Revisão de derivadas

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Odete Amanda – UCSal – 2014.1 Página 1 
 
 
1. Revisão de derivadas 
 
 Faremos uma breve revisão de derivadas, necessária para a 
continuação do nosso curso. 
 
1.1 Definição 
 Dada uma função f (x), define-se a 
função derivada de x como sendo o limite da 
razão incremental quando x tende a zero. 
 Ou seja, 
'( ) .
0
y
f x
x x


  
lim
 
 É costume também usar a notação de 
derivadas devido a Leibniz: 
y = f (x)  y´ = f ´ (x) = 
 
df
dx
. 
 
Exemplo 1 
 f (x) = kx, k ∈ ℝ*. 
 
  
'( ) .
0 0 0 0
lim lim lim lim
      
    
         
k x x kx kx k x kx k x
f x k k
x x x xx x x
 
 
Exemplo 2 
 f (x) = x2 . 
 
 
 
 
1.2 Definição 
Dada uma função f (x), define-se a derivada de f (x) no ponto x0 pertencente ao 
domínio da função como sendo o l imite da razão incremental quando x – x0 tende a 
zero. 
 Ou seja,  
0
0
0 0
( )
'( ) .
 
lim


 
f x f x
f x
x x x x
 
Exemplo 3 
 f (x) = x2 . 
   
 
0
2 2
0 0
0 00
0 0 0
0 0
'( ) 2 .
 
lim lim lim
 
    
   
x x x xx x
f x x x x
x x x x x xx x x x
 
Universidade Católica do Salvador Curso: Engenharia 
Disciplina: Cálculo 2 Professora: Odete Amanda 
Aluno: ........................... ............................. ..../..../........ 
 
 
 
f(x) 
f(x + x) 
 
Odete Amanda – UCSal – 2014.1 Página 2 
Exemplo 4 
 f (x) = x3 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Regras de derivação 
 
( ) = '( ) 0 f x k f x
 
1( ) = '( )  n nf x x f x nx
 
1
( ) = '( )ln  f x x f x
x
 ( ) = e '( ) e x xf x f x
 
( ) = '( ) sen cos f x x f x x
 
( ) = '( ) cos sen f x x f x x
 
2( ) = '( )tg sec f x x f x x
 
2( ) = '( )cotg cossec f x x f x x
 
( ) = '( ) sec sec tg  f x x f x x x
 
( ) = '( ) cossec cossec cotg  f x x f x x x
 
 
1.4 Significados geométricos de f ’ (xo) 
 
1.4.1 Reta normal a uma curva : 
Dada uma função f (x), a derivada f ’ (xo ) indica a inclinação da reta tangente à 
curva f (x) no ponto x0, ou seja, é o coeficiente angular dessa reta tangente, cuja 
equação pode ser dada por: 
 f (x) – f (x0 ) = f ’ (xo ) (x – x0 ) . 
 
Exemplo 5 Determine a reta tangente à curva f (x) = x2 no ponto x = 4 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Odete Amanda – UCSal – 2013.2 Página 3 
1.4.2 Reta normal a uma curva : 
Define-se a reta normal a uma curva num de seus pontos, como sendo a reta 
que passa por esse ponto e é perpendicular à reta tangente à curva no mesmo ponto. 
 
 Sendo a reta normal perpendicular à reta tangente no ponto de tangência, seu 
coef iciente angular vale 
0
-1
'( ) f x
. 
 
 
Exemplo 6 Determine a reta normal à curva f (x) = x3 – 2x no ponto x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Álgebra das derivadas 
 
( ) = ( ) + ( ) '( ) '( ) + '( )h x f x g x h x f x g x 
 
( ) = ( ) ( ) '( ) '( ) '( )h x f x g x h x f x g x   
 
( ) = ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )h x f x g x h x f x g x f x g x     
 
 
2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )
( ) = '( )
( ) ( )
f x f x g x f x g x
h x h x
g x g x
  
 
 
 Regra da cadeia: y(x) = f (g (x ) )  y’ = f ’ (g (x ) )  g’ (x ) 
Usando a notação de Leibniz, 
( ) ( ( )) =   
dy dy dg
y x f g x
dx dg dx
. 
 
Exemplo 7 Determine as seguintes derivadas. 
a) 
2( ) = 3 4h x x x
 b) 
3( ) = sen (2 + e )xh x x
 
Observação: 
 
Quando duas retas são paralelas, seus coef icientes angulares são iguais; 
mas, quando elas são perpendiculares, o produto entre seus coeficientes 
angulares é -1. 
Assim, se r   s, a r = as e se r  s, 
r
s
-1
a =
a
.