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Slides/01 - Conceitos Iniciais.pdf
Cálculo Financeiro e Custos – CIC 001 
Prof. Rafael Morais de Souza 
Introdução 
 Qual é a melhor escolha? Receber R$ 1.000 hoje ou R$ 
1.000 em uma data futura? 
• Como os valores são iguais, não há dúvida que quanto 
antes receber, melhor. Logo, receber R$ hoje não é 
equivalente a receber R$ 1.000 no futuro. 
 
 E se a escolha fosse entre receber R$ 1.000 hoje e R$ 
1.100 em uma data futura? 
• Com valores diferentes, a decisão já não é mais tão clara. 
A decisão depende, por exemplo, de quanto poderia ser 
obtido de rentabilidade em uma alternativa de risco 
semelhante. 
 
Introdução 
 O estudo do valor do dinheiro no tempo tem aplicação 
em diversas operações quotidianas, como, por exemplo: 
i. Cálculo de pagamentos de contas com atraso; 
ii. Desconto de cheques; 
iii. Aplicações financeiras; 
iv. Empréstimos; 
v. Financiamentos imobiliários; 
vi. Renegociação de dívidas; 
vii. Avaliação financeira de projetos e investimentos. 
Conceitos 
 Alguns conceitos e notações devem ser entendidos para 
o estudo da matemática financeira: 
 
 Capital 
 Segundo a teoria econômica, o capital é um dos fatores 
de produção. É também a expressão monetária de um 
bem ou serviço; 
 
 Notação: ou . 
P
tP
Conceitos 
 Fluxo de Caixa 
 O fluxo de caixa de um projeto ou investimento é o 
conjunto de entradas e saídas de capital ao longo do 
tempo; 
 
 Por convenção, as entradas de caixa (créditos) são valores 
positivos de capital e as saídas de caixa (débitos) são 
valores negativos. Esquematicamente: 
Conceitos 
 Juros 
 O juro é definido como sendo a remuneração atribuída 
ao fator capital; 
 
 
 Em que: 
 é o montante ou valor futuro; 
 é o principal, capital inicial ou valor presente; 
 é o juro. 
 
 
S P J J S P    
P
S
J
Conceitos 
 Taxa de Juros 
 Na prática, a determinação do valor do juro que é 
cobrado em qualquer transação financeira é efetuada 
mediante a consideração de um coeficiente denominado 
taxa de juro; 
 
 A taxa de juro, referida a certo período de tempo, como 
mês, semestre, ano, etc., é a remuneração pela utilização 
da unidade de capital durante o período a que ela se 
refere; 
 
Conceitos 
 As taxas de juros costumam ser apresentadas sob uma 
das duas seguintes formas equivalentes: 
 Forma unitária; 
 Forma percentual. 
 
 Assim, se pelo empréstimo de R$ 1,00, pelo prazo de um 
mês, foi cobrado o juro de R$ 0,10 diz-se que a taxa de 
juro considerada foi: 
 de R$ 0,10/R$ 1,00 = 0,10 ao mês (forma unitária), 
 ou, 10% ao mês (forma percentual). 
Conceitos 
 A taxa de juros i pode ser expressa da seguinte forma: 
 
 
 Consequentemente: 
 
 
 Exemplo: Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após um 
ano de aplicação, o montante de R$ 25.000,00. Qual a 
taxa de juros anual recebida nessa aplicação? 
 
J S P
i
P P

 
J P i 
Conceitos 
 Dados: S = 25.000,00; P = 10.000,00; n = 1; i = ? 
i. Fluxo de caixa 
 
 
 
 
ii. Juros recebidos 
 
 
1 
0 
25.000 
10.000 
n (ano) 
25.000 10.000
$15.000
J S P
J
J R
 
 

Conceitos 
iii. Taxa de juros da aplicação: 
 
 
 
 Logo: 
 a.a. (forma unitária) 
 
 ou 
 a.a. (forma percentual) 
15.000
10.000
J
i
P
 
1,5i 
150%i 
Calculadora HP 12C 
 Como calcular na HP 12C: 
• Teclas importantes iniciais: 
• [f] acessa as funções de cor laranja; 
• [g] acessa as funções de cor azul; 
• [f] [reg] apaga valores armazenados; 
• [n] número de períodos; 
• [i] taxa de juros (ou custo do capital); 
• [PV] Principal “P”(Valor Presente – Present Value); 
• [FV] Montante “S”(Valor Futuro – Future Value). 
Calculadora HP 12C 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: 150. 
 
 
Teclas [F] [Reg] 
 
[Chs] 
[PV] 
[FV] [n] [ i ] 
Digitar 0 10.000 25.000 1 ? 
Regimes de Capitalização 
 Regimes de Capitalização 
 Nome dado ao processo de formação de capital no 
tempo. Podem ser de dois tipos: discreta e contínua; 
 
 Regimes de Capitalização Discreta 
 Neste caso, os juros gerados são incorporados ao capital 
no final de cada intervalo de tempo a que se refere a taxa 
de juros considerada; 
 
 Podem-se trabalhar com dois regimes de capitalização 
discreta: o simples e o composto; 
 
 
Regimes de Capitalização 
 Juros Simples: a taxa de juros incide sempre sobre o 
capital inicial (valor presente); 
 
 Assim, para cada período, os juros serão sempre iguais a: 
 
 
 O que para o final de n períodos de capitalização implica 
no seguinte valor para os juros acumulados: 
.J i P
. . ... . . .nJ i P i P i P n i P    
Regimes de Capitalização 
 O montante S ao final de n períodos será: 
 
 
 
 
 Juros Compostos: situação em que os juros formados no 
fim do período a que se refere a taxa considerada são 
incorporados ao principal, passando essa soma a render 
juros no período seguinte. Ou seja, os juros são 
capitalizados; 
 
 
 
. .
(1 . )
nS P J
S P n i P
S P i n
  
  
 
Regimes de Capitalização 
 Retomando o conceito de juros: 
 
 
 No fim do primeiro intervalo de tempo: 
 
 
 No fim do segundo intervalo de tempo: 
 
 
 
 
 
.J i P
2 1.SJ i
1 .J i P 1 1 (1 )S P J P i   
2
2 1 2 (1 )S S J P i   
Regimes de Capitalização 
 No fim do terceiro intervalo de tempo: 
 
 
 Generalizando para o n-ésimo intervalo de tempo: 
 
 
3 2.J i S
3
3 2 3 (1 )S S J P i   
(1 )nS P i 
Referências 
 CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. 
Matemática financeira aplicada. Rio de Janeiro: 
Editora FGV, 2009. 
 
 SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à 
análise de investimentos. 4ª ed. São Paulo: Prentice-
Hall, 2006. 
 
 SECURATO, J. R. Cálculo Financeiro das Tesourarias: 
Bancos e Empresas. 4ª ed. São Paulo: Saint Paul Editora, 
2008. 
 
Slides/02 - Juros Simples e Desconto Simples.pdf
Juros Simples e Desconto Simples
Prof. Rafael Morais de Souza
Juros Simples
 No regime de juros simples, a taxa de juros incide sempre
sobre o capital inicial (valor presente);
 Os juros são proporcionais ao tempo e, para calculá-los,
devem-se ponderar o prazo da taxa de juros;
 Assim, para cada período, os juros serão sempre iguais a:
 O que para o final de n períodos de capitalização implica
no seguinte valor para os juros acumulados:
.J i P
. . ... . . .nJ i P i P i P n i P    
Juros Simples
 Para calcular o valor futuro, somam-se os juros ao valor
presente. O montante S ao final de n períodos será:
. .
(1 . )
nS P J
S P n i P
S P i n
  
  
 
Juros Simples
 Graficamente, tem-se:
Juros Simples
 A partir dessa expressão pode-se calcular o valor do
Principal (P), a taxa de juros (i) ou o número de períodos
de capitalização (n):



















1
1
1
1
.
....
).1(
).1(
P
S
i
n
P
S
n
i
Pn
PS
i
PSPniSPniP
ni
S
PniPS
Taxas Proporcionais
 Na dedução da fórmula do montante a juros simples,
consideramos que o período da taxa de juros é sempre
igual ao período de capitalização ou período de
pagamento de juros;
 Ou seja, se a taxa de juros é anual, então o período de
capitalização também deve ser anual.;
 No entanto, na maioria das situações práticas, o período
da taxa de juros não coincide, necessariamente com o
período de capitalização;
 Portanto, é necessário fazer conversões de taxas para que
o período de capitalização coincida com o período da
taxa de juros;
Taxas Proporcionais
 Exemplo: sob o regime de juros simples, a taxa de juros
de 1% ao mês é equivalente à taxa de juros de 12% ao
ano.
• Se aplicarmos R$ 100,00 a uma taxa de juros anual de
12%, obteremos, ao final do período, R$ 112,00. Se
aplicarmos os mesmos R$ 100,00 a uma taxa de juros
mensal de 1%, obteremos, após 12, meses de capitalização,
R$ 112,00.
• Pode-se generalizar esse resultado observando que duas
taxas de juros serão ditas proporcionais quando,
aplicadas a um mesmo capital, produzem o mesmo
montante no mesmo período de tempo, no regime de
capitação simples.
Taxas Proporcionais
 Cálculo das taxas mensal, trimestral e anual proporcionais
a 12% ao semestre:
• Taxa mensal:
• Taxa trimestral:
• Taxa anual:
 Generalizando:
12% 2%
6
i  
12% 6%
2
i  
12% 24%
0,5
i  
1
2
i
i
n

Desconto Simples
 Toda vez que um lojista aceita como pagamento um
cheque pré-datado, ele enfrenta um dilema: 1) esperar o
vencimento do cheque para receber o dinheiro ou 2)
descontar o cheque em um banco e receber o dinheiro
antecipadamente;
 No desconto de um título, o lojista pega um empréstimo
e entrega um documento como garantia;
 Se o cheque não tiver fundos na data de seu vencimento,
o lojista tem que pagar o empréstimo ao banco;
Desconto Simples
 A taxa de desconto (d) incide sobre o valor expresso no
cheque pré-datado (que vale para uma data futura);
 Para calcular o valor a ser emprestado (valor presente), o
banco desconta os juros antecipadamente no valor do
cheque (valor futuro):
 Assim:
desconto S d n
P S desconto
  
 
(1 )P S d n   
Taxa Efetiva e Taxa de Desconto
 A diferença entre a taxa efetiva de juros e a taxa de
desconto dos exemplos anteriores é a referência para
cálculo:
:
:
Juros
Taxa de desconto d
S
Juros
Taxa efetiva de juros i
P


Equivalência de Capitais
 Dizemos que dois capitais são equivalentes quando têm o
mesmo valor em determinada data de avaliação (data
focal);
 Há a equivalência (na data focal 2), a juros simples de 10%,
de dois capitais: um de R$3.636,35 que ocorre na data 1 e
outro de R$5.600,00 na data 6 (ver gráfico a seguir);
Equivalência de Capitais
$5.600
$4.000
(1 0,1 4)

 
0 1 2 3 4 5 6
$5.600
$3.636,35
i = 10%
= $3.636,35 x (1+0,1x1) = $4.000 
 Obs.: alterando a data focal, o resultado muda, pois, a
juros simples, capitais equivalentes em determinada época
não o são em outra.
 Um capital de $1.000 aplicado em 12/02 a juros simples
de 0,2% a.d. foi resgatado em 14 de julho do mesmo ano.
Determine o valor de resgate.
 Dados: P=1.000, i=0,2%a.d. , n=? , S=?
Fev – 16
Mar – 31
Abr – 30
Mai – 31
Jun – 30
Jul - 14
Total = 152 dias
  304.1$152002,011000 S
Contagem de dias entre duas datas
Contagem de dias entre duas datas
 Na HP 12C:
 [f] [6] fixa o número das casas decimais em 6;
 [g] [D.MY] seleciona o formato de data para dia-mês-ano;
 [12.022000] [enter]data inicial:12/02/2000;
 [14.072000] data final: 14/07/2000;
 [g] [ DYS] calcula o número de dias.
 Resposta: 153.
 Pergunta: por que o resultado está diferente do resultado
do slide anterior?

