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1 8.1 – Momento Linear e sua Conservação 8.2 – Impulso e Momento Linear 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica 8.4 – Coeficiente de Restituição em Colisões 8.5 – Colisões em duas dimensões 8.6 – Centro de Massa 8.7 – Movimento de um Sistema de Partículas Unidade VIII – Momento Linear e Colisões 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 2Física Geral I Os efeitos causados pelo lançamento de uma bola de tênis e uma esfera de aço maciço (ambas de mesmo raio) em uma vidraça são visivelmente diferentes, embora as mesmas tenham sido lançadas com a mesma velocidade. 8.1 – Momento Linear e sua Conservação Da mesma forma, bolas de tênis idênticas lançadas com velocidades diferentes também podem produzir efeitos diferentes em vidraças idênticas. A criação de uma grandeza física definida pelo produto da massa de um corpo pela sua velocidade, para caracterizar a quantidade de movimento desse corpo, é de grande importância para o estudo de colisões. 2 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 3Física Geral I 8.1 – Momento Linear e sua Conservação 8.1 A taxa de variação do momento linear de um corpo no tempo é igual à força resultante que atua nesse corpo. 8.2 O momento linear (ou quantidade de movimento) de um corpo de massa m se movendo com velocidade v é definido como o produto de sua massa e velocidade. 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 4Física Geral I Fig. 8.1 – Astronauta lançando seu uniforme para mover-se no sentido oposto. Na interação de dois ou mais corpos em um sistema isolado, o momento linear do sistema fica inalterado. 8.1 – Momento Linear e sua Conservação EA8.1 – Um astronauta (70,0 kg) lança seu uniforme de 1,0 kg com velocidade de 20 m/s para a direita. Qual sua velocidade após o lançamento? 3 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 5Física Geral I 8.1 – Momento Linear e sua Conservação Sol. EA8.1 – Como o sistema composto por astronauta + uniforme está livre de forças externas, logo o momento linear é permanece constante: 0 0 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 6Física Geral I O impulso de uma força F atuando em um corpo é igual à variação do momento linear causado pela força. 8.2 – Impulso e Momento Linear EA8.2 – Uma bola de golf de 50,0 g é lançada após tacada certeira (Fig. 8.2a). A força exercida pelo taco na bola varia de zero, no instante antes do contato, até um valor máximo (bola deformada – Fig. 8.2b) e então retorna a zero (perda de contato do taco com a bola). A Fig. 8.3 exibe o gráfico qualitativo da força x tempo. Se a duração da colisão é 1,0 ms e o alcance de 200 m. Estime (a) o módulo do impulso e (b) a força média devido à colisão. 8.3 4 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 7Física Geral I 8.2 – Impulso e Momento Linear Fig. 8.2 – (a) Fotografia estroboscópica dos movimentos do taco e da bola e (b) instante em que o momento linear do taco é transferido para a bola. 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 8Física Geral I Sol. EA8.2.: A velocidade da bola após a colisão pode ser obtida através da fórmula do alcance no lançamento oblíquo: 8.2 – Impulso e Momento Linear Fig. 8.3 – Força exercida pelo taco na bola de golfe. 8.4 Obs.: A força média exercida pelo taco na bola equivale à altura do retângulo (Fig. 8.3) que possui a mesma área (impulso) delimitada pela curva e o eixo t. 5 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 9Física Geral I 8.2 – Impulso e Momento Linear Cont. Sol. EA8.2.: Deve-se observar que o ângulo de lançamento considerado (45º) é aquele que produz o maior alcance (objetivo do jogo), logo: O módulo impulso é portanto: A força média aplicada à bola de golf é dada por: 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 10Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica O momento linear total de um sistema isolado é constante antes e após qualquer tipo de colisão. Colisão Perfeitamente Inelástica: energia cinética não é conservada. Para colisão frontal de dois corpos, temos: 8.5 8.6 EA8.3 – Um corpo com velocidade horizontal 10 m/s colide de forma frontal e perfeitamente inelástica com outro corpo de massa idêntica, inicialmente em repouso. Qual a velocidade do conjunto após a colisão? 6 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 11Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Sol. EA8.3.: Colisão perfeitamente inelástica (Eq. 8.6): Conclusão: Em colisões frontais perfeitamente inelásticas de dois corpos de massas iguais com um destes em repouso, a velocidade inicial não nula é dividida igualmente entre os dois corpos após a colisão. 