Apostila Matemática para Negócios 3 - Estácio

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
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FORMAS DE REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
 
Um número real pode ser representado em uma forma decimal, ou no caso de ser racional, 
também em uma forma fracionária. 
 
 Forma fracionária 
 
A forma fracionária de representação de um número real e racional é a sua expressão 
em forma de uma fração, composta por dois números inteiros a e b, sendo b  0, 
chamados numerador e denominador. 
Essa representação pode ser feita das seguintes maneiras: 
b
a
 ou a / b 
 Forma decimal 
 
A forma decimal de representação de um número real (racional ou irracional) é expressa 
na forma de uma parte inteira e uma parte decimal. 
 
Exemplo 
 
3,141592... 0,38 1,12 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para simplificar uma fração, basta dividir o seu numerador e denominador por um mesmo 
número inteiro, de tal maneira que os mesmos se tornem inteiros primos entre si. 
 
 Observação 
 
Números primos são os números naturais que tem apenas dois divisores diferentes, o 1 
(um) e ele mesmo. 
 
O número 2 é o único número primo que é par. O número 1 não é primo pois só tem um 
divisor que é ele mesmo. 
 
Os números que tem mais de dois divisores são chamados números compostos. 
 
Exemplo 
 
10 / 6 --- 10 : 2 / 6 : 2 - 5 / 3 
 
15 / 27 - 15 : 3 / 27 : 3 - 5 / 9 
 
REDUÇÃO DE FRAÇÕES NAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ATRAVÉS DO MMC 
 
Ao se realizar a soma e subtração de frações, deve-se colocá-las sob o mesmo denominador, de 
maneira que ambas representem partes de um todo que foi dividido em uma mesma 
quantidade de partes iguais. 
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A forma mais simples de se fazer esta operação é determinar o mínimo múltiplo comum (MMC) 
entre os denominadores e multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pela razão 
entre este mínimo múltiplo comum e o seu denominador. 
 
O MMC é obtido pela fatoração de cada um dos denominadores, sendo igual ao número obtido 
a partir do produto dos fatores comuns e não comuns destes denominadores elevados aos 
maiores expoentes. 
 
 Observação 
 
A fatoração de um número inteiro significa a sua decomposição em um produto de 
números inteiros primos, sendo que os números que aparecem repetidas vezes são 
agrupados na forma de potência. 
 
Exemplo 
 
X = 4 / 75 + 7 / 90 
 
Fatorando 75, temos: 75 = 3 x 52 
Fatorando 90, temos: 90 = 2 x 32 x 5 
Logo, o MMC entre 75 e 90 é: 2 x 32 x 52 = 450 
 
Temos então: 
 
X = 4 x (450 / 75) / 450 + 7 x (450 / 90) / 450 = 4x6 / 450 + 7 x 5 / 450 = 24 / 450 + 35 / 450 
 
X = 59 / 450 
 
Y = 3 / 80 – 7 / 125 
 
Fatorando 80, temos: 80 = 24 x 5 
Fatorando 125, temos: 125 = 53 
Logo, o MMC entre 80 e 125 é: 24x 53 = 2000 
 
Temos então: 
 
Y = 3 x (2000 / 80) / 2000 – 7 x (2000 / 125) / 2000 = 3x25 / 2000 – 7 x 16 / 2000 
 
Y = 75 / 2000 – 112 / 2000 = - 37 / 2000 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES 
 
 Multiplicação 
 
Para multiplicar duas ou mais frações, devemos multiplicar os numeradores, achando o 
novo numerador, e multiplicar os denominadores, achando o novo denominador. 
 
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Exemplo 
 
(2 / 5) x (3 / 4) x (5 / 8) = (2 x 3 x 5) / (5 x 4 x 8) = 30 / 160 = 3 / 16 
 
 Divisão 
 
Para dividir duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda 
fração. 
 
Exemplos 
 
(2 / 3) / (4 / 7) = (2 / 3) x (7 / 4) = 14 / 12 = 7 / 6 
 
2 / (3 / 5) = 2 x (5 / 3) = 10 / 3 
 
(1 / 6) / 5 = (1 / 6) x (1 / 5) = 1 / 30 
 
FATORAÇÃO EM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
As expressões algébricas também são chamadas de polinômios. Os polinômios são formados 
por monômios. Os monômios são expressões que contém apenas o produto de constantes e 
variáveis. 
 
Exemplos 
 
 Monômios 
 
2x 3 π √3 5x2 y 
 
 Polinômios 
 
2x – y é um polinômio de dois termos (monômios) 2x e – y. Um polinômio de dois termos 
é chamado de binômio. 
 
3x3 + 2y2 + 5 é um polinômio de três termos (monômios) 3x3, 2y2 e +5. Um polinômio de 
três termos é chamado de trinômio. 
 
Quando um polinômio tem mais de três termos é apenas chamado de polinômio. 
 
A fatoração de uma expressão algébrica compreende a decomposição de uma expressão em um 
produto de parcelas algébricas independentes. 
 
