Dicas para testar Convergência ou Divergências de Séries

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Dicas para testar Convergeˆncia ou Divergeˆncias de
Se´ries
• Sabemos que a se´rie p, ∑ 1
np
e´ convergente para p > 1 e divergente para p ≤ 1.
• A se´rie geome´trica ∑ arn−1 (ou ∑ arn−1) converge se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1.
• Se lim
n→∞
an 6= 0, enta˜o a se´rie
∑
an diverge pelo teste da divergeˆncia.
• an e´ uma func¸a˜o racional ou func¸a˜o alge´brica de n (envolve ra´ızes de polinoˆmios),
– a se´rie
∑
an deve ser comparada com uma se´rie p.
– se
∑
an possui termos negativos, aplicar o teste da comparac¸a˜o a
∑ |an| e testar
a convergeˆncia absoluta.
Ex:
∑ √n3 + 1
3n3 + 4n2 + 2
=⇒ an =
√
n3 + 1
3n3 + 4n2 + 2
e´ uma func¸a˜o alge´brica de n,
comparamos com a se´rie p,
∑ √n3
3n3
=
∑ 1
3n3/2
.
• ∑(−1)n+1an . Usar o teste da se´ries alternadas.
• se an = f(n), onde
∫ ∞
1
f(x)dx e´ facilmente avaliada, usar o teste da integral.
• se´ries envolvendo fatoriais ou outros produtos (constantes elevadas a n-e´sima poteˆncia),
usar o teste da raza˜o.
• Se an for da forma (bn)n, o teste da raiz pode ser u´til.