Torção em elementos de concreto armado

4 T orção em Elementos de Concreto Armado 4.1. Histórico As teorias para análise de vigas de materiais elásticos, homogêneos e isótropos s olicitadas à torção datam dos séculos XVIII e X IX. O concreto armado como material estrutural teve seu uso difundido no mundo inteiro a partir do fim do século X IX, e as principais teorias para análise de vigas solicitadas à torção produzidas c om esse material f oram desenvolv idas ao longo do século XX (Figura 4.1). A base para análise das vigas de concreto armado solicitadas à torção está funda mentada na analogia da treliça, proposta inicial m ente por Ritter e m 1889 e m ais tarde por Mör sch 1902, utilizada p ara a análise do comportamento de v igas de concreto armado s ubmetidas à f orça cort ante, e na t eoria de Bredt para tubos de paredes finas apresentada em 189 6. A analogia da t reliça consiste em considerar o comportamento de um a viga fissurada similar ao de uma treliça isostática, com barras diagonais comprimidas com inclinação de 45º, ligando a parte superior comprimida à parte inferior tracionada. Mörsch e m 1904 conduz iu nos laboratórios d e S tuttgart, Alemanha, os primeiros ensaios à torção em corpos-de-prova de concr eto armado cilí ndricos, m aciços e ocos, para analisar o com portamento deste material quando solicitado à torção. Em 1921, M örsch, executou m ais uma série de ensaios afim de aprofundar os estudos já iniciados. A idéia de juntar a analogia da tr eliça com a teoria de Bredt para a anális e de vigas à torção deve-se a Ernest Rausch, que em 1929, em sua tese de doutorado, onde se propôs u m modelo deno minado Analogia da T reliça Espacial, que considera diagonais com pri m idas a 45 0 . A segunda edição desse trabalho foi apresentada em forma de livro, publicado em 1938, e a t erceira edição em 1952. Em 1958, co m algumas adaptaç ões, esse m odelo foi incorporado à DIN- 1045, que foi a pri m eira norma no m undo a ter prescrições sobr e torção em seu PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221074/CA Torção em Elementos de Concreto Armado 52 escopo. No ano de 1959 sur giu na antiga União Soviética um m odelo para a análise da t orção de vigas de concr eto armado, de autoria de Lessig, fundamentado e m equações de equilíbrio, ad mitindo-se o s modos de r uptura d a viga à torção. A partir da década de 1960 houve um s úbito interesse na pesquisa experimental sobre o comportamento das vigas de concreto armado e protendido solicitadas à torção. N o ano de 1962, Yudin publicou um trabalho co ntendo contribuições que generalizavam o m odelo de Lessig. Em 1963, T hom as T. C. Hsu publicou os resultados dos ensai os à torção de 53 v igas de concreto armado, que se tornaram referência na literatura. Em 1968 su rgiu a publicação do Am erican Concrete Institute intitulada Torsion of Str uctural Concrete SP-18 , contendo uma coletânea de resultados de ensaios e de trabalhos teóricos. Os trabalhos dessa publicação adotavam, e m geral, o modelo de Lessig. 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Ritter (1889) Mörsch (1892) Rausch (1929) DIN 1045 (1958) Lessing (1959) Yudin (1962) Hsu (1963) SP - 18 (1968) Modelo de compo rtamento para força cortante Modelo de treliça espacial 1ª Norma com prescrições para torção Modelo de fl exão esconsa Resultados de 53 ensaios Michael Collins Hsu Bruno Türlimann Treliça espacial generalizad a Campo da compressão diagonal generalizad o Softening Truss Model Figura 4.1 \u2013 Evoluçã o das teoria s para dimen sionamento à torção de vigas de co ncreto armado. Na Suíça, Alemanha e França, o m odelo de t reli ça de Rausch recebeu diversas contribuições teóricas e experimentais. No ETH-Zürich sob o comando PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221074/CA Torção em Elementos de Concreto Armado 53 do professor Bruno T hürlim ann foi desen volvido um amplo progra ma experimental, cujo objetivo foi generalizar o modelo da treliça espacial. Na Alemanha foram publicados pela Deutsch Ausschuss für Stahlbeton os resultados dos ensaios de vigas solicitadas à tor ção realizados por Fritz Leonhardt em Sttutgart (Leonhardt e Schelling, 1 974). A sistem ática atual para dimensionamento de vigas de concreto estr utur al solicitadas à t orção, adotada por divers as normas internacionais entre elas, Eurocode 2, ACI, CSA apud Gabrielsson (1999) e t ambém pela NBR 6118/2003, está fundamentada no modelo da treliç a espacial generalizada. 