Economia - Aula 09 - Modelo de Solow e Numeros Indices

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AULA09 : MODELO DE SOLOW: CRESCIMENTO DE LONGO PRAZO. O 
PAPEL DA POUPANÇA, DO CRESCIMENTO POPULACIONAL E DAS 
INOVAÇÕES TECNOLÓGICAS SOBRE O CRESCIMENTO. “ A REGRA DE 
OURO”. O PRODUTO NOMINAL X O PRODUTO REAL. NÚMEROS ÍNDICES. 
 
 
Trataremos aqui de dois assuntos sem nenhuma espécie de conexão entre eles e 
que, somente por motivações didáticas, serão vistos no mesmo tópico. 
Deixamos esses assuntos ( Solow e Números-Índices) como última aula, antes da 
aula-revisão sobre todos os assuntos estudados, pelos motivos ilustrados, a 
seguir: 
a) o modelo de Solow (embora seja o preferível das bancas) não tem encontrado 
mais tanta ressonância nas bancas examinadoras e acreditamos que, com a 
redução do número de questões da prova de Economia, não há motivação que 
justifique a elaboração de uma questão do modelo de crescimento de Solow. Além 
disso, é um tema até certo ponto “solto” dentro do contexto e de aprendizagem 
mais árida por ser um tanto subjetivo. É evidente que você não precisa decorar 
tudo o que será narrado sobre o modelo! Bastam algumas leituras para que vocês, 
no momento do certame, quando virem a questão pela frente, lembrem-se dos 
corolários, hipóteses e conclusões apresentados nessa aula. 
b) números-índices representam assunto dos mais trabalhosos em termos 
numéricos ( ainda que rudimentar) com várias fórmulas para os diversos índices 
que temos que memorizar. E mais, como veremos nos exercícios propostos, a 
probabilidade de uma questão sobre tal assunto voltar aos certames é 
virtualmente nula, sobretudo na forma numérica, como aparecia até 2001/2002. 
Além disso, via de regra, existem as disciplinas Matemática Financeira e 
Estatística ( sempre descritiva) que trabalham rigorosamente com uma quantidade 
de fórmulas e cálculos infinitos, de sorte que consideramos sobreposição de 
interesses, questões da esfera de números-índices/índices de preço. 
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MODELO DE SOLOW 
 
