apostila Eletricidade Basica (Teoria) pt1

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ELETRICIDADE BÁSICA
(TEORIA)
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Teoria
Exercícios resolvidos
Exercícios Propostos com respostas
Exercícios para entregar com respostas
Arduino Francesco Lauricella
Brasílio camargo de Brito Filho
Frandsco Xavier 5evegnani
Pedro Américo Frugoli
Roberto Gomes Pereira Filho
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Autores
Arduino Francesco Lauricella é mestre em Engenharia Mecânica pela Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo'E'pUSP e bacharel e.m Física pelo Instituto de
Físicada Universidade de São Paulo-IFUSP. Professor adjunto da Universidade Paulista-
UNIP e do Centro Universitário da Fundação Educacional Inaoana-FEI.
Brasílio Camargo de Brito Filho é Bacharel em Físicapela USP. Universidade de São
Pauio; Mestre em Física do Estado Sólido pela USP; prof. na FEl - Faculdade de
Engenharia Industrial (1974/1987); prof. Faculdade de Engenharia Industrial na santa
Ceenia (198411986); prol. na PUCSP - PonUfícia Universidade Católica de São
Pauio(199211997); prol. na UNIP - Universidade Paulista (a paror de 1977); Diretor
Regional UNIP- Campinas (a paror de 1997)
Francisco Xavier Sevegnani é físico e concluiu sua graduação, mestrado e doutorado
em Física pela Pontifíàa Universidade Católica de São Pau!o-PUCSP. Conduiu Mestrado
em Engenharia de Produção pela Universidade Paulista-UNI? (2003) e doutorado em
Engenharia de Energia e Automação Elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de
São Paulo-PEA/EPUSP(2009). Atualmente, é professor btular da PonUfíciaUniversidade
católica de São Paulo, professor adjunto I do Centro Universitário de Educação Inaciana •
professor titular da Universidade Paulista. coordenador auxiliar do curso de Engenharia
diurno da UNIP e lider de disciplina de Física da UNIP.
Pedro Américo Frugoli é físico, conduiu sua graduação e mestrado pelo Instituto de
Física da Universidade de São Paulo-USP. Concluiu Doutorado em Engenharia de
Produção pela Universidade Paulista-UNIP. Atuaimente, é professor titular da
Universidade Paulista-UNIP .
Roberto Gomes Pereira Filho é físico, é licenciado em Física pelo Instituto de Msica
da Universidade de São Pauio-IFUSP. Atualmente é professor adjunto da Universidade
Paulista-UNI? e professor assistente do Centro Universitário da Fundação Educacional
Inaciana-FEI .
I
Introdução
Os tópicos tratados nessa disciplina de Eletricidade Básica, são Eletrostática
(parte I) e Magnetismo (parte lI).
A Eletrostática inicia com uma abordagem simplificada da estrutura do átomo,
indicando as principais partícuias em que ele é constituído, que são os prótons (carga
elétrica positiva), os nêutrons (sem carga elétrica) e os elétrons (carga elétrica negativa) .
Os prótons e nêutrons formam o núcleo do átomo e os elétrons orbitam ao redor do
núcleo. É destacado que os corpos na natureza se apresentam com carga elétrica líquida
nula, mas que eles podem ser eletrizados por transferência mútua de eiétrons, e também
que esses corpos, quando em repouso, já com carga elétrica líquida não nula interagem
entre si por meio de forças elétricas. É apresentado: o conceito de carga elétrica
puntifonme; a lei fundamental da Eletrostática que é conhecida como lei de Coulomb,
que mostra como detenminar a força elétrica entre duas cargas elétricas puntiformes,
mas cujo princípio é estendido para corpos com cargas elétricas distribuídas; o conceito
de campo elétrico e sua relação com força elétrica (F = q£); o conceito de trabalho da
força elétrica, mostrando que ela é uma força conservativa dando margem a definição
de energia potencial elétrica e potencial elétrico.
O Magnetismo inicia com o fato experimental que partículas eletrizadas em
movimento quando próximas a correntes elétricas e/ou imãs, que produzem campo
magnético, ficam sob ação de forças denominadas de magnéticas (F = qv 1\ Ê). É
mostrado como detenminar a trajetória percorrida pela carga elétrica (circular ou
helicoidal), quando lançada em campo magnético. De fonma análoga é mostrado que
uma corrente elétrica em um fio condutor na presença de campo magnético também
sofre a ação de uma força magnética. É apresentado que um fio condutor com as
extremidades unidas (espira) quando percorrido por corrente elétrica, e na presença de
campo magnético fica sujeito a ação de um conjugado magnético, fato esse que originou
a construção dos motores elétricos.
Para que haja um bom entendimento de como trabalhar com todos esses
conceitos, esse texto contém uma grande variedade de exercícios resolvidos e exercícios
propostos com respostas, além de exercícios que o aluno deverá entregar para o
professor.
Bons estudos.
IV
••••••••••.1
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{I)
Parte 1. Eletrostática
1Átomo
Muitos fenômenos físicos encontram explicação na estrutura da matéria. A ideia
de "átomo", unidade estrutural indivisrvel da matéria, se deve a filósofos gregos
(Demócrito, meio milênio antes de Crista); porém suas especulações em torno do
assunto não possuía uma objetividade necessária para lhes conferir valor cientifico .
o átomo tomou-se realidade cientifica em virtude das lei das Proporções
Múltiplas referente as proporções ponderais em que se combinam os elementos,
apresentada por Dalton em 1805 e em seguida verificada experimentalmente, com
grande precisão, por Berzélius. A exposição pormenorizada deste assunto pertence a
Química .
Desde o início do século 19 o labor perseverante de numerosos pesquisadores
vem aumentando os conhedmentos sobre a estrutura do átomo. No progresso
incessante deste setor de ciência são acontecimentos proeminentes: o estabelecimento
das leis da EletróHse (Faraday, 1832), o estudo dos fenômenos associados a descarga
elétrica em gases rarefeitos (Gêiser,~ Puckes, Cromes, Lenard, J. J. Thomson, Perin e
muitos outros até a atualidade, o descobrimento da radiatividade natural e seu estudo
subsequente (Becquerel, 1896), a medição da carga do elétron (Milica, 1909), a
apresentação do modelo atômico de Rulherford (1911) e a complementação deste por
Sommerfeld e Bohr (1913). De 1900 para cá surgiram ainda as chamadas teoria
modernas: os quanta de Planck (1900), a relatividade de Einstein (190S), a mecânica
ondulatória de 5chrodinger e a mecânica quântica de Heisenberg (1926), repercutindo
profundamente nas concepções sobre a estrutura do átomo .
1.1 Partículas elementares
Em confronto com"' a extensão de objetos passíveis de obselVação direta, os
átomos são extremamente pequenos; seus diâmetros variam desde cerca de 80.
10-12 m para o átomo de hidrogênio (que é o mais simples), até a ordem de 300 .
10-12 m para os átomos mais complexos; dez milhões de átomos densamente
enfileirados se estenderiam sobre 1 a 3 milímetros .
Em Química um átomo se comporta como unidade estrutural indivisível (a menos
de um ou alguns poucos elétrons periféricos); isto é, um átomo faz parte ora de uma
molécula, ora de outra, ao sabor das reações químicas de que ele participa porém
sempre conservando suas características individuais (Prinápio da Conservação dos
Elementos). Entretanto a Fisica possui recursos para afetar o átomo em sua intimidade
mais profunda, determinando modificações radicais em sua estrutura e evidenciando que
o átomo não é realmente indivisível, mas se compõe de partículas subatômicas; estas
são denominadas "particulas elementares". Para um primeiro estudo da estrutura do
átomo basta conhecer três partículas elementares, a saber: o elétron, o próton e o
nêutron; admitem-se ainda o pósitron, o neutrino e os mésons .
(2)
o elétron é uma partícula de eletricidade negativa; a quantidade desta no sistema
de unidade intemaciona! (SI) é qtlUrOT\ = -e = -1,6 "10-19 C, e sua massa tambem no
SI vale mtletron = 9,11- 10-31 kg. Parao elétron admite-se o diâmetro da ordem de 1,4'
10-15 m. Obtêm-se com facilidade elétrons no estado livre, por exemplo por emissão por
campo (poder das pontas), efeito termo eletrônico (válvulas eletrônicas de rádio e
ampolas de raios X), ou efei'to eletrônico (células foto elétricas).
O próton é uma partícula dotada de carga elétrica positiva cuja Quantidade é, em
valor absoluto
r
Igual a do elétron, qprocon = +e = +1,6'10-19 C, e cuja massa vale
aproximadamente mpTÓ(on ::: 1.67' 10-27 kg. Para o próton admite-se um diâmetro um
pouco menor que o do elétron. Obtêm-se prótons livres com certa fadlidade, ionizando
átomos de hidrogênio.
o nêutron é partícula eletricamente neutra, e cuja massa é sensivelmente igual
a do próton, tnprótoll = 1,67 _10-27 kg_ A obtenção de nêutrons livres se baseia em
reações nucleares (por exemplo, bombardeio de berílio com hélíon~; pilha atômica).
Dispensamos a descrição das demais partículas e:lementarc5, limitando-nos a
observar que a carga elétrica de qualquer uma é uma "carga elementar" com sinal que
depende da natureza da partícula.
1.2 Estrutura do átomo.
Num atomo distinguem-se duas partes perfeitamente diferenciadas: o núcleo e
a coroa. O núcleo é a parte central, na Qual se locil!iza quase toda a massa do atomo;
ele se compõe de prótons e nêutrons elO números comparáveis, com predominância de
nêutrons (salvo o núcieo do átomo de hidrogênio, que r.ontém um só próton). O diâmetro
do núdeo é da ordem de 10-14 m. O arranjO das partículas no núcleo é muito denso;
uma cabeça de alfinete constituído só de prótons e nêutrons flue se o1glomerassem t~o
densamente como em um núdeo, teria massa da ordem de cem mil toneladas. O número
Z de prótons do núdeo é denominado "numero atô.-nico" do elemento 010qual pertence
o átomo em quest.ão; ele coincide com o número de ordem do elemento na tabela
periódica, e varia para os elementos naturais desde 1 para o hidrogênio até 92 par;) o
urânio (atualmente já se conhecem elementos artificiais com número atômico superior
a 100). O número total M de prótons e nêutrons do núdeo é denominado número de
massa do átomo, e varia para os elementos naturais desde 1 êlté 238 para o isótopo
mais pesado do urânio (sendo maior ainda para os elementos trans uranianos). Dado
um elemento qualquer de símbolo X, agregam.se a esse símbolo o número atômico Z e
o número de massa M, do seguinte modo: ~;x,resu~tando um símbolo que determina
perfeitamente o átomo representado por ele. Por exemplo, os átomos de cloro têm
número atômico Z=17 e números de massa M=35 ou M=37; portanto, os átomos de
cloro são representados pelos símbolos: ~~Cle gCl. A coroa é a parte do átomo que
envolve o nv:leo, ela é constituída exclusivamente de elétrons e por isso tem massa
muito pequ~na em confronto com a do núcleo. Num átomo neutro o número de elétrons
ê igual ao número de prótons. Quando não existe esta igualdade, o átomo se diz ionizado
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13J
e se apresenta eletrizado positivamente quando lhe faltam elétrons (íon positivo, cátian),
e eletrizado negativamente quando lhe sobram elétrons (íon negativo, ânion) .