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 12Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Colisão Elástica: energia cinética também é conservada. Para colisão frontal de dois corpos, temos: 8.7 8.8 Do sistema composto pelas equações 8.7 e 8.8, vem: 8.10 8.9 7 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 13Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Para o caso particular de colisão elástica de dois corpos em uma dimensão em que o segundo corpo encontra-se inicialmente parado (v2i = 0), temos: 8.11 8.12 EA8.4 – Um corpo com velocidade horizontal 10 m/s colide de forma frontal e elástica com outro corpo de massa idêntica, inicialmente em repouso. Qual a velocidade de cada corpo após a colisão? 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 14Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica 0 Sol. EA8.4.: Temos colisão elástica com v2i = 0, o que permite utilizarmos as equações 8.11 e 8.12. Conclusão: Em colisões frontais elásticas de dois corpos de mesma massa com um destes em repouso, as velocidades dos corpos são trocadas após a colisão. 8 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 15Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica EA8.5 – O engenhoso objeto apresentado na Fig. 8.4 (Berço de Newton) é composto por 5 esferas de mesma massa que colidem quase elasticamente. Analise se a situação (c) pode ocorrer após a colisão. Fig. 8.4 – Berço de Newton ilustrando a conservação do momento linear e da energia cinética. 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 16Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica EA8.6 – O pêndulo balístico (Fig. 8.5) é um sistema usado para medir a velocidade de um projétil veloz por meio de uma colisão perfeitamente inelástica com um corpo de prova em repouso, seguida de deslocamento vertical do sistema. Qual a expressão para o cálculo da velocidade do projétil (v1i) em função de m1, m2, g e h? Fig. 8.5 – Pêndulo balístico para medida de velocidade de projéteis. Sol. EA8.6.: Para a colisão inelástica. I 0 9 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 17Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Sol. EA8.6.: Considerando o sistema conservativo, a lei da conservação da energia mecânica permite afirmar que a energia cinética após a colisão é totalmente convertida em energia potencial gravitacional, logo: II Substituindo II em I, vem: Complemento Prob8.6 – Considerando h = 5,0 cm, m1 = 5,0 g, e m2 = 1,0 kg, calcule a velocidade inicial do projétil e perda de energia mecânica na colisão. 8.13 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 18Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Sol. Comp. EA8.6.: A energia mecânica perdida é dada pela diferença entre as energias cinéticas antes e após a colisão. 10 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 19Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Alguns modelos de pêndulos balísticos (Fig 8.6) não utilizam o deslocamento vertical h, mas sim o ângulo de deflexão do pêndulo. Neste caso temos: Fig. 8.6 – Pêndulo Balístico Cidepe. Levando a equação anterior em 8.13, temos: 8.14 h L L – h 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 20Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica eInelástica Prob8.1 (Halliday) – Uma bala de 8,0 g é disparada em um bloco de 2,5 kg inicialmente em repouso e localizado à borda de uma mesa sem atrito de altura 1,0 m. A bala aloja-se no bloco e após o impacto, o conjunto (bloco + bala) percorre a distância horizontal de 2,0 m (Fig. 8.7). Determine a velocidade inicial da bala. Fig. 8.7 – Exemplo de colisão inelástica de um projétil com um bloco seguido de lançamento horizontal. 11 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 21Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Prob8.2 (Halliday) – Uma bala de 5,0 g movendo-se com velocidade inicial de 400 m/s é disparada e atravessa um bloco de 1,0 kg (Fig. 8.8). O bloco, inicialmente em repouso em uma superfície horizontal sem atrito é conectado à uma mola com constante elástica 900 N/m. Se o bloco move-se 5,0 cm para a direita após o impacto, encontre (a) a velocidade que a bala emerge do bloco e (b) a energia perdida na colisão. Fig. 8.8 – Exemplo de colisão parcialmente elástica em que parte da energia cinética é convertida em energia potencial elástica. 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 22Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Prob8.3 (Halliday) – A partir de um funil estacionário é despejada areia em uma esteira à razão de 5,0 kg/s (Fig. 8.9). A esteira transportadora é apoiada a rolos e se move, devido ao atrito com estes, a uma velocidade constante de 0,75 m/s sob ação de uma força horizontal constante externa Fext suprida pelo motor que impulsiona a correia. Fig. 8.9 – Exemplo de esteira transportadora básica aplicada em indústrias. 