Exercicios CVGA

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Segmentos Orientados e Vetores 
Exercícios Propostos (pág. 19) 
 
09) A figura representa um hexágono regular ABCDEF, de centro em O. Pede-se 
escrever a soma de vetores (B-A)+(C-A)+(D-A)+(E-A)+(F-A) em função do vetor 
(O-A).Obs: o centro do hexágono é o ponto “O”. 
 
 A B 
 
 
 
 
 F O C 
 
 
 
 
 E D 
 
Quando no exercício é pedido em função de (O-A), é porque na resposta deve ter 
apenas o vetor (O-A), então vamos somar todos os vetores e deixar como resultado 
apenas o vetor (O-A). Sabemos que um vetor é a soma dos que estão em sua 
volta, e se não alterarmos a direção e o sentido podemos movê-lo que ele continua 
sendo o mesmo vetor, então vamos por parte identificando os vetores. 
 
 
 A B Vamos dar nomes aos vetores para que 
 fique mais fácil trabalhar: 
 (O-A)=x (“O” é o centro do hexágono) 
 (B-A)=u 
 (C-A)=w 
 F C (D-A)=v 
 (E-A)=t 
 (F-A)=z 
 
 
 E D 
 
u=x-z 
w=u+x w=(x-z)+x w=x-z+x w=2x-z 
v=w+z v=(2x-z)+z v=2x-z+z v=2x 
t=x+z 
z=t-x z=(x+z)-x z=x+z-x z=z 
 
Agora somamos os resultados de todos vetores: 
(x-z)+(2x-z)+(2x)+(x+z)+(z) = x-z+2x-z+2x+x+z+z = 6x ou seja 6.(O-A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Dado um quadrilátero qualquer ABCD, plano ou reverso, demonstre que os 
pontos médios dos seus lados são os vértices de um paralelogramo. 
Quadrilátero é qualquer figura com quatro lados, 
 
 A (B-A)=u 
 B (C-B)=w 
 M (D-C)=t 
 Q N (A-D)=v 
 (M-Q)=a 
 (M-N)=b 
 C (N-O)=d 
 D O (Q-O)=c 
 
Temos que provar que a=d, e b=c 
 
a=1/2v+1/2u d=-1/2t-1/2w 
a=-1/2v-t-w-1/2u d=1/2t+v+u+1/2w 
 
somando as duas: somando as duas: 
 
2a=-t-w 2d=v+u 
a=-t-w d=v+u 
 2 2 
a=-1/2t-1/2w d=1/2v+1/2u 
 
a=d d=a 
 
 
b=-1/2w-1/2u c=1/2t+1/2v 
b=1/2w+t+v+1/2u c=-1/2t-w-u-1/2v 
 
somando as duas: somando as duas: 
 
2b=t+v 2c=-w-u 
b=t+v c=-w-u 
 2 2 
b=1/2t+1/2v c=-1/2w-1/2u 
 
b=c c=b 
 
11) Considere um triângulo qualquer ABC, e seja X um ponto pertencente ao lado 
AB, de tal maneira que(X-A)=3/4(B-X). Escreva o vetor (X-C) em função dos 
vetores (A-C) e (B-C). Interprete graficamente o resultado obtido. 
 
 C 
 
 
 
 
 
 A B 
 X 
Se (X-A)=3/4(B-X), significa que para construir o vetor (X-A) foi usado ¾ de (B-X), 
considerando o vetor (B-A), podemos afirmar que (B-X)=4/7(B-A) e (X-A)= 
3/7(B-A). 
Então vamos identificar o vetor (X-C): 
 
 (X-C)=(A-C)+3/7(B-A) 
 (X-C)=(B-C) -4/7(B-A) 
 
Como não queremos na resposta (B-A), podemos sumir com ele multiplicando a 
primeira linha por 4 e somar com a segunda multiplicada por 3. 
 
 4(X-C)=4(A-C)+12/7(B-A) 
 3(X-C)=3(B-C) -12/7(B-A) 
 
 Somando as duas temos: 
 
7(X-C)=4(A-C)+3(B-C) 
 (X-C)=4/7(A-C)+3/7(B-C) 
 
12) Sabendo que M e N são os pontos médios das diagonais de um trapézio ABCD, 
prove que (N-M)=1/2[(C-D)-(B-A)]. 
 
