Apostila GD

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Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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GGeeoommeettrriiaa DDeessccrriittiivvaa 
 
Professora: Sarah Rabelo 
 
1 – Introdução 
 
A GD tem por objetivos: 
– A representação de figuras do espaço, a fim de... 
– ...estudar sua forma, dimensão e posição. 
 
- GD é a base teórica de numerosas aplicações profissionais, que vão da Engenharia à 
Arquitetura, bem como Desenho Industrial, Pintura, Escultura... 
 
- A GD desenvolve a habilidade de imaginar objetos ou projetos no espaço, e não 
apenas a leitura ou interpretação de desenhos. 
 
- A GD utiliza um sistema de projeções elaborado por Garpard Monge, conhecido como 
sistema mongeano, ortogonal ou diédrico: 
 
o Sistema de representação: Épura 
o Método de projetividade: um dado ente (figura) e sua imagem em 
correspondência 
o Técnica: linha de terra, convenção de traços, notação... 
o Processo: dupla imagem por projeções ortogonais 
 
2 – Teoria Geral das Projeções 
2.1 – Definição 
 
A noção mais intuitiva é imaginarmos um objeto (ente) e sua imagem (representação). 
 
 Projeção vem de PROJETAR: atirar longe, 
arremessar, lançar algo sobre uma superfície... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2 – Sistemas de Projeção 
 
Como já dito, o objetivo da GD é representar no plano, através de projeções, as figuras 
do espaço. Há duas formas principais de projetar uma figura F em um plano : 
 
(a) Utilizando um sistema de projeção central: 
 
 A projeção de cada ponto FP é o ponto obtido da 
interseção de  com a reta OP . 
 O é o ponto fixo, o centro de projeção. 
 
 
 
 
 
(b) Utilizando um sistema de projeção cilíndrica: 
 
 A projeção de cada ponto FP é o ponto obtido da 
interseção de  com a reta que passa por P e é paralela 
a uma direção fixa , a direção de projeção. 
 
 
 
O sistema de projeção utilizado na GD é a projeção cilíndrica ortogonal (a direção de 
projeção é perpendicular ao plano de projeção): 
 
 
 Na maioria das vezes, há perda de informações sobre a figura!!! Assim, para obter 
informações mais precisas sobre uma figura, é necessário utilizar mais de um plano de 
projeção... 
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3. MÉTODO DE MONGE 
 
Gaspard Monge, criador da Geometria Descritiva, a definiu como sendo a parte da Matemática que 
tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da 
Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. 
 
O QUE É A PROJEÇÃO DE UM PONTO? 
 
Projeção de um ponto sobre um plano é o “pé” da 
perpendicular ao plano conduzido pelo ponto. O plano é dito 
plano de projeção e a reta é a reta projetante do ponto. Porém, 
no espaço um ponto não está bem determinado apenas com uma 
projeção. Então mostramos como se determina um ponto A 
através do método das projeções de Monge. 
 
PLANOS DE PROJEÇÃO 
 
 Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o 
outro plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos. 
 Chama-se Linha de Terra - LT a interseção dos dois planos. 
 
 O 1° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Anterior (HA). 
 O 2° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Posterior (HP). 
 O 3° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Posterior (HP). 
 O 4° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Anterior (HA). 
 
 
 
 
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ÉPURA 
 
Épura é a representação de uma figura do espaço pelas suas projeções no plano. O interessante da 
épura é observar a figura no plano e imaginar como essa figura se apresenta no espaço. 
 
OBTENÇÃO DA ÉPURA 
 Para obter a épura, gira-se o Plano Vertical de Projeção (PV) em torno da Linha de Terra no sentido 
horário, de tal forma que este coincida com o Plano Horizontal de Projeção (PH). Esta nova representação 
recebe o nome de épura. 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. ESTUDO DO PONTO 
 
Para determinar a posição de um ponto (A) é necessário projetá-lo sobre os dois planos de projeção. 
A projeção horizontal designa-se por A ou (A1) e a projeção vertical por (A’) ou (A2). 
 
 
 
 
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3.1.1. COORDENADAS 
 Um ponto no espaço é determinado por três coordenadas: altitude (eixo Z), longitude (eixo X) e 
latitude (eixo Y). 
 
Plano de perfil: plano perpendicular aos planos de projeções passando por O. Um ponto tem abscissa 
positiva se está à frente do plano de perfil e negativa se estiver atrás. 
__________ 
 
 
Seja o ponto P situado no primeiro diedro e projetado no HP e no VS. 
 
 
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Linha de chamada é o segmento que une as duas projeções de um ponto e é sempre perpendicular à LT. 
 
 
Abscissa de um ponto P é a, distância da Linha de chamada do ponto P até o Plano de Perfil. Assim, 
abscissa é a coordenada do eixo X. 
 
Afastamento de um ponto P é a distância deste ponto ao plano vertical de projeção. Assim, afastamento é 
a coordenada do eixo Y. 
 
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Cota de um ponto P é a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção. Assim cota é a coordenada 
do eixo Z. 
 
DETERMINAÇÃO DE UM PONTO 
Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. Exemplo: P(-2,4,2). 
 
 
3.1.2. POSIÇÕES DO PONTO 
 
O ponto pode ocupar nove posições diferentes em relação aos planos de projeção. São elas: 
 
1. Ponto no 1° diedro 
Depois do rebatimento, o (’S) ficará em coincidência com o (P) e a projeção vertical A’ acompanhará o 
plano (’S) no seu deslocamento. As projeções são separadas pela linha de terra, estando a projeção vertical 
A’ acima e a horizontal A abaixo da referida linha. 
 
 
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2. Ponto no 2° diedro 
Depois do rebatimento, a projeção B’ vem colocar-se no (P), sobre BB0 (ou seu prolongamento) conforme 
a cota seja maior ou menor que o afastamento. Na épura correspondente verificamos que ambas as 
projeções estão acima da linha de terra, fato este que caracteriza o ponto no 2° diedro. 
 
 
 
3. Ponto no 3° diedro 
Depois do rebatimento, o (’S) ficará em coincidência com o (P) e o (’I) ficará em coincidência com o (A), 
então a projeção vertical C’ irá cair em C’1 no prolongamento de CC0. Na épura correspondente verificamos 
que as projeções são separadas pela linha de terra, estando a projeção horizontal C acima e a vertical C’ 
abaixo dessa linha. 
 
 
 
4. Ponto no 4° diedro 
Depois do rebatimento, a projeção vertical D’ vem cair sobre DD0 (ou seu prolongamento). Na épura 
correspondente verificamos que ambas as projeções estão abaixo da linha de terra, fato este que 
caracteriza que o ponto está no 4° diedro. 
 