4.2. Comportamento d e Vigas de Concreto Armado Solicitada s à Torção As v igas de concr eto arm ado solicitadas à torção apresentam t rês estágios distintos de c omporta mento em f unção da m agni tude da solicitação (Sánchez, 1989). 1º Estágio \u2013 Nível de solicitação baixo: \u2022 para um torçor de pequena m agnitude a f issuração é praticam ent e inexistente; \u2022 a seção transversal é considerada de for ma integral; \u2022 os princípios utilizados para análise de peças de materiais homogêneos, isótropos e elástico lineares são aplicados. 2º Estágio \u2013 Nível de solicitação médio: \u2022 existe dificuldade em se determ inar quando ocorre o início e o término deste estágio de solicitação; \u2022 m es mo com o aparecimento das primeira f issu ras, as teorias elásticas ainda podem ser utilizadas; \u2022 o m ecanis mo interno resistente da viga é m odificado de modo considerável; 3º Estágio \u2013 Nível de solicitação alto: \u2022 há o desenvolvimento da fissuração ao longo da viga; \u2022 os m odelos elásticos para análise do m ecanismo interno resistente não podem ser aplicados, pois o comporta mento da viga torna-se inelástico; \u2022 é necessário a elaboração de m odelos m ais sof isticados, baseados na Teoria da Plasticidade. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221074/CA Torção em Elementos de Concreto Armado 54 De m aneira geral, quando uma viga é solicitada à t orção as fissuras ocorrem para baixos valores de solicitação, dificultando o estabelecimento do início e do término de cada estágio citado anterior mente. 4.3. Analogia da Treliça E spacial O modelo pr oposto por Rausch em 1929 est á baseado nas seguintes concepções (Hsu, 1984; Alnuai m i, 1999): \u2022 a t reliça espacial é formada por bielas de concr eto c omprimidas a 45º e por barras de aço longitudinais e transversais conectadas formando nós; \u2022 o ele m ento diagonal é c arregado somente co m compressão axial, sendo a resistência ao cisalhamento negli genciada; \u2022 as bar ras de aço t ransv ersais e longitudinais s ão solicitadas s omente à tração, sendo desprezado o efeito de pino; \u2022 para uma seção m aciça o núcleo de concret o não contribui para resistência últim a à torção, o que viabiliza o uso da teoria de Bredt para análise destes elementos. Este modelo assume q ue o v olu m e de aço longitudinal é igual ao volume de aço t ransversal. Os resultados experimentais mostram que o modelo c om ângulo da biela igual a 4 5º é bastante conservador, principalmente em vigas com taxas de armadura reduzidas. 4.4. Treliça Espacial Gen eralizada Lam pert e Thürlimann (1971) genera lizara m o modelo da treliça espacial para elementos de concreto estrutural sujeitos à t orção, ou à c ombinação da flexão com a torção. Esses autores assumiram que o ângulo de inclinação das bielas pode diferir de 45º. Adm item um co mportam ento elasto-plástico perfeito e uma curva tensão-deformação específica para a armadura. No modelo com bielas incl inadas de 45º está implícito que as ta xas volum étricas das armaduras transversal e longitudinal são iguais. Equações análogas às deduzi das inicia lmente por Lam pert e Thürlimann (1971) são obtidas a partir do modelo do painel fissurado. