INTRODUÇÃO GEODÉSIA - Prof Scalco UFRGS

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GEODÉSIA 
 
Prof: Patricia Andréia Paiola Scalco 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Departamento de Geodésia. 
 
Introdução 
Helmert (1880) apud Vanicek & Krakiwsky (1982) define Geodésia como 
“a ciência que mede e representa a superfície da Terra”. Para Torge (1991) a definição 
clássica de Helmert (1880) é: “a ciência que mede e mapeia a superfície da Terra. Esta 
definição inclui a determinação do campo de gravidade externo da Terra e asuperfície 
do fundo do mar. Com esta definição, incluindo as variações temporais da Terra e de 
seu campo de gravidade, a Geodésia inclui-se nas Geociências e nas Ciências de 
Engenharia Torge(1991). 
O significado literal de Geodésia é “dividir a Terra” e seu primeiro propósito é 
fornecer uma estrutura geométrica exata para o controle de levantamentos topográficos 
e outros(Bonford, 1980). Segundo Vanicek & Krakiwsky (1982) o Conselho Nacional 
de Pesquisa do Canadá aceitou uma nova definição para Geodésia como “a disciplina 
que trata da medição e da representação da Terra, incluindo seu campo de gravidade, no 
espaço tridimensional, variando com o tempo”. 
 
“A Geodésia é a ciência que tem por objeto determinar a forma e as dimensões da 
Terra e os parâmetros definidores do campo gravífico” (Gemael,1987). 
 
Superfícies de Referência 
Nos levantamentos geodésicos, introduz-se uma superfície de referência para 
distinguir coordenadas curvilíneas e altitudes. Assim, para o posicionamento 
(planimétrico e altimétrico) de pontos na superfície da Terra ou próximo dela, necessita-
se de uma superfície de referência para expressar as posições destes pontos. Três 
superfícies (física, geóide e elipsóide) são consideradas a seguir. 
 
Superfície Física 
A superfície física da Terra (superfície topográfica, superfície da Terra sólida ou 
superfície real) é uma superfície entre as massa sólidas ou fluidas e a atmosfera. Esta 
superfície contendo os continentes e o fundo do mar é irregular e incapaz de ser 
representada por uma simples relação matemática. Nesta superfície realiza-se as 
operações geodésicas. 
 
Geóide 
O geóide (superfície do nível médio do mar) é uma superfície equipotencial do 
campo de gravidade que melhor se aproxima do nível (médio) dos oceanos em toda a 
Terra (Vanicek&Krakwisky,1982). A superfície geoidal é muito irregular e impossível 
de obter-se um modelo matemático exato para o geóide. 
 
Elipsóide 
Diante da inadequabilidade do geóide, as posições dos pontos na superfície da 
Terra devem ser expressos por coordenadas definidas numa figura geométrica. 
Segundo Torge (1991) um elipsóide achatado nos pólos é mais apropriado como 
superfície de referência do que o geóide. O geóide adequa-se melhor como superfície de 
referência para as altitudes. 
Para fins práticos, aproxima-se a Terra de um elipsóide de revolução. Elipsóide 
de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma elipse em torno do eixo dos polos 
(eixo menor). Estudos geodésicos apresentam valores diferentes para os elementos 
do elipsóide, medidos nos vários pontos da Terra. 
Assim, cada região deve adotar como referência o elipsóide mais indicado. 
 
Exemplo de eipsóides e alguns parâmetros 
 
Datum 
Para caracterizar um datum utiliza-se uma superfície de referência e uma 
superfície de nível. 
Uma superfície de referência (datum horizontal) consiste em cinco valores: a 
latitude e longitude de um ponto inicial, o azimute de uma linha que parte deste ponto e 
duas constantes necessárias para definir o elipsóide de referência. Assim, forma-se a 
base para o cálculo dos levantamentos de controle horizontal no qual considera-se a 
curvatura da Terra. 
A superfície de nível (datum vertical) refere-se às altitudes. Para a definição do 
datum escolhe-se um ponto mais ou menos central em relação à área de abrangência do 
datum. Plural de DATUM em português: DATA 
 
 
Sistemas Geodésicos de Referência 
 
No Brasil, os sistemas geodésicos de referência mais usuais são o Córrego Alegre, 
SAD 69, WGS84 e o atual sistema geodésico SIRGAS2000. 
 
