2 - AULA 03 - Vibracoes Estacio

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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Análise de Vibração livre com 1GDL
Prof. Dr. Ricardo da Silva Pereira 
ESTACIO BELÉM
Aula 03
Vibração ou oscilação é qualquer movimento que se
repete, regular ou irregularmente depois de um intervalo
de tempo.
Elementos que compõem um sistema mecânico vibratório 
Molas (representação física): armazenam energia potencial 
elástica - deformação elástica que sofre o corpo.
Amortecedores: dissipam energia mecânica sob a forma de 
calor e/ou som.
Sistema real x sistema Físico
Sistema real x sistema Físico com múltiplos graus de liberdade
Corpo humano
Molas Equivalentes
Na análise de sistemas vibratórios é conveniente substituir elementos 
elásticos por molas equivalentes, de acordo com o tipo de carregamento.
Molas Tipo Vigas:
1) Viga engastada com massa concentrada em sua extremidade:
EI
L
 
3
3
EI
mgL
=∆
Na condição de equilíbrio estático:
 
3
 3L
EIkmgk =∴=∆
2) Viga bi-engastada com carga localizada no centro:
3) Viga bi-apoiada :
EI
L
 192 3L
EIk =
 
)(
3
2
ab
EILk =a b
L
 para ,483 baL
EIk ==
Massas Equivalentes
(Quando Considera-se a Massa da Mola)
meq=m+mef
Se mm << m, despreza-se mm e rad/s 
m
keq
n =ω
Se mm não for desprezível em 
relação a m, então
 rad/seqn
eq
k
m
ω =
Massa equivalente do sistema
Massa principal
Massa efetiva da mola:
Porção do valor da massa
da mola
Para molas helicoidais: 
1
3eq m
m m m= +
Para molas tipo viga: 
Viga bi-apoiada com 
carga central
Viga engastada
17
35eq m
m m m= +
0,23 eq mm m m= +
Molas Associadas em Paralelo:
 21 ∆+∆= kkmg
∆=∆+= )( 21 eqkkkmg
∆= eqkmg
21 kkkeq +=
Generalizando para n molas em paralelo:
=
n
i
ieq kk
Molas Associadas em Série:
eqk
mg
=∆
1
1 k
mg
=∆
21 ∆+∆=∆
2
2 k
mg
=∆
+= 
21 k
mg
k
mg
k
mg
eq 21
111
kkkeq
+=
Generalizando para n molas em série:
=
n
i ieq kk
11
Aplicações em sistemas com vigas 
Aplicações em sistemas com vigas 
Exemplos de aplicação das eqs:
Exemplos de aplicação das eqs:
Classificação dos Sistemas Vibratórios
1) Em relação à Forma de Excitação - F e T
 Livre (Quando F(t) = 0)
 Forçado (Quando F(t) ≠ 0)
Agentes da Vibração
 Condições iniciais: deslocamento e/ou velocidade
 Forças externas / torques externos 
Sistema Livre
Condição inicial de 
deslocamento: x(t=0)
Condição inicial de 
velocidade: v(t=0)
 Oscila sem a ação de forças externas
 Oscila em uma ou mais freqüências naturais
(amortecida ou não) do sistema
 Sistema vibra devido a aplicação de condições
iniciais de deslocamento e/ou velocidade
MODELAGEM EM VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
Modelagem e Análise de Sistemas Vibratórios
Sistema Real
Modelo Físico
Modelo Matemático = Equações do Sistema
Solução das Eq. Dif’s.
Interpretação dos Resultados
2. TEORIA DE SISTEMAS COM 1 GDL
Sistemas Livres Não-Amortecidos
 Não há forças externas agindo no sistema (sistema só
vibrará devido às condições iniciais.)
 Não há amortecimento (C = 0)
x(t)
Determinação do equação do movimento:
1) Utilizando a 2a Lei de Newton
Sistema Massa-Mola de 1 GDL:
Construção do Modelo Matemático a partir da 2a Lei de 
Newton:
1. Definir a(s) coordenada adequada:
(Linear para descrever um movimento de translação ou
Angular para descrever um movimento de oscilação.)
2. Definir a posição de equilíbrio estático do sistema e usá-la
como origem da coordenada escolhida.
3. Desenhar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) da massa
rígida para uma posição de deslocamento e velocidade
positivas. Identificar todas as forças que atuam sobre a massa.
4. Aplicar a 2a Lei de Newton:
Diagrama de Corpo Livre (DCL) m
+
Fk
Aplicação da 2a Lei de Newton: 
 = maF
)()(
)(
tkxtxm
Ftxm k
 
