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DENSIDADE PLANAR
4r
Exemplo: plano (110) da estrutura CFC
Exercício:
Calcule a densidade planar do 
cromo (estrutura CCC e raio 
atômico de 124,9 pm) nos 
planos (100), (101) e (111)
Obs.: a densidade planar é media 
em unidades de comprimento 
elevado a menos dois
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Materiais Monocristalinos
• Arranjo periódico se estende por todo o
material sem interrupção.
• As células unitárias se ligam da mesma
maneira e possuem a mesma orientação.
Diamante com impurezas de “N”
Rubi = Al2[52,9%]O3[47,1%]
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Materiais Policristalinos
• Formado por muitos cristais
pequenos, os grãos.
• A orientação cristalográfica varia
de grão para grão, formando os
contornos de grão.
•Textura é uma orientação
preferencial dos grãos.
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Aço laminado a frio mostrando 
textura nos grãos
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Polimorfismo = existência de mais de uma estrutura cristalina para um
mesmo material dependendo da temperatura e da pressão.
Alotropia = polimorfismo em elementos puros.
CCC
CFC
CCC
1538ºC
1394ºC
912ºC
-Fe
-Fe
-Fe
líquido
a Diamante; b Grafite; c Lonsdaleíta (diamante hexagonal); d,e,f Fulerenos; 
g Amorfa; h Nanotubos de carbono
Fe - ferro
C - carbono
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Anisotropia
Metal
Al
Cu
Fe
W
Módulo de elasticidade (GPa)
•Quando as propriedades físicas dependem
da direção cristalográfica.
•O grau de anisotropia depende da simetria
da estrutura cristalina.
•Estruturas triclínicas são altamente
anisotrópicas.
•Materiais policristalinos são, em geral,
isotrópicos.