12 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 23Física Geral I 8.3 – Colisões Elástica e Inelástica Continuação do Prob8.3 (Halliday) – Encontre (a) a taxa de variação do momento linear da areia na direção horizontal, (b) a força de atrito exercida pela correia na areia, (c) a força externa Fext, (d) o trabalho realizado por Fext em 1,0 s e (e) a energia cinética adquirida pela queda da areia a cada segundo devido à mudança em seu movimento horizontal. Por que as respostas dos itens (d) e (e) são diferentes? 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 24Física Geral I 8.4 – Coeficiente de Restituição em Colisões O coeficiente de restituição (e ou CR) em uma colisão é um valor fracionário (entre 0 e 1) que representa a razão entre as velocidades relativas afastamento (após a colisão) e aproximação (antes da colisão). 8.15 Prob8.4 – Mostre que o coeficiente de restituição das colisões ocorridas na Fig. 8.10 é dado pela equação abaixo. 8.16 Fig. 8.10 H h Tipo de Colisão CR Elástica 1 Perf. Inelástica 0 13 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 25Física Geral I 8.5 – Colisões em duas dimensões (a) (b) Fig. 8.11 – Colisão elástica entre dois corpos. Situação (a) antes da colisão e (b) após a colisão 8.17 8.18 8.19 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 26Física Geral I 8.5 – Colisões em duas dimensões Prob8.5 – Um carro de 1500 kg a 25 m/s leste colide com uma van de 2500 kg a 20 m/s norte (Fig. 8.12). Calcule a direção e a magnitude da velocidade após a colisão, supondo que os veículos seguem uma colisão perfeitamente inelástica, isto é, eles permanecem juntos após a colisão. [θ = 53,1º e vf = 15,6 m/s] Fig. 8.12 – Colisão perfeitamente inelástica em duas dimensões. 14 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 27Física Geral I 8.5 – Colisões em duas dimensões EA8.7 – Um jogador de bilhar deseja colocar a bola 2 na caçapa como mostra a Fig. 8.13. O ângulo da caçapa é de 35º e a colisão é suposta elástica. Qual o ângulo θ de deflexão da bola 1 após a colisão? Despreze atritos e a inércia de rotação das bolas. Sol. EA8.7.: Para a colisão elástica, vem Fig. 8.13 – Colisão elástica em duas dimensões. I 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 28Física Geral I 8.5 – Colisões em duas dimensões Cont. Sol. EA8.7 – Os módulos do vetor momento linear resultante do sistema antes e depois da colisão são iguais, sendo que após a colisão o momento linear pode ser obtido através da lei dos cossenos, logo: II Subtraindo I de II, temos: Recalcular θ considerando m1 = 2m2. 15 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 29Física Geral I Fig. 8.15 – Uma técnica experimental para determinar o centro de massa de uma chave inglesa. O centro de massa de um sistema se movimenta como se toda a massa deste estivesse concentrada nesse ponto. 8.6 – Centro de Massa Fig. 8.14 – Duas situações em que o centro de massa sistema encontra-se na mesma vertical do ponto de apoio. 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 30Física Geral I 8.6 – Centro de Massa Se a força resultante externa que atua em um sistema é Fext e a massa total do sistema é M, então o centro de massa do sistema move-se com aceleração dada por: 8.20 Fig. 8.16 – Movimento de uma chave inglesa em uma superfície lisa. O centro de massa da chave move-se em linha reta (ponto branco) com a chave girando em torno desse ponto. 16 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 31Física Geral I Para duas partículas de massas pontuais, como na Fig. 8.17, o centro de massa do sistema é: 8.6 – Centro de Massa 8.21 Ao considerarmos n partículas, temos: 8.22 Fig. 8.17 – Centro de massa de duas partículas. 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 32Física Geral I Fig. 8.18 – Centro de massa de um corpo extenso 8.6 – Centro de Massa As coordenadas y e z do centro de massa são analogamente calculadas por: 8.23 8.24 O centro de massa também pode ser localizado através de seu vetor posição, dado por: 8.25 8.26 17 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 33Física Geral I Fig. 8.19 – Centro de massa de três partículas. EA8.8 – Seja m1 = m2 = 1,0 kg, m3 = 2,0 kg e zCM = 0; obtenha o vetor de localização do centro de massa do sistema apresentado na Fig. 8.19. 8.6 – Centro de Massa Sol. EA8.8: 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 34Física Geral I EA8.9 – Uma pessoa de massa m1 = 70 kg se encontra na popa de um pequeno barco de comprimento 3,0 m e massa m2 = 80 kg. A proa do barco está encostada em um peer. Após a pessoa caminhar da popa até a proa, qual sua distância em relação ao peer? O sistema está inicialmente em repouso e livre de forças externas. 8.6 – Centro de Massa Sol. EA8.9: peer 1,5 m1,5 m xx yy x y 18 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 35Física Geral I Cont. Sol. EA8.9: O sistema se encontra inicialmente em repouso e livre de forças externas, logo seu centro de massa permanece em repouso (xCM constante) para ambas as situações. 