Apostila 8 - Relação Binária

Matemáti ca RELAÇÃO BINÁRIA 2 SUMÁRIO Introdução ........................................................................................................................................ 3 Objetivos .......................................................................................................................................... 3 Conceitos .......................................................................................................................................... 3 Defin ição ................................................................................................ .......................................... 3 Propriedades ................................................................................................................................... 4 Tipos ................................................................................................................................................. 5 Exercícios ................................................................................................................................ ......... 6 Gaba rito ............................................................................................................................................ 6 Resumo ................................................................................................ ............................................. 7 3 Introduçã o Nesta aula ab ordarem os a parte da matemática que est uda a teoria d as f unções. Mais e specificamente, vamos e studar a relação binári a de funções. Vamos começa r apresentando a defini ção de relação binári a. E m seguida, vamos estudar os tipos e as propriedades dessas relações. Objetivos \u2022 Entender o con ceito de relação binária; \u2022 Identificar uma relação binária a p artir de um de termin ado produto cartesiano; \u2022 Conhecer as propriedades das relações binár ias. \u2022 Identificar o tipo de relação. Concei tos Nessa aula vamos aprender o que são as relaç ões b inár ias. Além d isso, vamos estudar quai s são as suas principais propriedades e como eles podem ser classificadas. Definiçã o Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, c hamamos de relação b inári a (R) de A em B qualquer su bconjunto do produto cartesiano \ud835\udc34 × \ud835\udc35 , ou seja, \ud835\udc45 \u2286 \ud835\udc34 × \ud835\udc35 . EX E M PL O A relação biná ria é escrita como: \ud835\udc45 = { ( \ud835\udc65 , \ud835\udc66 ) \u2208 \ud835\udc34 × \ud835\udc35 ; \ud835\udc62 ma propriedade é admitida } Considere os conjun tos \uf07b \uf07d 1 , 2 A = e \uf07b \uf07d 3 , 4 B = . O produto cartesiano de A em B é: ( ) ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 , 3 , 1 , 4 , 2 , 3 , 2 , 4 AB \uf0b4= Alguns exem plos de relação bin árias, são: ( ) \uf07b \uf07d ( ) \uf07b \uf07d ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 2 3 1 , 3 1 , 4 1 , 3 , 1 , 4 R R R = = = 4 Lê -se como: A relação R é igua l ao par ordena do " (x, y)" pert encente a: A ca rtesiano B tal qu e uma propr iedade é admitida. \u2022 Domín io: form ado p elos elem entos do conjunto A, que p articipar em dessa relação. \u2022 Imagem: form ada pelos elementos do conj unto B, que são correspon dentes A a algum elemento de A na relação R. EX E M PL O Propriedad es As relações binári as possuem 4 propriedades básica: \u2022 Reflexiva; \u2022 Simétrica; \u2022 Transiti va; \u2022 Anti-simétri ca; A seguir vamos entender cada uma delas. 1. Reflexiva : uma relação é reflexiva se todo el emento de A est á relacionado consig o mesmo. Exemplo : Consi dere o conjunto \uf07b \uf07d ,, A a b c = uma r elação refl exiva de A é: ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d , , , , , R a a b b c c = 2. Simétrica : uma relação é sim étrica se a relação de x com y im plica a rela ção de y com x. Exemplo : Consi dere o conjunto \uf07b \uf07d ,, A a b c = uma r elação sim étrica de A é: Considere a relação \ud835\udc45 = { ( 1,3 ) , ( 1,4 ) } obtida dos conjuntos \ud835\udc34 = { 1,2 } e \ud835\udc35 = { 3,4 } . O domínio dessa relação é: Domíni o = { 1 } A imag em dessa relação é: Imagem = { 3,4 } 5 ( ) ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d , , , , , , , R a a b b a b b a = 3. T ransitiva : um a relação é di ta tr ansitiva se x está relaciona do com y e y está relacionado com z, implicar que x está relacionado com z. Exemplo : Consi dere o conjunto \uf07b \uf07d ,, A a b c = uma r elação tran sitiva de A é: ( ) ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d , , , , , , , R a a b c c b a b = 4. Antissimétrica : uma relação é dita antissimétrica se x e y são elementos do conjun to A e ntão x não te m relação com y ou vice - versa. Portanto, o par (x, y) d e A pode estar