Coordenadas Geodésicas 
A posição de um ponto sobre a superfície física da Terra é definida por suas 
coordenadas geodésicas (latitude, longitude, altura geométrica), considerando-se um 
elipsóide de revolução. 
 
Latitude Geodésica 
Ângulo entre a normal (linha perpendicular ao elipsóide) no ponto considerado e 
o plano equatorial do elipsóide, contado no plano do meridiano geodésico (plano 
formado pela normal do ponto e o eixo de rotação do elipsóide) do ponto. 
 
Longitude Geodésica 
Ângulo entre o meridiano do ponto considerado e o meridiano geodésico 
origem (Greenwich) contado no plano equatorial ao elipsóide. 
 
 
Altura Geométrica (ou elipsoidal) 
Distância do ponto considerado à sua projeção na superfície do elipsóide, 
contada sobre a normal do ponto. 
 
 
RELAÇÕES DA GEODÉSIA COM OUTRAS DISCIPLINAS 
De acordo com VANICEK & KRAKIWSKY (1982) a Geodésia relaciona-se 
com outras disciplinas para fornecer e/ou receber informações. Estas relações devem ser 
conhecidas pelos alunos de Geodésia, possibilitando a estes um entendimento das 
necessidades desta disciplina e de outras ciências. Estas relações são apresentadas a 
seguir. 
 
 
 
 
Disciplinas que necessitam de informações geodésicas 
As relações entre Geodésia e outras disciplinas variam de pais para país e 
também com o tempo. Algumas disciplinas que utilizam-se de informações geodésicas 
são: 
a)Mapeamento: a produção de mapas necessita de pontos (geodésicos) com posições 
(horizontal e vertical) conhecidas. O estabelecimento destes pontos é uma tarefa 
geodésica. 
 
b)Gerenciamento Urbano: as localizações das obras artificiais devem ser definidas e 
documentadas para futuras referências. As posições dos pontos de controle para estas 
obras são fornecidas pela Geodésia. 
 
c)Projetos de Engenharia: durante a construção de grandes estruturas (p. ex.: barragens, 
pontes e indústrias) necessita-se planejar várias componentes destas estruturas em locais 
pré determinados. Para este propósito utiliza-se coordenadas de um tipo ou outro. 
Também, necessita-se conhecer osmovimentos d’água ou do terreno antes, durante e 
após a construção. No caso de barragens, túneis d’água, projetos de irrigação e outros, a 
forma exata das superficies equipotenciais do campo da gravidade devem ser 
conhecidas. Assim, a determinação dos movimentos (horizontal e vertical) e da forma 
dassuperficies equipotenciais são trabalhos geodésicos. 
 
d)Demarcação de Limites: as definições dos limites municipais, estaduais e 
internacionais relacionam-se com uma rede de pontos geodésicos com coordenadas 
conhecidas. 
 
e) Ecologia o meio ambiente tem sofrido efeitos das ações humanas, como p. ex. a 
extração de recursos do subsolo (água, óleo e minerais). A detecção e o monitoramento 
destes movimentos é um problema geodésico. 
 
f)Gerenciamento ambiental: os sistemas de informação para transportes, uso do solo, 
serviços sociais, títulos de terra, avaliação de taxa e estatísticas populacionais baseiam-
se nos lotes de terreno, cujas localizações são definidas por coordenadas referidas a uma 
rede geodésica. 
 
g)Geografia: todas as informações de posições necessárias em Geografia são fornecidas 
pela Geodésia. 
h)Planetologia os métodos para estudar a geometria, os campos de gravidade e as 
deformações dos planetas são idênticos aos métodos extraterrestres utilizados em 
Geodésia. Assim, a Geodésia aplica-se à Planetologia (em Astronomia ou em 
Geofísica). Por causa desta afinidade entre Planetologia e Geodésia, alguns geodesistas 
(ou, geodetas) consideram a determinação da formae do tamanho dos planetas e seus 
campos de gravidade como parte da Geodésia. 
 
i)Hidrografia: alguns consideram este cadipo como parte da Oceanografia, enquanto 
outros tratam como uma parte especial de levantamento (marítimo). Assim, tem-se uma 
relação especial com Geodésia. A prática de posicionamento no mar e a determinação 
da profundidade d’água utilizam muitos métodos geodésicos. 
 
