civ216-concreto armado I - parte 3

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2.3.3 – Seção T 
 
 Até agora, considerou-se o cálculo de vigas isoladas com seção retangular, 
mas em boa parte dos problemas práticos esta é uma aproximação do problema real 
formado por uma laje ligada a uma viga retangular (figura abaixo). A ação conjunta 
da laje e da viga é garantida devido a ligação monolítica entre os dois. Portanto, 
quando a laje é do tipo pré-moldada, a seção é realmente retangular. 
 
 
 
Esse tipo de seção ocorre em vigas de pavimentos de edifícios comuns, com 
lajes maciças, ou com lajes nervuradas com a linha neutra passando pela mesa, em 
vigas de pontes (Figura abaixo), entre outras peças. 
 
 
 
Largura Colaborante 
 
No cálculo de viga como seção T, deve-se definir qual a largura colaborante 
da laje que efetivamente está contribuindo para absorver os esforços de compressão. 
De acordo com a NBR 6118 (2014), a largura colaborante bf será dada pela 
largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância “a” entre pontos de 
momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. 
A distância “a” pode ser estimada em função do comprimento L do tramo 
considerado, como se apresenta a seguir: 
 
� viga simplesmente apoiada ......................................................a = 1,00 L 
� tramo com momento em uma só extremidade ........................a = 0,75 L 
� tramo com momentos nas duas extremidades.........................a = 0,60 L 
� tramo em balanço.....................................................................a = 2,00 L 
 
Alternativamente o cálculo da distância “a” pode ser feito ou verificado 
mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura. 
Além disso, deverão ser respeitados os limites b1 e b3 conforme a figura 
abaixo, onde: 
 
bw é a largura real da nervura; 
ba é a largura da nervura fictícia obtida aumentando-se a largura real para cada 
lado de valor igual ao do menor cateto do triângulo da mísula correspondente; 
b2 é a distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas. 
 
 
 
Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região da mesa 
colaborante, esta mesa só poderá ser considerada de acordo com o que se apresenta 
na figura abaixo. 
 
 
Verificação do Comportamento (Retangular ou T Verdadeira) 
 
Para verificar se a seção da viga se comporta como seção T, é preciso analisar 
a profundidade da altura y (mostrada na figura abaixo) do diagrama retangular, em 
relação à altura hf (espessura da laje). Caso y seja menor ou igual a hf, a seção deverá 
ser calculada como retangular de largura bf, caso contrário, ou seja, se o valor de y 
for superior a hf, a seção deverá ser calculada como seção T verdadeira. 
O procedimento de cálculo é indicado a seguir. 
 
(i) armadura simples: 
Calcula-se �xf = hf / d 
Admitindo dimensionamento no domínio 3 e armadura simples, tem-se: 
2/6765,35625,125,1 bdfM cddx −±=β .
 
Determinado �x da equação acima para b = bf , verifica-se: 
Se �x23 � �x � �x34 (para aço CA50 e
 
MPaf ck 50≤ , 0.2593 ��x �0.6284 - 
domínio 3).
 Caso não seja confirmado o domínio 3, sugere-se que a seção seja 
alterada para que o dimensionamento seja no domínio 3. 
Dimensionamento em outro domínio implica conseqüências como, 
projeto antieconômico e ruptura da seção crítica com pequenas rotações 
plástica, ou seja, má redistribuição de esforços. 
Se �x � �xf � cálculo como seção retangular com largura bf e armadura 
simples 
Se �x > �xf � cálculo como seção T verdadeira, ou verificar para 
dimensionamento com armadura dupla. 
 
 
 
(ii) armadura dupla: 
Calcula-se �xf = hf / d 
Admitindo dimensionamento no domínio 3 e armadura dupla, tem-se: 
)/()]'(''[6765,35625,125,1 2bdfddAM cdssdx −−−±= σβ
 
Determinado �x da equação acima para b = bf , verifica-se: 
Se �x23 � �x � �x34(para aço CA50 e
 
MPaf ck 50≤ , 0.2593 ��x �0.6284 - 
domínio 3).
 Caso não seja confirmado o domínio 3, sugere-se que a seção seja 
alterada para que o dimensionamento seja no domínio 3. 
Dimensionamento em outro domínio implica conseqüências como, 
projeto antieconômico e ruptura da seção crítica com pequenas rotações 
plástica, ou seja, má redistribuição de esforços. 
Se �x � �xf � cálculo como seção retangular com largura bf e armadura 
dupla 
Se �x > �xf � cálculo como seção T verdadeira. 
 
Cálculo como Seção T Verdadeira 
 
Para o cálculo como seção T verdadeira, a hipótese de que a seção era 
retangular não foi confirmada. Uma forma aproximada de resolver o problema é 
procedendo da forma descrita a seguir. 
 
 
Calcula-se normalmente o momento resistente M0 de uma seção de concreto 
de largura bf - bw, altura h e �x = �xf. Com esse valor de M0, calcula-se a área de 
aço correspondente. Com a seção de concreto da nervura (bw x h) e com o momento 
que ainda falta para combater o momento solicitante, �M = Md – M0, calcula-se 
como uma seção retangular comum, podendo ser esta com armadura simples ou 
dupla. A área de aço total será a soma das armaduras calculadas separadamente para 
cada seção. 
Deverá existir uma armadura transversal com área mínima de 1,5cm²/m para 
garantia da largura colaborante. A armadura de flexão determinada para a laje pode 
ser considerada como armadura transvesal, desde que abrange toda a largura 
colaborante e esteja devidamente ancorada. 
 
