Eixos e Árvores de Transmissão

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129 
 
 
 
 
 
CAPITULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO 
 
 
 
5.1 - INTRODUÇÃO 
 
Eixo é um elemento mecânico rotativo ou estacionário (condição estática) de secção 
usualmente circular onde são montados outros elementos mecânicos de transmissão tais como: 
engrenagens, polias, ventiladores, rodas centradas, entre outros. Os eixos são suportados 
(apoiados) em mancais, de deslizamento ou rolamento, tendo secção quase sempre mássica e 
variável, com rasgos de chavetas para fixação de componentes. A figura 1 mostra uma 
iluminação de um eixo. 
 
 
Figura 1 – Eixo 
 
Os eixos são elementos solicitados a esforços de flexão, tração/compressão ou torção, 
que atuam individualmente de forma combinada. Para a segurança do sistema em que o eixo 
está inserido, este deve ser dimensionado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito 
baixa) ou dinâmica (altas rotações). Este dimensionamento leva em conta a resistência do 
material de que foi confeccionado, comparam-se as tensões que atuam no mesmo com os 
limites de resistência do material, estáticos (Sy ou Su) ou dinâmicos (Se – fadiga). 
Em certos sistemas mecânicos, o nível de deflexão do eixo pode constituir em um 
parâmetro crítico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexão. Em outras 
palavras, a geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitáveis de deflexão, antes da 
análise das tensões/resistências. 
 
 
5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES 
 
Há uma grande variedade de materiais possíveis para a fabricação de eixos e árvores. 
De acordo com o serviço devem ter alta resistência e baixa sensibilidade aos efeitos da 
concentração de tenção. 
Para se obter, em um cálculo, diâmetros menores e grandes resistências, pode-se usar 
aços-liga, em geral tratados termicamente. Estes aços, porém têm a desvantagem de serem 
130 
 
 
 
 
 
caros e de maior sensibilidade às concentrações de tensões. Além disso, o diâmetro é muitas 
vezes subordinado à certas deformações admissíveis, tornando o aço-liga contra indicado, já 
que o problema não é mais de resistência. 
Os aços-carbono, de baixo e médio teor, são, muito usados na fabricação de eixos e 
árvores. Aços muito empregados são os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045, 
2340, 2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e 5140. 
 
Como vemos uma grande variedade de material existe para a confecção de eixos e 
árvores. A seleção dependerá sempre das condições de serviço, custo, usinabilidade e 
características especiais por ventura exigidas. É um campo muito aberto em que o projetista 
deve procurar sempre maiores conhecimentos, pois praticamente qualquer material ferroso, 
não-ferroso ou não metálico, pode ser usado, por uma razão qualquer, na execução de um eixo 
ou uma árvore. 
 
AISI Nº Tratamento Temperatura 
 
 
ºC 
Tensão de 
escoamento 
Mpa 
Tensão de 
ruptura 
MPa 
Alongamento 
 
 
% 
Redução de 
 
Área 
 
% 
Dureza 
 
Brinell 
 
1030 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
Q&T 
Q&T 
 
205 
 
315 
 
425 
 
540 
 
650 
 
925 
 
870 
 
205 
 
425 
 
848 
 
800 
 
731 
 
669 
 
586 
 
521 
 
430 
 
779 
 
758 
 
648 17 
 
621 19 
 
579 23 
 
517 28 
 
441 32 
 
345 32 
 
317 35 
 
593 19 
 
552 21 
 
47 495 
 
53 401 
 
60 302 
 
65 255 
 
70 207 
 
61 149 
 
64 137 
 
48 262 
 
54 241 
 
1040 
 
 
 
 
 
 
 
1050 
 
Q&T 
Normal 
Annealed 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
 
650 
 
900 
 
790 
 
205 
 
425 
 
650 
 
900 
 
790 
 
634 
 
590 
 
519 
 
1120 
 
1090 
 
717 
 
748 
 
636 
 
434 29 
 
374 28 
 
353 30 
 
807 9 
 
793 13 
 
538 28 
 
427 20 
 
365 24 
 
65 192 
 
55 170 
 
57 149 
 
27 514 
 
36 444 
 
65 235 
 
39 217 
 
40 187 
 
1060 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
 
425 
 
540 
 
650 
 
900 
 
790 
 
1080 
 
965 
 
800 
 
776 
 
626 
 
765 14 
 
669 17 
 
524 23 
 
421 18 
 
372 22 
 
41 311 
 
45 277 
 
54 229 
 
37 229 
 
38 179 
 
Tabela 1 – Características dos Materiais para eixos 
131 
 
 
 
 
 
AISI Nº Tratamento Temperatura 
 
 
ºC 
Tensão de 
escoamento 
Mpa 
Tensão de 
ruptura 
MPa 
Alongamento 
 
 
% 
Redução de 
 
Área 
 
% 
Dureza 
 
Brinell 
 
1095 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
 
1141 Q&T 
Q&T 
4130 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
 
315 
 
425 
 
540 
 
650 
 
900 
 
790 
 
315 
 
540 
 
205 
 
315 
 
425 
 
540 
 
650 
 
870 
 
865 
 
1260 
 
1210 
 
1090 
 
896 
 
1010 
 
658 
 
1460 
 
896 
 
1630 
 
1500 
 
1280 
 
1030 
 
814 
 
670 
 
560 
 
813 10 
 
772 12 
 
676 15 
 
552 21 
 
500 9 
 
380 13 
 
1280 9 
 
765 18 
 
1460 10 
 
1380 11 
 
1190 13 
 
910 17 
 
703 22 
 
436 25 
 
361 28 
 
30 375 
 
32 363 
 
37 321 
 
47 269 
 
13 293 
 
21 192 
 
32 415 
 
57 262 
 
41 467 
 
43 435 
 
49 380 
 
57 315 
 
64 245 
 
59 197 
 
56 156 
 
4140 
 
 
 
 
 
 
 
4140 
 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
 
205 
 
315 
 
425 
 
540 
 
650 
 
870 
 
815 
 
1770 
 
1550 
 
1250 
 
951 
 
758 
 
1020 
 
655 
 
1640 8 
 
1430 9 
 
1140 13 
 
834 18 
 
655 22 
 
655 18 
 
417 26 
 
38 510 
 
43 445 
 
49 370 
 
58 285 
 
63 230 
 
47 302 
 
57 197 
 
4340 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
 
315 
 
425 
 
540 
 
650 
 
1720 
 
1470 
 
1170 
 
965 
 
1590 10 
 
1360 10 
 
1080 13 
 
855 19 
 
40 486 
 
44 430 
 
51 360 
 
60 280 
 
Tabela 1 (continuação) – Características dos Materiais para eixos 
 
 
 
 
5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO 
 
A determinação das dimensões de uma árvore é muito simples quando sujeito somente 
a carregamento estático, principalmente se comparado a quando se tem carregamento 
dinâmico. E mesmo com carregamento dinâmico, muitas vezes é necessário se ter uma boa 
noção das dimensões das peças para se ter um bom começo dos problemas e por isto faz-se 
antes uma analise como se o carregamento fosse estático. 
132 
 

