ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE (41)

In tro dução à Probabilidade Notas de A ula Leonardo T. Rolla 26 de janeiro de 2019 c \ue00d 2012\u20132019 Leonardo T. Rolla. A qualquer p essoa que receba uma cópia deste trabalho, é concedida licença para: X Visualizar este trabalho em disp ositiv o eletrônico. X Imprimir ou foto copiar este trabalho. X Distribuir a terceiros uma cópia deste trabalho, desde que sem mo di\ufb01caçõ es e em sua in tegralidade, com 195 páginas, incluindo a capa e esta nota. Disp onív el para do wnload gratuito em http://mate.dm.uba.ar/~leorolla/ . 26 de janeiro de 2019. Prefácio Estas notas foram pro duzidas a partir de notas de aula das disciplinas Pr ob a- bilidade , do mestrado em Ciências Atuariais da PUC-Rio, ministrada em 2006, Intr o duç ão à Pr ob abilidade , ministrada em 2012 e 2013 no IMP A, e T e oria da Pr ob abilidade , ministrada em 2017 na NYU-Shanghai. P ara seguir estas notas não é necessário qualquer conhecimen to prévio em Probabilidade. Os pré-requisitos são cálculo de deriv adas e integrais em R d , limites de sequências, conv ergência de séries, e limites laterais de funçõ es. P ara seguir as demonstraçõ es mais a v ançadas, o leitor deve estar familiarizado com as propriedades elemen tares de lim sup e lim inf , p olinômios de T aylor e supremo de conjun tos. Descrição e In terdep endência dos Capítulos A primeira parte destas notas consiste de 4 capítulos que dev em ser estudados em sequência, antes de passar para os capítulos seguin tes. No Capítulo 1 in tro duzimos os espaços de probabilidade, probabilidade condicional e indep endência de even tos. Os Capítulos 2 e 3 estudam as v ariáv eis aleatórias e vetores aleatórios, com ênfase nos casos discreto e absolutamen te con tín uo. No Capítulo 4 é estudada a esperança matemática, suas propriedades, momen tos, v ariância e algumas desigualdades. A segunda parte con tém uma escolha de assun tos mais com umen te abordados em um curso in tro dutório de Probabilidade. O Capítulo 5 trata do lema de Borel- Can telli e da con v ergência de v ariáv eis aleatórias. Os Capítulos 6 e 7 apresen tam a Lei dos Grandes Números e o T eorema Central do Limite. O Capítulo 8 in tro duz a função geradora de momen tos e a função característica, incluindo con v ergência em distribuição. No Capítulo 9 estudamos a esperança condicional dada uma partição e 5 6 PREF Á CIO a esp erança condicional regular. Os capítulos desta segunda parte são basicamente indep enden tes en tre si, exceto que os Capítulos 6, 7 e 8 que dep endem em maior ou menor medida do Capítulo 5. Na terceira parte estudamos tópicos menos canônicos para um curso introdutório. No Capítulo 10 estudamos teoremas de con v ergência da esperança, no Capítulo 11 estudamos passeios aleatórios na rede hip ercúbica, e \ufb01nalmente no Capítulo 12 estuamos o Princípio dos Grandes Desvios. Os capítulos da terceira parte pressup õ em que o leitor passou p elos Capítulos 5, 6 e 7. Rigor Matemático A primeira parte é auto-con tida e matematicamen te rigorosa, inclusiv e na construção da Esp erança Matemática como supremo sobre funçõ es simples, sua fórm ula para os casos discreto e con tín uo, e suas propriedades fundamen tais. Há uma omissão imp ortan te: sem demonstrar, assumimos implicitamente a existência de v ariáv eis aleatórias contín uas, ou de uma sequência in\ufb01nita de v ariáv eis aleatórias com determinada distribuição conjunta. Uma omissão secundária é o signi\ufb01cado de in tegral. As v ariáv eis aleatórias absolutamen te con tín uas são de\ufb01nidas e estudadas em termos de uma in tegral, sem discutir o que signi\ufb01ca a in tegral em si. Em todos os exemplos que v amos considerar, a in tegral que conhecemos do Cálculo é su\ufb01cien te. Na segunda parte, algumas demonstraçõ es que dep endem de T eoria da Medida serão omitidas com um a viso corresp onden te. As principais são: existência e propriedades da distribuição condicional regular e da esperança condicional, a m udança de v ariáv eis no plano complexo para obtenção da função característica de uma gaussiana, equiv alência entre con vergência em distribuição e con v ergência da esp erança de funçõ es-teste sua v es e limitadas. T ópicos Omitidos Alguns tópicos imp ortan tes são omitidos, dentre eles: quan til de uma v ariá v el aleatória; estatística de ordem, méto do do Jacobiano sem bijeção, distribuição nor- mal m ultiv ariada, função geradora e função característica para vetores aleatórios, distribuição condicional de v etores aleatórios. PREF Á CIO 7 Erros e Omissõ es Estas notas con têm in úmeras imprecisões e omissõ es. A quem faça uso deste texto, p eço que me en viem to dos os comen tários, críticas e correçõ es que venham a surgir. 26 de janeiro de 2019. 8 PREF Á CIO Sumário Prefácio 5 1 Espaço de Probabilidade 13 1.1 Espaço de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 . 3 I n d e p e n d ê n c i a ............................... 2 6 1.4 O Problema de Mon t y-Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 . 5 E x e r c í c i o s ................................. 3 0 2 V ariá v eis Aleatórias 33 2.1 V ariáv eis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 V ariáv eis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 V ariáv eis Aleatórias Contín uas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Distribuiçõ es Mistas e Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Distribuição Condicional dado um Even to . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 . 6 E x e r c í c i o s ................................. 5 0 3 V etores Aleatórios 53 3 . 1 V e t o r e s A l e a t ó r i o s ............................ 5 3 3.2 Tip os de V etores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9 10 SUMÁRIO 3.3 Indep endência de V ariáv eis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 . 4 M é t o d o d o J a c o b i a n o ........................... 6 3 3 . 5 E x e r c í c i o s ................................. 6 6 4 Esp erança Matemática 71 4.1 V ariáv eis Aleatórias Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2 Esp erança Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4 . 3 D e m o n s t r a ç õ e s .............................. 8 3 4.4 Momentos, V ariância e Cov ariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 Desigualdades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6 Esp erança Condicional dado um Even to . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4 . 7 E x e r c í c i o s ................................. 9 6 5 Con v ergência de V ariá veis Aleatórias 99 5.1 Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Conv ergência de V ariá v eis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5 . 3 E x e r c í c i o s ................................. 1 0 9 6 Lei dos Grandes Números 111 6 . 1 L e i F r a c a ................................. 1 1 1 6 . 2 L e i F o r t e .................................. 1 1 3 6 . 3 E x e r c í c i o s ................................. 1 1 4 7 T eorema Cen tral do Limite 117 7.1 T eorema de De Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2 T eorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7 . 3 E x e r c í c i o s ................................. 1 2 4 8 F unçõ es Geradoras 127 8.1 F unção Geradora de Momen tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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