Equações de dimensionamento considerando diagrama tensão-deformação 
parábola-retangulo. 
 
 
Para a determinação das equações de equilíbrio devem ser avaliadas duas 
situações. Na primeira situação considera-se que a deformação na transição entre a 
mesa e a alma da seção T é menor que a deformação de 0,2% ( ou 2cε para concreto 
com fck > 50Mpa), já a segunda situação esta deformação é maior que 0,2%. 
 
Situação 1: 
 
 
As resultantes no concreto considerando o diagrama parábola-retângulo são dadas 
por: 
 
[ ]∫ ∫ ====
A
xfcdfcd
x
x
cdfcc dbfxbfdyfbdAR βσ 3647.0429.085.085.0
571,0
1 
 
∫ ∫ −−==
A
x
x
c
cdfcc dyfbdAR
571,0
2
2 ])%2.01(1[85.0α
ε
σ 
 
[ ]xbfdyy
x
bfR fcd
x
x
fcdc )0208,175,13805.0(85.0])
75.11(1[85.0 32
571,0
2
2 αα
α
+−=−−= ∫ 
 
xfcdc dbfR βαα )8677,04875,13234.0( 322 +−= com 
x
xfxf
β
ββε
α
−
==
%35,0
 
 
∫ ∫ −−==
A
x
c
cdwcc dyfbdAR
α ε
σ
0
2
3 ])%2.01(1[85.0 
 
[ ]xbfdyy
x
bfR wcd
x
wcdc )0208,175,1(85.0])
75.11(1[85.0 32
0
2
3 αα
α
−=−−= ∫ 
 
xwcdc dbfR βαα )8677,04875,1( 323 −= com 
x
xfxf
β
ββε
α
−
==
%35,0
 
 
Centróide das regiões parabólicas: 
 
xbf
dyy
x
ybf
R
dyyfb
dA
dAy
y
fcd
x
x
fcd
c
x
x
c
cdf
A
c
A
c
85.0)0208.175.13805.0(
])75.11(1[85.0])
%2.0
1(1[85.0
32
571,0
2
2
571,0
2
2
_
αα
ε
σ
σ
αα
+−
−−
=
−−
==
∫∫
∫
∫
 
xy
x
xy 32
43
2
_
32
243
2
_
0208.175.13805.0
7656.01667.11385.0
)0208.175.13805.0(
)7656.01667.11385.0(
αα
αα
αα
αα
+−
+−
=→
+−
+−
= 
 
xyyy 22
_
32
43
2 0208.175.13805.0
7656.01667.11385.0
=→
+−
+−
=
αα
αα
 
 
xbf
dyy
x
ybf
R
dyyfb
dA
dAy
y
wcd
x
wcd
c
x
c
cdw
A
c
A
c
85.0)0208.175.1(
])75.11(1[85.0])
%2.0
1(1[85.0
32
0
2
3
0
2
3
_
αα
ε
σ
σ
αα
−
−−
=
−−
==
∫∫
∫
∫
 
xy
x
xy
α
αα
αα
αα
0208.175.1
7656.01667.1
)0208.175.1(
)7656.01667.1( 2
3
_
32
243
3
_
−
−
=→
−
−
= 
xyyy 33
_
2
3 0208.175.1
7656.01667.1
=→
−
−
=
α
αα
�
Situação 2: 
 
 
As resultantes no concreto considerando o diagrama parábola-retângulosão dadas 
por: 
 
[ ]∫ ∫ ====
A
xffcdffcd
x
x
cdfcc dbfbhfdyfbdAR βσ
α
85.085.085.01 
[ ]∫ ∫ −===
A
wcd
x
x
cdwcc xbfdyfbdAR )571,0(85.085.0
571,0
2 ασ
α
 
xfcdc dbfR βα )571,0(85.02 −= com 
x
xfxf
β
ββε
α
−
==
%35,0
 
 
∫ ∫ −−==
A
x
c
cdcc dyfbdAR
571,0
0
2
3 ])%2.01(1[85.0
ε
σ 
[ ] xcdcd
x
cdc bdfxbfdyy
x
bfR β3234.03805.085.0])75.11(1[85.0
571,0
0
2
3 ==−−= ∫ 
 
Centróide da região parabólica: 
 
xx
xxy
2
571.0571.0
2
571.0
2
_ +
=+
−
=
αα
 
xyyy 22
_
2 2
571.0
=→
+
=
α
 
 
[ ]xbf
dyy
x
ybf
R
dyyfb
dA
dAy
yy
cd
x
cd
c
x
c
cd
A
c
A
c
3805.085.0
])75.11(1[85.0])
%2.0
1(1[85.0
571,0
0
2
2
571,0
0
2
_
3
_
∫∫
∫
∫ −−
=
−−
===
ε
σ
σ
xy
x
xy 3569.0
3805.0
1358.0
3
_
2
3
_
=→= 
xyyy 3
_
33 3569.0 =→= 
 
As equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente: 
 
0'321 =−+++ ssccc RRRRR (1) 
 
)'(')()()
2
429,0( 3
_
32
_
21 ddRyxdRyxdR
xdRM scccd −++−++−+−=
+−++−= ))1(1()2145.01([ 221 xcxcd yRRdM ββ 
 )]/'1('))1(1( 33 ddRyR sxc −+−++ β (2) 
 
Para armadura simples, A’s = 0. As equações (1) e (2) resultam: 
 
0321 =−++ sccc RRRR (1) 
 
[ ]))1(1())1(1()2145.01( 33221 xcxcxcd yRyRRdM βββ −++−++−= (2) 
 
OBS: As equações (1) e (2) acima são válidas para os domínios 3 e 4. Para o domínio 
2 devem ser definidas outras equações. Essas equações também são válidas para 
concreto de classe até C50. 
 