2  2
2
xy
' 3
 
 
 
 
5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO, TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL 
As tensões em um ponto na superfície de uma árvore de diâmetro (d) sujeita flexão, 
torção e carregamento axial são: 
 
32 M 4 F 
 
16 T 
x (1) (2) 
d 3 d 2 xy d 3 
 
Onde a componente axial (F) de σx pode ser positiva ou negativa. Nós observamos que 
há três carregamentos. Momento (M), força (F), e torque (T) aparecem na seção contendo o 
ponto especifico na superfície. 
Usando o circulo de Mohr podemos mostrar que as 2 principais tensões não nulas, são: 
 
1 
 
 x  2
 
 
a b x   
 2  
xy  
 
(3) 
Estas tensões podem ser combinadas de forma a obter a máxima tensão de 
cisalhamento (τmax) e a tensão de Von Mises (σ’); dando em: 
 
1 
   2
 
 a b x  
2 
 (4) max 2   2   
 
1 
2 2 2 
a a b b 
 
1 
2 2 2 
x xy 
 
 
(5) 
 
Substituindo as equações (1) e (2) em (4) e (5) teremos: 
 
 2  
 
1 
2 2 2
 
 
 
(6) 
max  
 d 3 

 
8 M F D 8 T 
 
' 
4 8 M 
d 3 
 
 
F d 2 
 
1 
48 T 2 2 
 
 
(7) 
 
Estas equações nos permitem determinar τmax ou σ’ quando o diâmetro(d) é dado ou 
determinar o diâmetro quando tivermos posse das tensões. 
Se a analise ou projeto da árvore for baseada na teoria da máxima tensão de 
 
cisalhamento, então τmax é: 
 
 
all 
 
S Sy S y 
n 2 n 
 
 
(8) 
 
As equações (6) e (8) são úteis para a determinação do fator de segurança(n), se o 
diâmetro for conhecido, ou para determinar o diâmetro se o coeficiente de segurança for 
conhecido. 
133 
 
'
y
y
 
 
 
 
Uma analise similar pode ser feita levando em conta a teoria da energia de distorção 
para falhas, onde a tensão de Von Mises é: 
S y 
'all 
n
 
(9) 
 
5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO 
Em varias aplicações, a componente axial (F) das equações (6) e (7) é próxima de zero 
ou tão pequena em relação às outras que pode ser desconsiderada. Daí teremos: 
 
 
max 
 
16 
d 3 
 
16  
 
 
(M 2 
 
1 
T 2 ) 2 
 
 
 
2
 
 
 
 
 
 
2 
1  
 
 
(10) 
3  4 M d  
3 T 2  
 
(11) 
É mais fácil resolver estas equações para se encontrar o diâmetro. Substituindo as 
equações (8) e (9) nos temos: 
 
 
 32 n 
d  
 S y 
 
 
M 2 T 2 
 
1 
 
1  3 
2  
 
 
 
 
(12) 
Usando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, se o diâmetro for conhecido, 
calcula-se n da seguinte forma: 
 
1 32 
n d 3 S 
 
1 
M 2 T 2 2 
 
 
(13) 
 
Se usarmos como base a teoria de energia de distorção, teremos: 
 
 
 16 n 
d  
 S y 
 
 
4 M 2 3 
 
1 
1  3 
T 2 2  
 
 
 
(14) 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
1 16 4 M 2 
n d 3 S
 
 
1 
3 T 2 2 
 
 
(15) 
 
n = fator de segurança. n = 1,5 a 2,0 
 
Sy = limite de escoamento do material. 
M = momento Máximo no eixo. 
T = torque máximo. 
134 
 
 
 
 
 
5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E 
TORÇÃO 
1. Qual o diâmetro de um eixo mostrado na figura 2, feito de um aço AISI 1035 laminado 
 
 
 
 
 
F 700N 
 
3,73kW 
 
Figura 2 – Engrenagem no eixo. 
Motor 
n 
 
I) Torque: 
 
1750rpm 
 
T 30 
 
103.H 
.n 
 
 
 
, onde H=> Potência em KW, tem-se: 
 
T 30 10 
3 
.3,73 
.1750 
T 20,35N.m 
 
II) Momento: 
 
M F . L 
 
700 
. 
0,3
 
2 2 2 2 
M 52,5N.m 
 
III) Material: 
 
 
Pela Tabela => 
IV) Segurança: 
Usar n=2. 
V) Diâmetro: 
 
 
 
S y 462MPa 
135 
 





2
3

 
y
  
 
 
 
 
1 
d  32n M 2 T 
1
2 
 
.Sy 
 
d  32.2 
 
 
 
52,52 
 
 
1 
1 3 
20,352 2  
.462 106  
d 13,54mm 
 
 
 
2. Do exercício anterior visto, tem-se: 
 
 
M 52,5N.m  
T 20,35N.m 
S 462MPa 
d
 
 
 
 
13,47mm 
n 2  
 
M 52,5N.m 
T 20,35N.m 
Sy 462MPa 
Su 551,5MPa 
 
Ka 0,78 
Kb 0,85 
Kc 0,923(S
u
 
Kd 1,0 
Ke 1,0 
Kf 1,0 
 
 
 
Se
 
 
 
 
 
 
 
 
1520MPa) 
 
 
Ka.Kb.Kc.K d.Ke.Kf.Se ' 
 
Se (0,78)(0,85)(0,923)(1)(1)(1)(0,504 . 551,5 
Se 170,1MPa 
 
106 ) 
 
 
  
2 
1 
1  3 2  2 
d  32.2 
 52,5   20,35   
 
  
 170,1 
 

 
 
106  
 
 551,5 
  
106  
 
 
d 18,50mm 
 
 
 
5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME 
 
OBSERVAÇÃO: a norma ASME para Eixo de Transmissão: 
 
- Não considera fadiga 
 
- Não considera concentração de tensão 
136 
 
m t
2
 
 
 
 
Segundo a norma ASME – as máximas tensões são cisalhantes: 
 
d 0,30.S yt 
 
d 0,18.S ut 
 
(16) 
 
d = máxima tensão cisalhante admissível 
 
S yt 
 
S
u 
tensão escoamento admissível 
 
tensão de ruptura admissível 
As normas prevêem que se as concentrações de tensões estiverem presentes devido a 
entalhe em chavetas, a tensão máxima admissível deve ser diminuída de 25%. A máxima 
tensão cisalhante em um eixo submetido à flexão-torção é dada por: 
 
2 
  
 a  
2
 (17) max 
 
 
 
x 
 2 
 
M 
.y 
I
 
xy 

 
 
M 
. 
d
 
.d 4 2 
 
 
 
32.M 
.d 3 
 
 
T 
. y 
64 
 
M 
. 
d
 
 
 
16.T 
x I 
 
 
logo, 
.d 4 2 
64 
.d 3 
 
1 
. 
32.M 

 
16.T 
  max x
 
   
4  .d 3   
 
16 M 2 T 2 
 
.d 3  
min 
.d 3 
 
x tensão de flexão (psi) 
 
xy tensão de torção (psi) 
 
M momento de flexão (lbf.in) 
T = momento de torção (lbf.in) 
d = diâmetro dp eixo (in) 
Segundo o critério da ASME, momento M e T devem ser multiplicados por fatores de 
correção devido a choques e fadiga. 
 