 A B vamos dar nomes aos vetores: 
 (N-M)=x 
 M N (C-D)=c 
 (B-A)=a 
 (C-A)=u 
 D C (B-D)=v 
 
 
Temos que provar que: x= 
 
x=1/2v-a+1/2u 
x=-1/2m+c-1/2n 
 
somando as duas equações: 
 
2x=-a+c 
 
x= ou seja (N-M)=1/2[(C-D)-(B-A)] 
13) Os polígonos das figuras seguintes são formados por associações de hexágonos 
regulares. Determine geometricamente o vetor soma dos vetores em cada figura, 
em função dos vetores u e v 
 
 u x=(v+u),temos três figuras iguais, 
 Soma:3(v+u+x)= 
 v x 3v+3u+3x= 
 3v+3u+3(v+u)= 
 3v+3u+3v+3u=6v+6u 
 
 
 
 u 
 Soma: 
 v -x v+u-x+v+u+x-v+u+x= 
 v+u-(v+u)+v+u+(v+u)-v+u+(v+u)= 
 v+u-v-u+v+u+v+u-v+u+v+u=2v+4u 
 
 
 
 
 
 
 
14) Seja ABCD um quadrilátero qualquer, O um ponto qualquer e P o ponto médio 
do segmento que une os pontos médios M e N das diagonais AC e BD. Prove que 
P=O+1/4[(A-O)+(B-O)+(C-O)+(D-O)]. 
 O 
 
 
 A B 
 
 
 
 M N 
 P 
 
 
 D C 
 
 
(P-O)=(A-O)+1/2(C-A)+1/2(M-N) 
(P-O)=(B-O)+1/2(D-B)-1/2(M-N) 
(P-O)=(D-O)-1/2(D-B)-1/2(M-N) 
(P-O)=(C-O)-1/2(C-A)+1/2(M-N) somando as 4 linhas teremos: 
 
 
4(P-O)=(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)(P-O)=1/4[(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)] 
P=O+1/4[(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Determine geometricamente o vetor soma dos vetores representados em cada 
um dos paralelepípedos seguintes: primeiro vamos dar nomes aos vetores, 
 
 a 
 a b b 
 
 c c 
 c c 
 a 
 a -b b 
 
 -a b 
 -a -b -b 
 
 -c -c c -c 
 
 -a 
 -a -b 
 
Soma=a+b+c+b+a+c+a+c-b+c+a+b-a-b-c-a-b-c-a-b+c-a+b-c = C 
 
16) Considere um triângulo qualquer ABC e seja X um ponto pertencente ao lado 
AB, de tal maneira que: (X-A)=3/4(B-A). Identifique a alternativa correta. 
A)(X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C) 
B)(X-C)=3/4(A-C)+1/4(B-C) 
C)(X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C) 
D)(X-C)=2/4(A-C)+1/3(B-C) 
E)(X-C)=5/4(A-C)-1/4(B-C) 
 
 C 
 
 
 
 
 
 
 A X B 
 
(X-C)=(A-C)+3/4(B-A) somar L1+3(L2) 
(X-C)=(B-C)-1/4(B-A) 
 
4(X-C)=(A-C)+3(B-C) 
 (X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C) Alternativa A 
 
17) Sejam o triângulo qualquer ABC e o ponto X sobre o lado AB, tal que 
4(X-A)=(B-X). Escrevendo o vetor (X-C) como uma combinação linear dos vetores 
(A-C) e (B-C) obtém-se: 
 
A)(X-C)=1/5(A-C)+4/5(B-C) 
B)(X-C)=4/5(A-C)+1/5(B-C) 
C)(X-C)=(A-C)+4(B-C) 
D)(X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C) 
E)(X-C)=3/4(A-C)+1/4(B-C) 
 
 
 
 
 C 
 
 
 
 
 
 1/5 4/5 
 
 A X B 
 
(X-C)=(A-C)+1/5(B-A) Somar 4L1+L2 
(X-C)=(B-C)-4/5(B-A) 
 
5(X-C)=4(A-C)+(B-C) 
 (X-C)=4/5(A-C)+1/5(B-C) Alternativa B 
 
18) Na figura ABCD é um paralelogramo, M é o ponto médio do lado AB, e os 
pontos N e P dividem o lado DC em três segmentos de mesma medida. Escrevendo 
os vetores (N-M) e (P-M) como combinações lineares dos vetores u=(C-D) e v=(A-
D), obtém-se: 
 
 
 A 1/2 M 1/2 B 
 
 
 