OBS: Quando não se tem definida a posição da linha neutra ( xβ ) as equações (1) e 
(2) para o dimensionamento de seções T torna-se bastante complexa para serem 
resolvidas sem o auxílio de um esforço computacional. 
 
2.3.4 - Exercícios 
 
Ex 1 - Calcular a área de aço para uma seção T com os seguintes dados: Concreto 
classe C25, Aço CA-50, bw = 30 cm, bf = 80 cm, h = 45 cm, hf = 13 cm, Md = 440 
kN.m, h –d = 3 cm. Calcular no domínio 3. 
 
Solução: 
Cálculo de xβ para x = hf : 3095,042
13
===
d
h f
xfβ 
 
Equação de equilíbrio de momento para seção retangular e armadura simples e 
concreto de classe até C50: 
 
)4,01(68,0 2 xxfcd dbM ββσ −= 
 
Como dimensionamento é no domínio 3, tem-se cdc f=σ , logo 
)4,01(42,08,0
4,1
2500068,0440)4,01(68,0 22 xxxxfcdd dbfM ββββ −×=→−=
02568,04,0 2 =−+− xx ββ 
OK! 3 domínio do dentro 
2095,2
2905,0
4,02
2568,04.0411 2
=
=
→
×−
××−±−
x
x
β
β
 
 
Como xfx ββ ≤ a LN corta a mesa da seção T. Portanto ela será dimensionada como 
seção retangular de largura bf = 80 cm e altura d = 42 cm. 
 
Equação de equilíbrio de força axial para seção retangular e armadura simples: 
 
068,0 =− ssxc Abd σβσ 
 
Como dimensionamento é no domínio 3, tem-se cdc f=σ e yds f=σ , logo 
 
226,27
15,1/50
2905,042,08,04,1/2500068,068,0
cmf
bdf
A
yd
xcd
s =
××××
==
β
 
 
Configurações possíveis: 






=
=
)16,27(227
)30(256
: 2
2
cmA
cmA
A
se
se
s φ
φ
 
 
Ex 2 - Calcular a área de aço para uma seção T com os seguintes dados: Concreto 
classe C25, Aço CA-50, bw = 30 cm, bf = 80 cm, h = 45 cm, hf = 10 cm, Md = 530 
kN.m, h –d = 3 cm. Calcular no domínio 3. 
 
Solução: 
Cálculo de xβ para x = hf : 2381,042
10
===
d
h f
xfβ 
Equação de equilíbrio de momento para seção retangular, armadura simples e 
concreto de classe até C50: 
 
)4,01(68,0 2 xxfcd dbM ββσ −= 
 
Como dimensionamento é no domínio 3, tem-se cdc f=σ , logo: 
 
)4,01(42,08,0
4,1
2500068,0530)4,01(68,0 22 xxxxfcdd dbfM ββββ −×=→−=
03093,04,0 2 =−+− xx ββ 
OK! 3 domínio do dentro 
1383,2
3616,0
4,02
3093,04.0411 2
=
=
→
×−
××−±−
x
x
β
β
 
 
Como xfx ββ ≥ a LN corta a alma da seção T. Portanto ela será dimensionada como 
seção T verdadeira. 
 
Momento resistente para seção retangular considerando xfx ββ = e wf bbb −= : 
 
)4,01(68,0 2 xxcd bdM ββσ −= como 1667,0>xfβ (domínio 2b), logo cdc f=σ . 
Portanto, )4,01()(68,0 20 xfxfwfcd dbbfM ββ −−= 
 
kNmMM 7,230)2381,04,01(2381,042,0)3,08,0(
4,1
2500068,0 020 =→×−××−=
 
Armadura para o momento M0: 
 
yd
xfwfcd
sssxc f
dbbf
AAbd
β
σβσ )(68,0068,0 −=→=− 
296,13
15,1/50
2381,042,0)3,08,0(4,1/2500068,0
cmAA ss =→
×−×
= 
 
Armadura para a seção retangular hbw × : 
 
Verificar domínio 2b, 3 e 4 para armadura simples( 0,11667,0 ≤≤ xβ ): 
 
kNmMMM d 3,2997,2305300 =−=−=∆ 
 
)4,0(42,03,0
4,1
2500068,03,299)4,01(68,0 222 xxxxwcd dbfM ββββ −×=→−=∆ 
3 domínio do dentro 
881,1
6191,0
 04658,04,0 2
=
=
→=+−
x
x
xx β
βββ 
 
yd
xfwcd
sssxc f
dbf
AAbd
β
σβσ 68,0068,0 =→=− 
279,21
15,1/50
6191,042,03,04,1/2500068,0
cmAA ss =→
××××
= 
 
Armadura total para a seção T: 255,3579,2196,13 cmAs =+= 
 
Configurações possíveis: 






=
=
)01,38(2210
)46,35(257
: 2
2
cmA
cmA
A
se
se
s φ
φ
 
 
Ex 3 – Verificar o exemplo anterior usando as equações de equilíbrio de momento e 
força axial para seção T definidas para o diagrama de tensão-deformação parábola-
retângulo. 
 