 
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5. Ponto no plano vertical superior (’S) 
Estando o ponto (E) no (’S) o seu afastamento será nulo, coincidindo, então sua projeção vertical E’ com o 
próprio ponto (E), e a projeção horizontal E estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção 
E’ cairá em E’1 sobre o (P). Na épura, a projeção vertical E’ está acima da linha de terra e a horizontal E, 
está sobre essa linha. 
 
 
 
6. Ponto no plano vertical inferior (’I) 
Estando o ponto (F) no (’I) o seu afastamento será nulo. Sua projeção vertical F’ coincide com o próprio 
ponto (F), e a projeção horizontal F estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeçãoF’ cairá 
em F’1 sobre o (A). Na épura, a projeção vertical F’ está abaixo da linha de terra e a horizontal F, 
permanece sobre essa linha. 
 
 
 
7. Ponto no plano horizontal anterior (A) 
Estando o ponto (G) no (A) sua cota será nula, coincidindo, então sua projeção horizontal G com o próprio 
ponto (G), e a projeção vertical G’ estará sobre a linha de terra. Na épura, a projeção horizontal G está 
abaixo da linha de terra e a vertical G’, está sobre essa linha. 
 
 
 
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8. Ponto no plano horizontal posterior (P) 
Estando o ponto (J) no (P) sua cota será nula, coincidindo, então sua projeção horizontal J com o próprio 
ponto (J), e a projeção vertical J’ estará sobre a linha de terra. Na épura, a projeção horizontal J está acima 
da linha de terra e a vertical J’, está sobre essa linha. 
 
 
 
9. Ponto na linha de terra 
Nessa posição, o ponto não terá cota nem afastamento. Nada se altera com o rebatimento, já que a linha de 
terra é fixa. A épura do ponto nessa posição é representada na figura ao lado. 
 
 
 
 
“Tudo quanto te vier às mãos para fazer, faze-o conforme as tuas forças, pois na sepultura 
para onde tu vais não há ciência, nem indústria, nem sabedoria alguma.” (Ecles. 9:10). 
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3.1.3. PLANOS BISSETORES 
 
Denomina-se plano bissetor de um ângulo diedro, o plano que divide este diedro em dois iguais, 
nesse caso, o plano bissetor forma um ângulo de 45° com os planos vertical e horizontal. 
 
Existem dois planos bissetores: 
 
 O primeiro divide os diedros I e III, chamado de bissetor impar e denotado por I. 
 
 O segundo divide os diedros II e IV, chamado de bissetor par e denotado por P. 
 
 
 
OBS.: Um ponto pertence ao plano bissetor se a cota e o afastamento tiverem o mesmo valor. 
 
 
3.1.4. SIMETRIA DE PONTOS 
Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação a um plano (), quando este plano é o mediador do 
segmento formado pelos dois pontos, isto é, quando o plano é perpendicular ao segmento formado por 
esses dois pontos e contendo o seu ponto médio, onde o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B). 
 
 
 
 
 
 
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Consideremos a simetria de um ponto em relação: 
 
a) aos planos de projeção 
 
Um ponto (B) é simétrico a um ponto (A) em relação ao plano horizontal de projeção () quando 
possui a mesma abscissa, o mesmo afastamento em grandeza e sentido, e a cota da mesma grandeza, 
porém de sentido contrário. 
Como nos mostra a épura abaixo, os afastamentos dos pontos (A) e (B) são iguais e ambos positivos 
(mesmo sentido) e cotas iguais de sentido contrário. 
 
 
 
 
 
 
Um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação ao plano vertical de projeção (’) quando possui 
a mesma abscissa, a mesma cota em grandeza e sentido, e o afastamento da mesma grandeza, porém de 
sentido contrário. 
Na épura observamos que os pontos têm projeções verticais coincidentes C’D’ e projeções horizontais 
C e D simétricas em relação à linha de terra. 
 
 
 
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b) aos planos bissetores 
 
Seja (A) e a reta que representa o 1º bissetor (I). Verifica-se que a figura (A)A’MA é um retângulo 
igual ao formado por (B)B’MB, e, como (A) e (B) são simétricos (portanto mesma abscissa), a cota de um 
dos pontos é igual ao afastamento do outro e vice-versa. 
A épura se caracteriza por abscissas iguais, afastamento e cota de um dos pontos iguais 
respectivamente a cota e afastamento do outro, isto é, as projeções de nomes contrários simétricas em 
relação à linha de terra. 
 
 
 
 
Seja o ponto (A) e a reta que representa o 2° bissetor (P). Por razões análogas ao caso anterior, 
verifica-se que as abscissas são iguais e que a cota de um é simétrica ao afastamento do outro. 
A épura se caracteriza por abscissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota de (B) 
igual ao afastamento de (A). Portanto, as projeções de nomes contrários são coincidentes. 
 
 
 
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c) à linha de terra 
 
Se a figura (a) onde a linha de terra ’ é a mediatriz do segmento (A)(B), então são iguais os 
retângulos que se observam na figura e os pontos simétricos em relação à linha de terra possuem abscissas 
iguais e cotas e afastamentos simétricos. 
A épura (b) é caracterizada pelas projeções de mesmo nome dos dois pontos (A) e (B), simétricas em 
relação à linha de terra. 
 
Obs.: A simetria em relação à linha terra ’ é o produto das simetrias em relação aos planos () 
horizontal e (’) vertical e, assim, para obter o simétrico de um ponto dado em relação à linha de terra, 
pode-se efetuar a simetria em relação a um dos planos de projeção e a seguir a simetria desse último em 
relação ao outro plano. 
 
Assim, na figura (c), determina-se o ponto (C) simétrico de (A) em relação a () e depois o ponto (B) 
simétrico de (C) em relação a (’) ou o ponto (D) em relação a (’) e depois o ponto (B) em relação a (). 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar as posições dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F) e (G), dados por suas projeções 
na figura abaixo: 
 
 
 
 
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2) Representar a épura dos pontos abaixo e determinar suas posições: 
 
(A) [-1; -2; -1] 
 
(B) [0; 1,5; -2] 
 
(C) [1,5; 1; 1,5] 
 
(D) [3; 0; -2] 
 
(E) [-2; 2; 0] 
 
(F) [2; -1; 0] 
 
(G) [4,5; 2; 0] 
 
(H) [-3; 0; 0] 
 
(I) [6; -1,5; 0] 
 
(J) [8; -1; 1] 
 
 
3) Representar a épura de um ponto (A) no 2° diedro com cota igual a 1/3 do afastamento: 
 
 
 
 
 
 
4) São dados os pontos (A) [1; 1; 1,5] e (B) [3; -1; 2]. Pede-se determinar as projeções de um ponto: 
 
(a) simétrico a (A) em relação ao (I) 
(b) simétrico a (B) em relação ao (P) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determinar as coordenadas de um ponto (B) simétrico a (A) [1; 0; -2] em relação a (): 
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3.2 – ESTUDO DA RETA 
3.2.1 – Projeção da reta 
 
A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das posições de todos os seus pontos sobre esse 
plano. 
 
Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e o plano (). Baixando em todos os pontos da reta 
perpendiculares ao plano, os pés dessas perpendiculares dão lugar a projeção ortogonal da reta. 
 
Essas perpendiculares formam um plano () perpendicular ao plano () e que é o plano projetante da 
reta. A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela lhe for perpendicular, 
pois neste caso, a projeção será um ponto, já que a projetante de todos os seus pontos se confundem com 
a própria reta. 
 
 
 
 
Quando uma reta for paralela a um plano a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria 
reta (Figura abaixo (a)). Se a reta (A)(B) for paralela ao plano (), sua projeção nesse plano é a reta AB. As 
duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelogramo no qual (A)(B)=AB. Diz-
se então que a reta se projeta em verdadeira grandeza (V.G.). 
 
Quando uma reta for oblíqua a um plano (Figura (b)) a projeção é menor que a reta do espaço, pois 
ela forma com sua projeção e as projetantes um trapézio retângulo, em que a projeção do plano, sendo 
perpendicular às bases é menor que a reta do espaço. 
 
O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação dela sobre o plano. 
Ela passa por todos os valores, de zero (caso do ponto quando a reta é perpendicular ao plano) até o limite 
máximo igual ao comprimento da reta (caso da reta paralela ao plano). 
 
 
 
 
 
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Determinação deuma reta: 
 
A posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções dessa 
reta sobre dois planos ortogonais. 
 
Sejam na figura (a) os dois planos () e (’) perpendiculares e AB e A’B’ respectivamente, as 
projeções da reta (A)(B) cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpendicular 
ao plano (), o mesmo acontecendo com A’B’ em relação a (’). Cada um dos planos que são os planos 
projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será, então, a 
interseção desses dois planos projetantes. 
 
Para se designar a reta cujas projeções são AB e A’B’ escreve-se; reta (A)(B) (figura (b)). A reta 
pode também ser designada por letras minúsculas. 
 
 
 
 
3.2.2 – Pertinência de ponto a reta 
 
Regra geral: 
 
Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de 
mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e projeção 
vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta. 
 
Na figura abaixo, temos a épura de pontos que pertencem a retas correspondentes, isto é, ponto A’A 
pertencendo a reta r’r; ponto C’C pertencendo a reta (E)(F) dada pelas projeções E’F’ e EF. 
 
 
 
 
 
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3.2.3 – Posições da reta (nomenclatura) 
 
Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, as quais determinam nomes 
e propriedades particulares. São as seguintes retas: 
 
1) Reta qualquer 
 
É a reta oblíqua aos dois planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir ambas projeções 
oblíquas à linha de terra. 
 
 
 
 
 
 
2) Retas segundo o paralelismo em relação aos planos de projeção 
 
Reta horizontal (ou de nível): 
 
É a reta paralela ao plano horizontal () e oblíqua ao vertical (’). Sua épura é caracterizada por 
possuir a projeção vertical paralela à linha de terra e a projeção horizontal oblíqua à essa mesma linha. A 
projeção horizontal representa a verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
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Reta frontal (ou de frente): 
 
É a reta paralela ao plano vertical (’) e oblíqua ao horizontal (). Sua épura é caracterizada por 
possuir a projeção horizontal paralela à linha de terra e a projeção vertical oblíqua a essa mesma linha. A 
projeção vertical representa a verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
Reta frontohorizontal (paralela à linha de terra): 
 
É a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeção () e (’). Sua épura é caracterizada 
por possuir ambas as projeções paralelas à linha de terra. Qualquer das projeções (que são iguais) 
representa a verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
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3) Retas segundo o perpendicularismo em relação aos planos de projeção 
 
Reta vertical: 
 
É a reta perpendicular ao plano horizontal (). Sua épura é caracterizada por possuir a projeção 
horizontal reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a vertical perpendicular à linha de terra, e 
que representa a V.G. 
 
Obs: A reta vertical é sempre paralela ao plano vertical, pois é perpendicular ao plano horizontal. 
 
 
 
 
Reta de topo: 
 
É a reta perpendicular ao plano vertical (’). Sua épura é caracterizada por possuir projeção vertical 
reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a horizontal perpendicular à linha de terra, e que 
representa a V.G. 
 
Obs: A reta de topo é sempre paralela ao plano horizontal, pois é perpendicular ao plano vertical. 
 
 
 
 
 
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Reta de perfil: 
 
É uma reta oblíqua dos dois planos de projeção numa posição particular: perpendicular (ou 
ortogonal) à linha de terra. A figura abaixo mostra uma reta de perfil situada num plano (I’) que é 
perpendicular aos dois planos de projeção (plano de perfil). A épura é caracterizada pelas projeções 
perpendiculares a linha de terra. A reta de perfil não tem verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
 
Como no estudo do ponto, a reta também pode estar contida dentro de qualquer um dos semiplanos 
ou em coincidência com a linha de terra. No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das projeções sobre 
a linha de terra e, no segundo, ambas projeções coincidem com essa linha. 
 
Na figura abaixo se observa uma reta situada no plano vertical superior (’S) e sua épura 
correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção vertical, apresenta-se (em 
épura) a projeção vertical acima da linha de terra e a horizontal sobre a mesma. 
 
 
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Na figura abaixo, observamos uma reta situada no plano vertical inferior (’I) e sua épura 
correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção vertical, apresenta-se (em 
épura) a projeção vertical abaixo da linha de terra e a horizontal sobre a mesma. 
 
 
 
Aqui observamos uma reta situada no plano horizontal anterior (A) e sua épura correspondente. 
Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção horizontal, apresenta-se (em épura) a 
projeção horizontal abaixo da linha de terra e a vertical sobre a mesma. 
 
 
Na figura a seguir, observamos uma reta situada no plano horizontal posterior (P) e sua épura 
correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção horizontal, apresenta-se (em 
épura) a projeção horizontal acima da linha de terra e a vertical sobre a mesma. 
 
 
Quando a reta coincide com a linha de terra, a épura da figura abaixo é sua representação. 
 
 
 
 
As retas podem ainda, ocupar qualquer posição particular dentro dos planos de projeção, isto é, com 
pontos em vários diedros. 
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EXERCÍCIO: 
1) Representar as épuras das retas (A)(B); (C)(D) e (E)(F) e nomeá-las: 
(A) [-2; 3; 5] 
(B) [1; 8; 5] 
(C) [0; -4; 3] 
(D) [3; -4; 0] 
(E) [-3; 8; 1] 
(F) [3; 1; 6] 
 
 
3.2.4. Traços de reta 
 
Chama-se traço de uma reta sobre um plano o ponto em que essa reta fura ou atravessa esse plano. 
Logo, quando uma reta for paralela a um plano, não terá traço sobre esse plano. O traço sobre o plano (’) 
é o traço vertical e por convenção representa-se por (V), e o traço sobre o plano () é o traço horizontal e 
por convenção representa-se por (H). 
Seja na figura abaixo a reta (u) e o ponto (V) a interseção da reta (u) no plano (’). Para se obter o 
traço (V) de uma reta, basta determinar o ponto da reta (u) que tem afastamento nulo. 
Em épura, para se achar o traço vertical da reta uu’, prolonga-se a projeção horizontal até a linha de 
terra, onde fica determinada a projeção horizontal V. De V, uma linha de chamada faz conhecer V’ como 
indica a épura. Esse ponto V’ que coincide com o ponto objetivo (V) é um ponto da reta (u) e seu 
afastamento é nulo. 
 