16.T 
. M 2 T 2 d 
.d 3 
 
→ 
16.T 
.
 
d 
.d 3 
 
C .M 2 
 
C T 2 
 
→ Fórmula da ASME (19) 
137 
 
 
 
 
 
para diâmetro de eixos baseado na teoria da máxima tensão cisalhante. Fatores Cm e Ct dados 
na tabela. 
 
 
5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA 
Qualquer árvore girante que sofre momento de flexão e torção fixas estão sujeitos a uma 
inversão, reversão completa da tensão causada pelo giro da árvore, mais a tensão de 
cisalhamento permanecerá a mesma. 
 
 
 
 
 
 
onde: 
32 M 
a 
xa d 3 
 
(20) 
 
 
xym 
16 T
m
 
d 3 
 
(21) 
 
σxa = Tensão de Amplitude Alternada 
 
τxym = Tensão de Cisalhamento Constante 
 
Estas duas tensões podem ser manipuladas usando dois círculos de Mohr 
 
Se estivermos usando a teoria de máxima tenção de cisalhamento, teremos: 
 
a 
2 
a 
 
(22) 
 
m 
2 
m 
 
(23) 
 
Se estivermos usando a teoria da energia de distorção, teremos: 
 
 
a xa 
(24) 
m 
3 
xym (25) 
 
 
 
 
5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN 
Para qualquer eixo carregado com um momento de flexão e torção fixos, estará 
submetido a uma flexão reversa provocando tensões alternadas e torção estacionária, 
provocando tensões médias. Assim tem-se: 
 
32M a 
ax d 3 
 
 
mxy 
 
16Tm 
d 3 
 
 
(26) 
 
Usando estas expressões e a equação da linha de Goodman: 
 
 a 
Se 
 m 1 
S
u 
 
(27) 
 
Pode-se obter, após desenvolvimento analítico que: 
138 
 

T


2


 
 
 
 
 
 32n  M 
2
 
 
 T   
1 
1 
2  3 
 d   a   m    
 
(28) 
  Se  
 
 Su   
 
 
 
 
5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG 
 
Utilizando o teorema da máxima tensão cisalhante: 
 
16.T 
xy 
.d 3 
 
32.M 
x 
.d 3 
 
Para qualquer plano fazendo um ângulo α com o plano horizontal tem: 
 
16.T 
.cos 2. 
m 
.d 3 
 
 
→ valor médio 
 
16.M 
.sen2. 
a 
.d 3 
 
→ (amplitude da componente alternativa) 
 
Por meio da geometria analítica, tem-se que: 
 
.d 3 
n (29) 
 
16. 
2 
  
  
 2 
 M  
  
 S sy   S se  
 
 
 2  
 
1 
1  3 
2  2
 
16.n T 
d .  
 M   
 (30) 
   
   
  S sy  
 
 S se    
 
 
Para o critério da máxima tensão cisalhante (usada) 
 
 
 2  
 
 
1 
1  3 
2  2
 
32.n T 
.
  
 M   
 
d       
(31) 
 
 
 
sendo que: S 
sx 
 
 
 
0,5.S 
x 
  S y  
 
 S e    
 
 
n Fator de segurança. 
 
S y Tensão de escoamento. 
 
S 
e 
Limite de resistência à fadiga.
 
 
139 
 
Para casos mais gerais usar equação: 
140 
 
2

2

 e  S S S 
 
 
 
 
 
 
n 
 T  
2 
 
 
2 
 M  
 
 
 M   M
 
1 
1  3 
  2
 
32. 
d  
.
 a   m   a   am   

 (32) 
 
 
 
 
onde: 
 S  
 

 
  
 y 
 
  
 e 
 
  
 y    
 
T
a 
T
m 
M 
a
 
M 
am 
 
Torque (amplitude) 
Torque médio 
Momento (amplitude) 
Momento médio 
 
 
5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE FADIGA POR SODERBERG 
 
1. Um eixo usinado é fabricado de um aço com Su = 550 MPa. Calcular n. 
 
Dado: T = 6,0 KN 
 
R 175.F 1 500 
 
R 325.F 1 500 
 
a 
tensão alternada
 
 
 max min 
= 
a 2 
 
n 
S 
e
 
a 
 
max 
 
M 
a I 
c 
 
M R1 .L 
 
 
100Mpa 
 
 
 
175.F 
.200 
500 
 
 
 
 
 
 
 
420KN .m 
 
.d 4 I I onde: 
64 c 
 
.d 3 d 
e c 
32 2 
 
M 
a 
K F . I 
c 
 
Se 
 
Se´ 
 
K a .K b .K c .K d .K e .S e ´ 
 
0,504.Su 
140 
 
b
a
 
 
 
 
Ka a.Su 
 
a = 4,51 e b = -0,265 
 
K 4,51.550 0, 265 
 
0,847 
 
 d K b  
0,1133 
 
 
 
0,841 
 7,62  
 
K 
c 
K d 1 
 
K 1 
e K f 
 
K r 0 ,0857 f d 
 
 
→ K t 
 
 
1,72 → 
 
 
D 1, 428 
d 
 
K f 1 
 
q. K t 1) 
 
1,58 
 
q 0,80 
 
 
logo, K 
e
 
 
 
logo, 
1 
1,58 
 
0,633 
 
S 
e 
124,4MPa
 
 
n 
S
e
 
a 
124,4 
99,08 
 
1,25 
 
 
 
 
2. A transmissão representada na figura é movida por um motor elétrico, assíncrono, de 
indução, trifásico, com potência P= 3,7 kW e rotação n= 1140 rpm. Dimensionar o 
diâmetro da árvore 2, sabendo-se que a árvore é maciça e o material utilizado possui Su 
= 700 Mpa, Sy = 630 Mpa e o fator de projeto é 1,8, com as engrenagens enchavetadas 
no eixo (adotar Kf= 2,8). As engrenagens são cilíndricas (ECDR) e possuem as 
seguintes características geométricas: 
Z1= 23; Z2=49; Z3=28 e Z4= 47 m= 2,5 mm e ângulo de pressão 20º. 
141 
 
F T
0
0
0 2
0 3
 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Exercício resolvido 1. 
 