Solução: determinando a armadura mínima necessária para dimensionamento da 
seção T no domínio 3, armadura simples e cmd 42= : 
 
OBS: Para que a armadura seja mínima deve-se adotar o menor valor de xβ possível 
para o domínio 3. Vimos do exemplo anterior que, para kNmM d 530= e seção 
retangular com cmb 80= tem-se 3616,0=xβ . Portanto, a seção T deve ter xβ 
superior a este valor. 
 
2381,0
42
10
===
d
h f
xfβ 
 
Momento resistente para 4,0=xβ : 
 
%1417,035,0
4,0
2381,04,035,0 =→−=
−
= cf
x
xfx
cf εβ
ββ
ε 
 
Como %2,0≤cfε , tem-se a situação 1. 
 
kNRdbfR cxfcdc 28,875 4,042,08,04,1
250003647,03647,0 11 =→×××== β 
 
4049,0
35,0
1417,0
%35,0
===
fεα xfcdc dbfR βαα )8677,04875,13234.0( 322 +−=→ 
4,042,08,0
4,1
25000)4049,08677,04049,04875,13234,0( 322 ×××+×−=cR 
kNRc 11,329 2 = 
 
xwcdc dbfR βαα )8677,04875,1( 323 −= 
kNRR cc 64,1674,042,03,04,1
25000)4049,08677,04049,04875,1( 3323 =→×××−×= �
Centróide: 
 
5059,0
4049.00208.14049.075.13805.0
4049.07656.04049.01667.11385.0
0208.175.13805.0
7656.01667.11385.0
32
43
32
43
2 =
×+×−
×+×−
=
+−
+−
=
αα
ααy
 
203,0
4049,00208.175.1
4049.07656.04049.01667.1
0208.175.1
7656.01667.1 22
3 =
×−
×−×
=
−
−
=
α
ααy �
 
[ ]))1(1())1(1()2145.01( 33221 xcxcxcd yRyRRdM βββ −++−++−= 
+−++×−= )4.0)15059.0(1(11,329)4,02145.01(28,875[42,0dM 
kNm9,494)4.0)1203.0(1(64,167 =−+ 
 
Como Md < 530 kNm o valor de xβ deve ser maior que 4,0 . 
 
Momento resistente para 5,0=xβ : 
 
%1833,035,0
5,0
2381,05,035,0 =→−=
−
= cf
x
xfx
cf εβ
ββ
ε 
Como %2,0≤cfε , tem-se a situação 1. 
 
kNRdbfR cxfcdc 1,10945,042,08,04,1
250003647,03647,0 11 =→×××== β 
 
5237,0
35,0
1833,0
%35,0
===
fεα xfcdc dbfR βαα )8677,04875,13234.0( 322 +−=→ 
 
5,042,08,0
4,1
25000)5237,08677,05237,04875,13234,0( 322 ×××+×−=cR 
kNRc 19,120 2 = 
 
xwcdc dbfR βαα )8677,04875,1( 323 −= 
kNRR cc 75,3185,042,03,04,1
25000)5237,08677,05237,04875,1( 3323 =→×××−×= �
�
Centróide: 
 
6046,0
5237.00208.15237.075.13805.0
5237.07656.05237.01667.11385.0
0208.175.13805.0
7656.01667.11385.0
32
43
32
43
2 =
×+×−
×+×−=
+−
+−
=
αα
ααy
 
33,0
5237.00208.175.1
5237.07656.05237.01667.1
0208.175.1
7656.01667.1 22
3 =
×−
×−×
=
−
−
=
α
ααy �
 
[ ]))1(1())1(1()2145.01( 33221 xcxcxcd yRyRRdM βββ −++−++−= 
 
+−++×−= )5.0)16046.0(1(19,120)5,02145.01(1,1094[42,0dM 
�������������������������������������������� kNm8,539)5.0)133.0(1(75,318 =−++ 
 
Como Md > 530 kNm o valor de xβ pode ser reduzido. 
 
Área de aço para 5,0=xβ : 
0321 =−++ sccc RRRR com ydss fAR = , logo 
yd
ccc
s f
RRR
A 321
++
= 
225,35
15,1/50
75,31819,1201,1094
cmAA ss =→
++
= 
 
Conclui-se que, a seção analisada tem um momento resistente de cálculo de 
539,8kNm para armadura simples de 35,25cm2 de área transversal. Observa-se, para 
esse exemplo, que o método aproximado apresentou um pequeno erro a favor da 
segurança. 
 
2.3.5 – Verificação dos estados limites de serviço (ELS) 
 
 Para verificação dos ELS é necessário o conhecimento do momento limite 
para início de fissuração do concreto, chamado de momento de fissuração. 
 
Momento de fissuração: 
 
Nos estados limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no 
estádio I e parcialmente no estádio II. A separação entre essas duas partes é definida 
pelo momento de fissuração. Esse momento pode ser calculado pela seguinte 
expressão aproximada (NBR 6118, 2014): 
 
 
t
cct
r y
If
M α= onde 
 
α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a 
resistência à tração direta: 
 
 esretangular seções para 1,5
invertidos Tou I seções para 1,3
 T duploou T seções para 2,1
=α 
 
ctf é a resistência à tração direta do concreto: 
 
 
cI é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
 
ty é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada; 
 
Para seção transversal retangular: 
 
12
3bhI c = e xhyt −= . 
 