na relação desde que (y, x ) não esteja. Exemplo : Consi dere o conjun to \uf07b \uf07d ,, A a b c = uma r elação antissimétrica de A é: ( ) ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d , , , , , , , R a a b b a b a c = Tip os Podemos classificar a s relações binárias em quatro tipos: \u2022 Total; \u2022 Injetor a; \u2022 Funciona l; \u2022 Sobrejetora. A seguir vamos definir cada um desses tipos: 1. Total : Todos os elementos de A estão relacionados a algum elemento de B. Exemplo : Consi dere o conjunto \uf07b \uf07d 1 , 2 A = e \uf07b \uf07d 3 , 4 A = uma r elação total é: ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 , 3 , 2 , 4 R = 2. Injetora : um elemento de B não pode ser rela c ionado com dois ou ma is elementos de A. Exemplo : Consi dere o conjunto \uf07b \uf07d 1 , 2 A = e \uf07b \uf07d 3 , 4 A = uma r elação inje tora é: ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 , 3 , 1 , 4 R = 3. Funcional : uma relação é dita funcio nal se um elemen to de A não se r elacionar co m mais de um elemento de B. 6 Exemplo : Consi dere o conjunto \uf07b \uf07d 1 , 2 A = e \uf07b \uf07d 3 , 4 A = uma r elação inje tora é: ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 , 3 , 2, 3 R = 4. S obrejetora : uma relação é dita sobrejetora quan do todo ele mento de A está relacionado a algum elemento de B. Exemplo : Consi dere o conjunto \uf07b \uf07d 1 , 2 A = e \uf07b \uf07d 3 , 4 A = uma r elação inje tora é: ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 , 3 , 2 , 3 R = Exercíci os 1. Considere os con juntos \uf07b \uf07d 1 , 6 A = e \uf07b \uf07d 3 , 2 B = . Li ste 3 possíveis relações. 2. Identifique o domínio e a imagem da relação ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 , 5 , 2 , 5 , 3 , 7 R = cujo os conjun tos são \uf07b \uf07d 1 , 2 , 3 A = e \uf07b \uf07d 5 , 7 B = . 3. Considere os conjuntos \uf07b \uf07d 1 , 2 , 3 A = e \uf07b \uf07d 5 , 7 B = . Classifique a relação ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 , 5 , 2 , 5 , 3 , 7 R = quanto ao ti po. Gabari to 1. Pr imeiro vam os determin ar o pr oduto car tesiano dos conjuntos A e B , assi m, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 , 3 , 1 , 2 , 6 , 3 , 6, 2 AB \uf0b4= Uma relação binária é qualquer subconjunto do p roduto cartesiano, assim alguma s das possibilidades são: ( ) \uf07b \uf07d ( ) \uf07b \uf07d ( ) \uf07b \uf07d ( ) \uf07b \uf07d ( ) ( ) \uf07b \uf07d ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d ( ) ( ) ( ) ( ) \uf07b \uf07d 1 2 3 4 5 6 7 1 , 3 1 , 2 6, 3 6, 2 1 , 3 , 1 , 2 1 , 3 , 1 , 2 , 6, 3 1 , 3 , 1 , 2 , 6, 3 , 6, 2 R R R R R R R = = = = = = = Lembre-se, existem outr as possibilidades além das citadas acima. 7 2. O domínio de uma relação é formado pelos el em entos do conjunto A que f azem parte dessa relação. Assi m, para a relação \ud835\udc45 = {( 1,5 ) , ( 2,5 ) , ( 3, 7 )} ,temos: \uf07b \uf07d D o m ín io = 1 , 2 , 3 Já a im agem é formada pelos elementos de B que fazem parte da relação. Assim, para a relação \ud835\udc45 = {( 1,5 ) , ( 2,5 ) , ( 3,7 )} , temos: \uf07b \uf07d I m ag e m = 5 , 7 3. Na relação \ud835\udc45 = { ( 1 ,5 ) , ( 2,5 ) , ( 3,7 )} podemos observar que to dos os e lementos de A estão relacion ados com algum elemento de B. Logo, ela é um a relação Total. Além disso, todo elemento d e B está relacionado a algum e lemento de A. Assim, ela é uma relação Sobrejetor a. Portan to, a relação pode ser classificada como: Relaç ão Total e Sobrejetora Resumo Definição A r elação bin ária de dois con juntos (A e B ) é qu alquer subconj unto do produto cartesiano de A por B. Propriedade 1. Reflexiva : uma relação é reflexiva se todo el emento de A est á relacionado consig o mesmo. 2. S imétrica : u ma relação é simétrica se para todo x r elacionado co m y, y também estiver relaciona do com x. 3. T ransitiva : um a relação é di ta tr ansitiva se x está relaciona do com y e y está relacionado com z, implicar que x está relacionado com z. 4. Anti -simétrica : uma relação é dita anti -si métrica se x e y são elementos do conjun to A então x não tem relação com y ou v ice -versa. Portanto, o par (x ,y) de A pode estar na r elação desde que (y,x) não esteja 8 Tipo 1. Total : Todos os elementos de A estão relacionados a algum elemento de B. 2. Injetora : um elemento de B não pode ser rela c ionado com do is ou mai s elementos de A. 3. Funcional : uma relação é dita funcio nal se um elemen to de A não se r elacionar co m mais de um elemento de B. 4. S obrejetora : uma relação é dita sobrejetora q uando todo elemento d e B está relacionado a algum elemento de B. 9 Referência s DANTE , LUIZ , RO BERTO MATEM Á TICA : C ONTEXTO E APLICAÇÕ ES , S ÃO PAUL O : ÁTICA , 2010.

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