Quando em uma expressão algébrica (polinômio) possui um fator comum, em todos os termos 
do polinômio, podemos colocar o termo comum em evidência. 
 
 
 
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Exemplo 
 
4a + 2ab = 2a (2 + b). Aqui o fator comum é o termo 2a. 
 
3x2 + 6x = 3x (x + 2). Aqui o fator comum é 3x. 
 
12x3 - 6x2 + 3x = 3x (4x2 – 2x + 1). Aqui o fator comum é 3x. 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Algumas expressões algébricas, que são comumente utilizadas, passaram a ser denominadas 
produtos notáveis. 
 
 Quadrado da soma 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
(x + 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 = x2 + 6x + 9 
 
9a2 + 12ab + 4b2 = (3a + 2b)2 
 
 Quadrado da diferença 
 
(a - b)2 = a2 -2ab + b2 
 
(x - 3)2 = x2 - 2.x.3 + 32 = x2 - 6x + 9 
 
9a2 – 12ab + 4b2 = (3a – 2b)2 
 
 Diferença entre dois quadrados 
 
a2 – b2 = (a + b) (a - b) 
 
9x2 – 81 = (3x + 9) (3x – 9) 
 
a2 - 9 = a2 – 32 = (a + 3) (a – 3) 
 
81 – m6 = 92 – (m3)2 = (9 + m3) (9 – m3) 
 
4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1) (2x – 1) 
 
EQUAÇÃO 
 
Em matemática, uma equação é uma sentença que estabelece uma igualdade entre duas 
expressões matemáticas. Quando uma equação envolve um valor a determinar, conhecido 
como variável ou incógnita, os valores desta variável que fazem com que os dois lados se 
igualem são denominados raízes da equação. 
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EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU 
 
Uma equação do primeiro grau consiste em uma expressão da forma Ax + B = C, onde A, B e C 
são números reais conhecidos, denominados coeficientes da equação, com A  0. 
 
O grau de uma equação é função do maior expoente existente nas suas variáveis. No caso da 
equação Ax + B = C, ela é do primeiro grau, pois o grau da variável x é 1. 
 
A solução desta equação resume-se em obter um conjunto de números reais x para os quais os 
dois lados da equação se igualem. Deve-se, portanto, inicialmente isolar de um lado da equação 
os termos que envolvem a variável x. 
 
Temos então: 
 
Ax + B = C então Ax = C – B logo x = (C – B) / A 
 
Exemplos – Após achar o valor de x, aplicar esse valor na equação e verificar a igualdade. 
 
 2x + 4 = 18 
 
2x = 18 – 4 então 2x = 14 logo x = 14 / 2 = 7 
 
 4x – 12 = 8 – 6x 
 
4x + 6x = 8 + 12 então 10x = 20 logo x = 20 / 10 = 2 
 
 (x – 2) / 3 + (x – 3) / 2 = 1 / 6 
 
Calculando o MMC de 3, 2 e 6, temos o valor 6. 
 
Temos então: 
 
2(x – 2) + 3(x – 3) = 1 
 
2x – 4 + 3x – 9 = 1 então 2x + 3x = 1 + 4 + 9 logo 5x = 14 
 
X = 14 / 5 
 
 5 – (x / 2) = (7 / 5) + x 
 
Calculando o MMC de 2 e 5, temos o valor 10. 
 
Temos então: 
 
(10 . 5) – 5x = (2 . 7) + 10x 
 
50 – 5x = 14 + 10x então 50 – 14 = 10x + 5x logo 15x = 36 
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x = 36 / 15 
 
 3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 
 
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10 
 
- 4x = - 40 então x = - 40 / - 4 logo x = 10 
 
 10 – (8x – 2) = 5x + 2 (- 4x + 1) 
 
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2 
 
10 + 2 – 2 = 5x – 8x + 8x 
 
10 = 5x então x = 10 / 5 logo x = 2 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
 
Quando existem várias equações envolvendo diversas variáveis, tem-se o que se denomina de 
sistemas de equações. 
 
Exemplos 
 
 x + y = 8 
2x + 3y = 21 
 
Aplicando a substituiçãotemos: 
 
x = 8 – y então 2 (8 – y) + 3y = 21 
 
16 – 2y + 3y = 21 
 
-2y + 3y = 21 – 16 logo y = 5 
 
Para calcular x temos: 
 
x + 5 = 8 então x = 8 – 5 logo x = 3 
 
 x + y = 5 
x – y = 3 
 
Aplicando a substituição temos: 
 
x = 5 – y então 5 – y – y = 3 
 
- 2y = 3 – 5 então – 2y = - 2 logo y = 1 
 
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Para calcular x temos: 
 
x + 1 = 5 então x = 5 – 1 logo x = 4 
 
Nesse exemplo poderíamos ter aplicado a adição das equações. Devemos aplicar a 
adição quando pudermos eliminar, nessa adição, uma das variáveis. 
 