1.3 Coroa atômica .
Para a compreensão da estrutura do átomo propõem-se dois modelos, a saber:
o modelo planetário (Rutherford, Bohr, Sommerfeld) em primeira abordagem da matéria,
e o modelo quântico (Schrodinger, Heisenberg, Dirac) para estudo avançado. Aqui será
abordado apenas o modelo planetário .
Os elétrons de um átomo se movem em certas trajetórias denominadas
trajetórias estáveis, as quais se distribuem em camadas concêntricas com o núcleo e são
designadas, de dentro para fora, pelas letras K, L, M, N, O, P e Q. Cada camada pode
conter um número de elétrons variável até um número máxima bem determinado, igual
a 2 para a camada K, 8 para a camada l, 18 para a camada M, etc. A última camada de
elétrons de um átomo não pode conter mais de 8 elétrons, salvo a camada K, que não
pode conter mais de 2 deles .
As propriedades químicas de um átomo são determinadas pelas camadas
eletrônicas exteriores. Mediante agentes físicos adequados (campo elétrico, onda
eletromagnética, energia térmica) um elétron qualquer pode ser afastado de sua
trajetória estável, passando temporariamente para uma trajetória mais distante do
núcleo, fenômeno este ligado a absorção de uma quantidade de energia e ao retomar a
sua trajetória estável, o elétron emite a mesma quantidade de energia sob forma de um
fóton (trem de onda eletromagnética, infravermelho, raio X, etc.) .
Dois átomos com números atômicos iguais apresentam coroas idênticas, mesmo
que os números de massa sejam diferentes; suas propriedades químicas são idênticas e
seus espectros são idênticos. Tais átomos com coroas idênticas e núcleos diferentes
chama-se isótopos, eles diferem exclusivamente pelo número de nêutrons .
1.4 Núcleo atômico .
o núcleo atômico é comparativamente minúsculo, o seu diâmetro é cerca de
100000 vezes menor que o átomo qual ele pertence. Quanto as extensões, o núcleo está
para o átomo como uma cabeça de alfinete está para um balão de 10 m de diâmetro. A
densidade absoluta de núdeos atômicos é enorme, e mede 116 '106 toneladas por
centímetro cúbico .
No núcleo se localiza quase toda a massa do átomo. Na maioria dos elementos
o núcleo é estável, sendo afetado só por agentes mais ou menos violentos. Alguns
elementos possuem núcleos instáveis, que se desagregam espontaneamente
{radioatividade). Núcleos complexos e pouco estáveis, excitados de modo conveniente
(mediante bombardeio com feixe de prótons ou nêutrons que podem desintegrar-se
dando origem a núdeos mais simples e partículas elementares). Este fenômeno dá-se
com perda de massa e desprendimento de uma quantidade de energia equivalente a
massa perdida (vale a relação de Einstein £ = m' c2) •
(4)
2 Fundamentos da eletrostática.
o modo mais direto para eletrizar dois corpos é atrttando um sobrp. o outro.
Tomemos dois bastões VI e V2de vidro, e dois bastões EI e E2 de ebon~e; atritemos
aqueles com seda, e estes com lã. Suspendamos VI e EI, mediante fios finos e bem
nexíveis; nestas condições, mesmo sob a ação de forças débeis, os bastões suspensos
se desviam, assim denundando a presença das forças. Aproximando o bastão V2 ora a
um, ora a outro dos bastões suspensos, observa-se que V1 é repelido e E1 é atraído: a
aproximação de E2 aos bastões suspensos produz atração de Vi e repulsão de El.
Estas forças que se exercem entre os bastões de vidro e de ebonite apÓs serem
atrttados com seda e lã respectivamente não são de natureza gravitaclonal nem
magnética; por terem sido observadas primeiras com o âmbar amarelo, em grego
denominado elétron, elas são chamadas ações elétricas. Os corpos que exercem tais
ações elétricas são ditos eletrizados; no caso descrito eles foram eletrizados por atrito,
mas existem vários outros processos de eletrização. De um modo geral pode.se dizer
que dois corpos constituídos de substancias diferentes, quando atritados um com o
outro, se eletrizam. A eletrização por atrito não é consequência da fricção propriamente,
mas do contato íntimo e extenso que se estabelece entre os corpos que se atritam
mubJamente; esse contato faOJlta a transferência de elétrons de um, que se eletriza
positivamente, para o outro, que se eletriza negativamente. As ações elétricas poderiam
ser atribuídas a algum estado da matéria, ou a alguma coisa na matéria; sabemos ser
verdadeira a segunda hipótese: a eletrização é devida a algum agente físico concreto
que se designa por eletriddade. Um corpo incapaz de exercer ações elétricas diz-se
neutro.
2.1 Primeira lei das ações elétricas.
Os experimentos desDitos se enunciam sob a forma de uma lei fundamental da
e~ática, a saber:
""Cargas de mesma espécie se repelem, e cargas de espécies distintas se atraem
N
2.2 Quantidade de eletricidade.
Denomina-se -carga elétricapuntiforme" uma carga elétrica que se distribui em um
espaço de extensão desprezível em relação às distâncias que a separam de outras
cargas. A medida de uma carga elétrica é denominada "quantidade de eletricidade"; é
uma grandeza que se atribui a carga segundo os critérios de igualdade e multiplicidade.
A menor quantidade de eletricidade que existe na natureza é a carga elétrica de um
próton, OU a de um elétron; em valor absoluto elas são iguais e constituem a "carga
elementar":
e = 1.60' 10-19 C
Toda carga elétrica é múltipla inteira da carga elementar.
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•••••••••••••••••••••••••'.•I.••I.•••••
[51
2.3 Prinápio de conservação da eletriddade .
Corpos podem ser eletrizados de variados modos, como por exem~,'): atrito,
contato, lnfluenda, diversas modalidades de emissão, indução eletromagnética. Na
quase totalidade desses fenômenos as partíQ..llas elementares participantes são
permanentes, isto é, não criadas nem destruídas, não aprecem nem desaparecem, mas
simplesmente mudam de lugar, são transferidas de um corpo para outro, ou de uma
região para outra dentro de um mesmo corpo .
Por exemplo, consideremos um corpo eletricamente neutro; qualquer parte
macroscópica dele contem cargas elementares positivas e negativas em números iguais
portanto com soma zero; no corpo todo a soma das cargas elementares positivas e
negativas é igual a zero. Suponhamos que de uma região A saiam S elétrons que vão
sediar-se em uma região B; A região A fica com carga +Se e a região B com carga -Se,
mas no corpo todo a soma das cargas positivas e negativas é nula. Um sistema é
eletricamente isolado quando não recebe, nem cede cargas ao ambIente .
2.4 Condutores e isolantes .
A movimentação de cargas elétricas em um meio material é sempre possivel,
porém com facilidade ou dificuldade que varia com a natureza do meio. Os meios
materiais que oferecem grande liberdade de movimento à eletricidade são ditos bons
condutores ou simplesmente condutores de eletricidade; os que oferecem grande
resistência à movimentação da eletricidade são ditos maus condutores de eletriddade
ou simplesmente isolantes, ou ainda dielétricos. Os isolantes retêm as cargas que
possuem, ao contrário dos condutores; uma barra condutora pode manifestar.se
eletrizada por atrito, desde que se a segure mediante um cabo isolante, para impedir o
escoamento de suas cargas. Nos condutores de eletricidade algumas partículas elétricas
são moveis; as cargas elétricas podem movimentar-se na forma de elétrons. Os metais
e o grafite são ótimos condutores eletrônicos. Nos metais, certos elétrons periféricos dos
átomos são fracamente ligados aos mesmos, cr,amando-se então "elétrons livres" eles
respondem prontamente a forças exerddas sobre eles destacando-se dos átomos aos
quais eles pertencem e movendo-se em nuvens eletrônicas através da matéria
condutora. Por exemplo, calcula-se em 1022 o número desses elétrons em um grama de
cobre. Nos isolantes ou di elétricos não existem elétrons livres em número apreciavel. O
isolante ideal é o vácuo pois ele não oferece cargas livres para transporte de eletricidade;
são isolantes também o ar e outros gases (quando não ionizados), o vidro, a mica,
resinas sintéticas, a ebonite, agua pura, óleos minerais .
2.5 Eletrização por contato .
Pondo um corpo neutro N em contato com um corpo eletrizado £, uma parte da carga
elétrica deste pode passar para aquele. Assim o corpo neutro N se eletriza por contato
com o corpo eletrizado E •
l
I
[6]
Se O COrpO eletrizado E possuir carga positiva, ele está com deficiência de el~trons e
atrai os clétrons do corpo neutro; havendo contato entre os dois, uma parte dos elétrons
de N passa para E. Assim surge urna deficiência de elétrons também em N, que se
eletriza positivamente; e diminui a defidênda de elétrons de elétrons f:m £, cuja carga
positiva cimimri. A passagem ~e elétrons de N para E tende a pro!o: Igar-se até que
ambos os mrpas manifestem igual "avidez" pelos e~trons que lhes taltam para a
neutralização. Mutatis mutandis, o mecanismo descrito se aplica ao caso em que o corpo
eletrizado E possui carga negativa; os elétrons excedentes em £ se repelem
mutuamente e passam em parte para N, que se eletriza negativamente.
Quando um dos corpos em questão é isolante, ou quando ambos os são, a troca de
cargas se limita sobre o corpo isolante a uma zona elementar em torno do ponto de
contato. Nos coodutores a troca de cargas Interessa a toda a extensão dos mesmos.
Quando os corpos postos em contato são condutores e iguais, a distribuição de cargas
elétricas entre eles se faz em partes iguais; todavia há uma condição restritiva; os corpos
considerados devem estar longe de outros corpos condutores, eletrizados ou não, pois
em caso contrário manifesta-se o fenômeno da influência eletrostática, o que modifica
a repartição das cargas.