Calculemos o torque na árvore 1 
 
 
3000 
 
P Z 2 M T 2 . . n Z1 
 
A potência do motor - P = 3700 W 
Portanto 
3000 
. 
3700 
. 
49 M T 2 1140 23 
M T 2 66.030N .mm 
 
Esforços na transmissão: 
Força tangencial (FT) 
Força tangencial (no primeiro par) 
Diâmetro primitivo 
2.M 
2 
T d 
2 
 
d m.Z 
2 
 
 
2,5.49 
 
 
d 02 
 
 
122,5mm 
 
F 2x66030 T 122,5 
 
FT 1.078N 
 
Diâmetro primitivo: 
 
d m.Z 
3 
 
2,5.28 
 
d 70mm 
3 
 
F 2x66030 T 70 
 
FT 1.887 N 
 
Força radial no primeiro par 
 
FR FT .tg 20º 
 
FR 1078.tg 20º 
 
 
 
FR 392N 
142 
 
 
 
 
 
Força radial no segundo par 
 
FR FT .tg 20º 
 
FR 1887.tg 20º 
 
 
 
FR 687 N 
 
 
Momento fletor 
 
Plano vertical 
 
 
 
 
M A 0 
600.RBV 687.500 392.100 
 
RBV 638N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Forças cisalhantes, diagrama de 
momento fletor no plano vertical 
Fy 
RAV 
 
RAV 
0 
 
RBV 
 
441N 
 
 
392 
 
 
687 
 
M 
max 
 
RAV .500 
 
392.400 
 
M max 63.700N .mm 
143 
 
S 
S S
'
e e
 
 
 
 
Plano Horizontal 
 
M A 0 
600.RB H 
 
RB H 
1078.100 
 
1393N 
1887.500 
 
Fy 
RA H 
 
RA H 
 
0 
 
RBH 
 
584N 
 
 
 
1087 
 
 
 
1887 
 
2 2
 
M 
max 
M H M V 
 
M max 63700
2
 1393002 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Forças cisalhantes, diagrama de 
momento fletor no plano horizontal 
M max 153.174N .mm 
 
 
Cálculo do diâmetro considerando cargas estáticas 
 
TMTC 
 
 
 32.n 
d  
 
 
.(M 2 
 
1 
1  3 
T 2 ) 2  
 .Sy  
 
 
 32.1,8 d  
 
 
.(1531742 
1 
1  3 
660302 ) 2  
 
 
d 16,95mm 
 
 
TED 
.630  
 
 
 16.n 
d  
 
 
.(4.M 2 
 
1 
1  3 
3.T 2 ) 2  
 
 
d 16,99mm 
 .Sy  
 
Cálculo do diâmetro considerando carregamento dinâmico 
 
e 0,504.Su 
 
' 0,504.700 
 
 
 
' 352,8Mpa 
144 
 
e
2
b
a
1
2
 
 
 
 
Ka a.Su 
 
a = 4,51 e b = -0,265 
 
K 4,51.700 0, 265 0,784 
 
 d Kb  
0,1133 
 
 
 7,62  
 
0,1133 
  K  
16,93 
 b 
 7,62  
0,91
 
 
K 
c 
K d 1 
 
K 1 e K f 
 
K f 2 ,8 
 
 
K e 0,357 
 
Se K a .Kb .K c .K d .Ke .S 
'
 
 
Se 0,784x0,91x1x1x0,357x352,8 
 
Cálculo do diâmetro pelo critério de Goodman 
 
1 
 
 2 2 
3 
d 32.n .  Ma  
 Tm    
       
  Se  
 
 Su   
 
 
 
 
32.1,8  155215,3  2 
 
1 
1  3 
 66030   2  d  . 
  
 
 
84,86  
 
 700
 
   
   
 
d 32,15mm 
 
 
 
 
5.8 – CHAVETAS / PINOS 
 
Chavetas e pinos são dispositivos mecânicos usados para fixar no eixo, engrenagens, 
polias e outros elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido através dele. Os 
pinos são usados com duplo propósito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do 
componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos. 
145 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Chavetas e Pinos. 
 
 
 
 
5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS 
 
O cubo é a parte centra do elemento (polia, engrenagem, etc.) onde é realizado um 
rasgo para a fixação da chaveta. 
 
 
Figura 7 – União de eixos com chavetas cúbicas. 
 
A chaveta é uma peça que vai ocupar o rasgo no eixo e no cubo, simultaneamente, 
fazendo a união dos mesmos. 
Os principais tipos de chavetas, as mais usadas são definidas por normas (padrões). 
Estas chavetas são do tipo: 
Chaveta meia-lua (woodruff) 
Chaveta plana. 
Chaveta inclinada. 
 
A figura 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usinagem do 
rasgo. Observar que os rasgos das chavetas meia-lua são usinados com fresa circular as 
chavetas planas e inclinadas com fresa circular e de topo. 
146 
 
 
 
 
 
Para exemplificar os padrões de chavetas tem-se: 
Uniões por adaptação de forma. 
Uniões por adaptação de forma com pretensão. 
Uniões por atrito. 
Chaveta meia-lua. 
 
Chavetas planas e inclinadas. 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Tipos de Chavetas 
 
 
 
 
5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS 
 
Como já foi visto anteriormente, as chavetas são tabeladas quanto a sua secção.O 
dimensionamentoda chaveta consiste em determinar o seu comprimento mínimo (L), como é o 
caso das chavetas planas e inclinadas (as mais usadas). 
147 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Dimensionamento das chavetas. 
 
 
As tensões que atuam nas chavetas são determinadas da seguinte forma: 
 
 
 
Figura 10 – Tensões atuantes nas chavetas. 
 
Quando a chaveta acopla (une) um eixo e uma polia, a transmissão de potencia do eixo 
para a polia, força a chaveta de forma inclinada. Esta força (F) tende a cisalhar (rasgar) a seção 
AA’ da chaveta. Logo: 
 
F F 
A t.L 
 
 
Modelo Matemático (33) 
Comparando com o limite de resistência cisalhante ao escoamento (Ssy) e para um fator 
de segurança n, tem-se: 
 
S sy 
n 
 
F 
t.L 
 
S sy 
n 
 
 
(34) 
 
 
 
 
5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS 
 
1. Um eixo de aço AISI 1018 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 185MPa. Uma chaveta 
quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40mm e uma engrenagem, que 
transmitirão 22,38KW a uma rotação de 1100rpm. Usar fator de segurança n = 3,0. 
148 
 
 
 
 
 
T 
F d => Força na chaveta 
2
 
 
R 
d 40 
⇒ R 
2 2
 
 
20mm 
 
 
Como: T 
 
30 103.H 
.n 
 
 
, onde H=> Potência em KW, tem-se 
 
 
 
 
 
T 
30 
 
 
103.22,38 
⇒ T 
.1100 
 
Figura 11 – aplicação de chaveta. 
 
 
194,2 N .m 
 
Logo: 
 
 
F 
 
 
 
194,2 
⇒ F 
 
 
 
9713 N 
20 10 3 
 
Para a chaveta, temos: 
 
F 
t.L 
 
Ssy 
n 
L 
F 
.
 
t.
 
n 
Ssy 
L 
9713 
.
 
