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GERADORES E RECEPTORES 
1 – GERADOR 
Gerador é um dispositivo que realiza a transformação de uma forma qualquer de energia 
em energia elétrica. 
Exemplos: 
• Geradores químicos: baterias e pilhas 
• Geradores mecânicos: geradores de usinas hidroelétricas, gerador do automóvel. 
• Geradores solares: células foto elétricas. 
• Geradores térmicos: geradores movidos a vapor 
Um gerador é um dispositivo de dois terminais capaz de manter uma diferença de potencial 
elétrico (ddp) entre esses terminais, que fornece energia para que cargas se movimentem 
de um terminal para o outro (corrente). A energia (ττττ) utilizada para movimentar as cargas 
de um pólo ao outro do gerador é diretamente proporcional às cargas movimentadas: 
ττττ/Q = Constante. 
Essa constante, característica do gerador, é denominada força eletromotriz E. Então 
podemos escrever: ττττ= E.Q (1). 
Como queremos nos expressar em termos de corrente e tensão, e 
sabendo que I = dQ/dt (a corrente é igual à variação da carga no 
tempo), derivamos a expressão (1) em relação ao tempo, 
resultando: 
 
 
 1.1- POTÊNCIA 
A expressão (3) acima é a definição de potência instantânea P. Ela nos diz que a potência 
é igual à variação no tempo da energia fornecida ás cargas. 
A expressão (2) nos dá que a potência total gerada por um gerador é P= E.I (4), onde E é 
a força eletromotriz do gerador e I a corrente que circula por ele. 
A unidade de potência é medida em watts (W) (joule/s). 
Assim sendo, podemos resumir: 
• Dado um gerador a potência fornecida por ele é o produto da força eletromotriz pela 
corrente que o atravessa: P = E.I e é dada em Watts (joule/s) 
• A energia total fornecida por um gerador em um período é a integral da potência em 
relação ao tempo nesse período: 
 
 
dττττ////dt = E . dQ/dt = E . I = P (2) 
dττττ////dt = P (3) 
P dt (5) τ = ∫ 
t2 
t1 
Fig.1 - Gerador 
Q 
Gerador 
+ 
 
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1.2 - POTÊNCIA ELÉTRICA DESENVOLVIDA POR UM DISPOSITIVO QUALQUER 
Como foi visto acima, define-se potência (P) desenvolvida por um dispositivo de dois 
terminais, A e B, como sendo o produto da diferença de potencial entre esses terminais 
(UAB) e a corrente (I) através desse dispositivo. 
 
 
 
 
 
Observe nas figuras acima que o dispositivo 1 está consumindo potência da rede elétrica, 
e o dispositivo 2 está fornecendo potência à rede. 
1.3 – POTÊNCIA ELÉTRICA DESENVOLVIDA (CONSUMIDA) POR UM RESISTOR 
Se o dispositivo for um resistor R, temos, pela primeira lei de Ohm (U=RI), que 
UAB = R I. Como foi visto na fig 2, P = UAB . I (7) 
Substituindo (6) em (7) temos : 
 P=RI x I = RI2 (8) 
 
 
 
Fig. 3 – Potência no Resistor 
Importante: A potência elétrica entregue ao resistor é transformada exclusivamente em 
calor (energia térmica), é o caso da resistência do chuveiro. 
(6) 
Para fixar conceito 1- Em sua residência, os consumos das cargas elétricas são 
especificados em Watts. Por exemplo: lâmpadas de 100W, chuveiro de 5.000W, etc. 
Entretanto, a conta de energia é cobrada em kW.h ( kilowatt*hora). Explicação: a companhia 
de eletricidade cobra a energia consumida, que é potência consumida multiplicada pelo 
tempo de consumo, no caso quilowatt x hora. De uma maneira mais elegante e correta 
dizemos que a energia cobrada pela empresa fornecedora de energia é a integral da potência 
fornecida no mês. 
(9) Potência fornecida a um resistor R: P = RI2 UAB 
A 
B 
(2a) 
Figuras 2a e 2b – Potência desenvolvida por um dispositivo. 
(2b) 
Pd1 = UAB . IAB 
A 
B 
 IAB 
 IAB 
Dispositivo 1 
Pd1 = UAB . IBA 
A 
B 
IBA 
Dispositivo 2 
IBA 
UAB UAB 
 
