Gabarito P-1 C do 2sem2012

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Nº sequencial 
 
DISC: NA 2121 CÁLCULO II 
I 
P-1 C DATA: 20/ set / 2012 
NOME: TURMA: 
ASS.: NOTA: 
Instruções Gerais: A duração da prova é de 80 minutos. Não é permitida a consulta e nem o uso de calculadoras e 
 celulares. O valor de cada questão é 2.0 pontos. Respostas à tinta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 
1ª questão: Calcular a área da região limitada pela 
cardióide r = f(θ) = 1 – cosθ , com θ ∈ 0 ,𝜋 . 
2ª questão: Calcular o comprimento de arco da curva 
dada por y = f(x) = 
1
3
 2𝑥 + 1 
3
2 , com x ∈ 0, 3 
eixo polar 
0 
A = 
1
2
 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 2𝑑𝜃
𝜋
0
 
 
A = 
1
2
 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
 
 
A = 
1
2
 𝜃 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
2
 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝜋
0
 
 
A = 
1
4
 3𝜃 − 4𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝜋
0
 
 
A = 
1
4
 3𝜋 − 0 + 0 − 0 − 0 + 0 
 
A = 
𝟑𝝅
𝟒
 𝒖.𝒂. 
f’(x) = 
1
3
 
3
2
 2𝑥 + 1 
1
2. 2 = 2𝑥 + 1 
 
L = 1 + 2𝑥 + 1 
23
0
 𝑑𝑥 
 
L = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥
3
0
 
 
L = 2 𝑥 + 1 
3
0
 𝑑𝑥 
 
 u = x+1 du = dx 
 
L = 2 𝑢 𝑑𝑢 
 
L = 2
2
3
𝑢
3
2 
 
L = 
2 2
3
 𝑥 + 1 
3
 
3
0
 
 
L = 
2 2
3
 4 
3
− 1 
3
 
 
L = 
𝟏𝟒 𝟐
𝟑
 𝒖. 𝒄. 
NA 2121 P-1C DO 2º SEMESTRE 2012 NA 2121 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª questão: Resolver 
𝑥2+3𝑥+9
𝑥 𝑥2+9 
 𝑑𝑥 4ª questão: Resolver 𝑠𝑒𝑛
4𝑥. 𝑐𝑜𝑠3𝑥.𝑑𝑥 
𝑥2+3𝑥+9
𝑥 𝑥2+9 
 = 
𝐴
𝑥
 + 
𝐵𝑥+𝐶
𝑥2+9
 
 
A 𝑥2 + 9 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 9 
 
 𝐴 + 𝐵 𝑥2 + 𝐶𝑥 + 9𝐴 = 𝑥2 + 3𝑥 + 9 
 
 
𝐴 + 𝐵 = 1
𝐶 = 3 
9𝐴 = 9 
  A = 1 ; B = 0 
 
𝑥2+3𝑥+9
𝑥 𝑥2+9 
 = 
1
𝑥
 + 
0𝑥+3
𝑥2+9
 
 
I = 
1
𝑥
𝑑𝑥 + 3 
𝑑𝑥
𝑥2+9
 
 
I = ln 𝑥 + 3.
1
3
.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 
𝑥
3
 + K 
 
I = 𝐥𝐧 𝒙 + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 
𝒙
𝟑
 + K 
 
 
I = 𝑠𝑒𝑛4𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑑𝑥 
 
I = 𝑠𝑒𝑛4𝑥. 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑑𝑥 
 
 
 u = senx du = cosx.dx 
 
I = 𝑢4 1 − 𝑢2 𝑑𝑢 
 
I = 𝑢4 − 𝑢6 𝑑𝑢 
 
I = 
𝑢5
5
− 
𝑢7
7
 + C 
 
I = 
 𝑠𝑒𝑛𝑥 5
5
− 
 𝑠𝑒𝑛𝑥 7
7
 + C 
 
I = 
𝒔𝒆𝒏𝟓𝒙
𝟑𝟓
 𝟕− 𝟓𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + C 
 
NA 2121 P-1C DO 2º SEMESTRE 2012 NA 2121 
3 
 
 
 
 RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5ª questão: Determinar e esboçar o domínio da função 
f(x,y) = 𝑥 + 𝑦 − 1 + ln 4 − 𝑥2 − 4𝑦2 
C.E. da raiz quadrada : x + y – 1 ≥ 0 
 y ≥ 1 − x 
 
C.E. do logarítmo: 4 − 𝑥2 − 4𝑦2 > 0 
 𝑥2 + 4𝑦2 < 4 
 
D = 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅2 𝑥 + 𝑦 − 1 ≥ 0 𝑒 4 − 𝑥2 − 4𝑦2 > 0 
1 
2