DEMONSTRAÇÃO - RAIZ DE 2

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Prova: A prova mais comum é aquela que emprega o conhecido método de redução 
ao absurdo. 
 
Neste método, supomos que 2 seja um número da forma racional irredutível p
q 
, com 
p e q ϵ  , 0q  e primos entre si. 
 
Nestas condições temos que 2 p
q
 , o que implica que 
2
22
p
q
 . 
Assim, 2 2 2 p q , ou seja, 2p é par. Portanto, p também é par. Segue que devemos ter 
que 2p k para algum k ϵ  . 
Como 
2
22
p
q
 temos então que: 2 22q k , ou seja, 2q é par, portanto, q é par. 
Mas nesse caso chegamos a um absurdo (contradição), pois p e q foram supostos 
serem primos entre si. 
Segue que 2 não pode ser expresso como o quociente de dois números primos e, 
portanto não pode ser racional.