Em certas condições a carga do corpo eletrizado passa totalmente para o corpo
inidalmente neutro, com o qual ele é posto em contato.
2.6 Eletroscópios
Não dispomos de órgãos sensoriais capazes de denundar-nos a eletrização de um corpo;
para isso precisamos de dispositivos que de algum modo revelem se um corpo está ou
não eletrizado. Tais dispositivos são denominados eletroscópios. Eles permitem também
determinar o sinal da carga elétrica sediada em um corpo. Apresentamos, O pêndulo
elétrico, o eletroseópio de folhas, o eletroscópio de pilha, e os pós eletroscópios.
pêndulo elétrico - Compõe-se de uma pequena esfera de material leve (medula de
sabugueiro, ou cortiça), suspensa a um fio leve, flexível e isolante (seda não tingida).
Aproximando ao pêndulo elétrico um corpo eletrizado A, a atração que este exerce
naquele desvia o pêrMjulo do prumo; assim o pêndulo denuncia a presença de carga
elétrica no corpo aproximado. Permitindo que o corpo A toque a esfera do pendulo, esta
se eletriza por rontato com o corpo A, sendo imediatamente repelida por este. Em
seguida aproximemos o pênduID um corpo eletrizado 8; se o pendulo for repelido por S,
as cargas de A e 8 são homônimas; se o pêndu:o for atraído por B, as cargas de A e B
são heterônimas.
Eletrosa)OO de folhas E um dispositivo mais sensível do que o pêndulo elétrico,
permitindo, permitindo detectar a presença de cargas menores. Em prinápio consta de
um bastão condutor vertical em cuja extremidade inferior estão suspensas lado a lado
duas folhas metálicas extremamente finas; de preferência estas lâminas são de ouro,
que se consegue laminar até 1/1000 mm de espessura (folhas de alumínio também se
prestam bem). Á extremidade superior do bastão prende-se uma esfera metálica ou, em
outros casos, uma prato metálico circular e horizontal. se as folhas do eletroscópio forem
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17J
eletrizadas elas se repelem mutuamente e se inclinam, formando entre si em ângulo
tanto maior quanto maiores forem as cargas elétricas das lâminas. Para o rl,.lnclonamento
do eletroscópio de folhas contribui o fenômeno da infiuência eletrostática. O eletrômetro
de Braun também funciona com o mesmo principio .
Eletroscópio de pilha - É um aparelho mais sensível que os anteriores. Ele possui uma
única lâmina indicadora, suspensa no espaço.entre duas placas condutoras verticais e
fixas, suficientemente afastadas para que a lâmina indicadora não possa toca-Ias. As
placas são ligadas aos terminais de uma pilha; esta é um dispositivo que tem a
propriedade de eletrizar os condutores ligados aos seus terminais com cargas de sinais
contrários. Se a lâmina indicadora for eletrizada, ela é atraída por uma das placas e
repelida pela outra, desviando-se da vertical. O sentido do desvio indica O sinal da carga
que o motivou .
PÓS eletrosCÓpios - São pós que permitem determinar a existência e O sinal das cargas
dos corpos eletrizados. Adotam-se geralmente o minio (Pb) O~)e o enxofre, finamentepulverizados e misturados um com o outro. Passando a mistura por uma peneira fina,
os grãos se atritam entre si e com a tela de peneira; consequentemente o mínio se
eletriza positivamente, e o enxofre negativamente. Caindo sobre o corpo eletrizado, esta
mistura de pÓS eletrizados é decomposta em seus componentes, poís o corpo eletrizado
atraí os grãos de carga oposta e repele os de carga igual à dele. Um corpo com carga
positiva atrai o enxofre (amarelo); com carga negativa atrai o mínío (vermelho) .
18)
3 lei de Coulomb.
_,_ = 10-7 . c2 :! 9. 109 NmZ [2]
41'1"to CZ
FlQura 1. A força é de repulsão entre duas cargas elétricas puntiformes quando Qq > O,
isso vale quando as cargas que estão interagindo são de mesmo sinal, caso contrário,
a força será de atração.
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[1]-F = - -'-o Q-•• f (q sobre Q)
""to r1
/
p y
-_.€>
----- Q
......•.•.•--.•.•.•r
O __ ---------
y~
f =-,-.Q- •. f (Q sobre q) ou
•• £. rll
Sendo r = oP, e T = ~, portanto f' é um vetor unitário. A constante EO é denominada•
ronstante de pennissividade elétrica no vácuo, seu valor numérico depende
exclusivamente da escolha do sistema de unidade adotado. sendo c == 3 . 108 ~ a,
velocidade de propagação da luz no vácuo, a definição do Coulomb conduz a:
Na presença de um sistema discreto de N cargas Qj Cf= 1.2•...... N), a força elétrica
resultante sobre a carga elétrica q é expressa por:
F - [-'- .l:N '!l. f] . q [3]
- 41([0 1••.1 rl I
Essa lei expressa a força elétrica entre dois corpos eietrizados, estando esses
corpos em uma álStânda relativa muito maior que a dimensão dos corpos, de forma que
as ~rgas elétricas são consideradas puntiformes. Admitindo que as cargas elétricas
desses corpos sejam Q e q, e que estejam fixas respectivamente nos pontos O e P, a
força elétrica que essas cargas exercem mutuamente é expressa pela equação:
Em uma distribuição contínua de carga Q I a força elétrica resultante que essa distribuição
aplica sobre a carga q é expressa por:
Figura 2. Cada uma das cargas elétricas Q1, Q2 e QJ, exercem Forçaelétrica sobre a
carga elétrica q, resultando que é necessário somar vetorialmente essas forças para
obter a força resultante em q.
[4J
.........• q
~
dF
~
F
. -[I dQ]F=JdF= _.1. -.f 'q
4nto Q rJ
(9)
4 1 dQ
dF=--qf
4n:ta r'
Q
Figura 3. Quando uma carga elétrica Q é distribuída sobre o corpo, é necessário dividi-
lo em partes infinitesimais dQ, para equacionar o elemento de força dF e em seguida
aplicar o princípio da superposição e obter, por integração, a força resultante F .
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(lO)
3.1 Unidades das grandezas e1étriCilS.
o valor de uma grandeza é geralmente expresso sob a forma do produto de um
número por uma ooidade. A unidade é apenas um exemplo espeáfico da 9rõ:'ildeza em
questão, usada como reterênda. O número é a razão entre o valor d;; grandeza
ronsiderada e a unidade. Para uma grandeza especifica, podemos utilizar inúmeras
unidades diferentes. Por exemplo, a altura de um tijolo pode ser expresso como h =
0,45 m = 45 em. Para se estabelecer um sistema de unidades, como o Sistema
lntemadonal de Unidades, o SI, é necessário primeiro estabelecer um sistema de
grandezas e uma série de equações que definam as relações entre essasgrandezas. Isto
é necessário porque as equações entre as grandezas detennlnam as equações que
reladonam as unidades, como descrito a seguir. É conveniente, também, escolher
definições para um número restrito de unidades, que são denominadas unidades de base
e, em seguida, definir unidades para todas as outras como produto de potências de
unidades de base, que são denominadas unidades derivadas. Da mesma maneira, as
grandezas. correspondentes são descritas como grandezas de base e grandezas
derivadas. Sob o ponto de visto dentíflCo. a divisão das grandezas de base e grandezas
derivadas é questão de convenção; isso não é fundamental para a compreensão da
física. Todavia, no que se refere às unidades, é importante que a definição de cada
unidade de base seja efetuada com OJidado particular. As definições das unidades
derivadas em função das unidades das unidades de base decorre das equações que
definem as grandezas derivadas em função das grandezas de base. O número de
grandezas derivadas importantes para a ciência e a tecnologia é seguramente ilimitado.
QuandOnovas áreas cientificas se desenvolvem, novas grandezas são introduzidas pelos
pesquisadores, a fim de representarem as propriedades da área, e com essas novas
grandezas vêm novas equações que se relacionam com grandezas familiares, e depois
com as grandezas de base..Dessa forma, as unidades derivadas a serem utilizadas com
essas novas grandezas podem ser definidas como sendo o produto de potencias das
unidades de base escolhidas previamente.
As grandezas de base utilizadas no Sistema Internacional de Unidades SI são:
comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade
de substânda e intensidade luminosa. As grandezas de base são, por convenção,
consideradas como independentes. As unidades de base correspondentes do SI são:
metro, quilograma, segundo, ampere, kelvln, mal e candeia. As unidades derivadas do
SI são, então, formadas por produtos de potências das unidades de base, segundo
relações algébricas que definem as grandezas derivadas correspondentes, em função
das grandezas de base. Em raras ocasiões pode-se escolher entre várias formas de
relações entre grandezas. Um exemplo particularmente importante se refere à definição
das grandezas eletromagnéticas. As equações eletromagnéticas racionalizadas se
baseiam em quabl> grandezas, utilizadas com o SI: comprimento, massa, tempo e
corrente elétrica. Nessas equações, a constante elétrica £0 (permissivídade do vácuo) e
a constante magnética #lo (permeabilidade do vácuo), possuem dimensões e valores tais
que verificam a equação Co • #lo = ~ , onde c é a velocidade da luz no vácuo. A lei de,
Coulomb que descreve a força eletrostática entre duas partículas com cargas q e Q ,
separadas por uma distânda r, é expressa pela equação:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(I1J
3.2 Dimensão das grandezas .
srmbolo de dimensão
L
M
T
I
e
N
J
l.r. r, etc.
m
t
I,i
T
Símbolo de grandeza
Comprimento
Massa
Tempo
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substancia
Intensidade luminosa
Grandezas de base
Onde os expoentes a,p.y.ó,l,{,eq I que são em geral números inteiros pequenos,
positivos, negativos ou zero, são chamados de expoentes dimensionais. A informação
fornecida pela dimensão de uma grandeza derivada sobre a relação entre essa grandeza
e as grandezas de base é a mesma informação contida nas unidades 51 para a grandeza
derivada, ela mesma sendo obtida como O produto de potencias das unidades de base
do SI.