 
 1/3 1/3 1/3 
 
 D N P C 
 
A)(N-M)=-1/6u+v; (P-M)=-1/6u-v 
B)(N-M)=1/6u+v; (P-M)=-1/6u+v 
C)(N-M)=-1/6u-v; (P-M)=1/6u-v 
D)(N-M)=1/6u-v; (P-M)=1/6u+v 
E)(N-M)=u+v; (P-M)=(u-v) 
 
(N-M)=-1/2u-v+1/3u somar L1+L2 
(N-M)=1/2u-v-2/3u 
 
2(N-M)=-2v-1/3u 
 (N-M)=-v-1/6u 
 
(P-M)=1/2u-v-1/3u somar L1+L2 
(P-M)=-1/2u-v+2/3u 
 
2(P-M)=-2v+1/3u 
 (P-M)=-v+1/6u 
 
Alternativa C 
 
19) Seja o triângulo ABC qualquer e o ponto X sobre o lado AB, tal que (X-A)= 
2(B-X). Escrevendo o vetor (X-C) como uma combinação linear dos vetores (A-C) e 
(B-C) obtém-se: 
A)(X-C)=1/3(A-C)-2/3(B-C) 
B)(X-C)=-1/3(A-C)+2/3(B-C) 
C)(X-C)=-1/3(A-C)-2/3(B-C) 
D)(X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C) 
E)(X-C)=(A-C)+2/3(B-C) 
 
 C 
 
 
 
 
 
 A 2/3 1/3 B 
 X 
 
(X-C)=(A-C)+2/3(B-A) somar L1+2L2 
(X-C)=(B-C)-1/3(B-A) 
 
3(X-C)=(A-C)+2(B-C) 
 (X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C) alternativa D 
 
20) Na figura seguinte ABCD é um trapézio, onde (B-A)=2a; (C-D)=a e (A-D)=b. O 
ponto E é tal que (E-B)=1/3(C-B). Escrevendo o vetor (E-D) como C.L. dos vetores 
a e b obtém-se: 
 
 D a C 
 
 2/3 
 b 
 E 
 1/3 
 A B 
 2a 
 
A)(E-D)=2/3a+5/3b 
B)(E-D)=2/3a-5/3b 
C)(E-D)=5/3a-2/3b 
D)(E-D)=-5/3a-2/3b 
E)(E-D)=5/3a+2/3b 
 
 (E-D)=a+2/3(B-C) somar L1+2L2 
 (E-D)=b+2a-1/3(B-C) 
 
3(E-D)=5a+2b 
 (E-D)=5/3a+2/3b alternativa E 
 
21) Considere três pontos quaisquer O,P e Q. Seja R o ponto médio de PQ. 
Chamando a=(P-O), b=(Q-O) e c=(R-O), é correto afirmar que: 
A) c=1/2(a+b) 
B) b=1/2(a+c) 
C) a=1/2(b+c) 
D) c=1/2(a-b) 
E) c=1/2(b-a) 
 
 
 Q c=b+1/2(P-Q) 
 c=a-1/2(P-Q) somar L1+L2 
 b R 
 c 2c=a+b 
 O a P c=1/2(a+b),alternativa A 
22) A figura é constituída por nove quadrados congruentes (de mesmo lado). 
Considere as seguintes igualdades: I:BC=OP ; II:AO=MG ; III:JO=LD ; IV:AJ=3LA 
e V:LC=EP. Assinale a alternativa correta: 
 
A)I,II,IV e V são verdadeiras. A B C D 
B)I e III são verdadeiras. 
C)Somente II é verdadeira. 
D)Somente I e III são falsas. L M E 
E)Somente I e IV são falsas. 
 P O 
 
 
 J G 
 
Alternativa C, pois 
I:BC é o oposto de OP, 
II:AD=MG, (correto), 
III:JO≠LD, 
IV:AJ é o oposto de 3LA, 
V:LC é o oposto de EP. 
 
23) No triângulo ABC qualquer, tem-se AX=1/3AB e AM=1/2AB. Assinale a 
alternativa correta: 
A)CM=1/2AC+1/2BC C 
B)CM=1/3AC+2/3BC 
C)CM=CA+CB 
D)CM=1/2CA+1/2CB 
E)CX=2/3AC+1/3BC 
 A 
 X M B 
 (M-C)=(A-C)+1/2(B-A) somar L1+L2 
 (M-C)=(B-C)-1/2(B-A) 
 