Aqui no modelo de Solow, o preferível das bancas de concurso, sem uma razão 
aparente para tanto ( explicaremos nossa posição nos próximos seis parágrafos), 
tarjamos em negrito ( grifo nosso) algumas passagens com o fito de que o 
candidato que esteja com maiores dificuldades no campo se detenha nesses 
pressupostos e conclusões assinalados. 
Mas o que vem a ser esse modelo de crescimento de longo prazo? O modelo 
demonstra como interagem a poupança, as taxas de crescimento demográfico, o 
estoque de capital por trabalhador e o progresso tecnológico. 
A autoridade governamental desejosa por incrementar o ritmo do avanço 
econômico poderá ser tentada a difundir campanhas de poupança, cortes de 
impostos, subsídios a investimentos ou até controles populacionais. Como 
resultado dessas medidas, cada trabalhador poderá contar com mais capital para 
trabalhar. 
Mas o processo de aprofundamento de capital, no jargão dos economistas das 
teorias de crescimento, depara-se com a questão dos retornos decrescentes. Dar 
um segundo computador a um trabalhador não dobrará a sua produção, pois 
torna-se humanamente impossível o indivíduo gerar duas vezes mais produto 
intelectual utilizando-se de dois computadores simultaneamente. 
Meus caros, o que consegue por si só gerar progresso duradouro? 
Qualquer coisa que permita à economia agregar à produção, sem 
necessariamente acrescentar mais mão-de-obra e capital. 
Solow designou essa fonte de riqueza de "progresso tecnológico" em 1956 e 
mediu a sua importância um ano depois, em 1957. Mas em nenhum momento 
explicou a origem dessa fonte nem sua forma de aceleração. Para homens de 
ação, o modelo de Solow era uma provocação impossível: o que ele iluminava não 
interessava; e o que realmente interessava, ele pouco ajudava a iluminar. 
O modelo de crescimento de Solow mostra que a taxa de poupança é uma 
variável chave do estoque de capital no estado estacionário e, assim, do bem-
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estar econômico. Em outros termos, quanto maior a poupança, maior o capital 
realizado e mais alto o produto. A taxa de poupança mede o quanto de sua renda 
a geração presente coloca de lado para seu próprio futuro e o das gerações que 
lhe sucedem. 
O modelo de crescimento de Solow explica como a poupança, o crescimento 
demográfico e o progresso tecnológico afetam o aumento do produto com o correr 
do tempo. 
Quando o capital é muito pequeno, qualquer unidade adicional é útil, criando uma 
quantidade maior de produto adicional; mas, quando o capital é grande, o 
acréscimo de uma unidade é menos útil e gera menor quantidade de produto 
adicional. A função produtividade marginal do capital (PMgK) é decrescente com o 
capital. 
A função de produção revela como a quantidade de capital por trabalhador k 
determina a quantidade de produto por trabalhador y = f(k). A declividade da curva 
é a produtividade marginal do capital; se k aumenta em uma unidade, y aumenta 
em PMgK unidades. A função de produção se aplana à medida que k aumenta, 
indicando uma produtividade marginal decrescente. 
O capital estacionário representa um equilíbrio de longo prazo na economia. 
O modelo de Solow mostra que a taxa de poupança é o principal determinante do 
estoque de capital no estado estacionário. 
O aumento da taxa de poupança faz a economia crescer até que alcance o novo 
estado estacionário. Assim, a acumulação de capital é a poupança descontada da 
taxa de depreciação. Atinge-se assim o estado estacionário (muito solicitado pelas 
bancas examinadoras), que é aquele em que investimento é igual à depreciação. 
Nesse nível, queremos mostrar que o investimento é o suficiente para manter 
estável a capitalização por trabalhador. Qualquer estímulo ou retrocesso 
conduzirá a economia de volta ao nível citado. 
Se a taxa de poupança se modificar, a economia encontrará um novo estado 
estacionário, com maior disponibilidade per capita de produto e do nível de 
capitalização por trabalhador. 
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Atenção, o aumento da taxa de poupança conduzirá o crescimento a uma 
elevação até alcançar um novo estado estacionário. Mas ela não tem efeito sobre 
a taxa de crescimento do produto no longo prazo, embora determine o nível de 
produto per capita no longo prazo, diferenciando os países. 
O estado estacionário que maximiza o consumo é aquele definido pela Regra de 
Ouro. 
Ao se decidir pelo crescimento da acumulação de capital, o administrador público 
precisa refletir sobre o bem-estar de diferentes gerações da população. Se ele 
estiver mais interessado na situação das atuais gerações do que nas posteriores, 
ele pode optar por políticas que não conduzam ao nível ótimo do estado 
estacionário. Contudo, se ele estiver pensando em todas as gerações, tenderá a 
escolher políticas que levem ao nível ótimo; isso porque, embora as gerações 
atuais tenham de consumir menos, as populações futuras serão mais 
beneficiadas. 
O Impacto do Crescimento Populacional. 
Um aumento na taxa de crescimento demográfico, n, desloca para cima a linha 
que representa o aumento da população e a depreciação. O novo estado 
estacionário tem um nível inferior de capital por trabalhador. Assim, o modelo de 
Solow prevê que economias com altas taxas de aumento populacional terão níveis 
mais baixos de capital por trabalhador e, portanto, rendas mais baixas. 
Uma alta taxa de poupança leva a uma alta taxa de crescimento somente até o 
ponto em que se atinge o estado estacionário. Uma vez alcançado o progresso 
tecnológico, o modelo de Solow mostra que apenasele pode explicar o contínuo 
crescimento dos padrões de vida. 
Se o produto marginal líquido do capital ( isto é, excluída a depreciação) é maior 
que a taxa de crescimento, a economia opera com menos capital do que no 
estado estacionário definido pela Regra de Ouro. Neste caso, o aumento na taxa 
de poupança acabará levando ao estado estacionário com maior consumo. 
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 Por outro lado, se o produto marginal líquido do capital é inferior à taxa de 
crescimento da economia, esta estará operando com excesso de capital e a taxa 
de poupança deveria ser reduzida. 
O modelo de Solow mostra que um crescimento prolongado por trabalhador deve 
ser obtido através do progresso tecnológico. O modelo de Solow, contudo, 
considera o progresso tecnológico como sendo exógeno; não o explica. 
Com progresso tecnológico é possível se alcançar nível mais elevado de produto 
per capita. Também tem sido demonstrado que a acumulação de capital humano 
tem efeito similar à do capital físico. 
Pessoal, aproveito a oportunidade para dizer que as informações aqui registradas 
mais os exercícios comentados são suficientes para a resolução do próximo 
certame. 
Julgamos também que esse modelo de crescimento econômico ( “ o queridinho da 
ESAF”) esteja com seus dias contados. Até em razão da redução do número de 
questões de Economia na prova. 
De qualquer forma, deixe para o final do estudo, mas não o descarte 
completamente! 
Sobre os pontos que estudamos hoje, os conceitos mais importantes, que vocês 
terão que levar para a prova, são os seguintes: 
1) A fonte de riqueza que Solow designou de “progresso tecnológico” representa 
qualquer coisa que permita à economia agregar à produção, sem 
necessariamente acrescentar mais mão-de-obra e capital. 
2) O modelo de crescimento de Solow mostra que a taxa de poupança é uma 
variável chave do estoque de capital no estado estacionário e, assim, do bem-
estar econômico. O aumento da taxa de poupança conduzirá o crescimento a uma 
elevação até alcançar um novo estado estacionário, mas não tem efeito sobre a 
taxa de crescimento do produto no longo prazo. 
3) O estado estacionário que maximiza o consumo é aquele definido pela Regra 
de Ouro. 
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4) Uma vez alcançado o progresso tecnológico, o modelo de Solow mostra que 
apenas ele pode explicar o contínuo crescimento dos padrões de vida. 
 