Existem algumas grandezas derivadas Q para as quais a equação de definição é
tal Que todos os expoentes dimensionais na expressão da dimensão de Q são iguais a
zero. Isto se aplica, em particular, para uma grandeza definida como a razão entre duas
E a equação correspondente da força magnética entre elas quando ambas estão
em movimento, e expressa por:
F = -'-o q"Q. f [5)
4rrlo ,.1
Todas as outras grandezas são grandezas derivadas, que podem ser expressas
em função das grandezas de base por meio de equações da física. As dimensões das
grandezas derivadas são escritas sob a forma de produtos de potência das dimensões
das grandezas de base por meio de equações que relacionam as grandezas derivadas as
grandezas de base. Em geral a dimensão de uma grandeza Q é escrita sob a forma de
um produto dimensional
Por convenção as grandezas físicas são organizadas segundo um sistema de
dimensões. Cada uma das sete grandezas de base do SI é considerada como tendo a
sua própria dimensão, que é simbolicamente representada por umaúnica letra maiúscula
em tipo romano sem senta. Os símbolos utilizados para as grandezas de base e os
símbolos utilizados para indicar sua dimensão são dados a seguir, na tabela 1:
Tabela 1. Grandezas de base e dimensões utilizadas no SI.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
112)
3.3 Símbolo das setes unidades de base.
3.5 Unidade de ca'9<' elétrica (coulomb).
1'0 = 4rr. 10-' ~ [B)•
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
m
kg
s
A
K
mo!
cd
Símbolo
metro
quilograma
segundo
ampere
kelvin
mal
candeIa
de Nome
I, i
T
n
1,
l,x,r,etc.
m
Símbolo
grandeza
Comprimento
Massa
T~mpo
Corr~nte elétrica
T~mperatura termodinâmica
Quantidad~ de substanda
Intensidade luminosa
Grandez:as de base
3.4 Unidade de corrente elétrica (ampere)
o ampere é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, se mantida
em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção drcular
desprezível, e situados a distânda de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre esses
condutores uma força igual a 2. 10-7 N por metro de comprimento.
Disto resulta que a constante magnética ~ , também conhecida como a
permeabilidade no vácuo, é exatamente
Um coulomb é a carga elétrica positiva puntiforme que repele outra igual, no
vãcuo a um metro de distânda, com força 9. 10'9 N. A carga elementar pode ser
detenninada mediante experiêndas dentre as quais se destaca a de Millikan; resulta em
e = 1,60' 10-1• C ... I C= 6.25 .10" . e.
grandezas do mesmo tipo. Essas grandezas são descritas como sendo adlmensionais, ClI
de dimensão um. A unIdade derivada coerente dess~sgrandezas adimensionais é
sempre o número um, 1, isto é, a razão entre duas unidades idênticas para duas
grandezas de mesmo tipo.
As unidades do sistema internacional de base estão reunidas na tabela 2, que
relaàona as grandezas de base aos nomes e símbolos das sete unidades de base.
Tabela 2. Unidades de base do Sistema Internacional SI.
E>tistem também grandezas que não podem ser descritas por rr,<:::o das sete
grandezas de base do SI, mas cujo valor é detenninado por contagem. Por exemplo, o
número de moléoJlas, a degenerescênda em mecânica Quântica e a função de partição
na tennodinâmica estatista. Essas grandezas de contagem são também, geralmente,
consideradas como grandezas adimensionais.
•••••••••••••••••••••••••••••••
' .•••
I13J
A menos do sinal. um coulomb equivale a carga de 6.25 '10" eleCrons. Disto
resulta que a permlssivldade elétrica no vácuo '0. calculada utilizando a lei de Ceulomb•
-'- = .!..r1, e considerandoF = 9 '10' N, Q = q = 1 C, r '101 1m, resulta em:
411"(0 Q'q
-'-=9'10' ~
4nro (1
c'
'0 = 8.85'10-";;;;;; (9]
114)
Solução:
Solução:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
n = 146
• 20-10-'-10-10-'IFI = 9 -lO' ------ 0.30'
e = p = 92n + P = 239
iFl = 20 N (força atração)
3. É dado um triangulo equilátero ABC com lado ~ = 2,0 m. Nos pontos A e 1:3 localizam-
se as cargas q,4,= 20. 10-6 C e qB = -10' 10-6 C respectivamente. Determinar a força
elétrica resultante fi que atua sobre uma terceira carga qc = 2,0' 10-6 C localizada em
C.
Dado: _'_ = 9 -109 ~ml
4111:40 cl
q, < O
-F r F()~--.~-----------~.~--~()
Dado: _'_::;: 9. 109 Nm
z
41U. c1
3.5 Exercidos resolvidos
2_Duas cargas pontuais. com quantidades de eletricidades q, = 20 - 10-' C e q, = -10-
lO-i- C, situam-se no ar em pontos separados pela distância r = 0,30 m. calcular a
intensidade das forças que essas cargas exercem mutuamente.
1. Certo Isótopo de urânio é representado pelo símbolo 2~gU. Quantos nêlJtron~ prótons
e elétrons compõem um átomo desse isótopo?
sejam u, p e e respectivamente os numeras de nêutronsl prótons e elétrons do átomo
em questão. Temos:
fsc = (0,0225 r - 0,0392 J)N
f.C = If.ci(cos(e) r - sente) J)
If.ci = 0.045 N
.f3
sente) =T = 0,87
fAC = 0,09' (0,5 f + 0,87 j)
f.~= 0,045 ' (0,5 f - 0,87 J)
I, I ' 120' 10-'1'12 '10-'1rAC =9.10 .---2-'---
I, I ' 1-10'10-'1-12'10-'1rBC =9.10 .---2-'---
1
cos(e) =-
2
fAC = (0,045 i+ 0,0783 ilN
(15)
P = (0,0675 f + 0.0391j) N
c
,S, qc
/:/ \\\
, -- -, -, -
,~,/ \_~-
" ..
:,: \..
qA S:------------------------------ .• q•
A L B
fAC = iPAci(cos(eli + sente) j)
e = 60'
11' I =_,_ ,1•• H.dBC 41U"o R1
11' I = -'_. I.,I-I.dAC 41'1"lo Alf
Solução:
•••••••••••••••'.•••••••••••••••••••L. _
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
x
--=2L-x
x=4m
Q,
F=O
qQ._~=O
x' (L - x)'
2
x =-6
33x = 2L
fi: = __ '_...!SL I
]; 4f(t~ (L_x)!
L=6m
Y I
/161
q'/I X
,.: A,e. ,,. ,
,: I .
L" •••L
/~'. 8 ,"'\
! \ 8( \
q,A ~ •• ~ . • ~. __ -e qe
A L B
q
10/------- _. ---~ --_. ---. -- __o - - - - - - -- -- - - -- - -- - •• - - ~
I ,P ,
• X I '••• •••••• I. '
'-.--_ •• ------ ••• ---_.- •• - --_. - - - _ .. --_. ---- - - - - - _. _.!
L
Q.
x=2L-2x
F = -'-~ l+ ( __ '_...!2l- r) = o
•••• :111 •• to {L-:z)J
SoIue;ão.
4. Duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Qz são mantidas fixas em uma distanda L.
Uma terceira carga elétrica q também puntiforme está em equilíbrio em um ponto P que
pertence a uma reta que passa pelas três cargas. Pede-se, a posição do ponto P.
oados:~=4
Q,
5. Em uma vertical situam-se uma carga elétrica fixa Q e uma partícula de massa m e
carga elétrica q. O campo gravitadonal local vale g. Determinar a distância r entre as
cargas na situação de equilibrio da partícula .
T = 30 km
1 Qq
mg=---
4rrco ri:
r=30000m
q ~ m 19
,,,r:
,,
Qé
9= 10 ~.'
1-1
9-109-- l-lOT=
(17)
F _ -'-Q,
elHríca - 41rto r1
Q=q=lC
Q. F, q F, Q,
~---~-------------- -----<y-- --
~~---_--~-----.!.f..-------------i.-:-~-----_.... -- --- -1 x
, ,--------------------------T- -----------------------
1 Qq
4rrEo mg
Solução:
Dados: m = 1 <9
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••• I
dF
-=0
dy
y
sen(8) =-
r
d = z,f2 m
I qQ
F----o - 4,uo d2 + y2
F = Z~. (Y. (d' + yl)-~)
4rrEo
F = Z 1 qQ Y
4n£od2 + y2 Jd"l + y2
F = ZFosell(8)
dF qQ [ 3 3 s 1_ = z-_. I. (d' + y,)-, + y. __ o (d' + y,),. Zy
dy 4rrco 2
q~IF,,,,
,.r:.,.
Qd>
(18}
I qQ
F---o - 4rrEo r2
sen(8) = J "d .)11
Solução:
Dados: _'_ = 9. 109 Nm1 q = 1 . 10-3 C
4trl:o C2
6. Em pontos fixos A e B separados por distância 2d, no vácuo, situam.se cargas Q
puntiformes, positivas e iguais. Ao longo de uma mediatriz de AB desloca-se uma carga
de prova q. Determinar o ponto P onde a carga q fica sujeita a força máxima.
-
d
}'=-../2
qc = 1 . 10-6 C
CP = h = 4 na
AC = 8D = L../2
~
AP = 8P = CP = DP = r' + (2)
AC = 8D = 6m
AC=8D=JL'+L'
F = 50. 10-6 N L = 3../2 m h = 4m
AC = 8D = 3../2../2
{I9j
'3 5
1. (d' + y')' = y' -' (d' + y,)-,. Zy = O
2
'3 ,
1. (d' + y')' = y'-' (d' + y'),. (d' + y')-l.Zy = O
Z
,
AP = BP = CP := DP = h2 + ezC)
A8 = 8C = CD = DA = L
q = 2 '10-8 m
Solução:
Dados: -'- = 9 '109~ qA. = -3 ,10-6 C q, := -3 '10-6 C
4,Uo c1
7. Uma pirâmide reta tem vértice P, base quadrada ABCD de lado L, centro G e altura
h. Nos pontos A, B, C, D e G situam-se cargas puntlformes, que representaremos por
essas mesmas letras: qA, qB' qc, qo. e qc. Em uma carga q colocada em P, as demais
exercem força resultante na direção CP, e com intensidade F. Determinar as cargas qB
e qD"
•••••I.
••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
4
cos(8) = 5 ~ 0,8
Fc = 11.25 '10-6 N
cos(8) = ~
<P
120J
F = Fc + 2F•. cos(8) + 2F,' cos(8)
F, = 9. 10".2.10-1. 1O-'!!.s'
6,36
(
50 - 11,25+ 34,56) 6qs = .10-
11,52
F
50' 10-6 = 11,25' 10-6 - 34,56' 10-6 + 11,52' q.
50. 10-6 = 11,25 .10-6 + 2. -21,60' 10-6• 0,8 + 2.7,2' 10-6• q,' 0,8
F __ ,_ • .-!!...