Referências
 CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A.
Matemática financeira aplicada. Rio de Janeiro:
Editora FGV, 2009.
 SAMANEZ, C. P.Matemática Financeira: aplicações à
análise de investimentos. 4ª ed. São Paulo: Prentice-
Hall, 2006.
Slides/03 - Juros Compostos.pdf
Juros Compostos
Prof. Rafael Morais de Souza
Juros Compostos
 O regime de juros compostos é o mais comum no dia a
dia do sistema financeiro e do cálculo econômico;
 Nesse regime, os juros gerados a cada período são
incorporados ao principal para o cálculo dos juros do
período seguinte:
 A juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente
ao longo do tempo.
P
1 2 3 ... n
S = P + [ i.P + i (P+ i.P)+ ....]
i.P i (P+ i.P)
Juros Compostos
 O Montante (S) e os Juros (J) ao Final de n períodos de
capitalização serão:
]1)1[()1(
)1(
..............
)1()21(
...)1(.)1(
)1(.
22
2
2
2
1






nn
n
n
iPJPiPPSJ
iPSS
iPiiPS
PiPiPiPiPiiPS
iPPiPS
JPS
Juros Compostos
 Graficamente, tem-se:
Juros Compostos
 O Principal (ou Valor Presente - P): 
 A Taxa de Juros (i): 
ni
S
P
)1( 

 




















 1)1()1(
11
1 nn
nnn
P
S
i
P
S
i
P
S
i
Juros Compostos
 Manipulando-se algebricamente as expressões para S ou
para J, obtém-se: o número de períodos de capitalização
(n):
(1 ) ln(1 ) ln
1
.ln(1 ) ln ln
ln(1 )
n nS Si i
P P
S S
n i n
P i P
 
      
 
   
      
   
Juros Compostos
 O fator é chamado de fator de capitalização;
 É o número pelo qual deve-se multiplicar o valor da
aplicação inicial para obter o seu montante;
 Esquematicamente:
(1 )ni
P
1 2 3 n
S
...
(1 )ni
(1 ) ni 
Taxas Equivalentes
 Assim como no caso de juros simples, quando o período
da taxa de juros compostos não coincide com o período
de capitalização, tem-se que fazer a conversão de taxas.
 Exemplo: Encontre a taxa de juros mensal equivalente à
taxa de juros anual de 12%.
       
 
 
1 1
12 12
12 12
1
12
1
12
1 1 1 1
1 1
1 0,12 1 0,949%
aa am aa am
am aa
am
i i i i
i i
i
      
  
   
Taxas Equivalentes
 Generalizando:
 Em que:
im = Taxa referente a um período de tempo m > n;
n = número de períodos de capitalização contidos no
período m;
in = Taxa referente a cada período de capitalização.
1)1(
]1)1[()1()1(
1


n
nm
n
mn
n
nm
ii
iiii
Equivalência de Capitais a Juros Compostos
 Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento
determinadas, são equivalentes quando, levados para uma
mesma
data à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais;
 Importante: no regime de juros compostos, dois
conjuntos de obrigações que sejam equivalentes em
determinada data, também o serão em qualquer outra;
Equivalência de Capitais a Juros Compostos
2420$
)³1,01(
02,3221$


0 1 2 3 4 5 6
$3221,02
$2.000
i = 10%
= $ 2.000 x (1+0,1)² = $2.420
Cálculo com Prazos Fracionários
 Nesse caso, geralmente admitem-se duas alternativas de
cálculo: pela convenção linear e pela convenção
exponencial;
 Convenção linear: os juros compostos são usados para o
número inteiro de períodos e os juros simples para a
parte fracionária de períodos;
 Convenção exponencial: os juros compostos são usados
para as partes inteira e fracionária de períodos.
Referências
 SAMANEZ, C. P.Matemática Financeira: aplicações à
análise de investimentos. 4ª ed. São Paulo: Prentice-
Hall, 2006.
Slides/04 - Taxas de Juros.pdf
Taxas de Juros 
Prof. Rafael Morais de Souza 
Taxas de Juros Variável 
 Nos casos analisados anteriormente, supôs-se que a taxa de 
juros era constante em todos os períodos de capitalização, 
conforme o fluxo a seguir: 
 
P 
1 2 3 ... n n - 1 
i i i i 
S 
Taxas de Juros Variável 
 Caso a taxa seja variável ao longo dos períodos de 
capitalização, a relação entre o principal, o montante e as taxas 
de juros será: 
 
 
 
 
 
 onde , são as taxas de juros referentes aos 
intervalos de tempo 1, 2, 3, ..., n, respectivamente; 
 
P 
1 2 3 ... n n - 1 
i1 i3 i2 in 
S 
1 2 3, , ,..., ni i i i
Taxas de Juros Variável 
 Assim, no fim do primeiro intervalo de tempo, juros 
compostos: 
 
 No fim do segundo intervalo de tempo: 
 
 No fim do terceiro intervalo de tempo: 
 
 Generalizando: 
 
 
 
 
 
1 1 1 1 1(1 )J Pi e S P J P i    
2 1 2 2 1 2 1 2(1 )(1 )J S i e S S J P i i     
3 2 3 3 2 3 1 2 3(1 )(1 )(1 )J S i e S S J P i i i      
1 2 3(1 )(1 )(1 )...(1 )nS P i i i i    
Taxas de Juros Nominal e Efetiva 
 Taxa nominal ( ): A taxa de juros nominal é expressa 
numa unidade de tempo que não coincide com o período 
de tempo no qual os juros são capitalizados; 
 Exemplos: 6% a.a., com capitalização mensal; 2,7% a.m., 
com capitalização diária; 
 Porém, o que de fato interessa é como os juros são 
efetivamente capitalizados; 
 Taxa efetiva ( ): A taxa efetiva é expressa numa unidade 
de tempo coincidente com o período de tempo em que 
os juros são capitalizados; 
 Exemplos: 5% a.m., com capitalização mensal; 0,2% a.d., 
com capitalização diária. 
Ni
Ei
Relação da Taxa Nominal com a Taxa Efetiva 
 Por convenção, dada uma taxa nominal , a taxa efetiva 
correspondente, relativa ao período de capitalização, será 
a taxa que lhe seja proporcional; 
 
 Assim: 
 
 onde é o número de períodos de capitalização contidos 
na unidade de tempo em que a taxa nominal é expressa; 
Ni
Ei
N
E
i
i
k

k
Relação da Taxa Nominal com a Taxa Efetiva 
 Exemplo: Dada a taxa nominal de 24% a.a., capitalizada 
mensalmente, determinar a taxa efetiva. 
 