Vejamos agora uma bateria selecionada de exercícios sobre o Modelo de Solow: 
01 –(ESAF/AFRF – 2003) Com relação ao modelo de crescimento de Solow, é 
correto afirmar que, no equilíbrio de longo prazo: 
a) quanto maior for a taxa de depreciação, maior será o estoque de capital por 
trabalhador. 
b) a taxa de crescimento do produto por trabalhador é igual à taxa de depreciação. 
c) quanto maior for a taxa de poupança, maior será o consumo por trabalhador. 
d) quanto maior for a taxa de crescimento populacional, maior será o estoque de 
capital por trabalhador. 
e) quanto maior a taxa de poupança, maior será o estoque de capital por 
trabalhador. 
Se o produto marginal líquido do capital ( isto é, excluída a depreciação) é maior 
que a taxa de crescimento, a economia opera com menos capital do que no 
estado estacionário definido pela Regra de Ouro. Neste caso, o aumento na taxa 
de poupança acabará levando ao estado estacionário com maior consumo. 
Por outro lado, se o produto marginal líquido do capital é inferior à taxa de 
crescimento da economia, esta estará operando com excesso de capital e a taxa 
de poupança deveria ser reduzida. 
As assertivas a e b estão incorretas. 
No que tange ao crescimento da acumulação de capital e a escolha do 
administrador público sobre o bem-estar de diferentes gerações da população, a 
assertiva c se faz incorreta. 
Se ele estiver mais interessado na situação das atuais gerações do que nas 
posteriores, ele pode optar por políticas que não conduzam ao nível ótimo do 
estado estacionário. Contudo, se ele estiver pensando em todas as gerações, 
tenderá a escolher políticas que levem ao nível ótimo; isso porque, embora as 
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gerações atuais tenham de consumir menos, as populações futuras serão mais 
beneficiadas. 
Altas taxas de crescimento populacional não são compatíveis com altos estoques 
de capital por trabalhador. 
A assertiva d está incorreta. 
O modelo de crescimento de Solow mostra que a taxa de poupança é uma 
variável chave do estoque de capital no estado estacionário e, assim, do bem-
estar econômico. Em outros termos, quanto maior a poupança, maior o capital 
realizado e mais alto o produto. 
A assertiva e está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02 – (ESAF/AFRF – 2002) Com base no Modelo de Crescimento de Solow, é 
incorreto afirmar que: 
a) mudanças na taxa de poupança resultam em mudanças no equilíbrio no estado 
estacionário. 
b) quanto maior a taxa de poupança, maior o bem-estar da sociedade. 
c) um aumento na taxa de crescimento populacional resulta num novo estado 
estacionário em que o nível de capital por trabalhador é inferior em relação à 
situação inicial. 
d) no estado estacionário, o nível de consumo por trabalhador é constante. 
e) no estado estacionário, o nível de produto por trabalhador é constante. 
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O capital estacionário representa um equilíbrio de longo prazo na economia. O 
modelo de Solow mostra que a taxa de poupança é crucial na determinação do 
estoque de capital. 
Se a taxa de poupança se modificar, a economia encontrará um novo estado 
estacionário, com maior disponibilidade per capita de produto e do nível de 
capitalização por trabalhador. 
A assertiva a está correta. 
Um aumento na taxa de crescimento demográfico acarreta novo estado 
estacionário com nível inferior de capital por trabalhador. O modelo prevê que 
economias com altas taxas de aumento populacional terão níveis mais baixos de 
capital por trabalhador e, portanto, rendas mais baixas. 
A assertiva c está correta. 
O estado estacionário representa um equilíbrio de longo prazo na economia e o 
capital assim como o produto são estacionários, constantes. O estado 
estacionário é aquele em que o investimento é igual à depreciação. Nesse nível, 
mostramos que o investimento é suficiente para manter estável a capitalização por 
trabalhador. 
As assertivas d e e estão corretas. 
O aumento da taxa de poupança faz a economia crescer até que alcance o novo 
estado estacionário. 
Se a taxa de poupança se modificar, a economia encontrará um novo estado 
estacionário, com maior disponibilidade per capita de produto e do nível de 
capitalização por trabalhador. 
Atenção, o aumento do nível de poupança conduz o crescimento até se chegar a 
um novo estado estacionário. Mas não tem impacto sobre a taxa de crescimento 
do produto no longo prazo, embora determine o nível de produto per capita no 
longo prazo. 
A assertiva b está incorreta. 
 