B - 4'teo q BP1
AP = BP = CP = DP = 5 m
F __ ,_.~
G - .''''0 q cp'
F __ '_'q~
A - .'Uo Ap2
x
k = 20
q, = -67,S '10-' C
d
d
F;tslll[Untt = O
q, = 270'10-' C
FítsultQ1\tt = O
F"
q = 5. 10-' C q' = 1. 10-' C d = 0,02m
q, = 270'10-' C d = 0,12m
d
d
,,
~•• ._. ~ __•• •• ._ •• J
q,
q,
Dados: _,_ = 9. 109 Nm~
41l1'tll ct
9. Um dipoto elétrico é constituído pelas cargas elétricas +q e -q, separadas pela
distância d. Detenninar a intensidade da força elétrica que esse dipolo exerce sobre uma
carga q~,situada no ponto P (ver figura) .
(21)
Solução .
8. Três pequenas esferas são dotadas de carg3s elétricas q1t q2 e q]" sabe~seque as
esferas se situam "nováOJo, sobre um plano horizontal sem atrito; os centros das esferas
estão alinhados; as esferas se encontram em equilíbrio nas posIções representadas no
esquema anexo. Pede-se, as cargas elétricas ql e q) .
Dados: -'- = 9 -109 ~
4J'ffD c1
•••••••••••••e•••••le
I ••••••••••••••••
(22)
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
F _ ' " [ 1 ]- q 211'£0 k'id'i
F ~ 281,25 N
kd
F
• q [ 2kd
2 1= q 4rrt d oi d 2
• (kd)' + (2) - 2, (kd)" b-)
, qd [2kd 1
F = q 47tEc k"d4
, q [ Hkd)'(~) IF = q -4,,-, --~~2-2
• [(kd)2 - (~) ]
d1---------------,, ,
-q: I +q F- +q' F+
- - - ~ - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - _.(;l ,~ : . Tp
d : :2 ~---------------------------
kd
F = q' _q_[- [(kd)2 + (~)' - 2, (kd)' (~)H(kd)2 ~ (~)2- 2, (kd)' (~)]]
4",. [(kd+~Hkd-~)l
d... -- --- - - - - - - ---,, ,
_q: I +q +q"---~-------~---------------------~-,I ' ..."p
L : I
di:
- ~---------------------------2
F- F.
F = _'_<-4)(Q'l + _1 ~
411'£0 (kd~ "Trto (IU~-i)
Solução:
x=O,711m
e = 20,So
q
,(2
,.n(9) = L. c05(9)
co,(9) = JI- 5en(9)'
m
I q'
F=--
4rrf"o Xl
,
9 = la !".
"
se i«L então, J 1 - (iL)2 == 1, resultando em
sen(B) = ~ = 0.3555
I
I q' I
2rrEo x3 = mg' ~. cos(9)
i;: i;:;:;:;:;:;:;:;::: :;;; ;
..._-- _. _.-". - --- -_. --_ .... :-
( (,..,-",)lx= 9'10':l'2'1'~ O.OOS-tO
1 qZ 1
-2"-'-0 xJ = mg . --J--C-'-)
L. 1- 2I
q
m
,',b) 5en(e) =L
[23)
co,(9) = JI- C.!.)
2L
a) F =mg' tan(9)
Solução:
a) a distância x .
Dados: L = Im m = 0,005 kg
b) o ângulo 9 que cada pêndulo lonma com a vertical;
10. Dois pêndulos elétricos de mesmo comprimento L, suspensos pelo mesmo ponto, no
ar, são dotados de mesmas cargas elétricas q e mesma massa m. O campo de gravidade
local é de intensidade g. Os pêndulos pennanecem em equilíbrio na posição ilustrada .
Pedem-se:
I~:
•••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
v
w=-
r
1 e'
1 e'
F=--
4rr£0 r2
F
x = 0.696m
~mg
o = 20,40
v= -'---
m 4lTEo r
V=: W' r
q
mg
T = 5.3' 10-11 m
l' =: 2.18 '106~
s
x'
-;==== = 0.36
JI-({r)'
mv2 1 e2
-r- = 41TEo;2
(241
0.696/2
sentO) = -1- = 0.348
mg
x
m = 9,11.10-31 kg
q
m
.'a =-,
x/2
sentO) =-
L
(t.tO-"t9.10'.2.1. =0.36
O,OOS'tO
F= 1 IqelHro"I'lqprótol1l
4rrEo r2
F=ma
v=
Dados: e = 1.6.10-19 C
A única força que age o elétron é a atração eletrostática que o próton exerce nele. Essa
força é perpendicular a velocidade, logo o movimento é uniforme. A força de atração
eletrostática F é a força centrípeta que convém ao movimento circular uniforme do
elétron.
Solução:
11. No modela planetário mais simples do átomo de hidrogênio em estado fundamental
um elétron executa movimento circular em torno de um próton imóvel no centro da
trajetória eletrônica cujo raio é T. Qual é a velocidade linear e angular do elétron?
12. No tampo horizontal "de uma mesa, fixa-se um aro circular; ambos são isolantes e
perfeitamente lisos. Nas extremidades A e B de um diâmetro fixam-se as cargas elétricas
ql e Q2' Sobre a placa, dentro do aro, abandona-se uma pequena esfera eletrizada com
carga q. As cargas elétricas são todas de mesmo sinal. A pequena esfera estaciona junto
ao aro em um ponto C. Seja sAc = 8. Mostrar vale a relação: !!! = un'(8).q,
ATO
1 qq,
Fz=----
41fEo rl
Tad
w = 4,11'1016 -
S
1 qq, 1 qq,
-4--;1sen(8) = -4--z cos(8)
lTEo T1 11"£0 TZ
. .
r,' :
: '. '.. :
2.18.10'
5.3 '10-11w
Solução .
r.•• -----------------,------
• {2S]
••••••••••••••••••••••••••••••••••
ql qz
~~,sm(S) = ,cos{S)
'1 Tz
r,
-= tan{S)
"
!l = tan'{S) tan(S)
"
126)
q, , ••n(S)
-=tan (9)--
q, cos{S)
q, = tan'(S)
q,
Aro
•••••••••••••••••
• 1••••••••••••••••••
(27)
3.6 Exerádos propostos .
q
q
L = lO m
L = lO m
q
q
q = 2. 10-' C
L
2
Resp. F = 4BOOON
q
Dados: _,_ = 9 '109 Nm1
41Uo c1
2. Três pequenas esferas estão eletrizadas com a mesma carga elétrica q e definem um
triangulo equilátero de lado L. Uma quarta esfera também eletrizada com carga elétrica
q está no ponto médio de um dos lados do triangulo, calcular a intensidade da força
elétrica resultante F sobre essa quarta esfera .
Resp. F = 36000v'J N
Dados: _,_ = 9 '109 Nm1
411'£0 (1
1. Três pequenas esferas estão eletrizadas com a mesma carga elétrica q e definem um
triangulo equilátero de lado L. Calcular a intensidade da força elétrica resultante F sobre
cada uma das esferas .
••••••••••••
I ••••••••••••••••••••••••
3. Nos vértices de um quadrado, de lado 1../estão fixas quatro pequenas esferas
eletrizadas com a mesma carga q. Qual é a intensidade da força elétrica qu~ atua sobie
cada uma das esferas?
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
m = O.OOSkg
q
q
8 = 4So
L = 10 m
L
, x ,..._-----------------_._---~, ,. ,, ,, ., ,, ,,,,,,
(l8)
Resp: x = 848S,3 m
L
4. Duas esferas eletrizadas com cargas elétricas de mesma intensidade q porém de sinais
contrários, estão sobre dois planos inclinados com um mesmo ângulo (). As esferas se
posicionam em equilibrio na posição ilustrada. O campo de gravidade local é 9 e a massa
de cada esfera é m. Determine a distancia r entre as esferas.
q
q
Resp. F = 36000. (.fi +i) N
Dados:" -'- = 9. 109 NmJ
4,..... (I
1--
d
[291
q, = 2. 10-' Cq, = 1. 10-' C
q, = 2. 10-2 C
CA = 4 mBC = 8m
Resp. x = 3.5 m
C
.~q3
I ~
I
I
I
I
I
ql / .... q2.-----------------------~~
A B
ql q qz-------.----~-----------~-----_ .
~----! I
I X I------------------~
Dados: d = 8,45 m q, = I' 10-' C
6. Duas cargas elétricas q1e qz estão fixas numa distânda relativa d. Determine a posição
x em que uma terceira carga q deve estar situada de maneira que a força resultante
sobre ela seja nula .
Resp. F = 176483 N, indinada de 42.95° em relação ao lado CA e de 67,98° em relação
ao lado CB •
q, = -3' 10-' C
Dados: AB = lO m
5. Nos vértices de um biangulo ABC são fixas as cargas elétricas Ql. fJ~e qJ
respectivamente. Determine a Intensidade da força elétrica resultante F sobre a carga
q,.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
130!
Resp. q, = -q, = 6,17 '10-' C
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
L=2m
q,
, '
..........3q /'
"O'', ', ', ', ', '",' .q~ .>J
q
• q,
I I
I
1L/ :a I II I dq I
\ I
\
\ I
L \ I
\ I
'. q2
Resp. O módulo da força resultante é F = 21,6 N, a direção é paralela a diagonal do
quadrado que contém o vértice vazio e a força aponta para o vértice dessa diagonal que
possui carga.
Dados:-'- = 9 -t09 ~
41('. (I
8. Três cargas punliformes idênticas q são colocadas nos vértices de um quadrado de
lado L. Calcular o módulo, a direção e o sentido da força elétrica resultante F sobre uma
carga puntifonne -3q mkxada no centro do quadrado.
Dados: d = 0.045m q = -1,75 '10-' C L = 0,030m m = O,nQS :'.1
7. Duas cargas puntiformes til e qz são mantidas fixas numa distanda d. QutrCl carga
puntiforme q de massa rn está localizada numa distancia L de cada uma dessas cargas .
Quando a carga Q é liberada do repouso ela adquire uma aceleração de Intensidadea
<ver figura). Determine q, e q,.
[31)
Resp. F = 1,4 N
I Hm2 () 2Dados: - = 9 '10'-, q = 5 '10- C q" = 600 ,10- C d = 0,02 m r = 20 m
4rr1o C
9 = 10 111;;
q
m
8 = 30'd = 50 mq = 0,0006 C
~ 4 ,
, ,
_q: l+q +q"
---~---~---~---------------------~p- .
~ ~ I
d : :
2 ~----------~--;-------------
10. Um dipolo elétrico é constituído pelas cargas elétricas +q e -q, separadas pela
distância d. Determinar a intensidade da força elétrica que esse dipolo exerce sobre uma
carga q", situada no ponto P (ver figura) .