 
 
 A taxa efetiva anual é a taxa equivalente à taxa efetiva 
mensal. Isto é: 
 
 Logo: 
 
12
24%
2% . .
12
1 0,02 1 26,82% . . taxa efetiva anual
N
E E
E
i
i i a m
k
i a a
   
    
   
1 12
1 1a mi i  
 
12
1 1a mi i  
Taxa Over (taxa por dia útil) 
 É uma taxa nominal, pois costuma ser expressa ao mês ou 
ao ano com capitalização diária, porém válida somente 
para dias úteis; 
 O montante de um capital aplicado à taxa over mensal 
por determinado número de dias úteis (du) é: 
 
 
 O montante do mesmo capital aplicado durante dias 
corridos (dc) a uma taxa efetiva mensal, é: 
1
30
du
taxa over
S P
 
  
 
  301
dc
mS P i 
Taxa Over (taxa por dia útil) 
 Igualando os dois montantes para determinar a taxa 
efetiva mensal equivalente à taxa over: 
 
  
30
301 1 1 1
30 30
du du
dcdc
m m
taxa over taxa over
i i

   
         
   
Taxa Real 
 A inflação, caracterizada pelo crescimento do nível geral 
dos preços dos bens e serviços, causa o fenômeno da 
ilusão monetária nas práticas financeiras e é um dos 
principais tipos de risco a que estamos sujeitos em 
finanças; 
 O efeito da inflação sobre as taxas de juros é expressa 
através da relação: 
 
 onde é a taxa efetiva, é a taxa de inflação, obtida 
através de um índice de preços, e é a taxa real. As taxas 
são relativas a um mesmo período de tempo. 
(1 ) (1 )(1 )i r   
i 
r
Taxa Real 
 Generalizando, quando há outros tipos de riscos aos 
quais o capital está sujeito: 
 
 
 onde se referem aos riscos 1, 2, 3, ..., n, 
respectivamente. 
1 2 3(1 ) (1 )(1 )(1 )...(1 )(1 )ni r         
1 2 3, , ,..., n   
Referências 
 SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à 
análise de investimentos. 4ª ed. São Paulo: Prentice-
Hall, 2006. 
 
 SECURATO, J. R. Cálculo Financeiro das Tesourarias: 
Bancos e Empresas. 4ª ed. São Paulo: Saint Paul Editora, 
2008. 
 
Slides/05 - S�ries Peri�dicas Uniformes.pdf
Séries Periódicas Uniformes
Prof. Rafael Morais de Souza
Séries Periódicas Uniformes
 Até o momento, as análises feitas envolviam aplicações
financeiras simples com um único pagamento ou depósito
inicial que ficaria aplicado durante n períodos de
capitalização;
 Em diversas situações de mercado, tem-se operações
financeiras que envolvem depósitos ou pagamentos
periódicos;
 Para melhor entender essas situações deve-se fazer uma
revisão sobre Progressão Geométrica (PG):
Progressão Geométrica
 Dada uma sequência de valores:
 Essa sequência forma uma PG se a razão entre dois
termos consecutivos quaisquer for sempre constante e
igual a q:
1 2{ , ,......., }nA a a a
1
1
.
j
j j
j
a
q j a q a
a


   
Progressão Geométrica
 Somando os termos desta PG, tem-se:
 Multiplicando esta soma pela razão da PG, tem-se:
 Fazendo (**) – (*):
2 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
( . . ..... . ) ( . ..... . )
. 1
( 1) . 1
( 1) 1
n n
n n
n
S.q S a q a q a q a a q a q
a q a q
S q a q a S S a q
q q
        
  
         
  
2 1
1 1 1 1{ , . , . ,..... . }
nA a a q a q a q 
2 1
1 1 1 1. . ..... . (*)
nS a a q a q a q     
2 3
1 1 1 1. . . . ..... . (**)
nS q a q a q a q a q    
Séries Periódicas Uniformes
 Séries postecipadas: São séries cujos pagamentos (ou
depósitos) R são constantes e realizados ao final de cada
período de capitalização:
Séries Periódicas Uniformes
 O Montante S após n depósitos iguais e sucessivos no
tempo será:
 Esta é uma PG com e com soma:
Fator de Acumulação
de Capital - FAC
(1 ) 1 (1 ) 1
. .
(1 ) 1
n ni i
S
R S R
i i
      
     
    
2(1 ) (1 ) .... (1 )nS R R i R i R i       
(1 )q i 
Séries Periódicas Uniformes
 O Valor Presente P dos n depósitos iguais e sucessivos
no tempo será obtido trazendo cada um dos pagamentos
R para o instante de tempo zero;
 Trazendo o montante S a valor presente P: Fator de Valor Atual - FVA
2
2
(1 ) 1 1
. .
1 (1 )
1
. 1 (1 ) (1 ) .... (1 ) .
(1 )
....
(1 ) (1 ) (1 )
n
n n
n
n
n
S i
P P R
( i) i i
P R i i i
i
R R R
P
i i i
    
     
    
          
    
  
Séries Periódicas Uniformes
 O Valor dos Pagamentos ou Depósitos R será dado
por:















 







 