 
Da mesma maneira, obtém-se o traço horizontal, como seguem as figuras abaixo: 
 
 
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Atenção: a projeção horizontal V do traço vertical (V) e projeção vertical H’ do traço horizontal (H) estão 
sempre obrigatoriamente sobre a linha de terra. 
 
Conclui-se então, que uma reta só possui os dois traços quando é oblíqua aos dois planos ()(’) 
(reta qualquer e reta de perfil). As demais retas, como horizontal, frontal, vertical e de topo, possuem 
apenas um traço e finalmente, a frontohorizontal, por ser paralela aos dois planos não possui traço nesses 
planos. 
O conhecimento da determinação dos traços de uma reta nos permite traçar retas subordinadas à 
condição de passarem por diedros dados. 
Na figura a seguir, a reta (r) do 1º diedro passa pelo 2º e 4º diedros.Vemos que os traços são 
obtidos prolongando a reta nos sentidos indicados pelas setas: traço vertical (V) no sentido da seta 1 e 
traço horizontal (H) no sentido da seta 2. É indiferente determinar-se primeiro um ou outro traço. Em 
épura, os traços da reta (r) são obtidos prolongando-se as projeções r e r’ em sentidos contrários até a 
linha de terra. 
 
 
Na figura da reta (u) no 1º diedro passando pelo 4º e 3º diedros, vemos que ambos os traços são 
obtidos prolongando a reta (u) num único sentido, indicado pela seta 3. Primeiro, determina-se o traço 
horizontal (H) e depois o vertical (V). Em épura, os traços da reta (u) são obtidos prolongando-se as 
projeções u e u’ no mesmo sentido. 
 
 
 
Exemplo: 
Dada a reta (A)(B) pede-se: 
(a) Sua épura; 
(b) Seus traços; 
(c) Os diedros que ela atravessa; 
(d) A sua posição no espaço. 
(A) [0; -2; -1] (B) [4; 2; 2,5] 
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Traços de reta de perfil: 
 
Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e (H) e (V) os seus traços respectivamente sobre () e (’). 
Utiliza-se, na reta de perfil, o rebatimento do plano de perfil que a contém, no caso o triângulo (H)V(V). 
Esse rebatimento consiste em girá-lo de 90º no sentido-horário, até que fique em coincidência com o plano 
vertical (’), sendo esse giro feito em torno de sua intersecção com o plano vertical (’), que no caso é (V)V. 
Com esse rebatimento, os pontos (A) e (B) descreverão no espaço arcos de círculos horizontais e vem 
coloca-se em (A1) e (B1) respectivamente, sobre retas traçadas por A’ e B’ paralelamente a linha de terra. 
No plano horizontal o ponto A descreve um arco de círculo de raio AV e vem cair em A1 do mesmo 
modo que B vem cair em B1. Desses pontos A1 e B1 traçam-se no plano vertical as paralelas a (V)V que 
determinam as posições (A1) e (B1) após o rebatimento. 
 
Vejamos a épura. Seja (A)(B) dada por suas projeções A e A’ e B e B’. Faz-se o centro em H’V e 
descrevem-se os raios de círculo AA1 e BB1 até situa-los em A1 e B1 na linha de terra. Traça-se 
perpendiculares à linha de terra e tem-se os pontos (A1) e (B1) e, portanto, a reta (A1)(B1) nos encontros 
com as paralelas a linha de terra traçadas por A’ e B’ respectivamente. Teremos em (A1)(B1) a verdadeira 
grandeza da reta dada e um V’(V) do seu traço vertical. No plano horizontal, o traço é H e teremos que 
fazer o alçamento (inverso do rebatimento). Assim prolongando a reta (A1)(B1), teremos em H1 sobre a 
linha da terra o traço horizontal rebatido, então, com o mesmo centro em H’V e raio H’H1 descreve-se, em 
sentido anti-horário, o arco H1H, sendo H traço horizontal. 
 
Obs.: a regra geral é sempre rebater a projeção horizontal no sentido anti-horário. 
 
 
 
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3.2.5. Posições relativas a duas retas 
 
Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M) comum a 
reta (s) e ao plano (). Nota-se que, enquanto a reta (r) está 
situada no plano (), a reta (s) tem nesse plano apenas um ponto 
(M). Então esse ponto (M) e a reta (r) definem o plano () e a reta 
(s) a ele não pertence. 
Diz-se então, que as retas (r) e (s) são reversas ou não 
coplanares, ou seja, não estão no mesmo plano. 
Se a reta (s) também pertencer ao mesmo plano () da reta 
(r), as retas são, então, coplanares, isto é, definem um plano, 
podendo ser concorrentes ou paralelas. Logo, temos as retas (r) e 
(s) que são concorrentes, pois tem um ponto em comum (M), que 
se diz próprio, e as retas (r1) e (s1) que são paralelas por não terem 
ponto comum (diz-se que o ponto é impróprio, isto é, não existe). 
 
 
Retas concorrentes 
Duas retas são concorrentes quando: 
 
1° - O ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais estiverem numa 
mesma linha de chamada. Observa-se essa situação no espaço e na sua épura correspondente. 
 
2° - Duas projeções de mesmo nome se confundem e as duas outras se cortam. Observa-se essa 
situação no espaço e na sua épura correspondente. Nesse caso, as duas retas concorrentes admitem um 
mesmo plano projetante e por isso suas duas projeções de mesmo nome coincidem. A épura mostra ainda, 
duas projeções horizontais coincidentes e as verticais concorrentes em O’. Poderia ser o inverso, ou seja, as 
projeções horizontais concorrentes e as verticais coincidentes. 
 
 
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3° - Uma das projeções de uma das retas se reduz a um ponto situado sobre a projeção de mesmo 
nome de outra reta. A situação do espaço é definida pela figura abaixo e na sua épura correspondente. No 
caso, considerou-se uma reta vertical (u) e, portanto, como projeção pontual a horizontal u. 
 
 
 
Retas paralelas 
 
Analogamente, aos três casos anteriores, duas retas são paralelas quando: 
 
1° - As duas projeções de mesmo nome são paralelas. Observa-se essa situação no espaço e na sua 
épura correspondente. 
 