0,008
 
 
 
185 
3 
106 
L 19,7mm 
 
 Observar que, o comprimento mínimo é L = 19,7mm como a geometria do cubo é 
maior do que o diâmetro do eixo, e como as chavetas têm o comprimento do cubo, 
pode-se dizer que o comprimento da chaveta a ser usada é: 
L 40mm 
149 
 
 
 
 
 
5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS 
 
A figura 12 mostra um rotor consistindo de um grande disco de massa M montado em 
um eixo, na metade da distância entre os mancais. A massa do eixo será considerada 
desprezível comparada com M. Mesmo com um balanceamento de alto grau de precisão, há 
contudo uma pequena excentricidade e do centro de massa g do disco, em relação ao eixo de 
rotação. Por causa da excentricidade, a força centrífuga ocasionada pela rotação do eixo faz 
com que este sofra uma deflexão r. Visto pela extremidade do eixo como na figura 12, o centro 
O do disco parece estar girando em torno do eixo de rotação sobre uma circunferência de raio r. 
A força de inércia causada por este movimento forçado é Fo = M(r + e) w2. Devido à deflexão do 
eixo, considerado como uma mola, a resistência à força de inércia é kr, sendo k a constante de 
mola do eixo na flexão. O sentido da aceleração do centro de gravidade g é conhecido neste 
caso, de modo que se pode mostrar o vetor MA como uma força de inércia Fo (como na figura 
12). Pode-se então escrever a equação do equilíbrio estático: 
 
 
∑ F 0 
 
 
M ( r e ) w 2 k r 0 (35) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 - Rotor com disco 
150 
 
n
 n 
 
 
 
 
Para se determinar o raio r, pode-se apresentar a equação (35) da seguinte forma: 
 
e w 2 
r 
k w 2 M (36) 
 
Quando a velocidade ω do eixo for igual a 
 
k / M 
, o denominador da equação (36) se 
anulará e r atingirá valores intoleravelmente grandes. A rotação do eixo assim defletido parece 
com uma viga em vibração quando visto do lado onde somente pode-se observar a projeção do 
 
 
movimento. Portanto, pode-se considerar k / M do eixo rotativo como a freqüência circular 
natural ωn da viga quando levada a vibrar naturalmente no seu primeiro modo de vibração. 
Pode-se escrever a equação (36), na forma adimensional: 
 
r (w / w )2 
e 1 (w / w )2 
 
 
 
 
(37) 
 
A representação gráfica da equação (37) e indica a condição crítica de rotação, quando 
 
 
ω for igual a ω n = k / M , devido às amplitudes muito grandes da vibração do eixo. Na 
condição crítica, chama-se ω de ωc e a velocidade de rotação do eixo em rotações por minuto 
será 
 
60 60 
nc 2 
wc
 2 
wn
 
 
(38) 
 
onde ω n = k / M normalmente é expresso em rad/s. Assim, 
 
n 
60 
w
 
60 k 9, 55 k 9, 55 kg 
 
29, 9 k k
 
 30 
c 2 n 2 M M P P P (39) 
na qual nc è a velocidade crítica em rotação por minuto, k está em Newtons por metro e M. em 
quilogramas. Pode-se calcular a constante k da mola através da deflexão estática δest do eixo 
devido ao peso do rotor. Assim, k = Mg/δest e quando substituído na equação (39), a velocidade 
crítica será expressa pela seguinte equação: 
 
 
n
c 
30 
 
1 
 
est 
 
 
 
(40) 
 
Segundo os livros-texto de resistência dos materiais, pode-se calcular a deflexão 
estática de uma carga P atuando no centro de uma viga uniforme bi-apoiada, como δest = Pl3/48 
EIA. Assim, a velocidade crítica de um eixo com uma massa M situado no meio da viga, pode 
 
ser calculada em termos das dimensões do eixo (l é o comprimento do eixo, entre apoios, IA é o 
151 
 
 
 
 
 
momento de inércia da área da seção reta do eixo, igual a πd4/64, d é o diâmetro do eixo) e do 
módulo de elasticidade E do material do eixo. 
Ed 4 
nc 46 Pl 3 (41) 
 
Assim, de acordo com a equação (41), pode-se alterar o material e as dimensões do 
eixo, assim como o peso da massa Af, de modo que a velocidade crítica nc seja superior ou 
inferior à velocidade de projeto n na qual deseja-se operar. Caso n/nc for menor do que 0,707 
ou maior do que 1,414, r será menor do que o dobro da excentricidade e. Por exemplo, se a 
excentricidade e for 0,025 mm, r será 0,050 mm quando n/nc = 2 . 
 
É interessante observar que em velocidades muito acima da crítica (ω/ωn>>1,0), o valor 
de r/e = -1 e r = - e, indicando que o centro de massa de M estará no eixo de rotação. Neste 
caso a massa não estará oscilando, porém o eixo oscilará em torno do centro de massa de M. 
Até agora, considerou-se desprezível a massa do eixo. No caso da massa do eixo ser 
grande bastante para não ser desprezada, e o eixo ter diâmetro uniforme, deve-se somar à 
massa M 50 por cento da massa m do eixo, para se determinar à freqüência circular natural. 
 
w 
k
 
n (M 0, 5m) 
 
 
(42) 
 
Conforme mostra a figura 12, supõe-se que os mancais do eixo sejam rígidos. Em certos 
casos, pode-se considerar os mancais como elasticamente apoiados, e neste caso o δest da 
equação (40) deve incluir a deflexão estática dos apoios assim como a deflexão do eixo. 
Entretanto, aplica-se a equação (40) somente quando a flexibilidade dos apoios for a mesma 
para todas as posições angulares do rotor. 
 
 
 
 
5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA 
 
Pode-se ter uma variedade muito grande de configurações de rotores desde que sejam 
usadas diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de diâmetros variáveis. Embora 
as curvas do fator de amplificação sejam difíceis de serem obtidas matematicamente, as 
velocidades críticas dos eixos são determinadas com relativa facilidade através de cálculos de 
freqüência natural. No próximo item, serão apresentados diversos casos de determinação da 
velocidade crítica a partir da freqüência natural. 
152 
 
 
 
 
 
5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM DIVERSAS MASSAS 
 
Em um eixo rotativo com diversas massas conforme mostra a figura 13a, pode-se 
determinar a freqüência circular naturalωn do eixo que, sem girar, vibra livremente, sem 
amortecimento, após uma deflexão inicial no primeiro modo de vibração. 
Pode-se aplicar o método de Rayleigh neste caso. Considerando que o sistema 
vibratório é conservativo, a soma da energia potencial e da cinética é constante em qualquer 
fase da vibração. Duas destas fases analisam-se facilmente. Na fase em que todas as massas 
estão simultaneamente nos máximos deslocamentos Y, a energia armazenada elasticamente 
no eixo é igual è energia potencial ∑ FY/2. Nesta fase a energia cinética é zero porque todos os 
pontos do sistema estão momentaneamente com velocidade zero. Assim, a energia potencial é 
 
EP 
F1Y1
 
 
F2Y2 
...
 