Resp. Q = 5,34 '10-' C
m = 0,00020 kg
Dados: -'- = 9 '109 ~
41((0 c2
9. Uma esfera condutora, eletrizada com uma carga elétrica Q, repele uma pequena
esfera de massa m, presa a uma fio, e que também está eletrizada com uma carga q. A
força de repulsão faz com que a pequena esfera estacione numa posIção de equilíbrio
em que o fio permanece inclinado de um ângulo (J em relação a vertical. O campo de
gravidade local é de intensidade g. Determinar a carga Q•
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(,2j
••••••••••••••••••••••••••••.'•••••••
1. Três cargas elétricas pundformes ql' q2 e q3 estão fixas nas posições A. B e C
respectivamente. Calcular a intensidade, direção e sentido da força elétrica resultante
que atua sobre a carga elétrica q)"
CA = 6mBC:::: 10 mAB = 8 m
q2 = -2' 10-6 C
_'_=9'109Nml
4"'0 C'
A
q,
1331
Dados:
Resp. F:::: 5760i+5680} N
Nome: RA:
Data: Turma: HOI'ário:
Campus; Professor:
3.7 Exercícios para entregar (lei de Coulomb)
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
I3SJ
Resp. x = 312.1 m
2. Uma esfera, de massa m, está eletrizada com Ülrga elétrica Q e encontra-se em
equilíbrio apoiada em um plano inclinado de um ângulo 9. Além das forças peso e normal
a esfera sofre também a ação de uma força elétrica que é aplicada por uma carga elébica
puntiforme q que é mantida fixa numa distância x da esfera. O campo de gravidade local
vale g. Não considerar a ação de forças de atrito. Determinar a distância r .
X.-- - -- - - - - - - - - - - - -.,, ,, ,
I fJ ,. I:---.. ' ,.... Es[t'TQ t •••• I
:t,_ ~ ' eargapunttform.flxa
Itt::~'"'"".:----t-
q = 0,05 C m = 0,004 kgQ = 1,5']0-5 C
9 = 10 ~
"
Dados: -'- = 9. 109 frlm'
4lrl, ('
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
=---;;;;-1361 --I
••••••••••••••••••••••••••••••••••L -==_~:
(37)
4 Campo elétrico .
q
• 1 1 qQ
ó=----P
q 41fEo r2
situação 2
Q
• 1 •
" =-Fq
£ = _l_f!.. P [11]
411"(0 r2
situação 1
• 1 qQ
F=---P
41lEo r2
Q
F = q£ [10)
Figura 4. Na situação 1 no ponto P, sem a presença da carga de prova q, temos somente
o campo elétrico E devido a presença da carga Q. Na situação 2, com a presença da
carga de prova q, além do campo elétrico £ temos também a força F aplicada pela carga
Q sobre a carga q .
Fica claro que na vizinhança do ponto P existem corpos eletrizados que exercem sobre
a carga de prova a força elétrica fi I sendo que o campo elétrico depende apenas do
formato, da disposição e da quantidade de carga elétrica desses corpos. O campo elétrico
de uma carga elétrica puntiforme pode ser obtido pela aplicação direta da lei de
Coulomb .
Quando se constata uma força elétrica F que atua sobre uma carga de prova q
estadonária em um ponto P, diz-se que no ponto P existe um campo elétrico E que
satisfaz a condição:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
[391
4.1 Distribuições de cargas .
Em particular: A soma algébrica das cargas positivas e negativas do universo é
invariável.
dQ
ifJJ~
.. .•.• .
"Em sistema eletricamente isolado, a soma algébrica das cargas positivas e
negativas é constante"
Princípio de Conservação da Eletricidade: Eletricidade não se cria nem se destrói .
Partículas elétricas positivas e negativas podem reunir.se ou separar.se, mas a soma de
suas cargas é invariável. Um sistema é dito eletricamente isolado quando não recebe
cargas do ambiente, nem cede cargas ao ambiente. Vale a seguinte lei de conservação:
Q
Carga elétrica localiza.se em partículas elementares ou em corpos
macroscópicos, portanto ocupa espaço. sendo dV um elemento de volume que contém
um ponto P, dQ a carga no elementol é densidade volumétrica de carga em P a
grandeza:
Elemento de volume macroscópico de ser suficientemente grande para conter
numerosas moléculas, e suficientemente pequeno para que possa ser identificado com
um diferencial matemático. Se dQ = O em cada elemento de volume macroscópico do
corpo, este é dito eletricamente neutro. Se for dQ '* Oem elementos de um corpo, este
é dito eletrizadol com a carga Q equivalente a integral dos elementos dQ .
A matéria compõe-se em partículas das quais muitas possuem carga elétrica. A
carga do elétron, em valor absoluto, chama-se "carga elementar" é ela; e = 1.6' 10-19 C.
Corpo material macroscópico contém particulas em número elevado. Carga elétrica do
corpo é a soma algébrica das cargas elementares positivas e negativas que ele contém .
Figura S. Quando uma carga elétrica Q é distribuída sobre o corpo, é necessário dividi-
lo em partes infinitesimais dQ I e equadonar o elemento de campo elétrico dÊ no ponto
P, e em seguida aplicar o prinópio da superposição e obter, por integração, o campo
elétrico resultante E .
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(40)
.1•••••••••••••••••••••••••••••••••••
Q = J a2 •. rdl"
Q = 6. 10-' C
L
dA = a2n'rdl" Q = f dQ
Q=fAdxdQ = Adx
dO
(1 = dA dQ = adA
p = dQ [14]
dV
b) Em um disco orcular de raio R = 1 m, a densidade superfidal (1 a distância T do centro
do disco vale: t1 = (,.l~J10-6 ~z, sendo O ::::;T SR. Qual é a carga Q do disco?
A=dQ [16]
di
Exemplos para cada uma dessas distribuições de carga:
a) Um bastão AS, de comprimento L = tOm, está eletrizado com uma Glrga elétriGl Q.
"densidade linear da distribuição é A = (2x + S). 10-' !'.., sendo O,; x ,; L. Determinar••
Q.
a =~ [15]
dV
Eventualmente uma carga se distribui ai longo de um fio fino, denominado
distribuição linear; sendo dI o comprimento de um elemento de tio que contém um ponto
P, dQ a carga no elemento, é densidade linear de carga em P a grandeza:
Apresenta-se O caso em que uma carga se distribui em película fina denominada
distribuição superficial; sendo dA a área de um elemento de película que contém um
ponto P, dQ a carga no elemento, é densidade superficial de carga em P a grandeza:
Q = 2,2'10-' C
Q = 10-6 -10[2.)
"
p
Q = a '10-" lR (.2.!:-) dro r~+l
Q = 0,18'10-' C
Q = a'lo(2) '10-' C
141)
Q = 2a '10-' 'lR (_'_) rdr
o r1'H
dQ = pdVp = dQ
dV
Q = 1t '10-6. foi (,::1) dr Q = 1£' 10-6 .ln(r1 + l)IB
RQ = 2a lo ardr
c) Uma casca esférica de raios internos TI = 0,5 m e externo Tz = 0,6 m é eletrizada com
densidade volumétrica p = ~ 10-6 ~, sendo TI S r S T'2'
41fT m
Q = a' 10-" (10(2)-10(1))
•••••••••••••••••I.
••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
L-13
T=-
3
x
c
N
f: = 9000000 C
q,
u-13
r=--3 2
r -:e 0.1 m
L-13
AM=-
2
,
I
I,
I
I
........ G: ..
-----""...J<~-----
,;,.;" I •.••• .••
10. lO-O
E=9'10'----
0.1'
Q = 10. 10-0 C
q.
A
y t
I
B
L
r=--13
2
T = AG = BG = CG = - AM3
1 Q
f:=---
4rrEo r2
Solução.
Dados: -'- = 9 • lO' ~.••,.. c'
[42]
L=2m
Dados: _'_;:z 9 '10<) ~
41Uo c'
2. Nos vértices A, 8 e C de um triangulo equilátero de lado L situam-se cargas elétricas
puntiformes ql1 qz e q] respectivamente. Determinar o campo elétrico E no centro de
gravidade G do triângulo.
1. Determinar a intensidade do campo elétrico no vácuo devido a uma carga elétrica
puntifonne Q em um ponto P cuja distância à carga é T.
4.2 E><erócioS resoMdos.
Solução:
q,
£1 = 6750 !:!.c
_ .fj 1
E,= E,(--(+-j)2 2
N
E, = 20250 C
N
E, = 13500 C
(
.fj I)N
£,=20250 --(+-J -
2 2 C
_ N
E = -11691.3 iC
E =90109.1"10-, (M
(43)
_ N
E, = -13500J C
Ê = 6750 (!fi + ii) + -13500 j + 20250 (-!fi + ii)
i!, = -E,j
E = 9. 109. z.to-6, (M
q,
A
_ -ll"'~.fj ( 1 o 1)
E = (6750 - 20250)2 (+ 6750"2 - 13500 + 20250"2 J
E __ '_!l-
I - 4"'0 rJ
i!, = 6750 ({![+ ~J) !!., , c
E =-'-~3 4lrro,..1
E --'-~
z-'IrCoyt
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
-x
-x
8•q,
q,
B•
1 q, r
4rrfo (AB - AD)'
AC = 0,25 m
N
£, = 3600000 C
AO = 0.2 m
C
N
E, = 900000 C
C
Ê,
_ N
E = -2700000 t C
ql q2
AD' - (AB _ AD)' = O
4 1------=0
AD' (0.30 - AD)'
D
Ê,
- NE, = -3600000 í c
E = 9 . 109. 4'10-.
1 D.20l
E =_1_~ t
1 4rrcoAD2
l' 10-'
E, = 9. 10'. (0.30 _ 0,25)'
1 q2 l = o
4"'0 (AB - AD)'
A•
li = 900000 í - 3600000 [
A•q,
4'10-. 1'10- = o--;w;- - -(O-,-o--'-D)-'
b) li = li, + li, = O
E = -,---q-,-
1 4U, (AB-Ac)l
li, = 900000 I ~
Solução:
Dados: AB = 0.30 m
a) o campo eJélrioo resultante no ponto C;
b) sobre a reta AB o ponto D no qual o campo elétrico resultêmte é /Iulo.