Figura – Ilustração das relações da Geodésia com outras disciplinas (Vanicek & 
Krakiwsky, 1982). 
 
Relações mútuas entre Geodésia e outras ciências 
VANICEK & KRAKIWSKY (1982) relacionam os seguintes campos científicos 
que tem relações simbióticas com Geodésia: enquanto a Geodésia fornece um tipo de 
informação para outras ciências, enquanto estas fornecem outro tipo de informação para 
a Geodésia: 
 
a)Geofísica: em alguns países considera-se Geodésia como parte da Geofísica em razão 
de suas afinidades. Assim, torna-se difícil distinguir onde a Geofisica termina e a 
Geodésia inicia. A Geofisica necessita de posições e informações geométricas que a 
Geodésia pode oferecer. Tanto a Geodésia como a Geofisica estão interessadas no$ 
dados da gravidade (gravimetria) para estudar a geometria do campo de atividade. 
 
b)Ciência Espacial: a necessidade de conhecer a geometria do campo de gravidade 
externo da Terra, essencial na predição das órbitas dos veículos espaciais, relaciona a 
Geodésia com esta ciência. Além disso, também deve-se conhecer com precisão as 
localizações das estações de rastreio de satélites, as quais são determinadas por métodos 
geodésicos. 
 
c) Astronomia: a Geodésia necessita estudar as órbitas dos satélites e para isso utiliza-se 
da mecânica celeste. 
 
d) Oceanografia: a Geodésia fornece aos oceanógrafos as posições de vários objetos 
marítimos (veículos oceanógrafos) importantes para estes profissionais, além das 
altitudes relativas do nível d’água dos mares (marégrafos) e de seus movimentos 
verticais. As informações oceanográficas de interesse da Geodésia relacionam-se com a 
dinâmica da superftcie do mar e com os desvios entre a superftcie média do mar e a 
superficie equipotencial do campo de gravidade da Terra. Esta informação é necessária 
para o estabelecimento de datum altimétnco. 
 
e) Ciência Atmosférica: as perturbações orbitais dos satélites são interpretadas pela 
Geodésia com relação aos efeitos gravitacionais, enquanto a Ciência Atmosférica 
observa o efeito da distribuição de densidade do ar. 
 
e) Geologia: necessita das posições (horizontal e vertical) para seus mapas. A Geodésia 
precisa de informações sobre a estabilidade dos locais para materializar seus pontos e 
construir seus observatórios. Estas informações são fornecidas com o conhecimento 
geomorfológico das áreas de interesse. 
 
Base teórica para a Geodésia 
As disciplinas básicas para a fundamentação teórica da Geodésia, 
segundo VANÍ C EK & KRAKIWSKY (1982), são: 
 
a) Matemática: pode-se considerar a Geodésia como um ramo da Matemática Aplicada. 
Geodésia, para alguns, é a aplicação de geometria na Terra. 
 
b) Ciência da Computação: muitos problemas geodésicos tem suas soluções com o 
auxílio dos computadores. As análises numéricas realizadas em Geodésia são tratadas 
nesta disciplina. 
 
c) Física: tão importante para a Geodésia quanto a Matemática. As observações 
geodésicas são realizadas na geometria do espaço afetada pela gravidade. A geometria 
do campo de gravidade da Terra é considerado como parte da Geodésia A teoria de 
propagação das ondas eletromagnéticas é importante para os instrumentos geodésicos, 
pois os mesmos utilizam-se dos princípios desta propagação. A Mecânica é necessária 
para o entendimento dos movimentos da Terra e de seus satélites. 
 
Funções da Geodésia 
Vanicek e Krakiwsky estão convencidos de que o remédio para a situação da 
sindrome de muitas Geodésias está na funcionalização da Geodésia. As três principais 
funções de Geodésia correspondem às seguintes subdisciplinas: posicionamento, campo 
de gravidade da Terra e variações temporais nas posições e no campo de gravidade. 
Estas funções são apresentadas a seguir. 
 