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1.4 – POTÊNCIAS TOTAL (Pt), POTÊNCIA ÚTIL (Pu) E POTÊNCIA DISSIPADA (Pd) 
Um gerador é um dispositivo capaz de gerar energia elétrica entre seus terminais. 
Nem toda a potência gerada pelo gerador é Potência Útil (Pu), pois devido às perdas 
internas, parte da Potência Total gerada (Pt) é dissipada internamente ao gerador, a qual 
denominamos Potência dissipada (Pd). A figura 4 ao lado ilustra esse fato. 
Observe que a potência total gerada (Pt) se divide 
entre a potência útil (Pu), fornecida através dos 
terminais do gerador, e a potência que é dissipada 
internamente no gerador (Pd) . 
Visto isto, vamos construir a representação 
esquemática de um gerador. 
Representa-se um gerador como na figura 5, onde uma fonte ideal de tensão E chamada 
força eletromotriz, é ligada em série com um resistor r. A Força Eletromotriz (f.e.m) é a 
responsável pela manutenção de uma diferença de potencial entre seus terminais. 
A resistência interna r não tem existência real, ela serve 
para se computar a Potência dissipada (Pd) internamente 
ao gerador. 
É evidente que sempre se procurará construir geradores 
com a mínima resistência interna, isto é, com o mínimo de 
perdas internas 
 
Observe que na figura 5 acima foi representado somente o 
gerador. Não foi representada a carga, que está sendo 
alimentada pelo gerador. A figura 6 ao lado mostra o 
circuito completo. 
 
 
 
1.5 – EQUAÇÃO DO GERADOR 
Um gerador é definido por E e r. Sendo E a força eletromotriz e r a resistência interna do 
gerador. 
 Fig 5 - Esquema de um gerador 
Fig 4 – Potências em um gerador 
UAB 
r 
B 
E 
+ 
_
Carga 
I I 
I 
Ur 
A 
Fig 6 – Gerador alimentando uma carga 
UAB r 
A 
B 
E 
+ 
_ 
Gerador 
Pt 
Pu Pd 
 
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A expressão que relaciona a tensão na saída do gerador UAB e sua corrente I, tendo como 
parâmentros E e r, é chamada equação do gerador. Vamos encontra-lá. 
a) A força eletromotriz faz circular pelo circuito a corrente I 
b) A corrente I desenvolve nos terminais da resistência interna r uma tensão Ur 
(primeira lei de Ohm: U=RI). 
c) Vimos em 1.3, que a potência dissipada sobre o resistor r é Pd = r.I2 (10) 
d) De 1.1 temos que a potência total gerada é dada por Pt = E.I (11) 
e) A potência útil, entregue à carga, isto é ao circuito externo ao gerador, é dada por 
Pu = UAB. I (12) 
f) Como foi visto em 1.4, Pt = Pu + Pd (13) ou Pu = Pt – Pd (14) 
Então, substituindo-se (10), (11) e (12) em (14) teremos: 
 UAB .I = E.I - r.I
2 (15) 
Dividindo-se ambos os membros por I resulta a equação do gerador: 
 U = E- r. I (16) 
Observe que, como vimos acima, E e r são constantes características do gerador, e U e I 
são variáveis. 
A expressão (16) é a equação de uma reta no plano U x I. 
A reta tem o coeficiente angular (- r), isto quer dizer que ela é inclinada à direita (reta 
decrescente), e coeficiente linear (E), isto quer dizer que ela intercepta o eixo U no ponto 
E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se você não se lembra da equação da reta veja o Apêndice na página 12 
Figs. 7a e 7b – Gerador alimentando um resistor R e sua curva característica. 
Fig.7b 
Fig.7a 
UAB 
rA 
B 
E 
+ 
_
R 
I I 
I 
Ur 
+ 
+ 
_ 
_ 
U1 
U2 
U 
I 
E 
I1 I2 
P1 
P2 
∆U 
∆I 
∆U 
∆I 
= - r 
ICC 
E 
r 
ICC = 
Reta característica 
do gerador 
(17) 
(18) 
 