2(M-C)=(A-C)+(B-C) 
 (M-C)=1/2(A-C)+1/2(B-C) alternativa D 
 
24) Considere as seguintes afirmações, onde os vetores u, v e w não são nulos: 
I) Se u=v, então |u|=|v|. (correto) 
II) Se |u|=|v|, então u=v. (errado, ex:u=(1,2,3)≠v=(3,2,1), mas possuem mesmo 
mód.) 
III) Se o vetor u é paralelo ao vetor v, então u=v.(errado, pois podem ser paralelos 
mas terem comprimentos diferentes.) 
IV) Se u=v, então u é paralelo a v. (correto) 
V) Se w=u+v, então |w|=|v|+|u|.(errado) 
Alternativa correta: E 
 
25) O quadrilátero ABCD é um paralelogramo, sendo M e N os pontos médios dos 
lados DC e AB, respectivamente. Assinale a alternativa correta: 
A)(B-M)+(A-M)=(N-M) 
B)(B-M)+(D-M)=(N-M)D M C 
C)(B-M)+(D-M)=(M-N) 
D)(M-B)-1/2(C-D)=(C-B) 
E)(A-M)+(C-B)=(C-M) 
 
 A N B 
 
 
Alternativa B, pois sendo um paralelogramo (D-M)=(N-B) 
 
 M 
 
 
 
 N B 
 
 
26) O vetor X da figura ao lado: 
A) É o vetor v-u. 
B) É o vetor u+v. 
C) É o vetor –u-v. u x 
D) É o vetor u-v. v 
E)Não pode ser escrito como combinação linear de u e v. 
 
Alternativa D, que é o mesmo que –v+u. 
 
27) Se 3x+2u=1/2v+x, então: 
A)X=1/2v-u 
B)X=v-1/2u 
C)X=-u+1/4v 
D)X=1/2v-2u 
E)X=v-1/4u 
 
3x-x=1/2v-2u 
2x=1/2v-2u 
X=1/4v-u alternativa C. 
 
28) O quadrilátero ABCD é um paralelogramo, os pontos M e N são médios dos 
lados AB e AD, respectivamente, e os pontos R e S dividem o lado BC em três 
segmentos de mesmo comprimento. Sejam os vetores u=(B-A), v=(A-D), a=(M-N), 
b=(R-N) e c=(S-N). É correto afirmar: 
A)a=1/2u+1/2v ; b=u+5/6v ; c=u+7/6v A M B 
B)a=1/2u-1/2v ; b=u+1/6v ; c=u-1/6v R 
C)a=1/2u-1/2v ; b=u+5/6v ; c=u-1/6v N 
D)a=1/2u+1/2v ; b=u+1/6v ; c=u-1/6v S 
E)a=1/2u+1/2v ; b=u-1/6v ; c=u+1/6v D C 
 
Alternativa D 
 
 A M u B 
 
 v a b R 
 N 
 c 
 S 
 
 D C 
 
Por ser um paralelogramo (A-D)=(B-C), e (C-D)=(B-A). 
 
 
 
 
 
 
29) A figura é um paralelepípedo retângulo. Sendo os vetores u=(B-A) ; v=(G-F) e 
W=(C-D), é correto afirmar que: 
A)(D-A)=u+v+w ; (G-C)=u+w ; (F-C)=-u-v+w 
B)(D-A)=u+v+w ; (D-B)=v+w ; (C-F)=u+v+w C w D 
C)(D-A)=u+v-w ; (C-G)=u+w ; (F-C)=-u-v-w 
D)(D-B)=v+w ; (G-B)=v-u-w ; (F-C)=-u-v-w B E 
E)(C-A)=u+v ; (G-B)=v+w-u ; (A-D)=-u-v+w 
 
 u 
 v G 
Alternativa C. A 
 F 
 
EXERCÌCIOS COMPLEMENTARES 
 
30)Dados os pontos A,B e C, escreva o vetor (X-B) em função dos vetores u=(A-B) 
e v=(C-B), nos casos : 
 
 A 
 
 u 
 
 B X 
 
 v 
 C 
 
(C-A)=-u+v 
(X-A)=(X-B)-u 
(C-X)=v-(X-B) 
(X-C)=-v+(X-B) 
(A-C)=u-v 
(A-X)=u-(X-B) 
 
A)1/2(X-A)+2/3(C-X)=(C-A) 
1/2[(X-B)-u]+2/3[v-(X-B)]=-u+v 
1/2(X-B)-1/2u+2/3v-2/3(X-B)=(-u+v) achar o MMC 
[3(X-B)-3u+4v-4(X-B)=-6u+6v]/6 
-(X-B)-6u+6v+3u-4v 
-(X-B)=-3u+2v 
(X-B)=3u-2v 
 