1)1(
.)1(
.
)1(
1
.
1)1()1(
1
.
1)1(
.
n
n
n
nn
n
i
ii
PR
ii
i
P
R
ii
i
RP
Séries Periódicas Uniformes
 Séries antecipadas: São séries cujos pagamentos (ou
depósitos) R são constantes e realizados no início de cada
período de capitalização.
Séries Periódicas Uniformes
 Séries diferidas: há o período de carência, que consiste
em um prazo que separa o início da operação do período
de pagamento da primeira parcela.
 Postecipada:
Séries Periódicas Uniformes
 Antecipada:
Referências
 SAMANEZ, C. P.Matemática Financeira: aplicações à
análise de investimentos. 4ª ed. São Paulo: Prentice-
Hall, 2006.
Slides/06 - Amortiza��o de D�vidas.pdf
Amortização de Dívidas
Prof. Rafael Morais de Souza
Amortização de Dívidas
 Nos empréstimos ou financiamentos de médio e longo
prazos a dívida contraída é paga por meio de um
conjunto de prestações que incluem Amortizações (At)
sobre o Principal da Dívida e Juros (Jt) sobre o Saldo
Devedor:
 Existem diversos sistemas de amortização, os principais
serão vistos a seguir:
ttt AJR 
Sistema Francês de Amortização (Price)
 Caracteriza-se por possuir prestações periódicas e iguais
e é muito utilizado nos empréstimos bancários e nas
compras parceladas;
 Possui juros decrescentes e amortizações de capital
crescentes.
Sistema Francês de Amortização (Price)
 Exemplo 1: Financiamento = $3.000,00; Taxa = 10% a.m;
três pagamentos mensais.
Mês
(t)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Amortização
(At = Rt - Jt)
Prestação
(Rt)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
0 - - - 3.000,00
1 300,00 906,34 1.206,34 2.093,66
2 209,37 996,97 1.206,34 1.096,69
3 109,67 1096,69 1.206,34 0
Sistema Francês de Amortização (Price)
 Exemplo 2: Empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m; quatro
prestações mensais.
Mês
(t)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Amortização
(At = Rt - Jt)
Prestação
(Rt)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
0 - - - 8.000,00
1 400,00 1.856,09 2.256,09 6.143,91
2 307,20 1.948,89 2.256,09 4.195,02
3 209,75 2.046,34 2.256,09 2.148,68
4 107,43 2.148,68 2.256,09 0
Sistema de Amortização Constante (SAC)
 Neste sistema, as amortizações são constantes. Para
calculá-las, basta dividir o valor do empréstimo pelo
número de prestações. Os juros são calculados a cada
período sobre o saldo devedor do período anterior. E
para calcular as prestações, deve-se realizar a soma, mês a
mês, do valor da amortização e dos juros;
 Como características do SAC, podem-se destacar
amortização constante, e juros e prestações
decrescentes.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
 Exemplo 1: Financiamento = $3.000,00; taxa =10% a.m;
três pagamentos mensais.
Mês
(t)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Amortização
(At)
Prestação
(Rt = At + Jt)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
0 - - - 3.000,00
1 300,00 1.000,00 1.300,00 2.000,00
2 200,00 1.000,00 1.200,00 1.000,00
3 100,00 1.000,00 1.100,00 0
Sistema de Amortização Constante (SAC)
 Exemplo 2: Empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m; quatro
prestações mensais.
Mês
(t)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Amortização
(At)
Prestação
(Rt = At + Jt)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
0 - - - 8.000,00
1 400,00 2.000,00 2.400,00 6.000,00
2 300,00 2.000,00 2.300,00 4.000,00
3 200,00 2.000,00 2.200,00 2.000,00
4 100,00 2.000,00 2.100,00 0
Sistema de Amortização Misto (SAM)
 A prestação deste sistema é a média aritmética das
prestações dos sistemas francês e SAC. Em função disso,
as prestações também são decrescentes ao longo do
tempo. Os juros são calculados mês a mês sobre o saldo
devedor do período anterior. E a amortização é a
diferença entre a prestação paga e o valor dos juros;
 Possui amortização crescente, e juros e prestações
decrescentes.
Sistema de Amortização Misto (SAM)
 Exemplo: Empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m; quatro
prestações mensais.
t PRICE SAM SAC
1 2.256,09 2.328,04 2.400,00
2 2.256,09 2.278,04 2.300,00
3 2.256,09 2.228,04 2.200,00
4 2.256,09 2.178,04 2.100,00
Sistema de Amortização Misto (SAM)
 Exemplo: Empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m; quatro
prestações mensais.
Mês
(t)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Amortização
(At = Rt - Jt)
Prestação
(Rt)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
0 - - - 8.000,00
1 400,00 1.928,04 2.328,04 6.071,96
2 303,60 1.974,44 2.278,04 4.097,52
3 204,88 2.023,16 2.228,04 2.074,36
4 103,72 2.074,36 2.178,04 0
Sistema de Amortização Americano
 Neste sistema, o principal é pago em parcela única no
final da operação. Os juros podem ser pagos
periodicamente ou podem ser capitalizados e pagos
juntamente com o capital no final do período.
Sistema de Amortização Americano
 Exemplo: Empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m; quatro
prestações mensais (juros pagos periodicamente).
Mês
(t)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Amortização
(At)
Prestação
(Rt = At + Jt)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
0 - - - 8.000,00
1 400,00 - 400,00 8.000,00
2 400,00 - 400,00 8.000,00
3 400,00 - 400,00 8.000,00
4 400,00 8.000,00 8.400,00 0
Sistema de Amortização Americano
 Exemplo: Empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m; quatro
prestações mensais (juros capitalizados e pagos no fim da
operação).
Mês
(t)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Amortização
(At)
Prestação
(Rt = At + Jt)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
0 - - - 8.000,00
1 - - - 8.400,00
2 - - - 8.820,00
3 - - - 9.261,00
4 1.724,05 8.000,00 9.724,05 0
Referências
 CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A.
Matemática financeira aplicada. Rio de Janeiro:
Editora FGV, 2009.
 SAMANEZ, C. P.Matemática Financeira: aplicações à
análise de investimentos. 4ª ed. São Paulo: Prentice-
Hall, 2006.
Slides/07 - An�lise de Investimentos.pdf
 
 
 
Análise de Investimentos 
A análise de investimentos 
• Relaciona-se a decisões de investimento em novos 
equipamentos, instalações, lançamento de novos produtos, 
etc; 
 
• Os empresários e investidores buscam obter o maior 
LUCRO ou RENTABILIDADE possível. Assim, surgem as 
seguintes
questões: 
 
– COMO AVALIAR SE UM INVESTIMENTO É VIÁVEL 
OU NÃO? 
– DENTRE UM CONJUNTO DE INVESTIMENTOS 
VIÁVEIS, QUAL(AIS) O(S) MAIS INDICADO(S)? 
• Geralmente as decisões de investimentos são 
tomadas comparando-se a taxa de juros do mercado 
(custo do capital) ou a taxa mínima de atratividade 
(TMA) aceitável pela empresa (ou investidor) com a 
taxa de retorno esperada no investimento em questão; 
 
• Assim, uma taxa de juros muito alta inviabiliza uma 
série de investimentos produtivos; 
 
• Por outro lado, uma taxa de juros baixa torna uma 
série de opções de investimentos atraentes. 
 