3. Em pontos A e 8 separados pela distânda AS localizam.se cargao; puntiformes com
quantidades de eletricidade ql e qz respectivamente. Determinar:
[451
5. Sobre o eixo Ox, um bastão isolante, compreendido entre os pontos de abscissas - a
e +0 está eletrizado uniformemente com carga positiva Q. Determinar o campo elétrico
E produzido pelo bastão nos pontos do eixo. Esboçar também gráfico cartesiano (x. E) .
qE
a=-
m
d = 625 m
À 1 +aE----I- 4rrco (x - x') -a
[= 0,8 s
t ...l.dx'
dE=-----
41fEo (x - X')2
1 (_À_2a_)
f = -4'-'-0 (x - a)(x + a)
x> +a
ma = q£
E = 500000 !!c
1 dQ
dE=--'---
4rrco (x - X')2
F = qE
E - _À_f" __d_X'_
- 4n-co _Q (x - X')2
À I 1
E=-( x-e-a))4nco X - a
E = 1 Q
4rr£0 (%-o)(x .•o)
£ _ ~ ('%+0)-<%-111))
- 4;;;; (x-lI1)(x+o)
I 2, 10-'.500000d =2.-. .0.52
2 0.0004
x
o dx' +0 P
i ~ ----------r---____ .J B
I X' I~ J
F =ma
-o Ba.c;tãn
A
E - _" 1.2.- __ ' )
41T[O \X-a %+(1
E = f dE
À = .2.. À = dQ dQ = .ldx'
2a d:c'
d=2!!!P
2m
Ponto P situado a direita do bastão
Solução.
Solução:
Dados: m = 0,004 kg
4, Uma partícula de massa m e carga elétrica ql inicialmente estacionária, é submetida
a um campo eletrostático uniforme E. Após o tempo [ o campo é invertido, porém
conservando a intensidade. Determinar a distânda d do ponto de partida ao ponto de
chegada .
r •
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
[<61
Ponto P no intetiot do bastJo
À [ 1 OH 1 o-x 1
E= 4"£0 a+x-x,lo - a-x-x,lo
.1•••••••••••••••••••••••••••••••••••
1 Q[ 2x ]
E ~ 4n<0 2a (a - x)(a + x)
-Q < X < +a
E_'[ 'x 1
- 4'flD (4-%)(4-+X)
£ __ À [fOH_dX_' __ (O-X dx' 1
- 4Jr£o o (a+x-x')2 lo (a-x-x')l
£ =_À_[( __ I I__ (__ I ._1__ ,]
4Jf£o a + x - (a + x) a + x a - x - (a - x) a - ~
E =_1_. Qx
4.co a{ll-r)(a+x)
E =_À_[(~__ l __ (~ __ 1_)]
4nEo O a+x O a-x
E _ ...!... [(a.+.r)-(a.-X)]
- e.£e {a.-X)(G.H:}
Por motivo de simetria, o campo é nulo nos pontos do fio, é normal ao fio nos pontDs
fora dele.
r
dE' == _J_ ~ de.... '
dE' _ 1 AÃy
4'«0 (rfcos{8»'
, r
rm-- cos(9)
8
• 1
•••• n(9) - ",,'(I)
r
- m co,(9)
r'
r
Ali
dE:' m -- -cos'(8)r--d8
4lTlo r1 cos2(8)
dq = Ady
fio eletrizado
dq dy
d =r_'_d8Y , •• 1(.)
y
[47)
,,,,,,.,,, ,
fio , r,,,,,,,,,,,
y = r' ••n(8)
o
dE'=_'_~..,.(,-')'
Solução:
6. Em um referenda I cartesiano Oxyz o eIxo Oy coincide com um fio irrestrito, ~et:rizado
uniformemente com densidade linear positiva A. O meio ambiente é o váruo. Com base
na lei de Coulomb, estudar o campo eletrostático i! .
I ••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Solução,
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
.l
dE = -- cos(9) d9
4l1'cor
A 1
E=--
2rrEo r
QJ
•(, ""J-'! cos(9) d9 = sen (2)- sen (-2) = 2,
148)
.l 1
dE =-- dO'cos(9)
4rrEo r
1 dQ y
dE = -----,----
471'£0 R2 + y2 JR2 + yZ
1 Y fE = 3 dQ
4",. (R' + y')í
A
E=--2
4rrEor
•.l t,
E =-- L cos(9) dO
4JrEor ;
E=JdE
dE = dE'cos(O)
a) Devido à simetria, o campo é dirigido segundo OY. (a favor ou contra conforme o sinal
de Q). Consideremos y > O. Elemento de anel possui carga dQ e sua distância ao ponto
pé
b) O máximo de E ocorre quando o termo Y i for máximo, logo é necessário que
(R'+y')i
b) Pesquisar O ponto onde a intensidade do campo é máxima.
7. Um anel dro.dar fino e de raio R é eletrizado uniformemente com carga elétrica Q.
AdOCar referendal cartesiano com origem no centro do anel, eixo Oy perpendicular ao
plano do anel. O meio ambiente é o vácuo.
a) Determinar o campo eletrostático £ nos pontos do eixo Oy.
r = JR2 + y2, em P ele contribui com o componente dE', de grandeza dE' = _1- :a 1
4"'0 R +y
• Do vetor dE' somente interessa o componente dE segundo Oy, sua grandeza é dE =
dE'cos(O), Sendo cos(O) ~!,Resultando em,
c) Mostrar que para, y » R, o resultado tende aquele que seria obtido se a carga Q fosse
10000lizadano centro do anel.
R
y=-,fi
Anel eletrizado
e
[49)
..0,
J
"'-''9', I
, I
, I,
r t I Y, ,, ,
, I
, I
1 1 R
E = -----2-'-Q
,fi 4"'0 (?)'
o
1 QE--------
- 4rrEo (R' )i
y2 ::I + 1y
"-
d '(3) s- (y.(R' +y')-'I' = l' (R' +y'p +y' - - . (R' +y'p . 2 = o
~ 2
Se y » R significa que ~ « 1, logo (~ + l)i E!:1 e portanto: E::'! 4:l0 ~
E _ 1.._,_ 2J2 -.!!..-
- .fi 41'rtp 3,fl R' Q
, (3) ,1.(R'+y')2+y' -2' (R'+y')"2y'(R'+y'r'=o
1- 3y" (R2 + y2)-' = O
c) Podemos exprimir a intensidade do campo na forma:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
R,
disco eletrizado
1 aRdRd0 z
4ITEo R2 + Zl ../R2 + Z2dE
dE'
---
z
[50]
dE
dR
r=.jR2+z2
• p
"""..,••'I!i,,
••,
•,
r',,,,
dE,=_I_dQ
4rrEo r2
co,(O)= ~"R •• ;,:•
dQ
Sendo, cos(O) =!•
A projeção sobre o eixo Oz é: dE = dE'cos(O)
Em P, a carga dQ produz campo elétrico de grandeza
Por motivo de simetria, o campo P tem a direção do eixo de revolução Oz; somente
interessam componentes segundo Oz. Imaginemos o disco dividido em coroas
concêntricas; na coroa genérica, consideremos o elemento de área dA = RdRd0, esse
elemento de área contém uma quantidade de carga elétrica dQ = adA :. dQ = ClRdRd0,
sua distância até o ponto P é
Solução.
- :
8. Uma película circular de centro Oe raio R é eletrizada uniformemente com densidade I
superficial de carga eléb"ica (1. O eixo de cotas Oz coincide com o eixo de revolução da ••
película; nesse eixo, considerar um ponto P de cota z. Determinar o campo eletrostático
em~ •
••••••••••••••••••••••••••••••
[SI]
Solução .
~)
1 IR,
.JR2 +Z2 O
Z )
"002 + Z2
a
E=-(1
2'0
t1Z RdR
dE = ,d0
4Jtfo (RI + z'2)í
t1Z
E = --2n'
47rEo
t1
E=-(1
2'0Ro = co
t1 1
E=--'z'(2£0 .jR; + zl
t1Z i'" iRo RdRE=-- d0 ----
47fEo o o (RI + z2)i
1 )
JR~ + Z2
t1 1
E=-'z,(-
2E"0 z
"
E =~2rrJ RdR 3
4nfo O (R2 + Z2)2
E =.$... (1 - -'-)
'2to JR~+%%
\
a) P fora da película (r > R);
b) P dentro da película (r < R);
C) P na própria película (r = R) .
10. Uma película esférica e homogênea de centro O e raio R tem carga Q. Determinar
o campo elétrico E produzido pela película em um ponto P (DP = r), nos casos:
Por simetria, para pontos sobre a película o campo elétrico é nulo. Para pontos situados
fora da película o campo elétrico pode ser calculado utilizando o resultado do disco
eletrizado, basta manter a altura z constante e aumentar o raio do disco Ro até o infinito .
9. Considerar um referendal cartesiano tri ortogonal Oxyz. O plano rOy está
uniformemente eletrizado com densidade superficial de cargas (J. Determinar o campo
eletrostáticoE em um ponto genérico P .
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
152)
Solução.
z
equador
A densidade superfidal de carga elétrica da película é (J = ~. Sobre a película a área•••
elementar é dA = Rd9Rsen(9)d0:. dA = R'sen(9)d9d0, onde O ,; 9 ,; n e O ,; 0 ,; 2n.
A carga elementar vale dQ = udA :. dQ = uR'sen(9)d9d0. No ponto P esse elemento
de carga dQ produz um correspondente elemento de campo dado por
•••
• 1
.1
••••. '
• i
•••••••••••••••••••••••••
a) O ponto P é externo a película; nele o campo resultante é a integral de dE em relação
r', desde y- R até r + R .
ON = Rcos(8)
2r'dr' = 2rRsenCO)dO
r'+R'_(r,)l
'r
DP = r
cos(a)=~
"
r - Rcos(8) = T
PN = DP - ON
PM = r'
Rcos(8)
Cr')' = r' + R' - 2rRcos(8)
1 1
df = 2£0 Cr')' oR'sen(8)d8cosCa)
'"
1 1 ~i"df = --C ,),oR'senC8)d8d0cosCa) d0
41Z"Eo T o
, 1 dQ
df =---
41lEo (r')Z
(53}
df = df'cosCa)
1 1
df = -- C')' oR'sen(8)d8cosCa)d0
41tEo T
T'd,..'
senCOldO = rll
Disso tudo resultam dois resultados
No tJ.OPM, a lei do cosseno dá
Pela figura vem: cos(a) = !!!..
PH
A integral em d0 é independente portanto já pode ser efetuada, logo
o sistema é simétrico em relação ao eixo DP, por isso, do campo dE' só Interessa o
componente segundo OP, logo
r•
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
.'•••••••••••••••••••••••••••••••••••
E=-Q-
4:rrR1
R'
E=u-..'"
E =.!-.".