 
F
n
Y
n
 
2 2 2 (43) 
 
As forcas F são as necessárias para a deflexão do eixo, como se fosse uma mola, ate 
ficar com a conformação mostrada nesta fase. O produto forca-deslocamento determina energia 
potencial. Entretanto, como a forca e diretamente proporcional ao deslocamento, a forca media 
que atua durante o deslocamento Y e F/2. 
Durante a vibração, o eixo passa pela fase de repouso (não deformada) na qual a 
energia potencial e zero, mas a energia cinética e máxima porque as velocidades das massas 
são máximas. Considerando que as massas tem movimento harmônico simples, as velocidades 
são V = Yωn e as energias cinéticas são MV2/2 = M(Yωn)2/2. Assim, a energia cinética do 
sistema é 
 
2 2 
EC wn
 
 M Y 2
 
 
M Y 2
 
M Y 2 
 wn  PY 2
 
 
P Y 2
 
P Y 2 
 
 1 1 2 2 ...
 
n n   
 
1 1 2 2 ...
 
n n  2 2 g 
 
 
 
(a) Flexão dinâmica 
(44) 
153 
 
w 2
d1
 
d2
 d3
 
n
 
 
 
 
 
W1 W2 
W3
 
 
 
 
 
 
 
(b) Flexão estática 
 
 
Figura 13 – Flexão 
 
Igualando-se os membros da direita das equações (43) e (44), pode-se deter-minar a 
freqüência circular natural ωn. Entretanto, as forças F e os deslocamentos Y não são 
conhecidos, mas podem ser determinados considerando-se a forma do eixo defletido 
estaticamente sob a ação dos pesos conforme indica a figura 13b. Considerando que os 
deslocamentos Y da vibração são proporcionais as deflexões δ da deformação estática, então 
 
Y1 Y2 
 
... 
Yn
 
1 2 n (45) 
 
Como as formas para defletirem uma mola são proporcionais as deflexões então 
 
F1 Y1 
, 
F2
 
 
Y2 
, 
F
n 
Y
n
 
P1 1 P2 2 Pn n 
 
(46) 
Igualando as expressões da energia potencial e da cinética dadas pelas equações (43) e 
(44) e usando as equações (45) e (46) para a eliminação de F e Y, a equação resultante que da 
a freqüência circular natural é 
 
w2 g 
 
P1 1 
 
P2 2 
 
... 
 
Pn n 
n  P 2 P 2 ... P 2   1 1 2 2 n n  
 
2 g ∑ P 
∑ P
 
 
 
 
(47) 
 
e a velocidade critica pode-se determinar de nc = 60 ωn /2π. 
 
A equação de Rayleigh equação (47) e uma expressão simples e altamente útil para 
determinar a freqüência natural fundamental de muitos tipos de rotores. A determinação da 
deflexão estática constitui a maior parte do esforço necessário na execução dos cálculos 
conforme está ilustrado nos exemplos seguintes. As fórmulas de deflexão de vigas, para 
inúmeros casos, estão disponíveis em livros texto de resistência dos materiais e em manuais. 
Pode-se aplicar o método da área do diagrama de momento fletor e outros em casos gerais. 
Dispõe também de métodos gráficos, conforme ilustrado no item seguinte, para a determinação 
das deflexões estáticas de rotores com eixos de diâmetros variáveis. 
154 
 
 
 
 
 
Para inclusão da massa do eixo nos cálculos, deve-se dividi-lo em diversos 
comprimentos, cada um tratado como se fosse uma massa adicional. 
A equação (47) não e estritamente uma avaliação exata da freqüência natural porque a 
curva das deflexões estáticas não e proporcional exatamente a curva deflexões dinâmicas, 
como foi considerado. Entretanto, o resultado obtido equação e somente um ou dois por cento 
superior a freqüência natural funda verdadeira. Considerando que outros fatores tais como 
efeitos giroscópicos durante a oscilação, ajustagens forçadas de discos no eixo, e chavetas 
alteram raramente a velocidade critica, a equação (47) produz uma resposta aceitável. A 
deflexão dos apoios pode ter uma influencia maior sobre as velocidades críticas e devem ser 
acrescidas as deflexões do eixo, na equação (47). 
A freqüência natural dada pela equação (47) é a fundamental, ou a mais baixa 
freqüência do sistema de massas. É desejável, portanto, se possível projetarem-se as 
dimensões de um, eixo de tal modo que a velocidade crítica mais baixa seja superior à 
velocidade de projeto. Entretanto, nem sempre isso é possível. Em turbinas de alta rotação, a 
velocidade de operação pode estar entre duas velocidades críticas de modo que o eixo não 
necessita tornar-se excessivamente pesado. Neste caso, é necessária a passagem pela 
velocidade crítica mais baixa, o que pode ser perigoso. Entretanto, se o rotor estiver 
cuidadosamente balanceado e a primeira velocidade crítica for baixa, as forças perturbadoras 
serão pequenas nas regiões perto da crítica. Também, a amplitude de vibração à velocidade 
crítica aumenta a níveis perigosos somente se for permitido um tempo para a amplitude crescer; 
portanto, acelerando-se na passagem pela velocidade crítica, pode-se manter as amplitudes em 
intensidades aceitáveis. O amortecimento natural do material do eixo, embora pequeno, 
também tende a reduzir as amplitudes. Muitas máquinas bem sucedidas foram projetadas para 
funcionar entre velocidades críticas. 
Quando o eixo se estende para fora dos mancais como na figura 12a, deve-se inverter 
os sentidos dos pesos como indica a figura 12b na determinação das deflexões estáticas para 
emprego na equação (47). Deve-se notar que se simula dessa maneira a curva da deflexão 
dinâmica de meia-onda, para obtenção da freqüência natural mais baixa. 
155 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Freqüência natural da estrutura 
(b) 
 
 
 
 
5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS 
 
1. Um rotor de compressor de 25 kg e um rotor de turbina, de 15 kg, são montadas em um 
eixo de aço conforme mostra a figura 13a. O eixo deve operar à velocidade prevista de 
10.000 rpm. Empregando a equação de Rayleigh (47) determine o diâmetro do eixo 
mais leve que possa ser usado para que tenha uma velocidade critica fundamental de 
12.000 rpm, com uma margem de segurança de 2.000 rpm. 
156 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 – Aplicação de vibrações em um eixo 
(d) 
 
Conforme a figura 15b mostra, inverte-se a carga P2 a fim de se obter uma curva de 
deflexão com o formato do uma meia-onda simples. As figuras 15c e 15d mostram a 
forma da viga deformada sob a ação de cada carga atuando independentemente, 
conduzindo assim a dois casos cujas fórmulas deflexão estática mostradas a seguir 
encontra-se em livros-texto de resistência dos materiais. Pelo método da superposição, 
pode-se determinar as deflexões δ1 e δ2: 
 
Pl 3 
 
P l 2 a 
 1 2 
1 1 1 48EI A 16EI A 
1  25 0, 503 15 0, 502 0, 25  0,12369 
  EI A  48 16  EI A 
 
Pl 2 a P a2 (l a) 0, 322 
2 2 2 16EI A 3EI A EI A 
 
Usando-se a equação (47), 
157 
 
A n 
A
A 
w
2 g 
P1 1 P2 2  
 
gEI
  25 0,12369 15 0, 332  
n  P 2
 
P 2 
 A  25 0,123692
 
15 0, 3322 
 
 1 1 2 2    
 
Para g= 9,81m/s² e E= 2,1 x 1010 kg/m² 
 
w2 81, 678 1010 I 
n A 
 
 
I 0, 012243 10 10 w 2 
 
Para nc= 12.000 rpm 
 
w 
2 n
c 
 
1260 rad/s 
n 60 
 
Portanto, o momento de inércia necessário do eixo é: 
 
I 0, 012243 10 10 
 
12602 
 
Como IA= πd4/64, 
 
d 4 64 I 
 
395973, 4762 10-10 
 
d 0, 0793 m 79, 9 mm 
 
Deve-se usar um diâmetro de 80mm. 
 