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221074/CA Torção em Elementos de Concreto Armado 55 4.5. Modelo do P ainel Fissurado Seja um painel de concreto de espessura d t , de lados com dimensões unitárias e armaduras transversal e longitudin al distribuídas em seu interior, submetido a um fluxo de tensões tangenciais (Figura 4.2.a). Após a f issuração desse elemento este t erá a c onfiguração m ostrada na Figura 4.2.b, onde as bielas de concreto são comprimidas, e têm incl inação \u03b1 . O uso dess e elemento visa possibilitar uma análise genérica das solicitações combinadas (ações normais e tangencias). Figura 4.2 \u2013 Modelo do painel fissurad o. Formulando-se o equilíbrio na face vertical do el emento tem-se: l n q tg = \u03b1 (4.1) ou \u03b1 = tg n q l (4.2) Na face horizontal do elemento te m-se: q n tg t = \u03b1 (4.3) ou \u03b1 = g cot n q t (4.4) Escrevendo-se o fluxo de tensões em termos da tensão na biela resulta: ( ) \u03b1 \u03b1 \u03c3 cos sen t q d d = (4.5) ou PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221074/CA Torção em Elementos de Concreto Armado 56 ( ) \u03b1 \u03b1 \u03c3 cos sen t q d d = (4.6) Definido-se as forças por unidade de co mprimento l n e t n como: l l l l s f A n = (4.7) e s f A n t f t = (4.8) Igualando-se as expressões 4.1 e 4.3 de m odo a se eliminar \u03b1 tem-se: q n n q t = l (4.9) logo t n n q l = (4.10) De forma análoga, eliminando-se q tem-se: \u03b1 = \u03b1 tg n g cot n t l (4.11) donde l n n tg t = \u03b1 (4.12) A tensão na biela é dada por: ( ) \u03b1 \u03b1 \u03c3 cos sen t q d d = (4.13) onde q \u2013 fluxo de tensões tangenciais ; \u03b1 \u2013 ângulo de inclinação das bielas co mprimidas; l n \u2013 força normal na armadura longitudinal; t n \u2013 força normal na armadura transversal; d \u03c3 \u2013 tensão de compressão na biela de concre to; d t \u2013 espessura do painel; l A \u2013 área de uma barra da armadura longitudinal; l f \u2013 tensão na armadura longitudinal; l s \u2013 espaçamento da armadura longitudinal; t A \u2013 área de uma barra da armadura transversal; t f \u2013 tensão na armadura tr ansversal; t s \u2013 espaçamento da armadura transversal. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221074/CA Torção em Elementos de Concreto Armado 57 4.6. Treliça Espacial Gen eralizada Considerando-se o Mo delo do Painel Fissurado As vigas de concr eto estrutur al solicitadas à torção comportam-se de m anei ra semelhante às vigas com seção vazada ( Figura 4.3). Desta forma o fluxo de tensões tangenciais é dado por meio da 1ª equação de Bredt. Figura 4.3 \u2013 Torção em vigas retang ulares de co ncreto e strutural. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221074/CA Torção em Elementos de Concreto Armado 58 Considerando-se que a viga de concr eto armado sej a composta por painéis fissurados formando um a ele mento com seção vazada, a resultante das forças na armadura longitudinal l N é dada por: u n N l l = (4.14) Substituindo-se as expressão 4.14 e a 1ª fórmula de Bredt na ex press ão 4.2, tem-se para a ar m adura longitudinal : \u03b1 = tg u N A 2 T 0 l (4.15) \u03b1 \uf8f7 \uf8f8 \uf8f6 \uf8ec \uf8ed \uf8eb = tg A 2 u N T 0 l (4.16) Para a armadura transversal tem-se: \u03b1 = g cot n A 2 T t 0 (4.17) \u03b1 = g cot A 2 n T 0 t (4.18) Para a biela tem-se: ( ) \u03b1 \u03b1 \u03c3 cos sen t A T d d = 0 2 (4.19) ( ) \u03b1 \u03b1 \u03c3 cos sen A t T d d 0 2 = (4.20) Quando do escoamento d a armadura longitudinal e transversal te m -se y n n l l = , y N N l l = e ty t n n = , logo: \u03b1 \uf8f7 \uf8f7 \uf8f8 \uf8f6 \uf8ec \uf8ec \uf8ed \uf8eb = tg A 2 u N T 0 y l (4.21) \u03b1 = g cot A 2 n T 0 t y (4.22) Eliminando-se T das expressões 4.21 e 4.22: \uf8f7 \uf8f7 \uf8f8 \uf8f6 \uf8ec \uf8ec \uf8ed \uf8eb = \u03b1 u N n tg y ty l (4.23) Eliminando-se o ângulo \u03b1 das expressões 4.21 e 4 .22 tem-se: ty y y n u N A T \uf8f7 \uf8f7 \uf8f8 \uf8f6 \uf8ec \uf8ec \uf8ed \uf8eb = l 0 2 (4.24) onde l N \u2013 força resultante na armadura longitudinal; u \u2013 perímetro da região limitada pela metade da espessura t; 0 A \u2013 área da região limitada pela metade da espessura t; PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221074/CA Torção em Elementos de Concreto Armado 59 T \u2013 momento torçor solicitante; y n l \u2013 força normal unitária para o escoamento da armadur a longi tudinal; y n l \u2013 força normal unitária para o escoamento da armadur a t ransversal; y N l \u2013 força resultante para o escoamento da armadura longitudinal; y T \u2013 momento torçor quando do escoamento das arm aduras. 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