 
 
2° - Duas projeções de mesmo nome se confundem e as duas outras são paralelas. É o caso das 
duas retas paralelas admitirem um mesmo plano projetante. Observa-se essa situação no espaço e na sua 
épura correspondente. Poderia ser o inverso, ou seja, as projeções horizontais paralelas e as verticais 
coincidentes, o que não altera a condição de paralelismo das duas retas. 
 
 
 
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3° - As duas projeções sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto. É o caso de duas 
retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si. A situação do espaço é definida pela 
figura abaixo e na sua épura correspondente (retas verticais no caso). 
 
 
 
 
Retas de perfil paralelas ou concorrentes: 
 
No caso de retas de perfil, a condição de paralelismo das projeções correspondentes, apesar de 
necessária não é suficiente. 
 
Consideremos dois casos: 
 
1°) Retas situadas no mesmo plano de perfil 
 
2°) Retas situadas em planos de perfil distintos 
 
No 1° caso, as retas terão a mesma abscissa, elas poderão ser paralelas ou concorrentes (nunca 
reversas, pois estão num mesmo plano). 
No 2° caso, podem ser paralelas ou reversas e nunca concorrentes, porque estão situadas cada uma 
em planos paralelos entre si, todas as retas de qualquer deles serão paralelas ao outro, e nesse caso, as 
abscissas das retas são diferentes. 
Duas retas de perfil quando possuem abscissas iguais, logo no mesmo plano de perfil, terão suas projeções 
de mesmo nome superpostas; quando de abscissas diferentes, terão projeções de mesmo nome paralelas. 
Observemos as figuras abaixo e suas respectivas épuras. 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
 
1) Representar a épura das retas (A)(B) e (C)(D) e defini-las quanto a posição: 
(A) [3; 2; 1] 
(B) [3; 1; 3] 
(C) [-3; -2; -2] 
(D) [0; -2; -2] 
 
2) Dada a reta (A)(B), onde (A) [0; 2; -3] e (B) [5; 2; 4], pede-se: 
a) Sua épura; 
b) Seus traços; 
c) Os diedros que ela atravessa; 
d) A sua posição no espaço. 
 
3) Por um ponto (A) [2; 2; 2] traçar em épura uma reta (A)(B) paralela a uma reta dada (C)(D): 
(B) [0; ?; ?] 
(C) [-1; -1; 3] 
(D) [3; 0; -1] 
 
4) Dada uma reta (A)(B) de perfil, pede-se: 
a) Sua verdadeira grandeza traçada em épura; 
b) Os diedros que atravessa. 
 
(A) [0; 3; -3] 
(B) (B) [?; 1; 2] 
 
5) Dá-se uma reta de perfil (A)(B) e um ponto (M) no mesmo plano da reta. Pede-se traçar por (M), em épura, 
uma reta (M)(N) de 2 cm e paralela a reta (A)(B). 
(A) [0; 1; 1] 
(B) [0; 3; 3] 
(M) [?; 5; 5,5] 
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3.3 – ESTUDO DO PLANO 
 
3.3.1 – Traços do plano 
 
Traço de um plano é a interseção desse plano com outro, ou desse plano com os planos de 
projeção. Assim, na figura abaixo, o plano() intercepta o plano horizontal () segundo a reta ; o 
mesmo plano intercepta o plano vertical (’) segundo a reta ’. Então, as retas  �e ’ são os 
traços do plano (). 
Os traços de um plano são designados por uma letra do alfabeto grego que individualiza o 
plano considerado, seguida de outra letra grega que individualiza o plano de projeção ( �ou ’). 
Em geral, um plano possui dois traços, exceto quando for paralelo a um dos planos de projeção 
(possuindo apenas um traço). 
Os traços de um plano podem ocupar posições diferentes em relação à linha de terra, conforme 
a situação do plano, podendo ser distintos (concorrendo ou não com a linha de terra) e coincidentes 
com ’. Quando os traços são distintos e não paralelos à linha de terra, eles concorrem num mesmo 
ponto dessa linha, e a épura é mostrada abaixo. Nesse caso, para a determinação do plano na épura, 
são dados a abscissa do ponto TT’ de concorrência dos traços sobre a linha de terra e os ângulos 
que cada traço forma com ’. Esses ângulos são orientados no sentido trigonométrico (horário) e tem 
a linha de terra como origem. 
 
 
 
 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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3.3.2 – Posições do plano 
 
1) Plano qualquer 
 
É o plano oblíquo dos dois planos de projeção. Possui os dois traços distintos, concorrendo 
sobre a linha de terra em um mesmo ponto. Sua épura se apresenta como a da figura abaixo. 
Entretanto, pela maneira do plano se situar no espaço, a épura pode aparecer em qualquer das 
posições indicadas na figura, pois o que caracteriza o plano é possuir os dois traços oblíquos à 
linha de terra, não importando como fiquem. 
 
 
 
 
2) Segundo o paralelismo em relação aos planos de projeção 
 
Plano horizontal (ou de nível): 
 
Esse plano se apresenta como nos mostra a figura abaixo. Basta defini-lo como plano paralelo 
ao plano horizontal de projeção. A épura é caracterizada por possuir apenas um traço, o vertical, e, 
paralelo à linha de terra. 
 
 
 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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Plano frontal (ou de frente): 
 
É o plano paralelo ao plano vertical de projeção. A épura é caracterizada por possuir apenas um 
traço, o horizontal, e, paralelo à linha de terra. 
 
 
 
3) Segundo o perpendicularismo em relação aos planos de projeção 
 
Plano vertical: 
 
É um plano perpendicular ao plano horizontal e oblíquo ao vertical. A épura é caracterizada por 
possuir o traço vertical perpendicular à linha de terra, e o horizontal oblíquo à linha de terra. 
 
 
 
 
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Plano de topo: 
 
É um plano perpendicular ao plano vertical e oblíquo ao horizontal. A épura é caracterizada por 
possuir o traço horizontal perpendicular à linha de terra, e o vertical oblíquo à linha de terra. 
 
 
 
Plano de perfil: 
 
É um plano perpendicular aos dois planos de projeção. A épura é caracterizada por possuir 
ambos os traços em coincidência, perpendiculares à linha de terra. 
 
 
 
 
 
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4) Plano paralelo à linha de terra 
 
É um plano oblíquo aos dois planos de projeção, numa posição particular. A épura é 
caracterizada por possuir ambos os traços paralelos à linha de terra. 
Na figura seguinte, o plano paralelo à linha de terra está no 1° diedro e atravessando o 2° e 4° e 
daí sua épura apresenta o traço vertical acima e o horizontal abaixo da linha de terra. 
 