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Observe no gráfico que quando a corrente é zero, isto é a carga é desligada do circuito, a 
tensão na saída é E. Entenda por que: a tensão na saída UAB = E - Ur mas se o circuito 
está aberto (a carga foi desligada) a corrente I=0 e, consequentemente, a tensão Ur =0, daí 
UAB = E – 0 >>> UAB = E. 
Imagine que ao invés de colocarmos uma resistência entre A e B, conforme está na figura 
7a, façamos um curto-circuito entre A e B. 
Neste caso a tensão de saída é zero e a corrente é 
Icc é chamada corrente de curto-circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1: 
 
A figura ao lado mostra um gerador alimentando um 
resistor R. 
São dados: E = 6,0 v , r = 2Ω e R= 10 Ω. Pede-se: 
 
a – A corrente I d – A potência total gerada 
b – A tensão Ur e – A potência útil 
c – A tensão sobre R f – A potência dissipada 
 
E 
r 
ICC = 
Resumo 1 - Energia e Potência 
1. A carga elétrica quando se desloca de um pólo ao outro de um gerador realiza um 
trabalho ττττ = E·Q (vide (1)) 
2. O trabalho é energia e é medido em Joule. A potência é medida em Watts (Joule/s) 
3. Potência é Energia por unidade de tempo: dτ/τ/τ/τ/dt = P (vide (3)) 
4. A potência total gerada pelo gerador (Pt) é a soma da potência útil (Pu) entregue à 
carga com a potência dissipada (Pd) internamente no gerador: Pt = Pu + Pd 
Resumo 2 - Curva característica do gerador 
1. A curva característica de um gerador é um segmento de reta no plano U x I; 
2. A reta cruza o eixo U no valor de tenção E; 
3. A reta cruza o eixo I no valor de corrente Icc= E/r 
4. ICC é a corrente de curto-circuito do gerador 
 
 
UAB 
r 
A 
B 
E 
+ 
_
R 
I I 
I 
Ur 
+ 
+ 
_ 
_ 
Resumo 3 - Sentido da corrente e da diferença de potencial (ddp) 
 
1 - A corrente sai pelo pólo positivo do gerador. 
2 - O terminal da carga por onde entra a corrente é o positivo. 
 
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Resolução: 
a) I = E/(r + R) = 6,0/(12) = 0,5 A (ou 500mA) 
b) Ur = r.I = 2. 0,5 = 1 >>> Ur = 1,0 v 
c) UR = UAB = R.I = 10. 0,5 = 5,0 >>> UR = 5,0 v ( observe que a soma das tensões na 
malha tem que ser 6,0 V. Poderíamos então calcular UR como: UR = E- Ur). 
d) Pt = E.I = 6,0 . 0,5 = 3,0 W 
e) Pu = I. UR = 0,5. 5,0 = 2,5 W ou Pd(R) = R.I
2 = 10. (0,5)2 = 2,5 W 
(obs. A potencia útil do gerador pode ser calculada como a potencia dissipada sobre a 
resistência externa R) 
f) Pd = Pt – Pu = 3,0 – 2,5 = 0,5 W 
1.6 – POTÊNCIA ÚTIL 
Vamos estudar aqui a variação da potencia útil Pu em função da variação do valor da 
carga. 
Sabemos de (14) que Pu = Pt – Pd 
De (10) e (11) podemos escrever: Pu = EI – r I2 (19) 
Observe que a expressão (19) é a equação de uma parábola no plano Pu x I. Essa 
parábola é representada na figura 8. Observe também na figura 8 que a parábola tem um 
ponto de máximo V (vértice) cujas coordenadas são: 
xv = E/2r (20) e yv = E
2/4r (21) 
 
 
Esta parábola tem a concavidade voltada pra baixo e intercepta o eixo I em dois pontos I=0 
e I=E/r (estes pontos são as raízes da equação de segundo grau EI – rI2=0 associada à 
parábola) 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos entender o significado da curva da figura 8 acima: 
A curva da figura 8 nos informa que a potência útil que um gerador fornece depende do 
valor da carga, sendo que para uma determinada carga essa potência é máxima e seu 
valor é PUmax=E
2/4r. (22) 
Se você não se lembra da equação da parábola veja o Apêndice na página 15 
UAB 
r 
A 
B 
E _
R 
I 
+ 
Pu 
Fig .9 – Gerdor alimentando um resistor R 
Vértice da parábola 
V(E/2r,E2/4r) 
Fig .8 – Curva de potência de um gerador 
Pu 
I E/r E/2r 0 
PUMax = E2/4r V 
 