2x = 8 logo x = 4 
 
Para calcular y temos: 
 
4 + y = 5 então y = 5 – 4 logo y = 1 
 
 x + y = 20 
x – y = 6 
 
Aplicando a adição das equações temos: 
 
2x = 26 logo x = 13 
 
Para calcular y temos: 
 
13 + y = 20 então y = 20 – 13 logo y = 7 
 
 x + y = 7 
x – y = 1 
 
Aplicando a adição das equações temos: 
 
2x = 8 logo x = 4 
 
Para calcular y temos: 
 
4 + y = 7 então y = 7 – 4 logo y = 3 
 
 2x + y = 5 
2x + 3y = 2 
 
Aplicando a substituição temos: 
 
2x = 5 – y então x = (5 – y) / 2 
 
2 (5 – y) / 2 + 3y = 2 então 5 – y + 3y = 2 
 
2y = 2 – 5 então 2y = - 3 logo y = - 3 / 2 
 
 
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Para calcular x temos: 
 
2x + 3 (- 3 / 2) = 2 então 2x – (9 / 2) = 2 
 
Achando o MMC temos: 
 
4x – 9 = 4 então 4x = 13 logo x = 13 / 4 
 
APLICAÇÃO PRÁTICA – SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
 
1 - Os funcionários de uma empresa foram submetidos a uma avaliação escrita interna que 
apresentou 50 questões. A cada questão certa, o funcionário ganhava 2,0 pontos e, a cada 
questão errada, ele perdia 0,5 pontos. Quantas questões acertou um funcionário que respondeu 
a todas as questões e alcançou 45 pontos? 
 
Vamos considerar x como sendo as questões certas e y as questões erradas. Sabemos que o 
total de questões da prova é 50, logo x + y = 50. 
 
Se para cada questão certa o funcionário ganhava dois pontos e para cada questão errada ele 
perdia 0,5 pontos e o total de pontos que ele fez foi 45, logo 2x – 0,5y = 45. 
 
Temos então o seguinte sistema de equações: 
 
x + y = 50 então x = 50 - y 
2x – 0,5y = 45 
 
Aplicando a substituição temos: 
 
2 (50 – y) – 0,5y = 45 
 
100 – 2y – 0,5y = 45 
 
2,5y = 55 então y = 55 / 2,5 logo y = 22 
 
Para calcular x temos: 
 
x + 22 = 50 então x = 50 – 22 logo x = 28 
 
2 - Em um estacionamento há carros e motos. O número de motos é o triplo do número de 
carros. Somando-se o número de pneus dos carros e das motos, obtemos 60. Qual é o número 
de carros e de motos neste estacionamento? 
 
Vamos considerar x como as motos e y os carros. Sabemos que o total de motos é o triplo do 
total de carros, logo x = 3y. 
 
Se o total de pneus de motos e carros é 60, logo 2x + 4y = 60. 
 
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Temos então o seguinte sistema de equações: 
 
x = 3y 
2x + 4y = 60 
 
Aplicando a substituição temos: 
 
2 (3y) + 4y = 60 
 
6y + 4y = 60 então 10y = 60 logo y = 6 é o número de carros 
 
Para calcular x temos: 
 
x = 3 . 6 = 18 é o número de motos 
 
3 - Juntos, João e Maria possuem 20 livros de administração, no entanto João possui 4 livros a 
mais que Maria. Quantos livros João e Maria possuem respectivamente? 
 
Vamos considerar x como os livros de João e y os livros de Maria. Sabemos que o total de livros 
dos dois é 20, logo x + y = 20. 
 
Se João tem 4 livros a mais que Maria, logo x = y + 4. 
 
Temos então o seguinte sistema de equações: 
 
x + y = 20 
x = y + 4 
 
Aplicando a substituição temos: 
 
y + 4 + y = 20 
 
2y = 20 – 4 então 2y = 16 logo y = 8 
 
Para calcular x temos: 
 
x = 8 + 4 logo x = 12 
 
INEQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU 
 
Uma inequação do primeiro grau consiste em uma expressão que pode ser escrita numa das 
seguintes formas: 
 
 Ax + B > 0 
 Ax + B < 0 
 Ax + B ≥ 0 
 Ax + B ≤ 0 
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Onde A e B são números reais conhecidos, denominados coeficientes da inequação, com A  0. 
 
Exemplos 
 
 - 2x + 7 > 0 
 
- 2x > - 7. Devemos multiplicar por – 1 para tirar o sinal negativo. Quando multiplicamos 
os termos por – 1, invertemos o sinal da inequação. Temos então: 
 
2x < 7 então x < 7 / 2 
 
 2x - 6 < 0 
 
2x < 6 então x < 6 / 2 logo x < 3 
 
 2x – (1 / 2) ≤ 0 
 
Calculando o MMC de 1 e 2 temos o valor 2. 
 
Temos então: 
 
2 (2x) – 1 ≤ 0 
 
4x – 1 ≤ 0 então 4x ≤ 1 logo x ≤ 1 / 4