 Na equação do momento de fissuração dada acima foi desprezada a 
contribuição da armadura de tração. Para evitar esta aproximação utiliza-se a técnica 
de homogeneização da seção transversal. 
 
Homogeneização da seção: 
 
Para facilitar os cálculos das tensões em uma seção transversal composta por 
mais de um material é feita uma homogeneização da seção. No concreto armado essa 
homogeneização é feita substituindo-se a área de aço por uma área correspondente de 
concreto, obtida a partir da área de aço As, multiplicando-a por �e = Es/Ec. 
 
(a) Estádio 1: 
 
No estádio I o concreto resiste à tração. Para seção retangular, a posição da 
linha neutra e o momento de inércia são calculados com base na Figura abaixo. 
 
 
Para seções homogêneas a LN passa pelo centro geométrico da seção. 
Portanto, para determinar a posição x1 da linha neutra na figura acima basta 
encontrar o centro geométrico da seção homogeneizada. Neste caso transformaremos 
a área de aço em uma área equivalente de concreto. 
 
ci
s
e E
E
=α onde MPaEs 210000= e ciE pode ser determinado a partir de ckf 
conforme item 1.2.4 desse curso. 
 
se
se
ses
ses
h
i
ii
Abh
dAbh
x
AAbh
dAdAbh
A
Ay
x )1(
)1(2/2
1
2
1
−+
−+
=→
+−
+−
==
∑
∑
α
α
α
α
 
 
Usando o teorema dos eixos paralelos e desprezando o momento de inércia da 
armadura em relação ao próprio eixo, tem-se: 
 
2
1
2
1
3
1 )()1(212 xdA
h
xbhbhI se −−+





−+= α 
 
(b) Estádio 2: 
 
 O estádio II caracteriza-se pela área de concreto abaixo da linha neutra se 
encontrar fissurada. Neste caso é desprezada essa parte da seção, exceto as áreas das 
barras tracionadas, como mostra a Figura abaixo. 
 
 
 
Com procedimento análogo ao do estádio I, desprezando-se a resistência do concreto 
à tração, tem-se: 
cs
s
e E
E
=α onde MPaEs 210000= e csE pode ser determinado a partir de ciE e ckf 
conforme item 1.2.4 desse curso. 
 
se
se
se
se
i
ii
Abx
dAbx
x
Abx
dAbxx
A
Ay
x
α
α
α
α
+
+
=→
+
+
==
∑
∑
2
2
2
2
2
22
2
5.05.0
 
 
05.0 2
2
2 =−+ dAxAbx sese αα b
dAbAA
x
sesese ααα 2
22
2
+±−
=→ 
 
Usando o teorema dos eixos paralelos e desprezando o momento de inércia da 
armadura em relação ao próprio eixo, tem-se: 
 
2
2
3
2
2 )(3 xdA
bxI se −+= α 
 
Formação de fissuras 
 
O estado limite de formação de fissuras corresponde ao momento de 
fissuração calculado com fct = fctk,inf. Esse valor de Mr é comparado com o momento 
de cálculo referente à combinação rara de serviço, dada por: 
 
∑∑ ++= qikikqgikd FFFF 11 ψ 
 
No caso de edifícios de porte médio onde, em geral, pode-se desprezar os 
efeitos das ações de vento, retração e temperatura, tem-se a ação variável devido à 
carga de uso e ação permanente devido ao peso próprio como as únicas ações 
atuantes na estrutura, portanto, 
 
qkgkd FFF += 
 
A verificação do ELS de formação de fissuras é feita comparando o momento 
de cálculo com o momento limite de início de fissuração. Dessa forma se Md,rara > Mr 
há fissuras, caso contrário, não. 
 
Deformação excessiva 
 
Na verificação das deformações de uma estrutura, deve-se considerar uma 
rigidez efetiva das seções e uma combinação quase-permanente das ações atuantes. 
A combinação quase-permanente é dada por: 
 
∑∑ += qikigikd FFF 2ψ . 
 
No caso de edifícios de porte médio onde, em geral, pode-se desprezar os 
efeitos das ações de vento, retração e temperatura, tem-se a ação variável devido à 
carga de uso e ação permanente devido ao peso próprio como as únicas ações 
atuantes na estrutura, portanto, 
 
qkgkd FFF 2ψ+= com �2 = 0,3. 
 
(a) Flecha imediata em vigas: 
 
A flecha imediata pode ser calculada admitindo-se comportamento elástico 
linear através de análise estrutural devida. 
Segundo a NBR 6118 (2014) deve-se utilizar na análise estrutural o momento 
de inércia equivalente que leva em consideração a seção parcialmente fissurada, ou 
seja, a verificação do ELS de deformação excessiva se dá no estádio 2a (definido em 
item anterior nesse texto). Abaixo é apresentada a expressão para o momento de 
inércia equivalente para o ELS de deformação excessiva. 
 