 
B)1/3(X-C)-3/2(A-C)=(X-A) 
-v+(X-B)/3 – 3/2(u-v)=(X-B)-u achar o MMC 
[-2v+2(X-B)-9u+9v=6(X-B)-6u]/6 
-2v-9u+9v+6u=6(X-B)-2(X-B) 
7v-3u=4(X-B) 
7/4v-3/4u=(X-B) 
 
 
C)2(X-C)+3(A-X)=o (vetor o) 
-2v+2(X-B)+3u-3(X-B)=0 
-(X-B)=2v-3u 
(X-B)=-2v+3u 
 
D)2/3(A-X)+1/5(A-C)=(X-C) 
2/3u-2/3(X-B)+1/5u-1/5v=-v+(X-B) achar o MMC 
[10u-10(X-B)+3u-3v=-15v+15(X-B)]/15 
10u+3u-3v+15v=15(X-B)+10(X-B) 
13u-12v=25(X-B) 
13/25u-12/25v=(X-B) 
 
31) Escreva o vetor (X-A) em função dos vetores u=(B-A) e v=(C-A), nos seguintes 
casos: 
A) 3 1 
 o o o 
 B X C 
 
 A 
 
 
 
 u v 
 
 3 1 
 B X C 
 
 (X-A)=u+3/4(C-B) somar L1+3L2 
 (X-A)=v-1/4(C-B) 
 
4(X-A)=u+3v 
 (X-A)=1/4u+3/4v 
 
B) 2 1 
 o o o 
 X B C 
 
 
 A 
 
 
 u v 
 
 2 1 
 X B C 
 
(X-A)=v-(C-X) somar L1+L2 
(X-A)=u-2/3(C-X) 
 
2(X-A)=v+u-5/3(C-X), como (C-X)= -(X-A)+v 
2(X-A)=v+u-5/3[-(X-A)+v] 
2(X-A)=v+u+5/3(X-A)-5/3v (achar o MMC) 
6(X-A)=3v+3u+5(X-A)-5v 
 (X-A)=3u-2v 
 
 
 
 
 
 
 
 
C) 3 2 
 o o o 
 B C X 
 
 A 
 
 
 u 
 V 
 
 
 B C X 
 
(X-A)=u+(X-B) somar L1+L2 
(X-A)=v+2/5(X-B) 
 
2(X-A)=v+u+7/5(X-B), como (X-B)= -u+(X-A) 
2(X-A)=v+u+7/5[-u+(X-A)] 
2(X-A)=v+u-7/5u+7/5(X-A) (achar o MMC) 
10(X-A)=5v+5u-7u+7(X-A) 
3(X-A)=5v-2u 
 (X-A)=5/3v-2/3u 
 
D) 
 A 
 
 2 3 
 
 
 
 B 2,4 X 1,6 C 
 
 (X-A)=u+2,4(C-B) somar L1+L2 
 (X-A)=v-1,6(C-B) 
 
2(X-A)=u+v+0,8(C-B) , como(C-B)=-u+v 
2(X-A)=u+v+0,8(-u+v) 
2(X-A)=u+v-0,8u+0,8v 
2(X-A)=0,2u+1,8v 
 (X-A)=0,1u+0,9v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E) 
 A 
 
 
 2 h 3 
 
 m n 
 B X C CB=4 
 
(X-A)=(B-A)+(X-B) 
(X-A)=(C-A)+(C-X) 
 
(X-B)=m/m+n(C-B) 
(C-X)=-n/m+n(C-B) 
 
h2=22-m2 e 
h2=32-n2 igualamos os h, 
22-m2=32-n2 
4-9=m2-n² 
-5=m²-n² (diferença de dois quadrados) 
-5=(m+n).(m-n) 
-5=4(m-n) 
-5/4=(m-n) 
 
m-n=-5/4 
m+n=4 somando as duas equações; 
2m=11/4 
m=11/4.1/2 
m=11/8 
 
como m+n=4 
11/8+n=4 
n=4-11/8 
n=21/8 
 
voltando; 
(X-A)=(B-A)+(X-B) 
(X-A)=(C-A)+(C-X) somando as duas equações; 
2(X-A)=(B-A)+(C-A)+(X-B)-(C-X) 
 
Como (X-B)=m/m+n(C-B) 
(X-B)= .[-(B-A)+(C-A)] 
(X-B)=11/8.1/4.[-(B-A)+(C-A)] 
(X-B)=-11/32(B-A)+11/32(C-A), e 
 