1 1 Q
E=----
24ncoR2
(
"" 2R )2R ~
aR dr'E= -- (R' - R')f --+f dr'4coR2 (r')2
o o
E=O
( -" ,. )-r+R r+RaR dr'E = -- (r' - R') f -- + f dr'4cor2 (r')2R-T R-r
(54)
1 Q
E=---
411'£0 r2
(
2R 2R )-r+R T4R
E=~ (r'-R') J ~+ J dr'
4'or' (r')'
r-li' r-R
Lembrando que a :::-!LR1' vem'R
Esse campo é metade do campo em ponto externo infinitamente próximo a superfície
esférica. Na películaO campo experimenta dupla descontinuidade: a medida que o ponto
externo se avizinha da película, o campo tende ao limite !..; quando o ponto se incorpora'.
a peUcula, o campo nela cal bruscamente a metade daquele limite, ou seja .!-., ; quando. 2fo
o ponto passa para o lado de dentro da pelíOJla, o campo cai a zero.
Em porto interno a pelíOJla esférica homogênea produz campo nulo.
c) O ponto P está engastado na película: r = R; nele, o campo resultante é a integral de
dE em relação a r', desde O até 2R.
Em ponto externo, película esférica e homogênea produz campo como se sua carga
estivesse toda no centro
b) O ponto p é Interno à película, nele, o campo resultante é a integral de dE em relação
a r', desde R - r até R + r.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
[55J
11. Uma esfera madça de centro O e raio R eletrizada com carga positiva de densidade
volumétrica constante p. Dentro da esfzra considerar um ponto genérico P a dlstânda
r do centro. DetermInar o campo eletrostático em P.
Solução .
Imaginemos a esfera dividida em cascas concêntricas; seja r' O raio, dr' a espessura da
casca genérica. cada casca equivale a uma película esférica homogênea, e atua em P
como se sua carga estivesse no centro. Para o campo elétrico em Per) só contribuem as
cascas com T' < T. Acasca genérica tem área 41[(r')2,volume 4rr(r')2dr', para o campo
em PCr) ela contribui com o componente
dé = 1 p4J[(r,)Jdr, simplificandovem dE = ~(r')2dr'j portanto Ocampo elétrico
4rrco r1 , for
irl
resultante em PCr) é E = ~I.or(r')2dr', o que resulta em,,'
E =...!!..-r
3'0
o campo elétrico é central; sua intensidade aumenta linearmente desde zero no centro
até..£...R na superfície da esfera.",
12. Considerar um referencial cartesiano tri-ortogonal Oxyz. O plano zOx está
unifonnemente eletrizado com densidade superficial de cargas n > O. Determinar o
campo eletrostático E em um ponto genérico P de ordenada y .
156}
Solução:
y
x
Dividindo-se o plano em faixas de largura dz, conforme indicado no desenho abaixo,
poderemos constderar o resultado já conhecido do campo elétrico produzido por uma
reta eletrizada, portanto
1 udz
dE'~--
21l£o r
Nessa expressão, adz representa a carga por unidade de comprimento da faixa, e
equivale a densidade linear À. O campo elétrico resultante deve ser perpendicular ao
plano, logo só interessa o componente de dE' segundo o eixo Oy.
dE = dE'cos(a)
1 adz
dE = ----cos(a)
2rrEo r
•••••••••• I
••••••••••••••••••••••••••
1;0$(11')
dE=...!.... (~) -'-dacos(a)
21160 r cosl(a)
157]
dz= '-'-day (0$2(11')
E =...!...'..
dE= ...!....da
2,u:~
z = Y' tan(a)cos(a) =!,r--'-(01(11')
•• •;i;; = Y ';i;; tan(a)
Exprimindo z e r em função de a, vem
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(58)
•••••••••••••••••.1••••••••••••••••••
-X
E = 150'10'!!.., c
B
<Oq,
qz = 0,8' 10-6 C
p
+--
E
L = O,lOm
AB = 10m
m = 0.10'10-' "9
m
8 = 30'
A
6)
q,
Resp. AP = 6,91 m
4.3 Exercidos propostos.
1. Uma pequena esfera metalizada de cortiça, de massa m pende de um fio leve, flexível
e isolante, de comprimento L. O pêndulo elétrico assim constituído r eietrizado e
submetido a um campo elétrico uniforme, de direção horizontal e Intensidade E. O
pêndulo assume assim uma posição de equilíbrio na qual ele fomla com a vertical um
ángulo 8. O campo de gravidade vale g. Qual é a quantidade de eletricidade q que se
localiza na esfera do pêndulo?
03005:-'-= 9'109 ~.••~ cl
Dados:
9= lO!:!
"
2. Em pontos A e B separados pela dlstânda A8 localizam-se cargas puntiformes com
quantidades de e1etrlddade ql e qz respectivamente. Determine a posição do ponto P
no qual o campo elétrico resultante é nulo.
Resp. q = 3,85' 10-' C
(59)
_'_=9.109 Nml."to ,Iq = o,OZe
_'_=9.109 ~
4n:to CZ
o, = 1.10-6 e
-qd
y +,,,,
P:
q = 5. 10-' e
E
9 = 13,8Zo __ ~
(P)
_~••~, .•"t'•..'_........ ... .
.... "'.;..... P[\..
(A) (3': ••...• l- •••••••••••• "•• "......... •• t)(B]
dO, O,
o, = -Z.10-6 e
p = 50'
Dados: R = 3 m h = 4 m
5. Um anel de ralo R está eletrizado uniformemente com carga elétrica Q. l?etenninar a
força elétrica que o anel exerce sobre uma carga elétrica puntiforme q situada numa
altura h do centro do anel.
+q
Resp. i! = Z81ZS i~
Dados: d = 0,04 m
Resp. E = 496.1 ~
4. o dlpolo elétrico. mostrado abaixo é constituído pelas cargas elétricas +q e -<lo que
estão separadas pela diStãnda d. Calcular a intensidade, direção e sentido do campo
elétrico resultante no ponto P .
3. Duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2I separadas pela distância d são mantidas
fixas, respectivamente, nos pontos A e B. Determinar a intensidade, direção e sentido
do campo elétrico resultante no ponto P•
Dados: d = 10 m
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
q
I60J
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
_'_=9_109 Nm1
41\'ID CZ
anel eletrizado
q = 0,06 C
reta eletrizada À
• p,,
,r,
•,
NResp. E = 9000 c (o campo é perpendicular à reta e aponta para fora)
Q
lr~ **SW& •.••&fW-t&t;~'Y"'.-.•.- - - - - - - - - .•a
L
Dados: T = 4-m A = 2 _1O-6E.
m
7. Uma reta está eletrizada com uma densidade linear de carga .L Qual é a intensidade,
direção e sentido do campo elétrico produzido por essa distribuição de carga em um
ponto p situado numa distância r da reta.
Resp. F = 48,2 N
Dados: L = 10 m Q = 4-m Q = S. 10-6 C
Resp. F = 34.56 J N
6. Um bastão de comprimento L está eletrizado uniformemente com uma carga elétrica
Q. Uma carga puntiforme q está situada numa distânda a da extremidade direita do
ba5tão (ver figura). calcular a intensidade, direção e sentido da força elétrica F que o
ba5tão exem! na carga puntiforme.
(61)
_,_ = 18. lO~ Nmf
2"'0 £:1
c'Co = B85 _10-12_• Nm'q = 3.0' 10-' C
.~ •• , ••••••••••• '_" 0 ••••• 0 __ •
Dados: (J = 4 -10-6 ~
m
Consider t, o;; casos:
Resp. F = 67.8 N
a) T = '! m {ponto P no interior da película)
b) r = 5 m (ponto P engastado na película)c) r = 6 m (ponto P fora da pelícuia)
Dado: -'- ~ 9 . 109 ~
4rr!D c2
10. Uma película esférica de centro Oe raio R = 5 m, está eletrizada uniformemente com
uma carga elétrica Q = 1 . 10-6 C. Determinar a intensidade, direção e sentido campo
elétrico E produzido pela película em um ponto P situado numa distânda T do cenb"o
da película.
9. Um plano está eletrizado uniformemente com uma densidade superfidal de carga u.
Determinar a intensidade direção e sentido da força elétrica que o plano exerce sobre
uma carga puntiforme q localizada numa distânda d do plano .
..=::. ------- - ~ ---
Resp. !.= 43.2 !!.
L m
Dados: d = 0.02 m
8. Dois bastões longos de mesmo comprimento L, estão eletrizadas unifonnemente com
densidades lineares de carga À, e À,. A distância entre os bastões é d « L. Qual é a
Intensidade da força eiétrica mútua por unidade de comprimento que atua em cada
bastão?
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
OP=r
162)
•••••••••••••••••••••••••••••••••:1
(O campo elétrico é radialc) E = 250 !!c
P P- -- - - -•.- - _.
pellcula esférlca
Q
Resp. a) E _ O b) E = 180 ~
apontando para fora da película)
[631
4.4 Exeródos para entregar (campo elétrico)
Resp. E = 1985,9i+ 238S,Bj ~
1. Um dlpolo elétrico é constituído pelas cargas puntfformes -q e +q separadas pela
distância d (ver figura). Determine o campo elétrico E produzido pelo dipolo no ponto
P .
d ::::0,20 m
a .'
q=1,8'IO-6C
Yt,
P:
- -~- -~~'~'~~,'~~:~':~'~---;
.'
,//b
.' ,
....... ("9 = 30' 9 = 145'/7
• ,: -l- .. /. ••
_q d +q
Dados: _'_ = 9 . 109 Nm~
41((D ,I
Nome: RA:
Data: Turma: Horário:
Campus: Professor:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1641
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
2. Um bastão, de comprimento L está elebizado uniformemente com uma carga elétrica
Q. O bastão é mantido fixo na posição vertical. Próximo ao bastão, numa distância a de
sua extremIdade superior, está uma esfera condutora eletrizada unifonnemente com
uma carga elétrica q.A massa da esfera é m e o campo de gravidade kxal é g. Verific.a-
se que a esfera pennanece em equilíbrio quando abandonada em repouso no ponto P
(ver figura). Determine a distância a .
L = O.40mm = l' 10-3 kg
16S)
: ~.m
,
a ,,,,L_,___ B,,
•
L: 'Q,,,
••,
, A
Resp. a = 0,71 m
Fo I" 1 Qrmu ano: EbG.S!'" = :;;;;. 1I.{t+a)
Dados: -'- = 9. 10' H,."l
4.,. CZ
9 = 10 ~
"
•••••••••••••••••••••••••••••••••••._-------------------------
(66J
••••••••••••••••••. ,•••••••••••••••••
	00000001
	00000002
	00000003
	00000004
	00000005
	00000006
	00000007
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	00000009
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	00000072