O papel da taxa de juros 
Métodos de Análise de Investimentos 
i. Valor Presente Líquido (VPL); 
 
ii. Taxa Interna de Retorno (TIR); 
 
iii. Taxa Interna de Retorno Incremental (TIR 
Incremental); 
 
iv. Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM); 
 
v. Anuidade Equivalente (AE); 
 
vi. Custo Anual Equivalente (CAE); 
 
vii. Pay-Back descontado; 
 
viii. Análise de Custo-Benefício. 
i) Valor Presente Líquido - VPL 
• O Valor Presente Líquido (VPL), ou Net Present Value 
– NPV, é obtido pela diferença entre o valor presente 
dos benefícios líquidos de caixa previstos para cada 
período do horizonte de duração do projeto, e o valor 
presente do investimento: 
 
 
 
 
  
)1(
11)1(
:aplicação uma feita seja só e idênticas sejam receitas as Caso
)1(1
)1(
....
)1()1(
)1(
....
)1()1(
1
0
1
2
21
0
2
21
P
ii
i
RifVPL
i
P
P
i
R
VPL
i
P
i
P
i
P
P
i
R
i
R
i
R
VPL
n
n
n
j
j
j
n
j
j
j
n
n
n
n













 










































Fórmula do Valor Presente líquido - VPL 
• O VPL será, portanto, uma medida do Lucro ou Retorno 
em termos monetários que se espera obter em um projeto 
de investimento atualizado para o momento inicial; 
• O VPL descontado a uma taxa i compara o investimento 
puro de todo o capital a esta taxa i e a rentabilidade do 
fluxo de caixa projetado; 
• Assim, o VPL corresponderá ao excedente de capital 
em relação ao que se encontraria investindo o dinheiro 
a i% por período; 
• A taxa i é denominada Taxa Mínima de Atratividade, ou 
Custo de Oportunidade, ou ainda Custo de Capital; 
• No caso de um investimento financiado, i pode ser a taxa 
do empréstimo. 
Análise 
• Se VPL > 0: a soma dos valores presentes dos retornos 
será maior que o valor do investimento; o investimento 
será: 
1. Recuperado; 
2. Remunerado com a taxa mínima requerida i; 
3. O projeto gerará um lucro extra na data zero igual ao 
VPL. 
 
• Se VPL < 0: a soma dos valores presentes será menor 
que o valor do investimento; 
 
• Se VPL = 0: a soma dos valores presentes será igual ao 
valor do investimento. 
Tomada de Decisão pelo VPL 
ii) Taxa Interna de Retorno - TIR 
• A Taxa Interna de Retorno - TIR (ou Internal Rate of 
Return – IRR) é a medida da rentabilidade que um 
dado projeto de investimento apresenta para o capital 
que nele permanece investido; 
 
 
• Uma forma simples de se entender a TIR é a de considerar 
os investimentos realizados como empréstimos da 
empresa ao projeto, e os retornos líquidos como 
pagamentos destes empréstimos pelo projeto; 
 
 
• De acordo com esta concepção, a TIR corresponde à taxa 
de juros que o projeto pagaria à empresa pelo empréstimo. 
Como o empréstimo é o capital investido, a TIR é, 
portanto, a taxa de juro recebida pelo capital investido, 
sua rentabilidade; 
ii) Taxa Interna de Retorno - TIR 
Fórmula da Taxa Interna 
de Retorno - TIR 
 
 
 
 
0
)1(
0
)1(
....
)1()1(
 
:FC o anula que desconto de taxaa portanto será, TIRA 
)1()1(
....
)1()1(
1
2
21
1
2
21





















P
TIR
R
P
TIR
R
TIR
R
TIR
R
TIR
R
TIR
R
TIR
R
TIR
R
P
n
t
t
t
n
n
n
t
t
t
n
n
 A TIR deve ser comparada à Taxa Mínima de 
Atratividade da empresa: 
• Se TIR > TMA: o projeto deve ser aceito; o projeto é 
economicamente viável; 
• Se TIR < TMA: o projeto deve ser rejeitado; o projeto é 
economicamente inviável; 
• Se TIR = TMA: indiferente investir os recursos no projeto 
ou deixá-los rendendo juros à taxa mínima de atratividade. 
 
• A TIR não pode ser usada isoladamente como critério de 
seleção, salvo se os investimentos nos diferentes projetos 
forem os mesmos. 
 
Tomada de Decisão pela TIR 
Vantagem e Desvantagens - TIR 
• A maior vantagem é dar como resultado um medida 
relativa. 
 
• Já as desvantagens: 
 Proposta com taxa de retorno inexistente; 
 Múltiplas taxas de retorno; 
 Problema de escala em projetos mutuamente excludentes. 
 
 
Exemplo - Decisões: VPL e TIR 
• Suponha os projetos mutuamente excludentes abaixo: 
 
Ano 0 Ano 1 VPL ($) (k =
25%)
TIR (%)
Projeto A - $10 milhões + $ 40 milhões $ 22 milhões 300%
Projeto B -$ 25 milhões + $ 65 milhões $ 27 milhões 160%
O projeto B deveria ser o escolhido. Como justificar 
essa escolha? 
Isso pode ser feito utilizando o enfoque da TIR 
incremental 
iii) TIR Incremental 
• Modo de operacionalizar: subtraia o fluxo de caixa do 
projeto B (maior desembolso) do projeto A (menor 
desembolso). 
 