(C-X)=-(X-A)+(C-A) 
 
Então; 
2(X-A)=(B-A)+(C-A)+(X-B)-(C-X) 
2(X-A)=(B-A)+(C-A)+11/32(C-A)-11/32(B-A)+(X-A)-(C-A) 
(X-A)=21/32(B-A)+11/32(C-A) 
 
 
 
 
 
 
F) 
 A 
 
 2 3 
 b 
 
 
 B m X n C CB=4 
 
 = (teorema das bissetrizes) 
 
 = 
2(X-C)=3(X-B) 
2/3(X-C)=(X-B) 
 
(X-A)=(B-A)+2/5(C-B) fazer 3.L1+2.L2(X-A)=(C-A)-3/5(C-B) 
 
5(X-A)=3(B-A)+2(C-A) 
(X-A)=3/5u+2/5v 
 
32) O ponto M é o centro de um quadrado de vértices nos pontos A,B,C e D. 
Demonstre que (B-A)+(C-A)+(D-A)=4(M-A) 
 B C 
 (C-A)=2(M-A) 
 (D-A)+(B-A)=(C-A), como (C-A)=2(M-A) 
 
 M 2(M-A)+2(M-A)=4(M-A) 
 
 
 
 A D 
 
 
33) Em um triângulo de vértices nos pontos A,B e C, o ponto M é médio do lado AB, 
o ponto N é médio do lado BC e o ponto P é médio do lado AC. Prove que: 
(P-B)+(M-C)=(A-N). 
 
 A 
 
 
 P M 
 
 C B 
 N 
 
(P-B)=-(B-A)+1/2(C-A) somar L1+L2 
(P-B)=-(B-C)-1/2(C-A) 
 
2(P-B)=-(B-A)-(B-C) 
 (P-B)=-1/2(B-A)-1/2(B-C) 
 
(M-C)=-(C-A)+1/2(B-A) somar L1+L2 
(M-C)=(B-C)-1/2(B-A) 
 
2(M-C)=-(C-A)+(B-C) 
 (M-C)=-1/2(C-A)+1/2(B-C) 
 
 (A-N)=1/2(B-C)-(B-A) somar L1+L2 
 (A-N)=-1/2(B-C)-(C-A) 
 
2(A-N)=-(B-A)-(C-A) 
 (A-N)=-1/2(B-A)-1/2(C-A) 
 
(P-B)+(M-C)= 
[-1/2(B-A)-1/2(B-C)]+ [-1/2(C-A)+1/2(B-C)]= 
-1/2(B-A)-1/2(C-A)=(A-N) 
 
34) O triângulo ABC e seu lado mede 6 cm. O segmento AM mede 4 cm e o 
segmento BN mede 2cm. Se X é o ponto médio do segmento MN, escreva o vetor 
(X-A) como C.L. dos vetores (B-A) e (C-A). 
 
 A 
 4 
 M 
 6 2 
 X 
 B 2 4 C 
 N 
 
 (X-A)=(B-A)+1/3(C-B)-1/2(N-M) somar L1+L2 
 (X-A)=2/3(C-A)+1/2(N-M) 
 
2(X-A)=(B-A)+1/3(C-B)+2/3(C-A), como (C-B)=-(B-A)+(C-A) 
2(X-A)=(B-A)+1/3[-(B-A)+(C-A)]+2/3(C-A) 
2(X-A)=(B-A)-1/3(B-A)+1/3(C-A)+2/3(C-A) 
2(X-A)=2/3(B-A)+(C-A) 
(X-A)=1/3(B-A)+1/2(C-A) 
 
 
 
35) No triângulo ABC, o ponto é médio do lado AC. Se X é o ponto médio do 
segmento BM, determine o vetor (X-M) em função de (B-A) e (C-A). 
 
 
 A 
 
 M 
 X 
 
 
 B C 
 
 (X-M)=-1/2(C-A)+(B-A)-1/2(B-M) somar L1+L2 
 (X-M)=1/2(C-A)-(C-B)-1/2(B-M) 
 
2(X-M)=(B-A)-(C-B)-(B-M) 
2(X-M)=(B-A)-[-(B-A)+(C-A)]-[-1/2(C-A)+(B-A)] 
2(X-M)= (B-A)+(B-A)-(C-A)+1/2(C-A)-(B-A) 
2(X-M)=(B-A)-1/2(C-A) 
 (X-M)=1/2(B-A)-1/4(C-A)