 
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03 – (ESAF/AFRF – 2002. II) Com relação ao modelo de Solow, é incorreto afirmar 
que 
a) o estado estacionário que maximiza o consumo é aquele definido pela 
denominada "regra de ouro". 
b) a taxa de poupança determina a quantidade do estoque de capital por 
trabalhador e, portanto, o nível do produto por trabalhador no estado estacionário. 
c) quanto maior a taxa de poupança, maior o bem-estar da sociedade. 
d) o estado estacionário pode ser considerado como um equilíbriode longo prazo. 
e) somente o progresso tecnológico explica o crescimento de longo prazo. 
Vejamos que no mesmo ano (2002) para o mesmo concurso (AFRF) a ESAF 
elaborou questão praticamente idêntica. 
Os comentários da questão anterior servem para ilustração dessa questão. 
A assertiva c está incorreta. 
04 – (ESAF/AFRF – 2002. II) Considere os seguintes dados para o modelo de 
crescimento de Solow: k = estoque de capital por trabalhador; Δ= taxa de 
depreciação; y = produto por trabalhador; s = taxa de poupança. Sabendo-se que 
y = (k)0,5 , Δ = 0,1 e s = 0,4, os níveis de k e y no estado estacionário serão, 
respectivamente: 
a) 16 e 4 b) 16 e 8 c) 4 e 16 d) 4 e 8 e) 4 e 12 
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No estado estacionário ( que maximiza o consumo, definido pela Regra de Ouro), 
a variação do estoque de capital (Δk) é nula e o investimento i torna-se igual à 
taxa de depreciação Δ. 
Assim, tem-se que Δk = i - Δk = 0. 
Como o investimento é igual à taxa de poupança sobre o produto (s.y). podemos 
fazer s.y - Δk = 0. 
Substituindo pelos números elencados, 0,4 . y = 0,1 . k. Como y = (k)0,5 , logo k = 
16 e y = 4. 
A assertiva a está correta. 
 
 
 
 
 
05 – (NCE/UFRJ – Analista-FINEP/MCT – 2006) Para a moderna Macroeconomia 
Novo-Clássica, o resíduo de Solow é um instrumento de mensuração do 
progresso tecnológico. Esse resíduo mede a variação: 
a) do estoque de capital empregado que não pode ser medido pela variação do 
produto. 
b) do estoque de mão-de-obra empregado não vinculado à variação do produto. 
c) do produto que não pode ser explicada pela variação nos estoques de capital e 
trabalho empregados. 
d) do produto que pode ser explicada pela variação nos estoques de capital e 
trabalho empregados. 
e) percentual dos insumos dividido pela variação percentual do produto num dado 
período. 
O modelo de Solow demonstra como interagem a poupança, as taxas de 
crescimento demográfico, o estoque de capital por trabalhador e o progresso 
tecnológico. 
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O resíduo de Solow é um poderoso instrumento de progresso tecnológico. É 
obtido após a subtração das fontes identificáveis de crescimento econômico ( 
capital e trabalho) e é bastante significativo. 
Mas o que provoca progresso duradouro? Já vimos que qualquer coisa que 
permita à economia agregar à produção, sem necessariamente acrescentar mais 
capital e trabalho. 
O processo de aceleração do produto não explicado pelos fatores chaves capital e 
mão-de-obra constitui o ferramental resíduo de Solow. 
A assertiva c está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
06 – (ANPEC-Economista) Tendo em vista o modelo de crescimento de Solow, 
classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmativas: 
a) Na ausência de progresso técnico, quando a produtividade marginal do capital 
for igual à soma da taxa de crescimento da população e da taxa de depreciação, o 
consumo per capita será máximo. 
b) A propensão a poupar, determinante do nível de investimento, é a variável mais 
relevante na determinação da taxa de crescimento do produto de longo prazo. 
c) Se o capital atinge o nível definido pela regra de ouro, o consumo per capita no 
estado estacionário é máximo. 
d) Um aumento na taxa de poupança aumenta permanentemente a taxa de 
crescimento do produto per capita. 
e) Na ausência de progresso tecnológico, o conceito de equilíbrio estacionário 
refere-se às condições requeridas para manter inalterado o estoque de capital per 
capita da economia. 
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Sabemos que o consumo per capita será máximo quando no equilíbrio 
estacionário, momento em que o investimento se iguala à depreciação. 
Quando a produtividade marginal do capital for igual ao somatório do crescimento 
demográfico ( crescimento da mão-de-obra) e da taxa de investimento (= taxa de 
depreciação), teremos esse cenário. 
A ausência de progresso técnico garante que não visualizamos na assertiva o 
longo prazo. 
A assertiva a está correta. 
O aumento da taxa de poupança faz a economia crescer até que alcance um novo 
estado estacionário, com maior disponibilidade per capita de produto e do nível de 
capitalização por trabalhador. 
Um nível mais alto de poupança favorece a aceleração do crescimento no curto 
prazo. Mas ela não tem efeito sobre a taxa de crescimento do produto no longo 
prazo. 
A assertiva b está incorreta. 
O capital estacionário representa um equilíbrio de longo prazo na economia. O 
consumo per capital é máximo quando o capital atinge o nível definido pela regra 
de ouro. 
O estado estacionário que maximiza o consumo é aquele definido pela regra de 
ouro. 
A assertiva c está correta. 
Assertiva d bem semelhante à assertiva b. Um aumento na taxa de poupança não 
produz uma elevação permanente no produto per capita, apenas conduz a uma 
taxa de crescimento do produto até um novo estado estacionário. O contínuo, 
permanente crescimento do produto per capita é obtido somente via progresso 
tecnológico. 
A assertiva d está incorreta. 
Na ausência de progresso tecnológico( elemento responsável pelo crescimento do 
produto a longo prazo), o conceito de equilíbrio estacionário (estado estacionário) 
refere-se às condições requeridas para manter inalterado o estoque de capital per 
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capita da economia. Nesse equilíbrio estacionário, o investimento deve sert de tal 
grandeza que compense a depreciação do capital por trabalhador e o crescimento 
populacional, ou seja, o investimento é suficiente para manter estável a 
capitalização por trabalhador. 
A assertiva e está correta. 
 