2
33
1 I
M
M
I
M
M
I
a
r
c
a
r
eq














−+





= 
 
cI é o momento de inércia da seção bruta de concreto. Para uma taxa normal de 
armadura de tração este valor é muito próximo do momento de inércia da seção 
composta de concreto armado ( 1I ), o que justifica a utilização deste pela norma. 
2I é o momento de inércia da seção fissurada no estádio II, calculado com 
csse EE /=α ; 
aM é o momento fletor de cálculo obtido na seção crítica para uma combinação 
quase permanente das ações atuantes; 
rM é o momento de fissuração calculado com fct=fctm . No caso de armaduras lisas 
deve-se usar a metade desse valor. 
 
Observa-se da expressão do momento de inércia equivalente acima que, se o 
momento de cálculo for igual ao momento de fissuração tem-se momento de inércia 
equivalente igual ao momento de inércia da seção bruta, o que era esperado, já que 
nesse caso o concreto não se encontra fissurado. 
 
(b) Flecha diferida em vigas: 
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em 
função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da 
flecha imediata pelo fator �f dado pela expressão (NBR 6118, 2014): 
 
'501 ρ
ξ
α
+
∆
=f 
 
Onde 
bh
A s'
'=ρ é a taxa de armadura de compressão (armadura dupla). 
)()( 0tt ξξξ −=∆ é o fator que leva em consideração a fluência do concreto. Com t 
sendo o tempo, emmeses, quando se deseja o valor da flecha diferida, e t0 é a idade, 
em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. Os valares de )(tξ 
são obtidos pela tabela ou expressões abaixo. 
 
 
 
Sendo assim, tem-se: flecha diferida ( dδ ) dada por ifd δαδ = , e flecha total ( tδ ) em 
função da flecha inicial ( iδ ) dada por ifdit δαδδδ )1( +=+= . 
A verificação do ELS de deformação excessiva se dá comparando os 
deslocamentos obtidos com os valores limites especificados pela NBR 6118 (2014). 
Caso esses limites sejam ultrapassados, pode-se adotar: 
 
(i) Aumentar a idade para aplicação da carga (aumentar t0), mantendo o escoramento 
por mais tempo ou retardando a execução de revestimentos, paredes etc. 
(ii) Adotar uma contraflecha ( cδ ), tomada geralmente como sendo a flecha imediata 
mais metade da flecha diferida, ou seja, ifc δαδ )5.01( += . 
 
Abertura de fissuras 
 
Na verificação do ELS de abertura de fissuras deve-se considerar uma 
combinação frequente das ações atuantes, dada por (NBR 6118, 2014): 
 
∑∑ ++= qikikqgikd FFFF 211 ψψ . 
 
No caso de edifícios de porte médio onde, em geral, pode-se desprezar os 
efeitos das ações de vento, retração e temperatura, tem-se a ação variável devido à 
carga de uso e ação permanente devido ao peso próprio como as únicas ações 
atuantes na estrutura, portanto, 
 
qkgkd FFF 1ψ+= com �1 = 0,4. 
 
A abertura de fissuras, w, determinada para cada região de envolvimento da 
barra longitudinal, é dada pelas expressões (NBR 6118, 2014): 
 




















+=
=
≤
454
5,12
3
5,12
2
1
crisi
si
i
i
ctm
si
si
si
i
i
E
w
fEw
w
ρ
σ
η
φ
σσ
η
φ
 
crisiisi E ρφσ e , , são definidos para cada área 
de envolvimento em exame como mostra a 
figura abaixo. 
 
 
 
criA é a área da região de envolvimento protegida pela barra �i (figura acima); 
 siE é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada, de diâmetro �i ; 
crisicri AA /=ρ é a taxa de armadura em relação à área Acri; 
siσ é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada 
no Estádio II, cálculo este que pode ser feito com �e = 15 (NBR 6118, 2007). 
iη é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada (NBR 6118, 
2007) 
MPa) (em 3,0
nervuradas barras para 25,2
dentadas barras para 4,1
lisas barras para 1
3/2
ckctm
i
ff =










=η
 
 
 A tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada pode ser 
obtida da expressão da resistência dos materiais considerando que para o ELS a 
seção esteja trabalhando no estádio 2a. 
y
I
M
=σ 
 
 
Para as barras tracionadas da figura acima considerando seção 
homogeneizada, tem-se: 
 
)( 2
2
xd
I
M d
esi −= ασ . 
 
A verificação do ELS de abertura de fissuras se dá comparando as aberturas 
encontradas pelas equações descritas acima, com os valores limites especificados 
pela NBR 6118 (2014). Caso esses limites sejam ultrapassados, pode-se adotar: 
 
(i) Diminuir o diâmetro da barra (diminui �);. 
(ii) Aumentar o número de barras mantendo o diâmetro (diminui �s); 
(iii) Aumentar a seção transversal da peça (diminui �). 
 
OBS: Nas vigas usuais com altura menor que 1,2m, pode ser dispensada a 
verificação da abertura de fissuras na armadura de pele, desde que seja verificada a 
abertura de fissuras nas armaduras mais tracionadas, e a armadura de pele atende aos 
limites estabelecidos pela NBR 6118 (2014) no item 17.3.5.2.3. 
 
2.3.6 – Valores limites para armaduras longitudinais de vigas e empuxo no vazio 
 
 A NBR 6118 (2014) estipula valores limites para a armadura longitudinal de 
elementos lineares de concreto armado. A armadura mínima está relacionada a uma 
garantia de ruptura dúctil do elemento de concreto armado, ou seja, uma quantidade 
mínima de aço necessária para resistir ao momento de início de fissuração. Já a 
limitação de uma taxa de armadura máxima está condicionada à execução do 
elemento e a garantia do comportamento estrutural como elemento de concreto 
armado. 
 