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Observe a figura 9. Vamos supor dois casos extremos: 
Caso 1 – Vamos retirar a resistência R do circuito, deixando o circuito aberto. Como não há 
carga, não há corrente, ou melhor, I=0. Se não há corrente a potência útil é zero (vide (8)). 
Este é o primeiro nulo da parábola Pu=0 e I=0. 
Caso 2 – Vamos retirar a resistência R e em seu lugar vamos fazer um curto circuito, 
ligando os dois pontos com um fio de resistência zero. Esse curto-circuito coloca A e B no 
mesmo potencial, isto é UAB = 0 V. Com o curto-circuito haverá uma corrente máxima no 
circuito, chamada corrente de curto-circuito ICC = E/r. (23) 
Observe que agora, temos corrente (ICC) mas a tensão UAB = 0, portanto a potencia útil 
também é zero,PU = 0. Este é o segundo nulo da parábola. 
Conclusão: deve haver um valor de resistor de carga R para o qual a potência a ele 
entregue pelo gerador seja máxima. 
Vamos calcular esse valor no exercício abaixo. 
Exercício 2: Dado um gerador qualquer, com força eletromotriz E e resistência interna r, 
pede-se o valor do resistor de carga R que absorva a máxima potência útil fornecida pelo 
gerador. 
Solução: 
1 - Da figura 8 tem-se que quando a potência é máxima a corrente é I = E/2r 
2 – Se a potência útil máxima fornecida pelo gerador é PUMAX= E
2/4r, essa é a potência que 
vai ser fornecida ao resistor R. 
3 – A potência fornecida ao resistor é Pu = RI2 , mas pela figura 8 temos I=E/2r . 
4 – Daí vem que: PU= R.(E/2r)2 = E2/4r 
5 – Se R.(E/2r)2 = E2/4r >>>> R/r = 1 >>> então R = r. 
Conclusão: Para que um resistor R absorva a máxima potência fornecida pelo 
gerador ele tem que ter o mesmo valor da resistência interna do gerador: R=r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para fixar conceito 2 - Quando você for estudar corrente alternada no próximo semestre, 
você tratará dos geradores de corrente alternada. Analogamente aos geradores de corrente 
contínua eles têm uma resistência interna (mais propriamente chamada impedância interna). 
Um amplificador de som, ou o rádio do carro podem ser entendidos como geradores de 
corrente alternada, com uma impedância interna de 8,0Ω, por exemplo. 
Para se ter a máxima potência fornecida pelo amplificador ou rádio, a impedância dos 
altofalantes (cargas) devem ter o mesmo valor que a impedância interna do gerador, no caso 
8,0Ω. Isto se chama casamento de impedância. É possível que você já tenha ouvido falar 
disso. 
 Em resumo: Um casamento de impedância é colocar uma carga que tenha o mesmo valor 
em ohm , da impedância interna do circuito, para se obter a máxima potência. 
 
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1.7 – RENDIMENTO DO GERADOR 
Define-se rendimento do gerador pelas expressões abaixo: 
ηηηη = Pu/Pt ou ηηηη = UI/EI >>> ηηηη = U/E (24) 
Observe que 0 1 
(η é uma letra grega e se pronuncia Éta) 
Exercício 2: Calcular o rendimento do gerador do exercício 1 da página 5. 
1 - Do exercício 1 temos que Pt = 3,0 W e Pu = 2,5 W. 
2 - η = Pu/Ptr então η = 2,5/3,0 = 0,833 >>> η = 83,3% 
2 - RECEPTORES 
Receptor é um dispositivo que transforma energiaelétrica em outra forma de energia, não 
exclusivamente térmica. (o dispositivo que transforma energia elétrica exclusivamente em 
energia térmica é o resistor – veja item 1.3 acima). 
Exemplos de receptores: 
• Motores elétricos; 
• Baterias automotivas 
As baterias são geradores reversíveis. Quando em carga são receptores quando 
fornecendo energia são geradores. 
A figura 10 abaixo mostra, esquematicamente, um gerador alimentando um receptor, no 
caso, um motor. 
Note que o gerador fornece aos terminais do motor uma potência elétrica P= UAB . I e o 
motor converte essa Potência elétrica em potência mecânica no eixo do motor. 
 