 
 
 
 
 
PRODUTO NOMINAL x PRODUTO REAL 
PREÇOS CORRENTES X PREÇOS CONSTANTES 
 
Não acreditamos que possam aparecer questões sobre esse subtópico (Produto 
Nominal x Produto Real – Números-Índices) por três razões bem capilares. 
Primeira, não temos visto questões sobre números índices nas bancas regulares 
de concurso desde 2003 e, em alguns editais, não consta mais esse item. 
Segunda, existem as disciplinas Matemática Financeira e Estatística nos editais de 
forma regular de sorte que tal fato poderia caracterizar sobreposição de assuntos. 
E terceira, a matéria Economia tem aparecido vinculada a Finanças Públicas. O 
conteúdo dessas disciplinas é extenso e uma questão de números-índices 
anularia a elaboração de uma questão de Contas Nacionais, Balanço de 
Pagamentos, modelo keynesiano, restrição intertemporal, dentre outros. 
O PIB pode ser valorado a preços correntes ou a preços constantes. É valorado a 
preços correntes ( caracterizando o PIB nominal) quando os bens e serviços finais 
são valorados a preços desse ano e é valorado a preços constantes 
(caracterizando o PIB real) quando os bens e serviços finais são trazidos para 
preços de um ano determinado. 
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Os valores expressam-se em termos nominais ( ou em preços correntes) quando 
não foram eliminados os efeitos do crescimento dos preços ou em termos reais ( 
preços constantes) quando foram eliminados esses efeitos. 
Assim, para encontrar o valor do produto real num momento t qualquer que nos 
permita compará-lo ao valor observado num momento anterior qualquer, por 
exemplo t –1, de sorte a obter sua taxa real de crescimento entre esses dois 
momentos, temos de dividir o valor do produto nominal em t pela variação dos 
preços entre t-1 e t, ou seja: 
Yt = ___Yt_____ 
 (Pt/Pt–1) 
 
Só a título exemplificativo, uma economia que produz um único bem final A e que 
apresentou, no período 0-3, os valores expressos na Tabela I, para o produto 
nominal e para os preços do bem A. 
 
Tabela I - Produto nominal e preço do bem A para uma economia de um único 
bem 
Ano Produto nominal Preço do bem A 
0 $1.000 $10 
1 $1.150 $11 
2 $1.300 $12 
3 $1.600 $14 
 