 
−=
−=
&&
&&
0)()( =+ tkxtxm &&  Equação EDO do movimento
 Modelo matemático do sistema 
Construção do Modelo Matemático a partir da 2a Lei de 
Newton:
23
A freqüência natural é a freqüência na qual o sistema livre 
irá oscilar. Depende somente das propriedades do sistema
Expressão da Freqüência de Oscilação do Sistema Livre 
Sem Amortecimento – Freqüência Natural
rad/s 2
m
k
m
k
n =ωω=
Freqüência 
Natural
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Resposta da Equação do Movimento do Sistema livre Sem 
Amortecimento (Expressão da Movimento Vibratório) 
 ( ) ( ) 0kx t x t
m
+ =&&
 ( ) ( ) 0mx t kx t+ =&&
2
 ( ) ( ) 0nx t x t+ω =&&
 
Equação do 
Movimento
Supor solução do tipo:
(Rever método dos coeficientes a determinar – um método de solução de 
equações diferenciais)
taetx λ=)( 
a e λ constantes a serem determinadas
Resolução da equação diferencial (determinar a expressão de x(t) ):
25
Derivando a solução proposta duas vezes:
teatx λλ=)( & teatx λλ= 2)( &&
e substituindo na equação do movimento, 
chega-se a equação característica:
0 22 =ω+λ n
que fornece duas raízes: niωλ ±=2,1 
Portanto, chega-se a duas soluções particulares:
tit neaeatx ωλ 111
1)( == e tit neaeatx ωλ −== 222 2)( 
26
Logo, a solução total é dada por:
titi nn eaeatxtxtx ωω −+=+= 2121 )()()( 
Utilizando as relações de Euler :
θθ
θθ
θ
θ
isene
isene
j
j
−=
+=
− cos
cos
)(cos)(cos)( 21 tisentatisentatx nnnn ωωωω −++=
tisenaataatx nn ωω )(cos)()( 2121 −++=
Finalmente, a solução da equação diferencial do movimento, que 
representa a expressão do movimento de vibração (oscilação) é 
dada por:
tAtAtx nn ω+ω= sencos)( 21
27
tAtAtx nn ω+ω= sencos)( 21
00 )0( )0( xxexx && ==
- Solução
- Expressão do movimento
- Expressão da vibração
- Expressão da resposta
Como esta solução é dada pela soma de duas funções
harmônicas de mesma freqüência, então pode ser escrita por:
)sen( )( θ+ω= tAtx n
Os pares de constantes (A1 e A2) ou (A e θ) dependem das
condições iniciais de deslocamento e/ou velocidade:
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01 xA =
n
xA ω=
02 
&
t
x
txtx n
n
n ω
ω
+ω= sencos)( 00
&
ou )sen( )( θ+ω= tAtx n
Para determinar as expressões de A1 e A2, aplicam-se as
condições de contorno (condições iniciais) na expressão do
movimento de resposta vibratória. Desta forma, obtém-se:
Logo, as expressões do movimento são dadas por
Em problemas práticos é interessante também saber qual o
valor máximo x(t)max das amplitudes de vibração. Para
encontrar este valor pode-se calcular os pontos críticos dx/dt
= 0. Após estes cálculos, constata-se que o valor da amplitude
máxima de vibração livre em sistemas não-amortecidos é
dado por:
2
02
0
2
2
2
1 





ω
+=+=
n
x
xAAA
&
 arctg
0
0





 ω
=θ
x
x n
&
Amplitude Máxima
Exemplo 1:Dado o sistema mecânico, visto na figura abaixo,
com massa m = 12 kg, rigidez da mola de k = 1200 N/m e com
condições iniciais de deslocamento e velocidade de x0 = 0,02
m e v0 = 0, respectivamente, pede-se:
a) frequência natural não-amortecida, o cálculo da resposta de
vibração do sistema e a amplitude máxima de deslocamento.
Ex .2) Um movimento harmônico simples possui 0,01 mm de amplitude
máxima e freqüência de 50 Hz. Determine: (a) a equação do MHS; (b) a
máxima velocidade; (c) a máxima aceleração
Ex. 3) Um vagão, visto na abaixo, com massa m = 15000 kg
se deslocando sem atrito bate em uma mola com velocidade
v0. A mola é deformada em 200 mm e tem uma rigidez de
130000 N/m. Com que velocidade o vagão bateu na mola?
Exemplo 4: Para o sistema abaixo, com massa m = 15 kg,
rigidez da mola de k = 1600 N/m e com condições iniciais de
deslocamento de 25 mm e de velocidade de acordo com a
funçãox(t)= 6t^3+3t , respectivamente, pede-se:
a) frequência natural não-amortecida, a frequência f do
sistema, o período, o cálculo da resposta de vibração do
sistema e a amplitude máxima de deslocamento.
Ex. 5) O sistema abaixo representa um vagão de uma
locomotiva, com massa m = 24.000 kg se deslocando sem
atrito, que colide em uma mola com velocidade v0. A mola é
deformada em 350 mm e possui uma rigidez de 150.000 N/m.
Com que velocidade o vagão bateu na mola? Qual o período
de oscilação do sistema?