Aula Teoria das Placas

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ANÁLISE ESTRUTURAL I
TEORIA DAS PLACAS
PROF: ANA RAQUEL SENA LEITE
INTRODUÇÃO A TEORIA DAS PLACAS
Recebem a denominação geral de folhas as estruturas nas quais duas dimensões predominam sobre uma 
terceira dimensão (sendo esta última relacionada à espessura). Dependendo da geometria, das condições de 
carregamento e de outras características (como a rigidez a flexão), são elas
INTRODUÇÃO A TEORIA DAS PLACAS
14.4.2.1 Placas
Elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações normais a seu plano. As 
placas de concreto são usualmente denominadas lajes. Placas com espessura maior 
que 1/3 do vão devem ser estudadas como placas espessas.
14.4.2.2 Chapas
Elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações contidas em seu plano. 
As chapas de concreto em que o vão for menor que três vezes a maior dimensão da 
seção transversal são usualmente denominadas vigas-parede.
14.4.2.3 Cascas
Elementos de superfície não plana
✓ As hipóteses utilizadas na Teoria Clássica de Placas, conhecidas como hipóteses de 
Kirchhoff, são: 
✓ O material da placa é homogêneo, isótropo e possui comportamento elástico-
linear;
✓ .O plano médio 0xy da placa não se deforma pela flexão (ou seja, admite-se que 
o plano de meia espessura é um plano neutro, isento de tensões, que irá se 
constituir na superfície elástica após atingir o equilíbrio); 
✓ Um segmento normal ao plano médio da placa (plano Oxy) continuará normal à 
superfície elástica após atingido o equilíbrio (hipótese análoga à hipótese de Navier-
Bernoulli para vigas)
✓ A placa é fina 
𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗ã𝒐
𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒂 𝒍𝒂𝒋𝒆
> 𝟐𝟎
HIPÓTESES BÁSICA
HIPÓTESES BÁSICA
✓ Admite-se a hipótese de linearidade geométrica, ou seja, admite-se a hipótese 
de pequenos deslocamentos pequenas deformações e pequenas rotações
✓ Desprezam-se as contribuições de 𝜎𝑧, 𝜏𝑧𝑥 , 𝜏𝑧𝑦 no estado de tensão da placa. De 
fato, é possível mostrar que as tensões 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 são significativamente 
maiores que as tensões 𝜎𝑧, 𝜏𝑧𝑥, 𝜏𝑧𝑦 na maior parte dos casos de interesse 
prático. Contudo, os esforços generalizados Qx e Qy, associados respectivamente 
às distribuições de tensões 𝜏𝑧𝑥 , 𝜏𝑧𝑦 , serão devidamente considerados quando da 
imposição do equilíbrio de forças em um elemento infinitesimal da placa 
CARGAS
EXTERNAS
HIPÓTESES BÁSICA DA TEORIA CLÁSSICA DAS PLACAS
DESLOCAMENTOS
HIPÓTESES BÁSICA DA TEORIA CLÁSSICA DAS PLACAS
EQ. DEFORMAÇÃ/DESLOCAMENTO
A partir das relações obtidas, observamos que, de fato, a superfície média da placa não irá se 
deformar (visto que, para z = 0, obtemos 𝜎𝑥 = 𝜎𝑦, = 𝜏𝑥𝑦 = 0).
EQUAÇÃO DE DEFORMAÇÃ/DESLOCAMENTO
CURVATURACURVATURA
EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS
• material é homogêneo, isotrópico e elástico linear. 
• O estado de tensões em cada lâmina da placa é plano.
• Deformações não nulas:
Equações constitutivas
TENSÕES
ATUANTES
ESFORÇOS 
INTERNOS
TENSÕES AO LONGO DA ESPESSURA
TENSÕES AO LONGO DA ESPESSURA
TENSÕES AO LONGO
DA ESPESSURA
ESFORÇOS NA SUPERFÍCIE
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
SOLUÇÕES
Solução analítica (Eq. Dif. Parcial de 4ª ordem) 
• Caso geral (geometria, carregamento e condições de contorno):
✓ Solução difícil.
✓Em muitos casos impossível achar uma solução exata.
• Geometrias e condições de contorno simples: 
✓ Placas circulares (soluções fechadas).
✓Placas retangulares (soluções por séries): 
▪ Solução de Navier. 
▪ Solução de Levy.
SOLUÇÕES
Soluções aproximadas 
• Métodos semi-analíticos: 
✓ Rayleigh-Ritz. 
✓ Ù Galerkin.
Métodos numéricos: 
✓ Método das Diferenças Finitas. 
✓ MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. 
✓ Método dos Elementos de Contorno. 
✓ Métodos sem malha (meshless)
CONDIÇÕES DE CONTORNO
➢ Bordo simplesmente apoiado: 
✓ w= 0 
✓ Mp = 0 (Mp éo momento na direção ⊥ ao bordo)
➢ Bordo engastado: 
✓ w= 0 
✓ θ b = 0 ( θ b éa rotação em torno do bordo)
➢ Bordo livre: 
✓ Mp = 0 
✓ Vp = 0 (Vp éo cortante efetivo na direção ⊥ao bordo)
CONDIÇÕES DE CONTORNO
➢ Bordo simplesmente apoiado: 
✓ w= 0 
✓ Mp = 0 (Mp éo momento na direção ⊥ ao bordo)
➢ Bordo engastado: 
✓ w= 0 
✓ θ b = 0 ( θ b éa rotação em torno do bordo)
➢ Bordo livre: 
✓ Mp = 0 
✓ Vp = 0 (Vp éo cortante efetivo na direção ⊥ao bordo)
TABELA DE CZERNY
Baseado na teoria da elasticidade, Czerny elaborou
tabelas para o cálculo de momentos fletores
considerando um coeficiente de Poisson v = 0. A
alteração para coeficiente v = 0,2 é a
Czerny – Berton-Kalender
A partir da mesma é possível encontrar momentos,
reações de apoio e deformações máximas
TABELA DE CZERNY
TABELA DE CZERNY
➢ As tabelas irão variar de acordo com as condições de contorno dos seus 
apoios, podendo sem esses:
TABELA DE 
CZERNY
OBS: TABELA CZERNY SÓ PARA LAJES BIDIMENSIONAIS
➢ As tabelas irão variar de acordo com as condições de contorno dos seus 
apoios, podendo sem esses:
LAJE UNIDIMENSIONAL: VÃO MAIOR > 2 x VÃO MENOR LAJE BIDIMENSIONAL: VÃO MAIOR ≤ 2 x VÃO MENOR
DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE APOIO DAS LAJES
DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE APOIO DAS LAJES
DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE APOIO DAS LAJES
DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE APOIO DAS LAJES
DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE APOIO DAS LAJES
DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE APOIO DAS LAJES
CASOS 
ESPECÍFICOS
CASOS 
ESPECÍFICOS
DETERMINAÇÃO DAS 
CONDIÇÕES DE APOIO 
DAS LAJES
Sendo as lajes a seguir de altura 
de 8cm com carga de cálculo de p 
= g +q = 5kN/m²
Determine:
 As formas de apoio das lajes
 As tensões e deslocamentos 
em todas as lajes.