 
 
Mas o plano pode estar na posição como aparece na figura abaixo atravessando os 1°, 2° e 3° 
diedros e, nesse caso, a épura nos mostra o dois traços acima da linha de terra, como também teria 
ambos os traços abaixo da linha de terra se o plano atravessasse o 1°, 4° e 3° diedros, podendo ainda 
os traços coincidir, acima ou abaixo dessa linha. 
 
 
 
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5) Plano passando pela linha de terra 
 
Nesse caso, os traços do plano coincidem com a linha de terra. É o caso do plano bissetor, que 
tem todos os pontos de afastamento e cotas iguais. 
Não sendo conhecida a inclinação do plano, ele só fica determinado se conhecermos outros 
elementos, como um ponto ou uma reta desse plano, por exemplo. 
 
 
 
3.3.3 – Pertinência de reta e plano 
 
Regra geral: 
 
Uma reta pertence a um plano quando possui os seus traços sobre os traços correspondentes 
do plano. 
 
Essa regra sofre exceção quando se trata de um plano que passa pela linha de terra. Um plano 
não pode conter senão determinadas retas. Vemos, por exemplo, na figura abaixo, que o plano 
horizontal () de traço ’ não pode conter a reta vertical (r), pois só há um único ponto comum à reta 
e ao plano que é o ponto (A) onde a reta fura o plano. Entretanto, esse mesmo plano de traço ’ 
pode conter a reta de topo (s), a qual tem seu traço (V) sobre o traço vertical do plano, conforme a 
regra geral acima descrita. Com exceção do plano qualquer, que pode conter quatro retas 
diferentes, os demais planos só podem conter três retas cada um. 
 
 
 
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1) Retas de um plano qualquer 
 
Um plano qualquer sendo oblíquo aos dois planos de projeção, poderá conter as retas que 
também sejam oblíquas a eles ou, no mínimo, a um deles pelo menos. Assim, poderá conter as 
seguintes retas: qualquer, horizontal, frontal e de perfil. 
 
a) Reta qualquer: desde que os traços da reta estejam sobre os traços de mesmo plano, a reta 
pertencerá ao plano, sem qualquer outra restrição. Vemos que na épura da figura abaixo, a reta (r) 
pertence ao plano de traços , ’ porque os traços (V) e (H) dessa reta estão sobre os traços 
correspondentes ao plano. 
 
 
 
Já na figura seguinte, a reta (r) não pertence ao plano, porque o traço (H) dessa reta não está 
sobre o traço  do plano. 
 
 
 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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b) Reta horizontal: uma reta horizontal não tem traço horizontal, como já foi visto. Então, o ponto 
comum à projeção horizontal da reta e ao traço horizontal do plano será um ponto impróprio, isto é, 
estará no infinito. Daí, conclui-se que a projeção horizontal da reta deverá ser paralela ao traço de 
mesmo nome do plano. Quanto ao traço vertical da reta deverá estar sobre o correspondente do 
plano, tal como vemos na épura: 
 
 
 
c) Reta frontal: uma reta frontal não tem traço vertical. Então, o ponto comum à projeção vertical da 
reta e ao traço vertical do plano será um ponto impróprio, isto é, estará no infinito. Daí, conclui-se que 
a projeção vertical da reta deverá ser paralela ao traço de mesmo nome do plano. 
Quanto ao traço horizontal da reta deverá estar sobre o correspondente do plano, tal como 
vemos na épura: 
 
 
 
 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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d) Reta de perfil: tratando-se de uma reta de perfil, a épura não indica claramente, se ela pertence ou 
não a um plano qualquer. Opera-se o rebatimento do plano de perfil que contém a reta e determinam-
se seus traços, os quais, se estiverem sobre os de mesmo nome do plano, como mostra a épura 
abaixo, indica que a reta pertence ao plano. 
 
 
 
 
2) Retas de plano horizontal 
 
Como o plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção, só poderá conter as retas 
que também sejam paralelas ao plano (). Assim, poderá conter as seguintes retas: horizontal, 
frontohorizontal e de topo. 
 
a) Reta horizontal: a épura se caracteriza pela coincidência da projeção vertical da reta com o traço 
’ do plano. 
 
 
 
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b) Reta frontohorizontal: uma reta frontohorizontal não possui traços. Como vemos na épura, a 
projeção vertical da reta (r) coincide com o traço demesmo nome do plano ’. 
 
 
 
c) Reta de topo: sendo uma reta de topo caracterizada por possuir projeção vertical reduzida a um 
ponto e a projeção horizontal perpendicular à linha de terra, a épura mostra uma reta de topo (r) com 
sua projeção pontual r’ coincidente com o seu traço vertical. 
 
 
3) Retas de plano frontal 
 
Como o plano frontal é paralelo ao plano vertical de projeção, só poderá conter as retas que 
também sejam paralelas ao plano (’). Assim, poderá conter as seguintes retas: frontal, 
frontohorizontal e vertical. 
 
a) Reta frontal: a épura se caracteriza pela coincidência da projeção horizontal da reta (r) com o traço 
 do plano, onde também está contido o único traço da reta que é o horizontal (H). 
 
 
 
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b) Reta frontohorizontal: a épura mostra a frontohorizontal (r) pertencente ao plano de traço . 
 
 
 
c) Reta vertical: a épura mostra uma reta vertical (r) como pertencendo a um plano frontal de traço . 
 
 
 
4) Retas de um plano paralelo à linha de terra 
 
Sendo o plano paralelo à linha de terra, oblíquo aos dois planos de projeção, só poderá conter 
as retas paralelas à linha de terra e oblíquas àqueles planos. Assim, poderá conter as seguintes retas: 
qualquer, frontohorizontal e de perfil. 
 
a) Reta qualquer: desde que os traços da reta estejam sobre os traços de mesmo plano, a reta 
pertencerá ao plano, sem qualquer outra restrição. Vemos que na épura a reta (r) pertence ao plano 
de traços , ’ paralelos à linha de terra. 
 
 
 
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b) Reta frontohorizontal: quando a reta é frontohorizontal a épura não indica diretamente se ela 
pertence ao plano. Seja na épura a reta (r) dada pelas suas projeções, que se deseja saber se 
pertence ao plano cujos traços são  e ’. Para isso, toma-se um ponto (O) de projeções O e O’ 
sobre a reta dada e por ele faz-se passar uma reta auxiliar (H)(V), qualquer, situando-se o ponto (V) 
sobre o traço correspondente ’. Determinando-se o traço horizontal (H) dessa reta auxiliar, constata-
se que ele não está sobre o traço  do plano, o que significa que a reta dada não pertence ao plano. 
 
O ponto (O) pertence à reta dada e também a reta auxiliar por ele traçada, mas não pertence ao plano, 
porque a reta (H)(V) não pertence. 
 
 
 
A figura abaixo nos mostra a épura de uma reta (s), frontohorizontal, pertencendo a um plano 
() paralelo à linha de terra. 
 