(a) Armadura de tração 
 
A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados deve ser 
determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela 
expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15% (NBR 6118, 2014). 
 
sup,0min, 8,0 ctkd fWM = 
 
onde: W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à 
fibra mais tracionada; fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à 
tração, como dada anteriormente no item 1. 
O dimensionamento para Md,mín pode ser considerado atendido se forem 
respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela abaixo. 
 
 
 
No caso do momento de cálculo do elemento, obtido considerando de forma 
rigorosa todas as combinações possíveis de carregamento (efeitos de temperatura, 
deformações diferidas e recalques de apoio), for menor que o dobro de Md,mín 
(elementos estruturais superdimensionados), pode ser utilizada armadura menor que 
a mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md, 
tendo-se especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação 
de fissuração. 
 
(b) Armadura de pele 
 
A armadura lateral mínima deve ser de 0,10% da Ac,alma em cada face da alma 
da viga e composta por barras de aço CA50 ou CA60 com espaçamento não maior 
que 20 cm, respeitando o disposto em relação à abertura de fissuras. 
 
OBS: Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização 
da armadura de pele. 
 
(c) Armaduras de tração e compressão máxima 
 
A taxa de armadura longitudinal máxima para elementos lineares de concreto 
armado não deve ser superior a 4%, ou seja, %4/)'(max, ≤+= csss AAAρ onde: As é 
a área das armaduras de tração; A’s é a área de armaduras de compressão; e Ac é a 
área da seção bruta de concreto. Esta taxa de armadura máxima deve ser avaliada 
fora da zona de emendas. 
 
(d) Barras curvadas (empuxo no vazio) 
 
O diâmetro interno de curvatura de uma barra da armadura longitudinal 
dobrada, para resistir à força cortante ou devido à mudança de direção do elemento 
linear, não deve ser menor que 10 � para aço CA-25, 15 � para CA-50 e 18 � para 
CA-60. No caso de existir folga na armadura longitudinal devido a uma tensão 
atuante menor que a tensão de escoamento do aço, podem ser reduzidos esses 
ângulos proporcionalmente à diferença entre estas tensões, não devendo ser inferior 
aos ângulos de curvatura de ganchos. A configuração da armadura curvada deve ser 
de tal forma que impeça o empuxo no vazio, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.7 – Exercícios 
 
Ex1: A viga biapoiada indicada na figura abaixo está submetida a um carregamento 
distribuído de 40kN/m devido ao peso próprio e de 10kN/m devido à carga variável 
de uso. Verificar os ELS dados: seção 22cm x 40cm, L = 410cm, concreto C25, aço 
CA-50, armadura longitudinal 4�20 (12,60 cm2), d = 35,9cm, classe II de 
Agressividade Ambiental. 
 
 
Solução: 
 
5,1=α (seção retangular) 
 
(i) formação de fissuras 
 
Como 50≤ckf e considerando brita de Gnaisse, tem-se: ckci fE 5600= 
 
28000255600 ==ciE , MPaEs 210000= 5,728000
210000
===→
cs
s
e E
E
α 
 
cmhyt 202/ == (desprezando área de aço) 
 
cm
Abh
dAbh
x
se
se 35,21
6,12)15,7(4022
9,356,12)15,7(40225,0
)1(
)1(2/ 22
1 =
−+×
×−+××
=
−+
−+
=
α
α
 
 
mxhyt 65,1835,21401 =−=−= (não desprezando área de aço) 
 
43
33
10173,1
12
4,022,0
12
m
bhI c−×=
×
== (desprezando área de aço) 
 
2
1
2
1
3
1 )()1(212 xdA
h
xbhbhI se −−+





−+= α 
24
2
3
1 )2135,0359,0(106,12)15,7(2
4,02135,04,022,010173,1 −×−+





−×+×= −−I
43
1 10362,1 mI
−×= (não desprezando área de aço)�
�
MPaf ct 795,12521,0 3/2 =×= (formação de fissuras) 
 
kNm
y
If
M
t
cct
r 79,152,0
10173,117955,1
3
=
××
==
−
α (desprezando área de aço) 
kNm
y
If
M
t
ct
r 04,20183,0
10362,117955,1
3
1
=
××
==
−
α (não desprezando área de aço) 
 
Combinação rara de serviço mkNqqq qkgkd /501040 =+=+=→ 
 
kNm
Lq
M qd 1,1058
1,450
8
22
=
×
== (momento de cálculo para combinação rara de 
serviço) 
 
Como rd MM > então haverá fissuras. 
 