A TIR incremental é a TIR do investimento adicional 
resultante da escolha do projeto maior em lugar do 
menor 
Ano 0 Ano 1 VPL ($) (k =
25%)
TIR (%)
INCREMENTAL
Fluxos de caixa
incrementais
(projeto B – A)
-25 – (- 10) =
-15
65 – 40 =
25
$ 5 milhões 66,67%
iii) TIR Incremental 
• Conclusões do exemplo: 
• Vale a pena gastar mais 15 milhões para implementar o 
projeto B, em lugar do projeto A? 
– Os cálculos mostraram que o VPL do investimento 
incremental é positivo; 
– Segundo, a TIR incremental de 66,67% é maior do 
que a taxa requerida de 25%; 
– Então o investimento é justificável. 
• Para selecionar o melhor projeto: 
 Comparar os VPL dos dois projetos; 
 Comparar a TIR incremental à taxa requerida; e 
 Calcular o VPL dos fluxos de caixa incrementais. 
iii) TIR Incremental 
iv) Taxa Interna de Retorno Modificada - TIRM 
• Corrige alguns problemas da TIR regular; 
• A TIRM presume que os fluxos de caixa são reinvestidos 
ao custo do capital, enquanto a TIR normal supõe que 
os fluxos de caixa são investidos à própria TIR do 
projeto; 
• A TIRM é a taxa de desconto na qual o valor presente 
do custo de um projeto é igual ao valor presente de seu 
valor futuro das entradas (composto pela soma dos 
valores futuros de todas as entradas de caixa, 
compostas ao custo de capital da empresa): 
 
 
 
 
 
n
n
t
tn
tn
t
t
t
TIRM
kEC
k
SC
)1(
)1(
)1(
0
0 




 


Valor presente 
dos custos 
Valor presente do 
valor futuro das 
entradas 
Onde: SC corresponde às saídas de caixa e EC corresponde às entradas 
de caixa. 
iv) Taxa Interna de Retorno Modificada - TIRM 
• O termo à esquerda é simplesmente o valor presente 
dos dispêndios dos investimentos feitos; 
• O numerador do termo da direita é o valor futuro das 
entradas, supondo que as entradas são reinvestidas ao 
custo de capital; 
• O valor futuro das entradas de capital é também 
chamado de valor terminal (VT); 
• A taxa de desconto (requerida) que força o valor 
presente do VT a se igualar ao valor presente dos 
custos é definida como TIRM. 
iv) Taxa Interna de Retorno Modificada - TIRM 
TIRM - Exemplo 
Fluxo de Caixa
0 1 2 3 4
-1000 500 400 300 100
VP k= 10% 330 (VT 1)
k= 10% 484 (VT 2)
k= 10% 665 (VT 3)
Valor
Terminal
1579,50
VT 1 = 300 * (1+ 0,10)
1
VT 2 = 400 * (1+0,10)
2
VT 3 = 500 * (1+0,10)
3
Cálculo da TIRM
PV = -1000
FV = 1579,5
N = 4
Pressione a tecla I para encontrar a TIRM = 12,1%
• A TIRM é um melhor indicador da verdadeira 
rentabilidade do projeto; 
• A TIRM e o VPL sempre levarão à mesma decisão 
(em projetos de fluxos de mesmo tamanho); 
• A TIRM pode ser usada em projetos não 
convencionais (mudança de sinal); 
• O VPL ainda permanece como o melhor método de 
avaliação. 
iv) Taxa Interna de Retorno Modificada - TIRM 
v) Anuidade Equivalente 
• Indicador que mostra de que modo seria distribuída a 
renda econômica gerada pelo projeto se a referida 
distribuição fosse equitativa para cada ano; 
• Equivale a repartir o VPL ao longo da vida útil do 
projeto, transformando-o em uma única série 
uniforme equivalente que pode ser comparada entre 
projetos de durações diferentes: 
 
 
  







ii
i
VPL
AE
n
n
1
11
vi) Custo Anual Equivalente 
• É um rateio uniforme, por unidade de tempo, dos 
custos de investimento, de oportunidade e 
operacionais das alternativas; 
• Exemplo: 
 Equipamento A custa R$13.000 e tem vida útil de 12 anos; 
 Equipamento B custa R$11.000 e tem vida útil de 8 anos; 
 Os benefícios gerados por ambos é de R$7.000 por ano; 
 O custo de capital é de 4% a.a. 
 
 
   
 
   
anoRCAEanoRCAE BA /81,633.1$
04,004,1
104,1
000.11
;/15,385.1$
04,004,1
104,1
000.13
8
8
12
12






 






 

• É usado para saber o tempo de recuperação do 
investimento, isto é, o tempo necessário para que o 
valor presente dos fluxos de caixa previstos se iguale ao 
investimento inicial. 
 
• Exemplo: Suponha o investimento a seguir com as 
seguintes características: 
 Investimento inicial = 150.000; 
 Fluxos de caixa disponíveis nos anos seguintes = 19.500; 
 TMA= 10% 
 Qual é o Pay-Back? 
 
vii) Pay-Back Descontado 
 
viii) Análise de Custo-Benefício 
• O Índice de Lucratividade (IL) que pode ser 
denominado Índice de Custo-Benefício (B/C) é obtido 
a partir da relação entre o valor atual das entradas de 
caixa e o investimento inicial: 
 
 
 
 
 
• Critério de decisão: 
 Quando o IL for maior que 1, deve-se aceitar o projeto; 
 Quando o IL for menor que 1, deve-se rejeitar o projeto. 














n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
i
P
i
R
i
i
C
B
0
0
0
0
)1(
)1(
)1(
Despesas
)1(
Receitas
• SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à 
análise de investimentos. 4ª ed. São Paulo: Prentice-
Hall, 2006. 
 