Posicionamento 
Posicionamento ou determinação da posição de um ponto é a tarefa geodésica 
que a comunidade melhor entende. Pontos podem ser posicionados individualmente ou 
como parte de uma rede de pontos. As posições podem ser absolutas (com relação a um 
sistema de coordenadas) ou relativa (com relação a outros pontos). 
 
Campo de gravidade da Terra 
O conhecimento da geometria do campo de gravidade da Terra é necessário para 
transformar as observações geodésicas obtidas no espaço fisico (afetadas pela 
gravidade) para o espaço geométrico, no qual as posições são normalmente definidas. 
 
Variações temporais (nas posições e no campo de gravidade) 
As variações temporais das posições e do campo de gravidade resultam das 
deformações da Terra (e de seu campo de gravidade) atribuidas a várias causas. Em 
Geodésia não é importante o que causa estes movimentos (marés terrestres, carga da 
crosta, forças tectônicas ou outros fenômenos ainda desconhecidos). O estudo destas 
causas pertence à Geofisica, mas os aspectos geométricos à Geodésia. 
O COMMITTEE ON GEODESY também tem funcionalizado Geodésia com 
os seguintes objetivos: 
 
a)Estabelecimento e manutenção de redes globais tridimensionais de controle geodésico 
no terreno, reconhecendo os aspectos da variante tempo destas redes; 
 
b) Medida e representação do fenômeno geodinâmico (movimento polar, marés 
terrestres e movimento da crosta); 
 
c) Determinação do campo de gravidade da Terra incluindo suas variações temporais. 
 
TEORIA, PRÁTICA E PROFISSÃO 
 
Teoria geodésica 
A maioria dos trabalhos teóricos de Geodésia realizam-se nas universidades ou 
nas instituições governamentais. Estes trabalhos são divulgados internacional mente por 
comunicações científicas. 
A UNESCO (United Nations Educaiional, Scientific and Cultural Organization) 
contribui com a paz e a segurança no mundo promovendo cooperação entre as nações 
por meio de educação, ciência, cultura e comunicação. 
Uma das Uniões Científicas existentes é a IUGG (Infernational Union of 
Geodesy and Geophysics), organização internacional não governamental. Esta União 
dedica-se aos estudos científicos da Terra, como por exemplo: sua forma, seus campos 
(gravitacional e magnético), sua dinâmica, sua estrutura, todos os aspectos dos oceanos, 
a atmosfera, a ionosfera e os problemas associados com a Lua e outros planetas. Esta 
União tem sete Associações Internacionais para tratar das suas atividades. Umas das 
Associações é a IAG (International Association of Geodesy) que tem os seguintes 
objetivos: 
a)Promover o estudo de todos os problemas científicos de Geodésia e encorajar a 
pesquisa geodésica; 
 
b)Promover e coordenar cooperação internacional neste campo, e promover atividades 
geodésicas nos países em desenvolvimento; 
 
c)Fornecer, numa base internacional, discussão e publicação dos resultados dos estudos, 
pesquisas e trabalhos indicados nos itens (a) e (b). 
 
A IAG tem cinco Seções que tratam com partes distintas da Geodésia para colaborarem 
na obtenção dos objetivos da Associação. Estas Seções são: 
 
i)Seção 1: Posicionamento (redes horizontal e vertical de altas precisões; 
posicionamento por satélite; posicionamento inercial; posicionamento cinemático; 
astronomia geodésica; posicionamento marítimo; refração); 
 
ii)Seção II: Tecnologia avançada do espaço (desenvolvimento de técnicas espaciais para 
Geodésia, tais como técnicas radio interferométrica, satelli and lunar laser ranging, 
altimetria porsatélite, rastreio satélite-satélite, medidas geodésicas do espaço; cálculos 
orbitais; resultados destas técnicas; técnicas geodésicas lunar e planetária); 
 
iii)Seção III: Determinação do campo de gravidade (medidas absoluta e relativa da 
gravidade; variações da gravidade; determinação do campo de gravidade externo e do 
geóide por gravimetria, astronomia geodésica, técnicas espacial e inercial); 
 
iv)Seção IV: Teoria e metodologia geral (modelos matemáticos para Geodésia; análise 
estatística e numérica; processamento e gerenciamento de dados; métodos de 
otimização; métodos dos mínimos quadrados; teorias diferencial e integral do campo de 
gravidade; teoria de estimação, aproximação e representação do campo de gravidade); 
 
