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LISTA DE EXERCI´CIOS DE F´ıISICA I Sistemas de Part´ıculas 1: A figura 1, mostra treˆs part´ıculas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kg, situadas nos ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero de lado a = 140 cm. Qual a localizac¸a˜o do centro de massa? y (cm) x (cm)15010050 0 a a m3 m2 m1 50 100 150 0 Part´ıcula Massa (kg) x (cm) y (cm) m1 1,2 0 0 m2 2,5 140 0 m3 3,4 70 121 Figura 1: Problema 1. Resp.: ~rcm = 82, 8ˆi+ 57, 9jˆ 2: A figura 2 mostra um sistema com treˆs part´ıculas cujas massas sa˜o m1=4 kg, m2=8 kg e m3=4 kg. Suas coordenadas no plano xy sa˜o: x1=0, y1=0; x2=1m, y2=2m e x3=2m, y3=1m. Na part´ıcula 1 atua uma forc¸a de 14N, na part´ıcula 2 uma forc¸a de 6 N e na part´ıcula 3 uma forc¸a de 12 N. A direc¸a˜o e o sentido de cada forc¸a esta˜o mostrados na figura . Inicialmente, todas as part´ıculas esta˜o em repouso. (a) Calcule as coordenadas do centro de massa deste sistema. (b) Qual a forc¸a resultante que atua no centro de massa deste sistema? Expresse sua resposta em notac¸o˜es vetoriais. (c) Qual e´ o mo´dulo da forc¸a resultante e o aˆngulo que ela faz com o semi-eixo positivo x? (d) Qual e´ o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido da acelerac¸a˜o do centro de massa deste sitema? x (m) y (m) 0 1 2 1 2 F3=12 N F2=6 N m1 F1=14 N m3 m2 45 Figura 2: Problema 2. Resp.: (a) xcm = 1 m, ycm = 1, 25; (b) ~FR = 16, 5 Niˆ + 8, 5 Njˆ; (c) |~FR| = 18, 5 N , θ = 27, 3 ◦; (d) | ~aCM | = 1, 2 m/s 2, a direc¸a˜o e o sentido de ~acm sa˜o os mesmos de ~FR 3: Um canha˜o de massa M = 1.300 kg dispara uma bala de massa m = 72 kg na horizontal com uma velocidade v = 55 m/s em relac¸a˜o ao canha˜o, que recua (sem atrito) com uma velocidade V em relac¸a˜o a` Terra. (a) Qual e´ o valor de V ? (b) Qual e´ o valor de vT (velocidade da bola em relac¸a˜o a` Terra)? Resp.: (a) V = −2, 9 m/s; (b) vT = 52 m/s 4: (a) A que distaˆncia do centro de massa do sistema Terra-Lua se encontra o centro da Terra? (Use os seguintes valores: massa da Terra MTerra = 5, 98 × 10 24 kg, massa da Lua MLua = 7, 36 × 10 22 kg e distaˆncia entre os dois astros dTL = 3, 82× 10 8 m.) (b) Expresse a resposta do item (a) como uma frac¸a˜o do raio da Terra. Resp.: (a) rcm = 4, 6× 10 6 m; (b) rcm RT = 0, 73 5: (a) Quais sa˜o as coordenadas do centro de massa das treˆs part´ıculas que aparecem na figura 3? (b) O que acontece com o centro de massa quando a massa da part´ıcula de cima aumenta gradativamente? 0 3kg 4kg 8kg 21 1 2 y (m) x (m) Figura 3: Problema 5. Resp.: (a) xcm = 1, 07 m, ycm = 1, 33 m; (b) a medida que a massa da part´ıcula de cima aumenta, as coordenadas do centro de massa do sistema se aproxima das coordenadas dessa part´ıcula 6: Uma lata em forma de cilindro reto de massa M , altura H e densidade uniforme esta´ cheia de refrigerante (figura 4). A massa total do refrigerante e´ m. Fazemos pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar o conteu´do e medimos o valor de h, a distaˆncia vertical entre o centro de massa e a base da lata, para va´rias situac¸o˜es. Qual e´ o valor de h (a) com a lata cheia e (b) com a lata vazia? (c) O que acontece com h enquanto a lata esta´ sendo esvaziada? (d) Se x e´ a altura do l´ıquido que resta em um determinado instante, determine o valor de x (em func¸a˜o de M , H e m) no momento em que o centro de massa se encontra o mais pro´ximo poss´ıvel da base da lata. Figura 4: Problema 6. Resp.: (a)h = H 2 acima da base; (b) h = H 2 acima da base; (c) a medida que x diminui, o centro de massa do sistema lata + refrigerante primeiramente diminui, depois comec¸a aumentar ate´ atingir H 2 , quando a lata esta´ totalmente vazia; (d) x = MH m [√ 1 + m M − 1 ] 7: Dois patinadores, um de 65 kg e outro de 40 kg, seguram as pontas de uma vara com 10 m de comprimento e massa desprez´ıvel. Os patinadores usam a vara como apoio para deslizarem um em direc¸a˜o ao outro ate´ que se encontrem. Qual a distaˆncia percorrida pelo patinador de 40 kg? Resp.: d = 6, 2 m x H 8: Um velho Galaxy com uma massa de 2.400 kg esta´ viajando por uma estrada reta a 80 km/h. Ele e´ seguido por um Escort com uma massa de 1.600 kg viajando a 60 km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois carros? Resp.: vcm = 72 km/h 9: Ricardo, com 80 kg de massa e Carmelita, que e´ mais magra, esta˜o passeando no Lago Mercedes em uma canoa de 30 kg. Com a canoa parada em a´guas tranquilas, eles trocam de lugar. Seus bancos esta˜o a 3 m de distaˆncia e simetricamente dispostos em relac¸a˜o ao centro da embarcac¸a˜o. Ricardo observa que durante a troca a canoa se deslocou de 40 cm em relac¸a˜o a um tronco submerso e calcula a massa de Carmelita. Qual foi o resultado obtido por Ricardo? Resp.: MC = 58 kg 10: Um proje´til e´ disparado por um canha˜o com uma velocidade inicial de 20 m/s. O aˆngulo do disparo e´ 60◦ em relac¸a˜o a` horizontal. Quando chega ao ponto mais alto da trajeto´ria, o proje´til explode em dois fragmentos de massas iguais (figura 5). Um dos fragmentos, cuja velocidade imediatamente apo´s a explosa˜o e´ zero, cai verticalmente. A que distaˆncia do canha˜o o outro fragmento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e a resisteˆncia do ar possa ser desprezada? Explosao V0 Figura 5: Problema 10. Resp.: x = 53 m 11: Dois sacos ideˆnticos de ac¸u´car sa˜o ligados por uma corda de massa desprez´ıvel que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprez´ıvel, com 50 mm de diaˆmetro. Os dois sacos esta˜o no mesmo n´ıvel e cada um possui originalmente uma massa de 500 g. (a) Determine a posic¸a˜o horizontal do centro de massa do sistema. (b) Suponha que 20 g de ac¸u´car sa˜o transferidos de um saco para outro, mas os sacos sa˜o mantidos nas posic¸o˜es originais. Determine a nova posic¸a˜o horizontal do centro de massa. (c) Os dois sacos sa˜o liberados. Em que direc¸a˜o se move o centro de massa? (d) Qual e´ a sua acelerac¸a˜o? Resp.: (a) xcm = 0; (b) xcm = −0, 001 m; (c) para baixo; (d) acm = 0, 016 m/s 12: Um cachorro de 5 kg esta´ em um bote de 20 kg que se encontra a 6 m da margem (que fica a` esquerda na figura 6). Ele anda 2, 4 m no barco, em direc¸a˜o a` margem, e depois pa´ra. O atrito entre o bote e a a`gua e´ desprez´ıvel. A que distaˆncia da margem esta´ o cachorro depois da caminhada? (Sugesta˜o: Veja a figura 6. O cachorro se move para esquerda; o bote se move para a direita; e o centro de massa do sistema cachorro + barco? Sera´ que ele se move?) �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������������� 6 m deslocamento do bote d_B deslocamento do cachorro d_D Figura 6: Problema 12. Resp.: xc = 4, 08 m 13: Qual o momento linear de um automo´vel que pesa 16.000 N e esta´ viajando a 88 km/h? Resp.: p = 39909 kg ·m/s 14: Suponha que sua massa e´ 80 kg. Com que velocidade teria que correr para ter o mesmo momento linear que um automo´vel de 1.600 kg viajando a 1, 2 km/s? 15: Com que velocidade deve viajar um Volkswagen de 816 kg (a) para ter o mesmo momento linear que um Cadillac de 2.650 kg viajando a 16 km/h e (b) para ter a mesma energia cine´tica? Resp.: v = 24 km/h 16: Qual e´ o momento linear de um ele´tron viajando com uma velocidade de 0, 99c (= 2, 97× 108 m/s)? Resp.: pe = 1, 92× 10 −21 kg ·m/s 17: Um homem de 100 kg, de pe´ em uma superf´ıcie de atrito desprez´ıvel, da´ um chute em uma pedra de 0, 70 kg, fazendo com que ela adquira uma velocidade de 3, 90 m/s. Qual a velocidade