Com tais dados, podemos verificar que o crescimento real do produto ( a preços 
constantes) que essa economia experimentou, por exemplo, no período 0-1. Se 
aplicarmos a fórmula teremos: 
Y1 = $.1.150 = $1.045,45 
 ($11/$10) 
Como esperamos ter deixado claro, a atenção requerida na comparação de 
valores reside na certificação de que se referem a preços do mesmo momento, ou, 
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em linguagem técnica, de mesma base. Só são comparáveis valores que estão na 
mesma base. Um índice de preço permite exatamente que se faça a operação de 
conversão de uma série de valores nominais (portanto, valores em bases 
distintas) em valores de mesma base ( ou valores reais). 
Os números índices são medidas estatísticas freqüentemente usadas para 
comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples e 
resumido das mudanças significativas em áreas relacionadas como preços de 
matérias-primas, preços de produtos acabados, volume físico de produto, etc. 
Os números índices têm por objetivo mensurar a evolução relativa de uma ou mais 
séries de dados ao longo do tempo. O índice de preços é um exemplo de número 
índice. 
Os mais conhecidos são os índices de Laspeyres, Paasche e Fischer. 
a) Índice de Laspeyres ou Método da época básica: 
Vejamos, primeiramente, o índice de Laspeyres ou método da época básica, que 
constitui uma média ponderada de relativos, sendo os fatores de ponderação 
determinados a partir de preços e de quantidades da época básica. Por 
conseguinte, no índice de Laspeyres, a base de ponderação é a época básica, daí 
a denominação método da época básica. Trata-se, portanto, de um índice em que 
os pesos são fixos na época básica. Isso não é o mesmo que dizer que a 
ponderação é fixa, o que ocorre quando os pesos independem da base de 
comparação. Nesse índice, os pesos variam ao mudar a época básica, o que o 
caracteriza como um índice agregativo ponderado, com ponderação referida à 
época básica. 
Importante notar que, enquanto, no índice de preço a diferença da importância 
gasta se deve à variação nos preços, no índice de quantidade, ela se reporta às 
variações nas quantidades adquiridas, uma vez que os preços permanecem 
constantes. 
O índice de Laspeyres apresenta uma tendência para exagerar a alta em virtude 
de considerar as quantidades da época atual iguais às da época básica. 
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As estimativas para séries que envolvem preços e quantidades são demonstradas 
nas fórmulas a seguir: 
Para o índice Laspeyres de preços: 
Lp = ∑ Pt.Qi 
 ∑ Pi.Qi 
E para o índice Laspeyres de quantidades: 
Lp = ∑Pi.Qt 
∑Pi.Qi 
 
b) Índice de Paasche ou Método da época atual: 
O índice agregativo proposto por Paasche é, na sua fórmula original, uma média 
harmônica ponderada de relativos, sendo os pesos calculados com base nos 
preços e nas quantidades dos bens na época atual. A base de ponderação no 
índice de Paasche é, portanto, a época atual. 
Como a época atual é variável, os pesos, no índice de Paasche, mudam quando 
as épocas atuais mudarem, o que o caracteriza como um índice agregativo com 
ponderações variáveis. O índice de Paasche realça a baixa porque a ponderação 
é determinada pela época atual. 
Com relação ao índice de Paasche de preços na base i, temos a seguinte fórmula: 
Pp = ∑Pt.Qt 
 ∑Pi.Qt 
Enquanto a expressão que representa o índice Paasche de quantidades na base i 
é: 
Pq = ∑ Pt.Qt 
 ∑Pt.Qi 
 
 
c) Índice de Fischer 
 
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O índice de Fischer, também conhecido como forma ideal, é a média geométrica 
dos números-índices de Laspeyres e de Paasche. No que concerne à ponderação, 
esse índice envolve os dois sistemas anteriormente adotados. A proposta de 
Fischer fundamenta-se no fato de os índices que o compõem não atenderem ao 
critério de decomposição das causas, além de um deles tender a superestimar e o 
outro a subestimar o verdadeiro valor do índice. Este número tenderá a ser um 
número superior ao fornecido pela fórmula de Paasche e inferior ao apresentado 
pela fórmula de Laspeyres, o que acontece com a média geométrica entre esses 
dois índices. 
Imaginemos, por conseguinte, a tabela a seguir onde procederemos aos ajustes 
necessários para o entendimento do tópico de forma prática. Consideraremos uma 
economia com apenas três bens finais cujos preços e quantidades estão assim 
representados. 
 
Tabela II – Preços e quantidades para uma economia que produz 3 bens 
Ano bem A bem B bem C 
 Preço Qtde Preço Qtde Preço Qtde 
0 2,00 10 3,50 15 4,00 20 
1 2,50 12 3,80 14 4,50 22 
2 3,50 9 4,50 12 5,50 19 
 
Calculando-se o produto nominal da economia hipotética, vem conforme descrito 
na Tabela III. 
 