v)Seção V: Geodinâmica (sistemas de referência; monitoramento e estudo dos 
fenômenos dependentes do tempo: movimento polar, rotação da Terra, marés terrestres; 
movimentos recentes da crosta; variações da gravidade; topografia da superficie e do 
nível médio do mar; aspectos geodésicos de projetos internacionais de geodinâmica; 
dinâmicas planetária e lunar; interpretação geofisica da gravidade e dados relacionados). 
A IAG publica quatro edições por ano do Bulletin Géodesique (depois de 01 de janeiro 
1996: Journal of Geodesy). 
Outra União é a IUSM (International Union for Surveys and Mapping) uma 
aliança não governamental de organizações internacionais que possibilitam os 
desenvolvimentos científicos e tecnológicos no campo de informação geoespacial, 
dedicada à coordenação e cooperação entre organizações relacionadas com mapeamento 
e levantamento. A IUSM define mapeamento e levantamento como pertencentes à 
ciência, arte, tecnologia e aspectos econômicos de coleta, medição, processamento, 
análise, interpretação, representação, disseminação, utilização e avaliação de dados 
referenciados espacialmente ou geograftcamente. 
 
Prática geodésica 
A prática geodésica necessita de todos os profissionais envolvidos com 
Geodésia: cientistas, engenheiros, técnicos e auxiliares. 
A prática da profissão pode envolver uma das seguintes atividades que 
podem ocorrer na superficie da Terra ou no mar; 
•Determinação do tamanho e forma da Terra e medição de todos os dados necessários 
para definir o tamanho, a posição, a forma e o contorno de qualquer parte dela; 
•Posicionamento de objetos no espaço e o monitoramento de feições, estruturas e 
trabalhos de engenharia na superficie da Terra; 
•Determinação da posição de limites de terras públicas ou privadas, incluindo limites 
nacionais e internacionais, e o registro destas; 
•Planejamento, estabelecimento e administração de terras e de sistemas de informação 
geográflca; coleta, armazenamento e administração de dados dentro destes sistemas; 
•Estudos relacionados com o planejamento e desenvolvimento de áreas urbana, rural e 
regional; 
•Planejamento e desenvolvimento de propriedades, 
•Avaliação de valores e gerenciamento de propriedades; 
•Planejamento, medição e administração de trabalhos de construção, incluindo as 
estimativas de custo; 
•Produção de plantas, mapas, arquivos, cartas e relatórios. 
Na aplicação destes atividades, considera-se os aspectos legais, econômicos, 
ambientais e sociais que afetam cada projeto. 
Profissão geodésica 
As pessoas que trabalham com Geodésia podem ser classificados em cientistas, 
engenheiros, técnicos e auxiliares. Estas categorias diferem pela educação e /ou 
experiência de cada profissional. Um cientista geodésico deve ter um curso de Pós-
Graduação (mestrado ou doutorado) de urna universidade com especialização em 
Geodésia. Um engenheiro faz a ligação entre o cientista (teórico) e o técnico. Esta 
pessoa deve entender a linguagem destes profissionais e comunicar-se livremente com 
eles. Um engenheiro geodésico ou de levantamento, deve possuir uma graduação onde a 
Geodésia é uma das principais disciplina. O engenheiro deve ter uma boa apreciação da 
teoria e também uma habilidade básica requisitada aos técnicos. O engenheiro de 
levantamento deve ser capaz de projetar e supervisionar a coleta e a análise de dados, e 
solucionar problemas menores de natureza teórica. 
A Geodésia sendo a base teórica dos meios de levantamento, requer um 
entendimento dos fundamentos geodésicos e a falta destes reduz um engenheiro de 
levantamento em um técnico de levantamento. 
O técnico de levantamento deve ter um diploma de uma escola técnica. O 
técnico deve ser bem versado na rotina dos vários tipos de coleta de dados com um 
entendimento do que pode ser feito, ou está sendo feito, com os dados coletados. Assim, 
somente um entendimento superficial de Geodésia é necessário para o técnico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE 
 
Introdução 
Existem vários tipos de superfícies. Exemplos: 
 
A equação geral do segundo grau nas três variáveis (x,y,z) representa uma superfície 
quádrica. 
 