do homem depois do chute? Resp.: vH = −0, 0273 m/s 18: Um homem de 75 kg esta´ viajando em uma carroc¸a, cuja massa e´ 39 kg, a 2, 3 m/s. Ele salta para fora da carroc¸a de modo a ficar com velocidade horizontal zero. Qual a variac¸a˜o resultante na velocidade da carroc¸a? Resp.: ∆vc = 4, 4 m/s 19: O u´ltimo esta´gio de um foguete esta´ viajando com uma velocidade de 7.600 m/s. Este u´ltimo esta´gio e´ feito de duas partes presas por uma trava: um tanque de combust´ıvel com uma massa de 290 kg e uma ca´psula de instrumentos com uma massa de 150 kg. Quando a trava e´ acionada, uma mola comprimida faz com que as duas partes se separem com uma velocidade relativa de 910 m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois que elas se separam? Suponha que todas as velocidades teˆm a mesma direc¸a˜o. (b) Calcule a energia cine´tica total das duas partes antes e depois de se separarem e explique a diferenc¸a (se houver). Resp.: (a) vt = 729m/s, vc = 8200 m/s; (b) Kantes = 1, 271 × 10 10 J , Kdepois = 1, 275 × 10 9 J . O ligeiro aumento na energia cine´tica e´ devido a` conversa˜o da energia potencial ela´stica armazenada na trava (mola comprimida) em energia cine´tica da ca´psula e do tanque. 20: Uma caldeira explode, partindo-se em treˆs pedac¸os. Dois pedac¸os, massa iguais, sa˜o arremessados em trajeto´rias perpendiculares entre si, com a mesma velocidade de 30 m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa treˆs vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o mo´dulo, direc¸a˜o e sentido de sua velocidade logo apo´s a explosa˜o? Resp.: |~v| = 14 m/s, a velocidade do terceiro pedac¸o faz um aˆngulo de 135◦ com qualquer um dos outros dois pedac¸os 21: Joa˜o e Maria esta˜o sobre patins em uma pista de patinac¸a˜o no gelo. Encontram-se inicialmente parados, separados pela distaˆncia de 12 m, cada um segurando uma das extremidades de uma corda. Puxando-se mutuamente pela corda eles se aproximam um do outro. Sabendo-se que as massas de Joa˜o e Maria sa˜o respectivamente 80 kg e 60 kg, determine o ponto em que eles se encontrara˜o. Resp.: Eles se encontram a 5, 1 m da posic¸a˜o inicial de Joa˜o 22: Um homem com massa de M = 70 kg esta´ parado em uma das extremindades de uma canoa tambe´m parada, cuja massa e´ de m = 60 kg, e cujo comprimento e´ de 4, 0 m. Ele corre ate´ a outra extremidade e salta na a´gua com velocidade de 2, 0 m/s na direc¸a˜o horizontal. (a) Com que velocidade recua a canoa? (b) De quanto a canoa recua ate´ o instante do salto? Resp.: (a) vc = −2, 3 m/s; (b) ∆x = −2, 2 m 23: Considere um foguete que esta´ no espac¸o sideral e em repouso em relac¸a˜o a um referencial inercial. O motor do foguete deve ser acionado por um certo intervalo de tempo. Qual de ver a raza˜o de massa do foguete (raza˜o entre as massas inicial e final) neste intervalo se a velocidade final do foguete em relac¸a˜o ao referencial inercial deve ser igual (a) a` velocidade de exausta˜o (velocidade dos produtos de exausta˜o em relac¸a˜o ao foguete) e (b) a duas vezes a velocidade de exausta˜o? Resp.: (a) mi mf = 2, 7; (b) mi mf = 7, 4 24: Um foguete que esta´ no espac¸o sideral e inicialmente em repouso em relac¸a˜o a um referencial inercial, tem uma massa de 2, 55× 105 kg, da qual 1, 81× 105 kg e´ de combust´ıvel. O motor do foguete e´, enta˜o, acionado por 250 s, durante os quais o combust´ıvel e´ consumido na taxa de 480 kg/s. A velocidade dos produtos de exausta˜o em relac¸a˜o ao foguete e´ 3, 27 km/s. (a) Qual e´ o empuxo do foguete? Apo´s os 250 s de ac¸a˜o do motor, quais sa˜o (b) a massa e (c) a velocidade do foguete? Resp.: (a) E = 1, 57× 106 N ; (b) mf = 1, 35× 10 5 kg; (c) v = 2, 08× 103 m/s
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