 
2. Os apoios do rotor do exemplo 1, figura 15a, foram considerados como rígidos. 
 
Determine a velocidade crítica do rotor do exemplo 1 se cada um dos apoios sofrer uma 
deflexão de 0,14/EIA sob um carregamento estático. Use IA = 1,84 x 10-6 m4 e E = 2,1 x 
1010 kg/m2. 
 
 
Devido à flexibilidade dos apoios, as cargas Pl e P2 terão uma deflexão adicional. 
Conforme indica a figura 16, sob o carregamento, o apoio da esquerda desloca-se para 
baixo e o da esquerda para cima. Como se pode ver, não há influência nobre a deflexão 
da carga P1, porém o deslocamento de Pl aumenta de 0,28/EIA. Portanto as deflexões 
estáticas totais são 
 
0,12369 
1
 
 
0, 332 0, 28 0, 612 
2 EI A EI A EI A EI A 
.
 
 
Substituindo estes valores na equação (47), 
158 
 
n
 
 
 
 
w
2 774602 
 
 
w
n 
880,1 rad/s
 
 
 
n 
60 
w
 
60 (880) 8404 rpm 
c 2 n 2 
 
 
 
 
5.16 - EIXOS ESCALONADOS 
 
A equação (47) para velocidade crítica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado na 
figura 10a, no qual o diâmetro varia em degraus. Entretanto, como IA é variável em tais casos, 
não se derivam com facilidade para as deflexões estáticas. Pode-se usar um dos diversos 
 
métodos gráficos, tal como o seguinte. 
 
 
 
0,14 
EI 
 
 
 
0,14 
EI A 
 
0, 28 
EI A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 – Eixos Escalonados 
 
Deve-se recordar da resistência dos materiais que para se determinar à deflexão 
estática deve-se resolver a equação diferencial básica: 
d2 y M 
dx 2 EI A 
 
(48) 
 
Na qual y é a deflexão, M é o momento fletor como função de x, e IA é O momento de 
inércia da seção reta do eixo, como função de x. Integrando-se duas vezes a equação (48) 
obtém-se a deflexão da viga. A primeira integração conduz a dy/dx, inclinação da curva elástica 
da viga deformada. Além disso, iniciando-se com as cargas da viga, necessitam-se de duas 
integrações para a obtenção do diagrama do momento fletor. Assim, necessita-se de quatro 
integrações para se obterem as deflexões a partir do carregamento conhecido. 
Como o processo de integração é o somatório de áreas sob as curvas, pode-se 
empregar um método gráfico para um somatório para vigas complexas que têm funções com 
numerosas descontinuidades. O método gráfico exige que as curvas sejam traçadas em escala 
159 
 
 
 
 
 
a fim de que as áreas sob as curvas possam ser avaliadas através da medição de quadrados 
ou usando-se um planímetro. 
A figura 17a mostra um rotor de aço com uma engrenagem de 89,0 N e um eixo de três 
diâmetros diferentes. Divide-se a viga em cinco partes, mostrando-se os pesos de cada parte 
no respectivo centro de gravidade. Uma delas inclui o peso da engrenagem. A figura 17a é um 
diagrama de carregamento a partir do qual pode-se determinar o diagrama de esforço cortante 
mostrado na figura 17b através de métodos convencionais (a primeira integração). Obtém-se o 
diagrama de momento fletor da figura 17c através das áreas do diagrama de esforço cortante (a 
segunda integração). Por exemplo, a ordenada M1 é obtida a partir da área Al, a ordenada M2, 
 
n 
∑A 
é a soma das áreas A1+A2 e a ordenada Mn é 1 . Deve-se levar em conta o sinal de cada 
 
área. Devem-se multiplicar as áreas em milímetros quadrados pelo fator de conversão 
apropriado obtido das escalas do diagrama de esforço cortante, afim de que as ordenadas do 
diagrama de momento fletor sejam em N/mm. 
160 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Deflexões em um eixo de carregamento conhecido 
 
Depois de realizadas as integrações, deve-se transformar o diagrama de momento fletor 
no diagrama M/EIA conforme exigido pela equação (48). Divide-se cada ordenada do diagrama 
de momento fletor pelo valor adequado de EIA (E = 207x x 103 N/mm2 para o aço e IA = πd4/64) 
para obtenção das ordenadas M/EIA da figura 17d. Obtém-se as ordenadas da figura 17 e 
 
representando a inclinação dy/dx da elástica (terceira integração), através das áreas do 
diagrama M/EIA. As ordenadas traçadas a partir do eixo x' são todas positivas. Entretanto, sabe- 
se do formato esperado da elástica que as inclinações são negativas perto da extremidade da 
esquerda da viga, positivas na extremidade da direita e nas proximidades do meio da viga há 
uma inclinação nula. Assim, traça-se o eixo x escolhido arbitrariamente de tal modo que as 
161 
 
w g
 
 
 
 
áreas negativas sejam aproximadamente iguais às positivas, na figura 17e. Faz-se a quarta 
integração usando-se as áreas da figura 17e para obtenção das ordenadas da deflexão estática 
y na figura 17f. Observa-se que as ordenadas da deflexão estática são negativas porque as 
áreas da curva dy/dx são negativas na extremidade da esquerda onde se inicia a integração. 
Embora estas ordenadas sejam levantadas a partir do eixo x\ traça-se o eixo x conforme 
indicado porque se sabe que são nulas as deflexões da viga nos apoios. Como o eixo x, traçado 
arbitrariamente no diagrama da inclinação da elástica figura 15e, havia dividido igualmente as 
áreas negativas e positivas, então o eixo x' e o x da figura 15f deveriam coincidir. 
Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguintes valores: 
∑ Py 
 
2, 94 N mm 
∑ Py 
∑ Py 2 
 
0, 0385 mm 
2 
n ∑ Py 2 
0, 794 106 
wn 865 rad/s 
n 
60(865) 
c 2 
 
 
 
8260 rpm 
 
 
 
 
5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR 
Para rotores que tem eixos de diâmetros variáveis como no item precedente, a 
determinação da segunda velocidade critica e as velocidades de ordem superior quanto à 
flexão, e relativamente mais complexa do que o cálculo da velocidade crítica fundamental da 
equação (47). Os livros-texto de Timoshenko, Den Hartog e Thomson apresentam métodos 
para rotores com tais eixos e para um número de rotores com eixos uniformes com e sem 
massas concentradas. No casos de vigas uniformes simplesmente apoiadas e vigas uniformes 
em balanço para as quais a formula seguinte calcula as diversas freqüências naturais: 
 
 
wn Cn 
 
EI A g 
Pl 3 
 
 
 