 
 
 
 
 
Devido às perdas internas no receptor nem toda potência fornecida é convertida em 
potência útil. Há internamente ao receptor, uma dissipação de potência a qual 
chamaremos de potência dissipada Pd. 
 
A figura 11, a seguir, ilustra o balanço de potência em um receptor. 
Gerador 
< ηηηη 
 
UAB 
r 
A 
B 
_ I 
I 
Ur 
+ 
+ 
_ 
RECEPTOR 
+ 
_ 
Pu 
Fig 10 – Gerador alimentando um receptor (motor) 
< 
 
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A potência total de entrada Pt é a soma da 
potencia útil PU com a potência dissipada Pd 
 Pt = Pu + Pd (25) 
 
 
 
2.1 – EQUAÇÃO DO RECEPTOR 
Constata-se que em um receptor a potência útil Pu é proporcional à corrente de entrada I, 
isto é: PU/I = Constante 
Essa constante é denominada Força Contra Eletromotriz e se representa por E’ 
Então: PU/I = E’ (26) 
A figura 12 ao lado representa um receptor. 
Note que a corrente entra pelo pólo positivo do 
receptor. 
Pt = U’.I (27) 
PU = E’.I (28) 
Pd = r’. I
2 (29) 
 
 
Substituindo-se (27), (28) e (29) em (25) temos: U’.I = E’.I + r’. I2 (30) 
Dividindo ambos os membros de (29) por I, temos a Equação do receptor: 
 
 
Observe que a expressão (31) é a equação de uma reta no plano U x I. 
Essa reta tem o coeficiente angular r’ e coeficiente linear E’ (onde a reta encontra o eixo U) 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 11 – Balanço de potências em um receptor 
Pt Pu 
Pd 
Transformação 
Fig 13 – Gráfico da curva 
(reta) característica do 
receptor no plano U,I. 
 U’ = E’ + r’.I (31) 
U1 
U’ 
I 
E’ 
I1 
P
 
∆U 
∆I 
Reta característica do 
receptor 
(32) ∆U 
∆I 
= r’ 
U’ 
r 
A 
B 
E’ _
I 
Ur’ 
+ 
+ 
_ 
Fig 12 – Representação do receptor 
+ 
_ 
 
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Exercício 3 
Dado o receptor da figura ao lado, onde r=2,0ΩΩΩΩ, E’=10,0V, 
pede-se construir seu gráfico no plano U x I 
Solução: 
1 – a equação do receptor é U’ = E’ + r.I 
Então, U = 10 +2.I 
2 – Como a reta cruza o eixo U em E’, já temos um ponto da 
reta, sobre o eixo U, U=E’=10V. 
3 – Sendo o coeficiente angular (inclinação) igual a 2, vamos construir uma reta que passe 
pelo ponto U’ =10 V cuja tangente do ângulo α seja 2 (tg α =2). E só fazer um triângulo 
qualquer com ∆u = 2 ∆I, e traçar a reta, como na figura abaixo.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4 
Dado o gráfico de um receptor abaixo, pede-se: E’ e r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para fixar conceito 3 – Volte no item 1.5, Equação do gerador, e compare com a 
equação do receptor. 
U’ 
I 
10 
3 
20 
30 
(V) 
1 2 4 5 6 7 
40 
50 
60 
70 
8 (A) 
No triângulo ABC tg α = 2 
r’= 2Ω 
α 
 
U’ 
I 
E’ = 10 
A 
∆U =20 
∆I =10 
∆U 
∆I 
= 2 = r’ 
20 
10 = 
20 
20 
30 
(V) 
(A) 10 
B 
C 
U’ 
r 
A 
B 
E’ _
I 
Ur’ 
+ 
+ 
_ 
+ 
_ 
 
