Gabarito P-1 A do 2sem2012

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Nº sequencial 
 
DISC: Nº MA 2121 CÁLCULO II 
I 
P-1 A DATA: 24/ set / 2012 
NOME: NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: A duração da prova é de 80 minutos. Não é permitida a consulta e nem o uso de calculadoras e 
 celulares. O valor de cada questão é 2.0 pontos. Respostas à tinta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 
2ª questão: Determinar o domínio mais amplo da 
função f(x,y) = 
ln 𝑥−1 
 4−𝑥2−𝑦2
 e esboçar esse domínio. 
1ª questão: Calcular a área da região que esta dentro 
do círculo r = 1 e fora da cardióide r = 1 – cosθ. 
0 
eixo polar 
𝐴1 = 
1
2
𝜋𝑟2 = 
1
2
𝜋12 = 
𝜋
2
 
 
𝐴2
2
= 
1
2
 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 2𝑑𝜃
𝜋
2 
0
 
 
𝐴2 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠
2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
2 
0
 
 
𝐴2 = 𝜃 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
2
 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝜋
2 
0
 
 
𝐴2 =
1
2
 3𝜃 − 4𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝜋
2 
0
 
 
𝐴2 = 
1
2
 3
𝜋
2
− 4 + 0 − 0 − 0 + 0 
 
𝐴2= 
3𝜋
4
− 2 
 
 
A = 𝐴1 − 𝐴2 
 
A = 
𝜋
2
− 
3𝜋
4
− 2 
 
A = 2 − 
𝛑
𝟒
 u.a. 
 
C.E. do logarítmo: x – 1 > 0 
 x > 1 
 
C.E. da raiz/ denominador: 4 −𝑥2 − 𝑦2 > 0 
 𝑥2 + 𝑦2 < 4 
 
 
D = 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅2 𝑥 − 1 > 0 𝑒 4 − 𝑥2 − 𝑦2 > 0 
 
1 2 
MA 2121 P-1 A DO 2º SEMESTRE DE 2012 MA 2121 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª questão: Resolver 𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 4ª questão: Resolver 𝑥2 + 2𝑥 + 5 𝑑𝑥 
u = arctg(x) du = 
1
1+𝑥2
 𝑑𝑥 
dv = x.dx v = 
𝑥2
2
 
 
 𝑢.𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − 𝑣.𝑑𝑢 
 
 𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 −
1
2
 
𝑥2
𝑥2+1
 𝑑𝑥 
 
 
 𝑥2 𝑥2 + 1 
−𝑥2 − 1 1 
 −1 
 
 
I = 
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 −
1
2
 1 − 
1
𝑥2+1
 𝑑𝑥 
 
I = 
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 −
1
2
 𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + C 
 
I = 
𝟏
𝟐
 𝒙𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒙+ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒙 + C 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 +
𝑏
2𝑎
 
2
−
∆
4𝑎2
 
 
𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 𝑥 + 1 2 + 4 
 
I = 𝑥 + 1 2 + 4 𝑑𝑥 
 
 u = x + 1 du = dx 
 
I = 𝑢2 + 4 𝑑𝑢 tabela nº 16 
 
I = 
𝑢
2
 𝑢2 + 4 + 
4
2
ln 𝑢 + 𝑢2 + 4 + C 
 
I = 
 𝑥+1 
2
 𝑥 + 1 2 + 4 + 2 ln 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 2 + 4 + C 
 
I = 
 𝒙+𝟏 
𝟐
 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙+ 𝟓 + 𝟐 𝐥𝐧 𝒙+ 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙+ 𝟓 + C 
 
 
MA 2121 P-1 A DO 2º SEMESTRE DE 2012 MA 2121 
3 
 
 
 
 RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5ª questão: Esboce região do plano limitada por 𝑦2 = 𝑥, 
y = 
𝑥+1
2
 e y = −2. Calcule a área da região. 
1 
−2 
Pontos de intersecção: 
𝑥 = 𝑦2 
𝑥 = 2𝑦 − 1
 
 
𝑦2 = 2𝑦 − 1 → 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 0 
 y = 1 
A = 𝑦2 − 2𝑦 − 1 𝑑𝑦
1
−2
 
 
A = 𝑦2 − 2𝑦 + 1 𝑑𝑦
1
−2
 
 
A = 
𝑦3
3
− 𝑦2 + 𝑦 
1
−2
 
 
A = 
13
3
− 12 + 1 − 
 −2 3
3
− −2 2 − 2 
 
A = 
1
3
− 1 + 1 − 
−8
 3
− 4 − 2 
 
A = 9 u.a.