 
Tabela III - Produto Agregado Nominal 
Ano Produto agregado nominal Variação percentual 
0 152,50 - 
1 182,20 19,5% 
2 190,00 4,3% 
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Como podemos agora creditar qual parcela dos 19,5% de crescimento do produto 
registrado no ano 1 deve-se ao crescimento do produto de fato e qual corresponde 
a um incremento no nível de preços ( taxa de inflação)? Daí, vem a importância 
dos números índice (índices de preço) na economia. 
Utilizando-se do índice de Laspeyres, obtemos: 
Lp (0) = 1 
Lp (1) = 2,50 x 10 + 3,80 x 15 + 4,5 x 20 = 1,1279 
 2,00 x10 + 3,50 x 15 + 4,00 x 20 
Já utilizando-se do índice de Paasche, vem: 
Pp(0) = 1 
Pp (1) = 2,50 x 12 + 3,80 x 14 + 4,50 x 22 = 1,1317 
 2,00 x 12 + 3,50x14 + 4,00 x 22 
Tem-se agora a tabela a seguir com os índices de preços da economia hipotética: 
 
 
 
Tabela IV - Índices de preços 
Ano Lp Pp Fp 
0 1 1 1 
1 1,1279 1,1317 1,1298 
2 1,3934 1,3971 1,3952 
Nesse momento, já conseguimos calcular a variação real do produto agregado da 
economia hipotética, utilizando-se de um índice de preços escolhido 
aleatoriamente, a saber: índice de Laspeyres. 
 
Tabela IV - Índice Laspeyres 
Ano Produto 
nominal 
Lp Produto real 
(base = 0) 
Variação real 
anual (%) 
0 152,50 1 152,50 - 
1 182,20 1,1279 161,54 5,9 
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2 190,00 1,3934 136,36 -15,59 
 
A tabela acima demonstra que a economia apresentou um crescimento da ordem 
de quase 6% entre o período 0-1 e sofreu um decréscimo de quase 16% entre o 
período 1-2. 
A partir da utilização do índice Laspeyres de preços, para a série referente ao 
valor do produto real da economia no período 0-2 (a preços do ano zero), os 
valores tornam-se comparáveis e nos permitem saber o que de fato ocorreu, ou 
seja, que parcela da variação nominal observada se deve a crescimento de 
quantidades produzidas e que parcela expressa variação dos preços. 
Vejamos algumas questões de concurso relativamente recentes elaboradas pela 
ESAF e pelas demais bancas pertinentes, a saber: 
 
01 – (ESAF/AFRF– 2002) Suponha uma economia que só produza dois bens 
finais (A e B). Considere os dados a seguir: 
bem A bem B 
quantidade preço quantidade preço 
período 1 10 5 12 6 
período 2 10 7 10 9 
Com base nestes dados, é incorreto afirmar que: 
a) o produto nominal do período 2 foi maior do que o produto nominal do período 
1. 
b) o crescimento do produto nominal entre os períodos 1 e 2 foi de, 
aproximadamente,31%. 
c) não houve crescimento do produto real entre os períodos 1 e 2, considerando o 
índice de Laspeyres de preço. 
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d) a inflação desta economia medida pelo índice de Laspeyres de preço foi de 
30%. 
e) não houve crescimento do produto real, entre os períodos 1 e 2, considerando o 
índice de Fisher. 
Na letra a, o produto nominal do período 1 é igual a Δ p1.q1 = (5.10 + 6.12) = 122 
e o do período 2 igual a Δ p2.q2 = (7.10 + 9.10) = 160. Logo, está correto. 
Na letra b, o crescimento do produto nominal é igual a (160 / 122) - 1 = 0,3115 ou 
31, 15%, o que é correto. 
A letra c mostra que o índice Laspeyres de preço é igual a (Δ p2.q1) / (Δ p1.q1), 
é igual a (7.10 + 9.12) / (5.10 + 6.12) = 178 / 122 = 1,4590, maior do que o índice 
nominal (1,3115), significando que não houve crescimento do produto real. 
Na opção d, a inflação segundo o índice de preço de Laspeyres calculado no item 
anterior é igual a 1,4590 – 1 = 0,4590 ou 45,90%, sendo portanto bem maior do 
que 30%. 
E na opção e, o índice de preços de Fisher é igual à média geométrica entre os 
índices de preços de Laspeyres e Paasche, ou seja, é a raiz quadrada do produto 
entre (Δ p2.q1) / (Δ p1.q1) e (Δ p2.q2) / (Δ p1.q2). O índice de Laspeyres, já 
calculado, é igual a 1,4590, e o índice de Paasche é igual a (7.10 + 9.10) / (5.10 + 
6.10) = 1,4545, donde o índice de Fischer é igual a 1, 4567, maior do que o índice 
nominal. 
02 –( VUNESP – BNDES – 2002) Analise as seguintes proposições sobre 
números-índices: 
I) No índice do tipo Paasche, os pesos variam e correspondem aos preços ou 
quantidades do período para o qual ele é calculado. 
II) Os índices de preço do tipo Laspeyres e Paasche não observam as 
propriedades de cadeia e de reversão no tempo. 
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III) Os índices de preço do tipo Laspeyres tendem a superestimar a verdadeira 
taxa de inflação ocorrida no período. 
IV) O índice ideal de Fischer corresponde à média geométrica dos índices de 
Laspeyres e Paasche. 
 
