[1 3] gabarito_(prova1)_s2_2011

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EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 06/09/2011 
 
Nome: GABARITO 
 
1. (13 pontos) Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por uma 
parede cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (k=57 W/mK) encontra-
se envolto em grafite (k=37 W/mK) e hélio gasoso escoa através de um canal anular de 
resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de 600K e o coeficiente 
de transferência de calor por convecção na superfície externa do grafite é de 2000 W/m2K. Se a 
energia térmica é uniformemente gerada no elemento combustível a uma taxa de 108W/m3, 
quais são as temperaturas T1 e T2 nas superfícies interna e externa, respectivamente, do 
elemento combustível? 
hélio
gasoso
grafite
tório
r3
r2
r1
r1 = 8 mm
r2 = 11 mm
r3 = 14 mm
T2
T1
isolamento térmico
 
 
Avaliação de T2: (5,0) 
 
tR
TTq ∞−= 22 
 
Cálculo de Rt (soma das resistências à condução através do grafite e à convecção no canal 
refrigerante) 
 ( ) ( ) ( ) W/KL1072,6101422000 1372 11/14lnLr2h 1Lk2 r/rlnR
3
3
3g
23
t
−
−
×=×π×+π=π+π= 
 
Avaliação de q2 (calor produzido no elemento combustível; considera-se que todo esse 
calor atravessa a parede em r3 pois existe condição de simetria em r=0 e não há geração de 
calor ou acúmulo de energia na parede interna de grafite) 
 ( ) ( ) ( )[ ] WLLrrqVqq 17907108101110 2323821222 =×−×=−== −−ππ&& 
 
K720T2 = 
 
 
Avaliação de T1 : 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo do raio) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
Tk
z
Tk
r
1
r
Tkr
rr
1
t
Tc 2p &+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ∂
∂
φ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂ρ 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
rq
r
Tkr
r
&−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
 (1,0) 
Integrando uma vez: 
r
C
k2
rq
r
TC
2
rq
r
Tkr 1
2
+−=∂
∂⇒+−=∂
∂ && 
Integrando novamente: 21
2
CrlnC
k4
rq)r(T ++−= & (2,0) 
Aplicação das condições de contorno (4,0): 
1) não há fluxo de calor em r1 1,56
k2
rqC
k2
rq
r
C0
r
T
t
2
1
1
t
1
1
1 ==⇒=⇒=∂
∂ &&
 
2) T=T2 em r2 22
2
1
2
2
222
2
1
2
2
2 ln22
ln
24
Trrr
k
qCCr
k
rq
k
rqT
ttt
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⇒++−= &&& 
Portanto: 
22
2
1
2
2
2
1
2
ln
22
ln
24
)( Trrr
k
qr
k
rq
k
rqrT
ttt
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−= &&& 
 
22
2
1
2
2
2
1
2
1
1 ln22
ln
24
)( Trrr
k
qr
k
rq
k
rqrT
ttt
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−= &&& 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7201011ln108
2
1011
572
10108ln
572
10810
574
10810)r(T 323
238
3
23823
8
1 +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ××−××+××
×+×
×−= −−
−
−
−−
 
K727T1 = (1,0) 
 
 
2. (12 pontos) Como um meio para melhorar a transferência de calor em circuitos integrados 
lógicos de alto desempenho é comum a fixação de um sorvedouro de calor a superfície do chip. 
Devido a facilidade de fabricação, uma opção é utilizar um sorvedouro de calor composto por 
aletas quadradas com largura w. Considere um chip quadrado com 20 mm de largura resfriado 
por um liquido dielétrico (h=1500 W/m2K e Too=25oC). O sorvedouro de calor é fabricado em 
cobre (k=400 W/mK) e suas dimensões características são: largura da aleta(w): 0,25 mm; 
comprimento da aleta (La= 6mm). Se uma junta metalúrgica fornece uma resistência de contato 
de 5x10-6 m2K/W e a temperatura máxima permissível para o chip é 85oC, qual a potência 
máxima que o chip pode dissipar? 
3 mm
0,50 mm
Rt,c
 
 
(observação: o número de aletas no desenho esquemático não corresponde ao número real de aletas, 
é necessário verificar as dimensões do chip e das aletas e efetuar os cálculos...) 
 
Considerações: chip isotérmico, aletas adiabáticas com comprimento corrigido 
 
Circuito térmico equivalente e definição das resistências (3,0) 
 
Tc
LB
kBA
Rt,c 1/ηghAt
Tar
 
 
Avaliação dos parâmetros da aleta: 
t
L
Tb
w
x
Too, h
 
m10125,62/tLL 3c
−×=+= (0,5) 
( ) 28232sr
3
m1025,61025,0wA
m101w4P
−−
−
×=×==
×==
(1,0) 
 
( ) ( )( ) 9,2441025,6400/101500kA/hPm 2/1832/1sr =×××== −− (1,0) 
 ( )
603,0
mL
mLtanh
c
c
a ==η (1,0) 
 
 
26
ca m10125,6PLA
−×== (0,5) 
 
( ) 16005,0/20N 2 == (1,0) 
 ( ) sr23at NA1020NAA −×+= − (1,0) 
 ( ) ( ) 223236t m0101,01025,01600102010125,61600A =××−×+××= −−− 
 
( ) 6152,01
A
NA
1 a
t
a
g =η−−=η (1,0) 
 
( ) ( ) W/K1385,00101,015006152,0
1
1020400
103
1020
105R 23
3
23
6
t =××+××
×+×
×= −
−
−
−
(1,0) 
 
W433
R
TT
q
t
archip
t =
−= (1,0)