Lista de exercícios Cálculo I - Limite e Continuidade

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Disciplina: IC241 - Cálculo 1
LISTA 1 - Limite e Continuidade
1. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→100
7
(b) lim
x→5
3x− 5
(c) lim
x→0
(x3 + 2x+ 1)(x− 1)
(d) lim
x→5
x+ 2
x− 4
(e) lim
x→1
(
x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1
)8
(f) lim
x→2
√
x2 + 3x+ 4
x3 + 1
(g) lim
x→100
7
(h) lim
x→−3
x2 − x− 12
x2 + 4x+ 3
(i) lim
x→2
x2 − 4
x− 2
(j) lim
r→1
r2 − r
2r2 + 5r − 7
(k) lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
(l) lim
x→−2
x3 + 8
x+ 2
(m) lim
x→25
√
x− 5
x− 25
(n) lim
z→2
z3 − 8
z2 − 4
(Use a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2))
(o) lim
x→0
√
x+ 1− 1
x
(p) lim
x→1
√
x2 + 9x−√x+ 9
x− 1
(q) lim
x→3
3
√
x− 3√3
x− 3
(r) lim
x→7
√
x−√7√
x+ 7−√14
(s) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5
2. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0
sen(−7x)
x
(b) lim
x→0
3x2
senx
(c) lim
x→0
2x− tgx
3x+ tgx
(d) lim
x→0
e
(
x2−1
x+1
)
(e) lim
x→0
tg(3x)
sen(4x)
(f) lim
x→0
3x2
tg(x)sen(x)
(g) lim
x→0
1− cos(x)
x
(h) lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
(i) lim
x→1
sen
[(
x2 − 1
x− 1
)
pi
2
]
(j) lim
x→0
(
ex
2+1 + sen[pi(2x+ 1)]
)
(k) lim
x→1
ln
(
x5 + x3 − 1
x2 + 1
)
(l) lim
x→0
sen(x2 + sen(cos(x)))
x2 + 1
(m) lim
x→0
e
x
sen(x)
1
(n) lim
x→0
1
5x5cossec5(2x)
(o) lim
x→0
sen(sen(x))
x
(p) lim
x→0
sen(x)sen
(
1
x
)
3. Calcule o limite, caso exista. Caso con-
trário, justifique.
(a) lim
x→1
x2 − 5x+ 4
|x− 1|
(b) lim
x→−4
f(x), onde
f(x) =
 x+ 4 se x ≤ −4−x− 4 se x > −4
(c) lim
x→1
f(x), onde
f(x) =
 −3 se x ≤ 13 se x > 1
4. Dado
f(x) =
 3x+ 2 se x < 05x+ k se x ≥ 0.
Ache o valor de k para o qual lim
x→0
f(x)
exista.
5. Dado
f(x) =
 3kx− 1 se x ≤ 1x2 + 2k se x > 1.
Encontre o valor de k para o qual
lim
x→1
f(x) exista.
6. Seja f uma função definida em R tal
que, para todo x 6= 1,
−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1 .
Calcule lim
x→1
f(x) e justifique.
7. Seja f definida em R e tal que, para
todo x, |f(x) − 3| ≤ 2|x − 1|. Calcule
lim
x→1
f(x) e justifique.
8. Determine o conjunto dos pontos em
que a função dada é contínua.
(a) f(x) =
 x
2−4
x−2 se x 6= 2
1 se x = 2
(b) f(x) =
 x
2−x
x
se x 6= 0
−1 se x = 0
(c) f(x) = |x−2|
x−2
(d) f(x) =

2x se x ≤ 1
3x− 1 se 1 < x < 2
4 se x ≥ 2
9. Determine os valores de a e b para que
a função f definida por
f(x) =

−√2− x se x ≤ 1
ax+ b se 1 < x < 2
|x2 − 7x+ 12|, se x ≥ 2.
seja contínua em R.
10. Determine valores de a e b de modo que
a função f sejá contínua em x = 0,
2
onde
f(x) =

√
x2+9−√x+9
5x
se x > 0
b se x = 0
sen
(
3x
ax
)
se x < 0.
11. Determine o valor de a para que a fun-
ção f(x) seja contínua em R, com
f(x) =
 a(x− 2) se x ≤ 0− ex
ex+1
se x > 0.
12. Considere f : (0,∞)→ R definida por
f(x) =
 ln(ax2) se x ≥ 1sen(x3−1)
x2−1 se 0 < x < 1.
Encontre o valor de a para que f seja
contínua.
13. Suponha que, para todo x real,
| f(x)− f(1) |≤ (x− 1)2.
Use o Teorema do Confronto para mos-
trar que f é contínua em 1.
14. Seja f uma função e suponha que para
todo x ∈ R
|f(x)| ≤ x2.
(a) Calcule lim
x→0
f(x), caso exista.
(b) A função f é contínua em 0? Jus-
tifique.
15. Mostre que o teorema do Valor Inter-
mediário garante que a equação x3 −
4x+ x+ 3 = 0 tenha raiz entre 1 e 2.
16. Mostre que o teorema do Valor Inter-
mediário garante que a equação x3 +
x+ 3 = 0 tenha raiz entre -2 e -1.
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