(49) 
 
E o coeficiente que indica a n-ésima freqüência natural, P e o peso total da viga em kg, e 
 
/ e o comprimento da viga em metros. O eixo de transmissão do automóvel e eixo de bobina 
são exemplos de vigas uniformes simplesmente apoiadas, e as palhetas de compressores e de 
turbinas são exemplos aproximados de vigas uniformes em balanço. 
162 
 
3
 
 
 
 
Consideremos o caso da palheta do rotor mostrada na figura 18. Mostra-se a palheta 
como uma viga em balanço a qual sofre um ciclo de perturbação de flexão cada vez que passa 
por uma palheta do estator e provoca uma mudança na força aerodinâmica. Se N e o número 
de palhetas do estator, então a freqüência da perturbação em ciclos por minuto será o produto 
de N pela rotação do rotor em rpm. Quando essa freqüência coincidir com a freqüência natural 
fn da palheta devida à flexão, existira uma situação crítica. Para a palheta deaço mostrada na 
figura 16, os cálculos seguintes ilustram a determinação das diversas velocidades criticas do 
rotor para o caso de um estator de 30 palhetas. 
 
E 207 x103 N / mm 2 
 
g 9810mm / s 2 
 
I 76,2mm 
 
I bh 25,4 x3,18
3
 
 
68,1mm 4 A 12 12 
 
p 76,5x10 6 N / mm3 
 
P volume p (25, 4 76, 2 3,18)(76, 5 10 6 ) 0, 471 N 
 
 
 
w n1 c 
EI Ag
 
1 Pl 3 
 
3, 52 (207 10
3 ) 68,1 9810 
0, 471 76, 23 
 
2870 rad/s 
 
 
60 w 
n1
 60 2870 27, 400 ciclos/min
 
f n1 2 2 
 
 
 
 
 
Figura 18 – Encaixe palheta e rotor 
163 
 
c
n
c
n
∑
n
n
 
 
 
 
f A velocidade crítica do rotor ocorre gerando n1 Nn c1 . 
 
n 
fn1 
 
27400 913 rpm c1 N 30 
 
A segunda e a terceira velocidades críticas são 
 
c2 
c2 c1 
1 
 
 
c3 
c3 c1 
1 
 
22, 4 
3, 52 
 
 
61, 7 
3, 52 
 
913 5810 rpm 
 
 
 
 
913 16000 rpm 
 
Em geral as palhetas de rotores devem ser delgadas e leves para maquinas de alta 
rotação e freqüentemente ultrapassam a primeira e a segunda velocidades criticas. A seleção 
do material e importante. Alguns materiais possuem propriedades de amortecimento melhores 
do que outros, e isto pode significar a diferença entre o êxito e o fracasso em ultrapassar as 
velocidades criticas. As palhetas geralmente são curvas e sua espessura diminui gradualmente, 
sendo maior na base do que na extremidade: isto torna a palheta mais rígida e aumenta um 
pouco a velocidade critica. Observação: não deve ser utilizado em vigas não uniformes. 
 
 
 
 
5.18 - EIXOS ESCALONADOS 
 
Quando o eixo tem os diâmetros escalonados como o do rotor de dois discos mostrados 
na figura 22, a constante da mola torcional é variável. Pode-se determinar uma constante 
equivalente kt em função das constantes individuais kl, k2, k3...Kn. Para molas em série, o 
torque instantâneo T em cada seção do eixo é o mesmo. Entretanto, os ângulos de torção 
diferentes. O ângulo total de torção Φt é a soma de todos os ângulos individuais de torção. 
 
1 1 2 3 
T T T T 
 
... 
 
n 
... 
T
 
kt k1 k2 k3 kn 
1 1 1 1 
... 
1
 
kt k1 k2 k3 
1 1 
kt k 
k
n 
 
 
(50) 
 
Para o rotor com dois discos e com eixos de diâmetro variável, pode-se substituir kt, 
determinado pela equação (50). 
164 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 - Eixo e mancais 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.19 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS 
 
1. O eixo da figura suporta uma engrenagem cilíndrica de dentes retos para uma rotação de 
 
315 rpm. O diâmetro primitivo da engrenagem é de 364 mm, t=310mm, t1=120 mm, 
t2=190 mm. Dimensione este eixo, calculando o valor de d. A engrenagem é enchavetada 
no eixo. A carga total atuando no eixo é de 15 KN. 
 
 
Figura 21 - Exercício proposto 1. 
 
 
2. Um eixo é fabricado com aço AISI 1137, laminado a frio, e é usado em um cortador de 
grama. A potência é suprida ao eixo por uma correia plana à polia A. Em B, uma corrente 
de rolos exerce uma força vertical e em C uma correia trapezoidal também exerce uma 
força vertical. Nas condições de operação a correia transmite 35 HP a 425 rpm das quais 
25 HP é transmitida ao cortador e 10 HP para o ventilador. As duas seções do eixo são 
165 
 
 
 
 
 
unidas por um acoplamento flexível em D e as polias são todas enchavetadas no eixo. 
Decida qual serão os diâmetros dos eixos, utilizando a teoria de falhas de Von Mises e o 
critério de Goodman. 
 
 
 
 
Figura 22 - Exercício proposto 2. 
166 
 
 
 
 
 
 
3. Um eixo S de aço AISI 1137, laminado a frio, transmite potencia que recebe de um eixo 
W, que gira a 2000 rpm através de uma engrenagem E de 125 mm de diâmetro à 
engrenagem A de 375 mm de diâmetro. A potência é transmitida de uma engrenagem C 
para a engrenagem G, que varia de 10 HP a 100 HP, retornando a 10 HP, durante uma 
rotação de do eixo S. O projeto leva em conta as tensões variáveis e a teoria da máxima 
tensão cisalhante TMT|C e o critério de Goodman. Para um fator de projeto n=1,8, 
calcule o diâmetro do eixo, utilizando somente as cargas tangenciais motoras. 
 
 
Figura 23 - Exercício proposto 3. 
167 
 
 
 
 
 
4. Idêntico ao anterior, exceto que as componentes radiais das engrenagens devem também 
ser consideradas, todas as engrenagens com ângulo de pressão 20o. 
 
 
5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a engrenagem G se posiciona em cima da 
engrenagem C. 
 
 
6. Um pequeno eixo é fabricado com aço SAE1035, laminado a quente, recebe potência de 
 
30 HP a 300 rpm, através de uma engrenagem de 300 mm de diâmetro, sendo esta 
potência transmitida a outro eixo através de um acoplamento flexível. A engrenagem é 
enchavetada no meio do eixo entre dois mancais, com ângulo de pressão 20o, fator de 
segurança n=1,5. 
(a) Desprezando a componente radial R da carga total W, determine o diâmetro do eixo. 
(b) Considerando ambas componentes radiais e tangencial, determine o diâmetro do 
eixo. 
 
 
 
 
Figura 24 - Exercício proposto 6.