 
 
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c) Reta de perfil: a épura não indica, claramente, se uma reta de perfil (A)(B) pertence ou não a um 
plano paralelo a linha de terra. Opera-se o rebatimento do plano de perfil que contém a reta e 
determinam-se seus traços, os quais se estiverem sobre os de mesmo nome do plano, como mostra a 
épura da figura abaixo, indica que a reta pertence ao plano, pois os traços H e V’ estão sobre os 
correspondentes do plano. 
 
 
 
5) Retas de um plano vertical 
 
Sendo um plano vertical perpendicular ao horizontal de projeção, e oblíquo ao vertical, só 
poderá conter retas que sejam perpendiculares ao plano () e oblíquas ao plano (’). E essas retas 
são: qualquer, horizontal e vertical. Verifica-se que toda a figura contida num plano vertical se projetará 
no plano () sobre o traço horizontal  do plano, com o qual coincidirá. 
 
 
 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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a) Reta qualquer: Vemos que na épura a reta qualquer (A)(B) pertence ao plano de traços , ’ 
porque os traços (V) e (H) dessa reta estão sobre os traços correspondentes ao plano e porque o traço 
(H) dessa reta está sobre o traço  do plano. 
 
 
 
b) Reta horizontal: Vemos que na épura a reta horizontal (A)(B) pertence ao plano vertical, porque seu 
único traço (V) está sobre o traço correspondente do plano ’ e porque sua projeção horizontal 
coincide com o traço  do plano. 
 
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c) Reta vertical: a épura mostra uma reta vertical (r) como pertencendo a um plano vertical, porque seu 
traço horizontal (que coincide com a projeção pontual) está sobre o traço  do plano e sua projeção 
vertical é paralela ao traço vertical do plano. 
 
 
 
6) Retas de um plano de topo 
 
Sendo um plano de topo perpendicular ao vertical de projeção, e oblíquo ao horizontal, só 
poderá conter retas que sejam oblíquas ao plano () e perpendiculares ao plano (’). E essas retas 
são: qualquer, frontal e de topo. Verifica-se que toda a figura contida num plano de topo se projetará 
no plano (’) sobre o traço ’ do plano, com o qual coincidirá. 
 
 
 
 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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a) Reta qualquer: na épura, a reta qualquer (r) pertence ao plano () de topo, 
por possuir seus traços sobre os traços correspondentes do plano e sua 
projeção vertical r’ coincide também com o traço ’ do plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Reta frontal: Vê-se, sem dificuldades, na épura, que a reta frontal (s), 
pertence ao plano de topo de topo (). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Reta de topo: sendo uma reta de topo caracterizada por possuir projeção vertical reduzida a um 
ponto, a épura mostra uma reta de topo (s) com sua projeção pontual s’ coincidente com o seu traço 
vertical e a projeção horizontal s paralela ao traço  do plano. 
 
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7) Retas de um plano de perfil 
 
Sendo um plano de perfil perpendicular aos dois planos projeção, só poderá conter retas que 
sejam perpendiculares ao plano () ou (’) e perpendiculares à interseção deles, isto é, perpendicular 
à linha de terra. E essas retas são: de topo, vertical e de perfil. Em qualquer dos casos, as projeções 
da reta estarão em coincidência com os traços correspondentes do plano. 
A figura abaixo mostra em um plano de perfil (), as retas (A)(B) vertical, (C)(D) de topo e (E)(F) 
de perfil. Ao lado, a épura correspondente das mesmas retas no plano de traços  e ’. 
 
 
 
8) Retas de um plano que passa por ’ 
 
Um plano que passa pela linha de terra é um plano oblíquo aos dois planos de 
projeção. Se ele estiver igualmente inclinado em relação aos planos de projeção, será 
então um plano bissetor. 
Esse plano só poderá conter retas que passem pela linha de terra ou paralelas 
a essa linha. 
Como se observa na figura ao lado, os traços desse plano se confundem em 
uma única reta, que é a linha de terra. E como normalmente uma reta só não define 
um plano, segue-se que somente a linha de terra não pode definir o plano que por ela 
passa. Então, é necessário pelo menos mais um ponto, para que com a linha de terra, 
possam definir o plano. Assim, o ponto (A) e a linha de terra ’ definem o plano 
nessa posição e, como nesse ponto, cota e afastamento são iguais, temos a épura no 
plano bissetor (no caso, o 1° bissetor), e que se lê plano ’(A). 
 
 
 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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Seja a figura (a) abaixo, onde o plano () passa pela linha de terra e a reta (A)(B) com um ponto 
(A) sobre ’. Observa-se que a reta tem seus traços sobre ’ e, portanto sobre os traços do plano, e, 
entretanto, ela não pertence ao plano. A reta (A)(C) nessa mesma figura pertence ao plano () porque 
ambos os pontos (A) e (C) pertencem ao plano. A figura (b) fornece a épura de uma reta (A)(C) 
pertencente ao plano ’(C). 
Também, quando uma reta tem um ponto sobre a linha de terra em coincidência com o ponto 
de concorrência dos traços do plano, não podemos, pela simples observação em épura, afirmar se ele 
pertence ao plano. É preciso, nesse caso, verificar se mais um ponto da reta pertence ao plano. 
Na épura da figura(c), a reta (A)(B) não pertence ao plano de traços  e ’ apesar de possuir 
seus traços sobre os traços de mesmo nome do plano, porque o ponto (B) não pertence à horizontal 
(V)(C) do plano. 
 
 
 
2.3.4 – Pertinência de ponto e plano 
 
Regra geral: 
 
Um ponto pertence a um plano quando pertence a uma reta do plano. 
 
Seja a figura seguinte (a), onde são dados o plano qualquer de traços  e ’ e ponto (A). A 
épura indica diretamente se o ponto pertence ou não ao plano e, para verificação, procedesse do 
seguinte modo: por uma das projeções do ponto (no caso, A’) faz-se passar uma reta (r) do plano (no 
caso, uma horizontal). Essa horizontal tem seu traço vertical sobre o traço vertical do plano e sua 
projeção horizontal é paralela ao traço do mesmo nome do plano. Verifica-se que a projeção horizontal 
A do ponto não está sobre a projeção do mesmo nome da reta. Então o ponto (A) não pertence à reta 
(r). A reta (r) pertence ao plano e o ponto (A) não pertencendo à reta (r) não pertencerá ao plano. 
 