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Solução: 
1 – O valo de E’ já está mostrado no gráfico, 
é onde a reta encontra o eixo U. Portanto E’ 
= 20 V 
2 – Para achar r’ faz-se um triângulo sobre a 
reta e calcula-se 
 
 
 
2.2 – RENDIMENTO DO RECEPTOR 
Define-se rendimento do receptor pelas expressões abaixo: 
η' = Pu/Ptr ou η' = E’I/U’I >>> η' = E’/U’ (33) 
Observe que 0 1 (34) 
(η é uma letra grega e se pronuncia Éta) 
Exercício 5: 
A figura abaixo mostra um gerador alimentando um receptor onde UAB = 7,6 V e I = 1,2 A. 
Pede-se: 
1 – O rendimento ηηηη do gerador. 
2 – O rendimento ηηηη' do receptor. 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
1 - Rendimento do gerador 
Da expressão (24) do item 1.7 acima temos: η = U/E 
UAB = 7,6 V e E = 10 V >>> η = U/E = 7,6/10 = 0,76 >>> ηηηη = 76% 
 
2 - Rendimento do receptor; 
De (33) temos que η' = E’/U’ 
E’ = 4 V e U’ = 7,6 V >>> η' = 4/7,6 = 0,526 >>> ηηηη' = 52,6% 
 
 
∆U 
∆I 
= 6,7 Ω 
40 
6 = r’= 
∆U 
∆I 
U’ 
I 
10 
P1 
∆U =40 
∆I =6 
3 
20 
30 
(V) 
1 2 4 5 6 7 
40 
50 
60 
70 
8 (A) 
E’ = 
UAB 
r = 2ΩΩΩΩ 
E =10V _ I 
I 
Ur 
+ 
+ 
_ 
r ‘=3ΩΩΩΩ 
A 
B 
_
Ur’ 
+ 
+ 
_ 
E’ =4V 
< ηηηη' < 
 
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APÊNDICE 
REVISÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA 
RETA E PARÁBOLA 
A1 – RETA 
A equação da reta, em um sistema de coordenadas cartesianas x,y, é dada por: 
y = ax + b (I) 
 (função linear, ou de primeiro grau, pois a variável x está na primeira potência) 
Na equação da reta y é a variável dependente e x é a variável independente. 
Os parâmetros a e b são constantes, sendo a o coeficiente angular, e b o coeficiente 
linear. 
Exemplo A1 
Dada a equação da reta y = 2x + 4 pede-se construir o gráfico correspondente no plano 
cartesiano x,y. 
Solução: 
1 - Como apenas dois pontos determinam uma reta, basta achar dois pontos dessa reta, 
atribuindo-se quaisquer valores a x e obtendo y. 
2 – Um primeiro ponto fácil de achar é fazendo x=0 na equação da reta. Daí vem: 
Y = 2 . 0 + 4 = 4 >>> portanto o primeiro ponto da reta é P1(0,4) 
3 – Um segundo ponto pode ser achado fazendo, por exemplo, y =0 na equação da reta. 
Daí vem: 0 = 2x + 4 >>>x = -2 >>> portanto o segundo ponto é P2 (0,-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe no gráfico acima que qualquer ponto situado sobre os eixo y tem a abscissa x=0, 
e qualquer ponto situado no eixo x tem ordenada y=0. Veja, por exemplo, P1 (0,4) e 
P2(-2,0). 
 