Referências 
Slides/99 - Introdu��o � HP 12C.pdf
Introdução à HP 12C
Prof. Rafael Morais de Souza
Calculadora HP 12C
 Muitas das teclas da HP 12C executam duas ou três
funções:
• Para selecionar a função secundária impressa em letra
dourada acima de uma tecla, aperte a tecla de prefixo
dourada [f], em seguida, a tecla de função;
• Para selecionar a função primária impressa na face
superior de uma tecla, aperte somente a tecla;
• Para selecionar a função secundária impressa em azul na
face inferior de uma tecla, aperte a tecla de prefixo azul
[g], em seguida, a tecla de função.
Calculadora HP 12C
 Apertando a tecla de prefixo, o indicador de estado
correspondente f ou g é ligado no mostrador. A função
pode ser cancelada apertando [f] CLEAR[PREFIX] ou
após apertar uma tecla de função (executando a função
secundária da tecla);
 Para trocar o sinal de um número no mostrador aperte
[CHS];
 Há várias operações que apagam ou zeram registros na
HP 12C, como: [CLx], [f] CLEAR[ ], [f] CLEAR[PRGM],
[f] CLEAR[FIN], e [f] CLEAR[REG];

Calculadora HP 12C
 Números grandes não podem ser digitados por completo.
Porém, podem ser digitados se o número for expresso em
formato de notação científica Para digitar um número no
mostrador, digite a mantissa, aperte [EEX] (digitar o expoente),
e digite o expoente. Se o expoente for negativo, aperte [CHS]
depois de apertar [EEX];
 Cálculos aritméticos:
1. Digite o primeiro número;
2. Aperte [ENTER] para separar o segundo número do
primeiro;
3. Digite o segundo número;
4. Aperte [+], [-], [x] ou [ ] para executar a operação desejada.

Calculadora HP 12C
 Exemplo 1: Suponha que você escreveu três cheques sem
atualizar os canhotos do seu talão, e você acabou de
depositar seu salário de R$1.053,00 em sua conta
corrente. Se o saldo era R$58,33 e os cheques tinham os
valores R$22,95, R$13,70, e R$10,14, qual é o novo saldo?
• Resposta: R$1.064,54.
 Exemplo 2: ( 5 x 17 + 5 ) ( 37 – 7 x 4 )
• Resposta: 10.

Calculadora HP 12C
 Tecla [x y]: Essa tecla troca o número que está no
registrador x pelo número que está no registrador y e
vice-versa;
 Teclas [ ] e [ ]: potenciação e radiciação;
 Calcule: e ;


xy 1 x
25 3 27
Calculadora HP 12C
 Teclas de armazenamento: os registros de
armazenamento são designados R0 a R9 e R.0 a R.9:
1. Aperte [STO] (armazenar);
2. Digite o número do registro: 0 a 9 para os registros de
R0 a R9, ou .0 a .9 para os registros de R.0 a R.9;
3. Da mesma maneira, para recuperar para o mostrador
um número em um registro de armazenamento, aperte
[RCL] (recuperar), e depois digite o número do
registro.
 Para zerar todos os registros de armazenamento de uma
só vez, aperte [f] CLEAR[REG].
Calculadora HP 12C
 Aritmética com registros de armazenamento:
1. Aperte [STO];
2. Aperte [+], [-], [x] ou [ ] para indicar a operação
desejada;
3. Digite o número do registro.

Calculadora HP 12C
 Porcentagem – A HP 12C tem três teclas para solucionar
problemas com porcentagens: :
 Tecla [ ]: Calcula a porcentagem de um determinado
número.
 Exemplo 1: Uma mercadoria que custava R$200,00 sofreu
um reajuste de 20%. Qual o novo preço dessa
mercadoria? R: 240
 Exemplo 2: Um veículo cujo preço é $13.200,00 é
oferecido com um desconto de
6% nas compras a vista.
Calcule o preço a vista. R: 12.408
%, % e%T
%
Calculadora HP 12C
 Tecla [ ]: Calcula a diferença percentual entre dois
números.
 Exemplo 1: Um dólar valia R$ 1,75 e passou a valer R$
1,87. Calcule sua valorização. R: 6,86
 Exemplo 2: As ações de uma certa empresa caíram de R$
22,30 para R$ 19,80. Calcule o percentual da queda. R:
11,21
%
Calculadora HP 12C
 Tecla [ ]: Determina quanto um número da memória x
representa percentualmente em relação ao número da
memória y.
 Exemplo1: Determinar quanto 18 representa
percentualmente um relação a 60. R: 30
%T
Calculadora HP 12C
 Cálculo com datas – A HP 12C usa dois formatos
distintos de datas:
 Dia - Mês - Ano: [g] [D.MY] e Mês - Dia - Ano: [g] [M.DY].
 Para introduzir uma data com o formato Dia - Mês - Ano:
1. Aperte [f] 6 para fixar 6 casas decimais;
2. Aperte [g] [D.MY];
3. Digite o número de dias (com 2 dígitos);
4. Aperte a tecla [.];
5. Digite o mês (com 2 dígitos) seguido do ano (com 4
dígitos).
Calculadora HP 12C
 Para calcular a data e dia que é um certo número de dias
depois ou antes de uma data fornecida:
1. Digite a data fornecida e aperte [ENTER];
2. Digite o número de dias;
3. Se a outra data estiver no passado, aperte [CHS];
4. Aperte [g] [DATE].
 Na resposta, os números do mês, dia e ano (ou dia, mês e
ano) são separados por separadores de dígitos, e o dígito
ao lado direito da resposta no mostrador indica o dia da
semana: 1 para a segunda-feira a 7 para o domingo.
Calculadora HP 12C
 Exemplo 1: Se você comprasse uma opção para um
terreno em 14 de maio de 2004, válida por 120 dias, qual
seria a data de vencimento? Suponha que o formato dia-
mês-ano seja usado.
• Resposta: 11,09,2004 6. (A data de vencimento é 11 de
setembro de 2004, um sábado).
 Exemplo 2: Em que dia da semana você nasceu?
Calculadora HP 12C
 Para calcular o número de dias entre duas datas:
1. Digite a data mais antiga e aperte [ENTER];
2. Digite a data mais recente e aperte [g] [ DYS].
 A resposta exibida no mostrador é o número exato de
dias entre as duas datas;
 A HP 12C também calcula o número de dias entre as
duas datas com base no ano comercial (mês de 30 dias).
Para isto, aperte [x y].



Calculadora HP 12C
 Os cálculos de juros compostos podem ser feitos
utilizando-se o número exato de dias ou o número de
dias com base no ano comercial. Qual seria o número de
dias, contados das duas maneiras, a ser utilizado para
calcular os juros simples acumulados de 3 de junho de
2004 a 14 de outubro de 2005? Suponha que o formato
mês-dia-ano seja usado.
• Respostas: 498 e 491.