Seja ainda a figura (b): um plano com os traços em linha reta (plano qualquer) e o ponto (A) 
dado pelas projeções, que desejamos saber se pertence ou não ao plano. 
Usou-se agora uma frontal (r), cuja projeção vertical r’ passando por A’ é paralela ao traço ’ 
do plano de projeção horizontal r, paralela à linha de terra. É uma frontal do plano porque o seu traço 
horizontal H está sobre . Verifica-se que a projeção A está sobre a projeção r da reta e, portanto, o 
ponto (A) pertence à reta (r). Logo, o ponto (A) pertence ao plano, porque pertence à reta (r) desse 
plano. 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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OBS: Nesse estudo de pertinência de ponto e plano, podemos simplificar a questão, conforme o plano 
seja projetante ou não projetante. Diz-se que um plano é projetante, quando é perpendicular pelo 
menos a um dos planos de projeção. Assim, são projetantes, os planos: 
 
- Horizontal (perpendicular a ’) 
- Frontal (perpendicular a ) 
- Vertical (perpendicular a ) 
- Topo (perpendicular a ’) 
- Perfil (perpendicular a  e ’) 
 
São não projetantes os planos oblíquos aos de projeção. São eles: qualquer, paralelo à linha de 
terra e os que contêm a linha de terra. 
Então, se o plano é projetante, a épura indica diretamente se o ponto dado pertence ou não a ele. 
A simples situação de uma das projeções do ponto é suficiente para a afirmação. Consideremos a que 
plano de projeção é perpendicular o plano dado: 
 
1°) Se for perpendicular ao plano horizontal (), para que um ponto a ele pertença, é suficiente que 
possua sua projeção horizontal sobre o traço horizontal do plano. 
 
Exemplo: Na figura ao lado vemos o ponto 
(A) pertencendo ao plano () frontal e a 
projeção horizontal A do ponto sobre o 
traço  do plano. Na épura, estando a 
projeção A sobre , não importa onde 
esteja a projeção vertical: Em A’, A’’ ou A’’’, 
o ponto (A) pertence ao plano. 
 
 
 
 
Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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2°) Se for perpendicular ao plano vertical (’), para que um ponto a ele pertença, é suficiente que 
possua sua projeção vertical sobre o traço vertical do plano. 
 
Exemplo: Na figura abaixo, vemos o ponto (B) pertencendo ao plano () de topo e a projeção vertical 
B’ do ponto sobre o traço ’ do plano. Na épura, estando a projeção B’ sobre ’, não importa onde 
esteja a projeção horizontal: Em B’, B1 ou B2, o ponto (B) pertence ao plano. 
 
 
 
Na épura abaixo, só pela posição da projeção C de um ponto (C), pode-se afirmar que o ponto 
(C) não pertence ao plano vertical (), pois aquela projeção não está sobre o traço correspondente do 
plano. 
 
 
 
Seja ainda como exemplo a figura abaixo, considerando-se o plano paralelo à linha de terra ao 
qual se deseja saber se lhe pertence o ponto (A). Trata-se por A’ a projeção vertical de uma reta 
qualquer auxiliar, situando-se o traço vertical V’ sobre ’ e o horizontal H sobre . Verifica-se que a 
projeção horizontal A do ponto está sobre a horizontal VH da reta, indicando então, que o ponto 
pertence à reta, e conseqüentemente, pertencendo também ao plano. 
 
Quando um ponto possuir uma das projeções sobre um dos 
traços do plano e a outra projeção estiver sobre a linha de terra, então, 
nesse caso, o ponto pertence ao traço do plano, onde se situar a 
projeção. 
 
 
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Exemplo: Na figura 2.13, o ponto (A) pertence ao traço horizontal  do plano () e o ponto (B) ao 
traço vertical ’ do mesmo plano. 
 
 
2.3.5 - Interseção de planos 
 
Dois planos quando são não paralelos, diz-se que são secantes, isto é, eles se cortam ou se 
interceptam. Para se obter a interseção de dois planos, basta determinar dois pontos que sejam 
comuns a ambos os planos ou apenas um ponto, quando se conhece a direção da interseção. 
Para facilitar o estudo, dividimos os diversos casos em três grupos, a saber: 
 
1°) Ambos os planos são dados pelos traços (cruzando-se ou não nos limites da épura); 
2°) Apenas um dos planos é dado pelos traços; 
3°) Os planos não são dados pelos traços. 
 
No 1° grupo, quando os planos são dados pelos traços, em geral, a solução é imediata, como 
por exemplo, na figura (a) abaixo, onde se deseja a interseção de dois planos () e (). É evidente que 
a reta comum aos dois planos deve ter seus traços no ponto de concurso dos traços do plano. Assim, 
basta unir o ponto (H) ao ponto (V) e teremos a reta (H)(V) ou reta (r) que é a interseção desejada. 
Seja agora, por exemplo, na figura (b), onde se deseja a interseção de dois planos () e (). Os 
traços horizontais  e  se cruzam em H, nos seus prolongamentos e os verticais ’ e ’ em V’, 
também nos respectivos prolongamentos, de modo que a reta interseção (H)(V) está no 3° diedro. 
 
 
 
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Podem ocorrer casos em que não é possível determinar o ponto (V) ou o ponto (H). Nesses 
casos, a solução não será imediata e teremos que recorrer a plano ou planos auxiliares, o que 
veremos nos exercícios. O mesmo se aplica a pontos que concorrerem na mesma linha de terra ou um 
deles passar por essa linha. 
Se acontecer que os planos tenham traços de mesmo nome paralelos, a solução é imediata. 
Seja na figura (a), onde os traços horizontais dos planos () e () são paralelos. Neste caso, o ponto 
de concurso dos traços horizontais está no infinito (ponto impróprio) e então a projeção horizontal da 
interseção será paralela a esses traços e a reta interseção será a horizontal (r). 
Quando dois planos forem verticais (ou de topo) as interseções serão respectivamente, retas 
verticais ou de topo, como vemos nas figuras (b) e (c). Em ambos os casos, a projeção pontual de 
cada reta interseção se situará em coincidência com o ponto de concurso dos respectivos traços. 
 
 
 
Quando um dos planos só possuir um traço (plano horizontal ou frontal), a reta interseção nele 
terá a projeção respectiva, que será um ponto ou uma reta, dependendo do outro plano. Assim, por 
exemplo, na figura (a) a seguir, um plano horizontal () e outro de topo (), terão na reta (r) sua 
interseção. Se um dos planos for qualquer e o outro frontal, por exemplo, (figura (b)), a interseção será 
a reta frontal (r), onde a interseção estará com sua projeção horizontal com o traço de mesmo nome 
do plano. 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
1) Determinar os traços do plano () definido pela reta (A)(B) e pelo ponto (C). 
(A) [2; 1; 3] 
(B) [5; 3; 1] 
(C) [6; 0; 2] 
 
 
2) Determinar os traços de um plano do qual se conhece uma reta (A)(B) e um ponto (C). 
(A) [0; -0,5; 2,5] 
(B) [3,5; -1,5; 0] 
(C) [2; 2; -3] 
 
 
3) Determinar uma reta de perfil que pertença a um plano(), que contém o ponto (T) [0; 0; 0]. 
^’ = 50° 
^’ = -40° 
 
4) Determinar um ponto da reta (A)(B) que pertença ao (I). 
(A) [1; 0; 2] 
(B) [5; 2; 1]