 
y 
x 
P1 
P2 
 
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A1.1– COEFICIENTE LINEAR 
Como foi visto acima, o parâmetro b da equação da reta y=ax + b é o coeficiente linear 
dessa reta. 
Obtem-se b fazendo-se x = 0 na equação da reta: y = a .0 +b >>> y=b. 
Conclusão: o coeficiente linear b é o valor no qual a reta cruza o eixo y, ou, dizendo de 
outra forma: A reta cruza o eixo y no valor b. 
Se na equação da reta b = 0, isto é y = ax +0 isto que dizer que a reta cruza o eixo y em 
sua origem P(0,0). 
A1.2 – COEFICIENTE ANGULAR 
O coeficiente angular dá a inclinação da reta. Vamos calculá-lo a partir da figura abaixo. 
A inclinação da reta é dada pela tangente do ângulo que a reta fazcom o eixo dos x. 
Para calcular a tg θθθθ vamos tomar dois pontos quaisquer P1 e P2 sobre a reta e medir ∆x e 
∆y. Da figura temos: 
 tg θ θ θ θ = ∆∆∆∆y/∆∆∆∆x (II) 
Tomemos a equação da reta y = ax +b e substituamos 
as coordenadas x e y pelas coordenadas de P1 e P2. 
Para P2: y2 = ax2 + b (III). 
Para P1: y1 = ax1 + b (IV) 
Subtraindo (IV) de (III) temos: y2-y1 = ax2 –ax1 
Daí vem: y2 –y1 = a(x2 – x1) (V) 
Então (y2 –y1)/ (x2 – x1) = a (VI) 
Da figura temos que: 
 y2 – y1 = ∆∆∆∆y (VII) e x2 – x1 = ∆∆∆∆x (VIII) 
Finalmente temos, de (VI), (VII) e (VIII) que: 
a = ∆∆∆∆y/∆∆∆∆x 
Conclusão: 
O coeficiente angular a é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo dos x 
Exercício A2 
Dada a reta no gráfico abaixo, pede-se: 
a ) O coeficiente linear; b) O coeficiente angular; c) o valor de y para x= 3; d) 
A equação da reta. 
 
 
y 
x 
X1 X2 
y1 
y2 
∆x 
∆y 
θθθθ P1 
P2 
 
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Solução: 
a) – Coeficiente linear 
Como vimos acima, o coeficiente linear (b) é o valor no eixo y, onde a reta cruza esse eixo. 
Portanto, pela figura, o coeficiente linear b = 10. 
b) – Coeficiente angular 
b1) vamos tomar dois pontos quaisquer 
sobre a reta, P1 e P2, e achar suas 
coordenadas, P1 (x1,y1) e P2 (x2,y2). 
b2) Vamos calcular ∆x = x2 – x1 e 
∆y = y2-y1. 
∆x = 4 - 1 = 3 e ∆y = 2 – 8 = - 6 
b3) Agora calculamos o coeficiente angular: 
a =∆y/∆x = -6/3 = 2 >>> a= - 2 
c) O valor de y=4 para x=3. Veja no gráfico o ponto P3(3,4) 
d) Para achar a equação da reta é só substituir a e b, calculados acima, em y = ax+ b. 
O coeficiente linear b foi calculado em a), b=10, e coeficiente angular a foi calculado em b), 
a = - 2. 
Então a equação da reta do exemplo é: y = -2x+10 
Importante: Observe que se a reta é inclinada para a direita o ∆y é negativo e, 
consequentemente o coeficiente angular vai ser negativo, a<0. 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo A1 
1 – Qualquer reta no plano cartesiano x,y é dada por y = ax + b 
2 – b é o coeficiente linear, é o valor no eixo y onde a reta intercepta esse eixo y. Em outras 
palavras: a reta cruza o eixo y em b 
3 – a é o coeficiente angular da reta, é o que dá a inclinação da reta, e é dado por a=∆y/∆x. 
4- Se a>0 a reta é inclinada para a esquerda. Se a<0 a reta é inclinada para a direita. 
 
y 
x 
P1 
y1 = 
∆y = 6 
P2 
X2 = X1 = 
Y2 = 
∆x = 3 
P3 
θθθθ 
 
y 
x 
θθθθ 
 
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A2 – PARÁBOLA 
A equação da parábola, em um sistema de coordenadas cartesianas x,y, é dada por: 
y = ax2 + bx + c (IX) 
Na equação da parábola y é a variável dependente e x é a variável independente. 
Os parâmetros a, b e c são constantes. 
Observe que o sinal do parâmetro a determina se a concavidade da parábola é voltada 
para cima ou para baixo. Se a>0 a concavidade é voltada para cima (ela cresce sempre). 
Nesse caso a parábola tem um ponto de mínimo. 
Se a<0 a concavidade é voltada para baixo (ela decresce sempre). Nesse caso a parábola 
tem um ponto de máximo. 
É chamado vértice da parábola o seu ponto de máximo ou de mínimo, cujas coordenadas 
são: 
x = -b/2a (X) e y = -(b2 – 4ac) /4a ou y = -∆∆∆∆/4a (XI) 
Nos pontos onde a parábola cruza o eixo x y=0, portanto esses pontos são dados por 
y = 0 = ax2 + bx + c. Esses pontos são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 
Abaixo são apresentados cinco gráficos de parábolas em situações notáveis. 
1 – A parábola ao lado tem concavidade 
voltada para cima e cruza o eixo y em y=3 
 