O número de proposições corretas é: 
a) zero. 
b) uma. 
c) duas. 
d) três. 
e) quatro. 
 
Resposta correta: letra e. Desnecessário comentar, pois todas as opções são 
corretas e reproduzem fielmente o apresentado no texto do tópico. 
 
 
03 –(ESAF/AFRF – 2001) Considere uma economia hipotética que produza 
apenas 3 bens finais: arroz, feijão e carne, cujos preços (em unidades monetárias) 
e quantidades ( em unidades físicas), para os períodos 1 e 2, encontram-se na 
tabela a seguir: 
 
Período Arroz 
Preço qtde 
 Feijão 
Preço qtde
 Carne 
Preço qtde
1 2,20 10 3,00 13 8,00 13
2 2,30 11 3,50 14 15,00 8
Considerando que a inflação utilizada para o cálculo do Produto Real Agregado 
desta economia foi de 59,79% entre os dois períodos, podemos afirmar que: 
a) o Produto Nominal cresceu 17,76% enquanto o Produto Real cresceu apenas 
2,26%. 
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b) o Produto Nominal cresceu 12,32% ao passo que não houve alteração no 
Produto Real. 
c) o Produto Nominal cresceu 17,76% ao passo que o Produto Real caiu 26,26%. 
d) o Produto Nominal cresceu 15,15% ao passo que o Produto Real caiu 42,03%. 
e) o Produto Nominal cresceu 15,15% ao passo que o Produto Real caiu 59,79%. 
Resposta correta: letra c . 
Calcularemos, em um primeiro momento, o produto nominal da economia, da 
seguinte forma: 
Produto Agregado nominal = 2,3x11 + 3,5x14 + 15x8 = 194,3 = 1,1776( 17,76%) 
 2,2x10 + 3,0x13 + 8x13 165 
 
Resta-nos agora apenas as opções a e c, pois somente elas detectaram 
crescimento do produto nominal da ordem de 17,76%. Agora, temos que creditar 
qual parcela dos 17,76% corresponde ao crescimento do produto e qual é 
explicada pela taxa de inflação. 
Utilizando-se do índice de Laspeyres, obtemos: 
Lp (1) = 1 
Lp(2) = 2,3x10 + 3,5x13 + 15x13 = 263,5 =1,5970 (59,7%) 
 2,2x10 + 3x13 + 8x13 165 
 
Período Produto 
nominal 
Lp Produto 
real (base 
= 0) 
Variação 
real anual 
(%) 
1 165 1 165 - 
2 194,3 1,5970 121,67 - 26,26 
 
A tabela acima demonstra que a economia apresentou um decréscimo da ordem 
de 26,26% entre o período 0-1. A partir da utilização do índice de Laspeyres de 
preços, para a série referente ao valor do produto real da economia no período 0-1 
( a preços do ano zero), os valores tornam-se comparáveis e nos permitem saber 
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o que de fato aconteceu, ou seja, que parcela da variação nominal observada se 
deve a crescimento de quantidades produzidas e que parte expressa variação dos 
preços. Nesse exercício, temos a situação em que nada é explicado pelo 
crescimento do produto. A variação de preços (inflação) mais do que compensa 
qualquer possibilidade de crescimento do produto. 
 
 
 
 
 
 
04 – (Economista-Petrobras- 1997) Considere uma economia com apenas dois 
produtos finais A e B e analise as informações de vendas em bilhões de reais e 
preços para estes produtos, para dois anos, que estão no quadro abaixo: 
 
 
 
 
Ano Qtde do 
bem A 
Preço do 
bem A 
Qtde do 
bem B 
Preço do 
bem B 
1 200 10 1.000 6 
2 1.500 2 1.500 10 
Sendo assim, a variação percentual do PIB real, entre os anos 1 e 2, utilizando o 
ano 1 como base, é de: 
a) 115% b) 125% c) 200% d) 225% e) 300% 
 
O PIB é igual ao somatório dos valores dos bens produzidos em cada ano. Pode-
se calcular a variação do PIB sob o prisma nominal ou real. A variação nominal se 
dá a preços correntes, enquanto que a variação real corresponde aos preços 
constantes, para que se exclua o efeito preço da variação física da produção. 
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Vamos aos cálculos do PIB sob as duas óticas: 
PIB nominal de cada ano: 
Ano 1: 200x10 + 1000x6= 8.000 
Ano 2: 1.500x2 + 1.500x10 = 18.000 
A variação em termos nominais é igual a 18.000/8000 = 2,25 ou 125%. 
PIB real de cada ano ( admitindo-se constantes os preços do ano 1) 
Ano 1: 200x10 + 1.000 x6 = 8.000 
Ano 2: 1.500x10 +1.500x6 = 24.000 
A variação em termos reais é igual a 24.000/8.000 = 3,00 ou 200%. 
A assertiva c está correta.