8.6 – Centro de Massa d peer 1,5 m1,5 m xx yy x y 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 36Física Geral I EA8.10 – Suponha que você tranquilizou um urso polar em uma superfície glacial macia como parte de um esforço para pesquisa (Fig. 8.20). Como você pode estimar a massa do urso usando uma corda e o conhecimento de sua própria massa? 8.6 – Centro de Massa Fig. 8.20 – Sistema pesquisador + urso, inicialmente em repouso e livre de forças externas. 19 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 37Física Geral I Sol. EA8.10: Novamente, o sistema se encontra inicialmente em repouso e livre de forças externas, logo o centro de massa do sistema permanece em repouso (xCM constante). 8.6 – Centro de Massa Sol. EA8.10: xp xx yy x y xb CM x'p x'b 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 38Física Geral I As coordenadas do centro de massa são dadas por: 8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos) 8.27 8.28 8.29 EA8.11 – Obtenha o centro de massa de uma barra rígida homogênea (densidade linear de massa constante) localizada sobre o eixo x e com uma das extremidades na origem, em função de seu comprimentoL e sua massa M. O vetor posição do centro de massa de um corpo rígido é dado por: 8.30 20 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 39Física Geral I Sol. EA8.11.: Analisando a Fig. 8.21, vem: 8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos) Fig. 8.21 I II Substituindo II em I, temos: 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 40Física Geral I 8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos) EA8.12 – Obtenha o centro de massa de um triangulo retângulo rígido homogêneo de base b e da altura c. Sol. EA8.12: A densidade superficial de massa do triângulo retângulo da Fig. 8.22 é: Fig. 8.22 I II 21 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 41Física Geral I III 8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos) Cont. Sol. EA8.12 – Subst. a equação II em I, temos: Isolando x em II e substituindo em III, temos: 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 42Física Geral I EA8.13: De um pedaço uniforme de chapa de aço homogênea e triangular é recortado um retângulo, o que resulta na forma geométrica da Fig. 8.23. Calcule as coordenadas x e y do centro de massa da peça. 8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos) Fig. 8.23 – Chapa de aço homogênea para cálculo do centro de massa. Fig. 8.23 – Chapa de aço homogênea para cálculo do centro de massa. 22 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 43Física Geral I Sol EA8.13: Seja a densidade de massa por área, então a massa do triângulo antes do corte (mt) e a massa do retângulo recortado (mr) são dadas por: 8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos) Centro de Massa 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 44Física Geral I Cont. Sol EA8.12: O sinal negativo que precede mr indica que a massa do retângulo foi retirada do triângulo. 8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos) 23 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 45Física Geral I Prob8.6: Um pedaço uniforme de chapa de aço é moldado como mostra a Fig. 8.24. Calcule as coordenadas x e y do centro de massa da peça. 8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos) Fig. 8.24 – Chapa de aço homogênea para cálculo do centro de massa. Fig. 8.24 – Chapa de aço homogênea para cálculo do centro de massa. 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 46Física Geral I 8.7 – Movimento de um Sistema de Partículas Lançamento de um foguete. (a) (b) Fig. 8.25 – (a) Foguete com velocidade v (b) alcança a velocidade v + Δv após ejetar a massa de gás Δm. Fig. 8.25 – (a) Foguete com velocidade v (b) alcança a velocidade v + Δv após ejetar a massa de gás Δm. 8.31 24 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 47Física Geral I Prob8.7: Um foguete move-se no espaço a 3,0 km/s em relação à Terra. Seus motores são ligados, e o combustível é ejetado em sentido contrário ao movimento do mesmo com velocidade 5,0 km/s em relação ao foguete. a) Determine a velocidade do foguete em relação à Terra quando sua massa é reduzida à metade da massa antes da ignição. b) Qual o percentual de redução da massa do foguete em, relação à sua massa antes da ignição, quando o mesmo atinge a velocidade de 10 km/s? (vf ≅ 6,5 km/s e 75%) 8.7 – Movimento de um Sistema de Partículas 27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 48Física Geral I Referências Bibliográficas Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed. www.walter-fendt.de/ph14br/
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