Observe que como parâmetro a = +1 a 
concavidade da parábola é voltada para cima. 
Neste caso a parábola tem um ponto de 
mínimo. 
Observe que a parábola não cruza o eixo x. 
 
 
2 - A parábola ao lado tem concavidade 
voltada para baixo e cruza o eixo y em y = -5 
Observe que como parâmetro a = -3 a 
concavidade da parábola é voltada para baixo 
Neste caso a parábola tem um ponto de 
máximo. 
Observe que a parábola não cruza o eixo x. 
 
 
 
 
 
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3 - A parábola ao lado tem concavidade 
voltada para cima e cruza o eixo y em y = -3 
Observe que como parâmetro a=1 a 
concavidade da parábola é voltada para cima. 
Neste caso a parábola tem um ponto de 
mínimo. 
Observe que a parábola cruza o eixo x nos 
pontos (-3,0) e (1,0). 
 
4 - A parábola ao lado tem concavidade 
voltada para baixo e cruza o eixo y em y=7 
Observe que como parâmetro a=-3 a 
concavidade da parábola é voltada para 
baixo. 
Neste caso a parábola tem um ponto de 
máximo. 
Observe que a parábola cruza o eixo x nos 
pontos (0,83,0) e (2,82,0). 
 
5 - A parábola ao lado tem concavidade 
voltada para cima e cruza o eixo y em y=-4 
Observe que como parâmetro a=1 a 
concavidade da parábola é voltada para cima. 
Como o parâmetro b=0 a parábola é simétrica 
em relação ao eixo y. 
Observe que a parábola cruza o eixo x nos 
pontos (-2,0) e (2,0). 
 
 
Exercício A3 
Dada a equação da parábola y = -2x2 + 3x + 8 pede-se: 
a) Determinar se a parábola tem ponto de máximo ou de mínimo. 
b) Achar os pontos onde a parábola cruza o eixo x. 
c) Achar as coordenadas do vértice V 
d) Desenhar a curva da parábola 
 
 
 
 
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Solução: 
a) Como o parâmetro a = -2 a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
b) A parábola cruza o eixo x em x1 e x2 que são as raízes da equação -2x
2 + 3x + 8 = 0 
Resolvendo-se a equação do segundo grau acima temos x1 = -1,38 e x2 = 2,89. 
c) De (X) e (XI) acima temos: xMax = -b/2a e yMax = - ∆/4a 
Calculando –se o ∆ = b2 – 4ac = 32 +4.2.8 = 9 + 64 >>> ∆= 73 
DaÍ vem:: xMax = -b/2a >>> xMax = -3/-4 >>> xMax = 0,75 
e yMax = -∆/4a >>> yMax = -∆/4a >>> yMax = -73/-8 >>> yMax = 9,2 
Portanto, as coordenadas do vértice são x=0,75 e y= 9,2 >>> V(0,75 , 9,2) 
d) Abaixo é apresentada a curva da parábola obtida no Excel: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– Ribeirão Preto, 21 de fevereiro de 2012 - UNIP 
 
Resumo A2 
1 – A equação da parábola é y = ax2 +bx +c, onde a,b e c são constantes. 
2 – Se a>0 a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a<0 a concavidade é voltada 
para baixo. 
3 – Os pontos onde a parábola cruza o eixo x são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. 
4 - Se a equação ax2 + bx +c = 0 não tem raízes (∆∆∆∆<0) a parábola não cruza o eixo x. 
5 – Vértice da parábola é o seu ponto de máximo ou de mínimo. 
6 – As coordenadas do vértice são: x = -b/2a e y = -∆∆∆∆/4a 
 
V 
Xv = -b/2a =0,75 
yv = -∆∆∆∆/4a =9,2