 (1) 
onde pelo menos um dos seis coeficientes (A,B,C,D,E,F) é diferente de zero. 
 
Esta equação pode transformar-se em 2 tipos: 
 
 (2) 
 (3) 
As superfícies do primeiro tipo (2) têm um centro de simetria, origem e por isso 
denominam-se quádricas cêntricas ou quádricas centradas. As do segundo tipo (3) 
denominam-se quádricas não cêntricas ou quádricas não centradas. 
 
Pode-se escrever a equação das quádricas centradas : 
 
 
 (4) 
(5) 
Esta equação denomina-se forma canônica ou padrão de uma superfície 
quádrica centrada. 
Cada quádrica cêntrica tem 3 planos de simetria (planos coordenados) 
denominados de planos principais, três eixos de simetria (eixos coordenados) 
denominados de eixos principais, e um centro de simetria (origem) denominado de 
centro da superfície. 
Se todos os coeficientes da equação (4) forem negativos, não há lugar 
geométrico. 
Se todos os coeficientes da equação (4) forem positivos, o lugar geométrico é a 
superfície de um elipsóide. 
Se 2 coeficientes da equação (4) são positivos (ou negativos) e um negativo (ou 
positivo) tem-se o lugar geométrico de um hiperbolóide de uma ou 2 seções (folhas). 
A quádrica não cêntrica tem a seguinte forma: 
(6) 
Há 2 tipos de quádrica não cêntrica: parabolóide elíptico e paraboloide 
hiperbólico. 
A superfície de referência para os cálculos geodésicos é o elipsóide. Esta 
superfície corresponde ao lugar geométrico dos pontos do espaço cujas coordenadas 
satisfazem a seguinte equação: 
 
 (7) 
onde todos os coeficientes desta equação são positivos e (a,b,c) números reais 
positivos representando as medidas dos semi-eixos do elipsóide. Se estes semi-eixos 
forem diferentes (a ¹ b ¹ c) tem-se um elipsóide triaxial, o qual representa a superfície 
que mais se aproxima do geóide. 
Os eixos deste elipsóide posicionam-se na Terra da seguinte maneira, conforme 
VANICEK & KRAKIWSKY (1982): 
- o eixo menor coincide com o eixo principal (polar) da Terra; 
- o eixo maior e o médio pertencem ao plano equatorial. 
Assim, o elipsóide triaxial é definido pelos comprimentos dos eixos [maior (2a), 
menor (2b) e médio (2c) ] e da orientação do eixo maior no plano equatorial. Portanto, 
segundo VANICEK & KRAKIWSKY (1982), normalmente, os quatro parâmetros 
utilizados na definição de um elipsóide triaxial são: 
a) comprimento do semi eixo maior (a); 
b) achatamento polar (f) : 
 
 (8) 
C) achatamento equatorial (fe) : 
(9) 
d) longitude geodésica (la) do eixo maior. 
Em vista das dificuldades nos cálculos realizados com os elipsoides triaxias, 
utiliza-se, na prática, os elipsóides biaxiais (dois semi-eixos iguais e um diferente, p. 
ex.:a = c ¹ b ). 
Estes elipsóides biaxiais são definidos por dois parâmetros, segundo VANICEK 
& KRAKIWSKY (1982): 
_ semi-eixo maior; 
_ achatamento polar. 
Para TORGE (1991), a forma do elipsóide biaxial é descrita por dois parâmetros 
geométricos: 
_ o semi-eixo maior; 
_ e o semi-eixo menor. 
Geralmente, o semi-eixo menor é substituído por um número (de menor 
grandeza) mais adequado para expansão em séries: achatamento (geométrico) (f), 
primeira excentricidade (e) e segunda excentricidade (e’). 
Os parâmetros (a, b), ou, (a, f) determinam o elipsóide biaxial (ou de 
revolução), os demais são grandezas auxiliares utilizadas nas deduções numéricas e 
teóricas. Gemael(1987) também afirma que o elipsóide de revolução fica perfeitamente 
definido pelos parâmetros dos seus semi-eixos (a,b), enquanto, tradicionalmente, em 
Geodésia, considera-se os parâmetros (a, f). 
Assim, a superfície utilizada nos cálculos geodésicos é o elipsóide, o qual 
determina-se, matematicamente, por dois parâmetros: semi-eixo maior (a) e semi-eixo 
menor (b). 
 
Parâmetros e suas relações 
Da equação do elipsóide (7) se dois semi-eixos forem iguais entre si, o elipsóide 
é urna superfície de rotação. 
Por exemplo, se c = a e a > b, tem-se o elipsóide de revolução (ou de rotação), 
resultante da rotação da elipse do plano xOz em torno do seu eixo menor: 
 (10) 
Este elipsóide é denominado de elipsóide achatado ou também esferóide 
achatado. Se c=a e b>a, tem-se o elipsóide resultante da rotação da elipse do plano xOz 
em torno do seu eixo maior. Denomina-se elipsóide alongado ou também esferóide 
alongado. Se a=b=c, a superfície obtida é uma esfera de raio a; assim, a superfície 
esférica é um caso especial do elipsóide. 
 
Uma vez que os cálculos geodésicos realizam-se no elipsóide de revolução, a 
geometria do mesmo é de interesse para os alunos de Geodésia. 
 
Considerando-se uma elipse básica, tem-se por definição que trata-se do lugar 
geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse 
plano é constante. Esta constante deve ser maior do que a distância entre os dois pontos 
fixos. 
 
Os dois pontos fixos 
denominam-se focos (F1,F2) da elipse 
e a distância compreendida entre estes 
corresponde à distância focal (2d). 
Quanto mais próximos os focos estão 
entre si, tanto mais a forma da elipse 
assemelha-se à da circunferência. 
Quanto mais afastados os focos estão 
entre si, mais “achatada” será a elipse. 
O centro (O) da elipse é o ponto médio 
do segmento F1F2. O eixo focal (x) 
que contém os focos, intercepta a 
elipse em dois pontos, A e B, 
denominados vértices. O segmento AB 
que contém os focos da elipse 
denomina-se eixo maior (2a). O eixo 
normal (z) que passa pelo centro da 
elipse e é perpendicular ao eixo focal, 
intercepta a elipse em dois pontos 
(P1,P2). O segmento delimitado por 
estes pontos denomina-se eixo menor 
(2b). Se P é um ponto arbitrário sobre a 
elipse (AP2BP1), as retas F1P e F2P, 
traçadas dos focos a P, denominam-se 
raios focais de P. Considerando-se a 
elipse básica e sua definição, o ponto P 
deve satisfazer a condição geométrica: 
 (11) 
onde (2a) é uma constante positiva maior do que a distância focal (2d). 
 
Quando o ponto P encontra-se em P1, mediatriz de F1F2, nota-se que os raios 
focais deste ponto igualam-se, ou seja: 
 (12) 
e a semi-distância focal (d) é igual a: 
 (13) 
Pode-se agora definir alguns parâmetros fundamentais desta elipse: 
a) achatamento polar (f): relação entre a diferença dos semi-eixos (a -b) e o semi-eixo 
maior (a): Equação (8): 
 
b) primeira excentricidade (e): relação entre a semi-distância focal (d) e o semi-eixo 
maior (a): 
(14) 
(15) 
c) segunda excentricidade (e’): relação entre a semi-distância focal (d) e o semi-eixo 
menor (b): 
(16) 
(17) 
 
Latitude Geodésica 
 
Latitude Geodésica é o ângulo que a normal a um ponto da superfície elipsoidal 
forma com sua projeção no plano do Equador. 
 
Pelo ponto M, situado na linha meridiana passamos uma tangente. Uma normal a 
esta tangente pelo ponto M cortará o eixo polar no ponto H e o eixo equatorial no ponto 
D. Denominamos: 
MH=NGrande Normal 
MD=N’Pequena Normal 
fLatitude Geodésica 
 
Cálculo das Coordenadas Retilíneas (x,z) 
 
Cálculo de X 
 Da equação da elipse: 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Bomford, G. Geodesy. Oxford. Clrendon Press, 1980. 
 
Chaves, J.C. Notas de Aula da disciplina Geodésia. Unesp. 2000. 
 
Gemael, C. Introdução à Geodésia Geométrica (1a parte). Universidade 
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