(ii) deformação excessiva 
 
238002800085.085.0 =×== cics EE , MPaEs 210000= , 
82.8
23800
210000
===
cs
s
e E
E
α 
 
cmhyt 202/ == (desprezando área de aço) 
 
cm
Abh
dAbh
x
se
se 6,21
6,12)182,8(4022
9,356,12)182,8(40225.0
)1(
)1(2/ 22
1 =
−+×
×−+××
=
−+
−+
=
α
α
 
 
cmxhyt 4,186,21401 =−=−= (não desprezando área de aço) 
 
4310173,1 mI c
−×= (desprezando área de aço) 
 
2
1
2
1
3
1 )()1(212 xdA
h
xbhbhI se −−+





−+= α 
24
2
3
1 )216,0359,0(106,12)182,8(2
4,0216,04,022,010173,1 −×−+





−×+×= −−I
43
1 10394,1 mI
−×= (não desprezando área de aço)�
 
MPaff ctmct 565,2253,0 3/2 =×== (deformação excessiva) 
 
kNm
y
If
M
t
cct
r 57,222,0
10173,125655,1
3
=
××
==
−
α (desprezando área de aço) 
 
kNm
y
If
M
t
ct
r 80,2918,0
10394,125655,1
3
1
=
××
==
−
α (não desprezando área de aço) 
 
(descarta) 87,24
6,14
22
51,43332,1112
2
2
22
2
−=
=
→
±−
=
+±−
=
x
cmx
b
dAbAA
x
sesese ααα
 
24
3
2
2
3
2
2 )146,0359,0(106,1282,83
146,022,0)(
3
−××+
×
=−+= −xdAbxI seα 
 
44
2 10324,7 mI
−×= (momento de inércia no estádio II) 
 
mkNqqq qkgkd /43103.0402 =×+=+= ψ (Combinação quase permanente de 
serviço) 
kNm
Lq
M qd 4,908
1,443
8
22
=
×
== (momento de cálculo para combinação quase 
permanente de serviço) 
 
Momento de inércia equivalente 2
33
1 I
M
M
I
M
M
I
a
r
c
a
r
eq














−+





= 
 
kNmM r 57,22= (desprezando área de aço), kNmM r 8,29= (não desprezando área 
de aço), 4310173,1 mI c −×= (desprezando área de aço), 431 10394,1 mI −×= (não 
desprezando área de aço), 442 10324,7 mI −×= e kNmM a 4,90= . 
 
444
3
3
3
10393,710324,7
4,90
57,22110173,1
4,90
57,22
mI eq
−−− ×=×














−+×





= 
(desprezando área de aço) 
 
444
3
3
3
10561,710324,7
4,90
8,29110394,1
4,90
8,29
mI eq
−−− ×=×














−+×





= (não 
desprezando área de aço) 
 
Flecha imediata: 
 
Para viga bi-apoiada uniformemente carregada a flecha máxima é no meio do vão: 
 
 cmm
IE
Lq
eqcs
d
i 899.010992,810393,71023800384
1,4435
384
5 3
43
44
=×=
××××
××
==
−
−
δ 
(desprezando área de aço) 
 
cmm
IE
Lq
eqcs
d
i 879,010791,810561,71023800384
1,4435
384
5 3
43
44
=×=
××××
××
==
−
−
δ (não 
desprezando área de aço) 
 
Flecha diferida: 
 
Considerando que a carga de longa duração será considerada atuando a partir de 1 
mês de concretagem, tem-se 10 =t mês, logo: 
677,0)996,0(68,0)1()996,0(68,0)( 32,0 ==→= ξξ tt t 
 
Para t > 70 meses, tem-se 2)( =tξ , logo 323,1677,02 =−=∆ξ . 
 
Como 0' =sA (armadura simples) tem-se 0'=ρ , logo: 
 
323,1
0501
323,1
'501
=
×+
=
+
∆
=
ρ
ξ
α f 
 
Fecha total: 
 
cmifT 09,2899.0323,2)1( =×=+= δαδ (desprezando área de aço) 
cmifT 04,2879.0323,2)1( =×=+= δαδ (não desprezando área de aço) 
 
Fecha limite: 
 
Para aceitabilidade visual tem-se cmL 64,1250/410250/ limlim ==→= δδ 
 
Como limδδ >T há necessidade de redimensionamento da seção ou aplicação de uma 
contraflecha. 
 
Contraflecha: 
 
cmifc 49,1899,0)323,15,01()5,01( =×+=+= δαδ (desprezando área de aço) 
cmifc 46,1879,0)323,15,01()5,01( =×+=+= δαδ (não desprezando área de aço) 
 
Geralmente é adotada uma contraflecha múltipla de 5 mm, logo adotar cmc 5,1=δ . 
 
(iii) abertura de fissuras: 
 
Combinação frequente de serviço mkNqqq qkgkd /44104.040 1 =×+=+=→ ψ 
 
kNm
Lq
M qd 5.928
1,444
8
22
=
×
== (momento de cálculo para combinação frequente 
de serviço) 
 
 
 
OBS: Na figura acima foi usada a distância limite de lφ5,7 já que ela se encontra 
dentro da região fissurada, se não deveria ser usada a distância d – x2. 
 
Com base na figura acima há duas regiões de envolvimento das barras a considerar, 
uma para as barras internas e outra para as barras externas. Como as barras têm 
mesmo diâmetro, deve-se verificar a abertura para a maior área de envolvimento. 
 
cm
cb
a lth 0,33
0,24)5,00,2(222
3
4)(2
=
×++−
=
++−
=
φφ
, logo 
 
cmaaab lhhlh 50,20,35,05,02 =+=+=++= φφ . 
 
cmacb hlt 635,00,25,025,01 =×+++=+++= φφ 
 
Área crítica máxima: 21 111)285,02(6)8( cmcbA ltcri =×++=++= φφ 
 
%83,2100
111
14,3100 =×=×=
cri
si
cri A
Aρ 
 
MPakPa
I
xdM d
es 23723726910324,7
)146,0359,0(5,9282,8)( 4
2
2
==
×
−
=
−
=
−
ασ (tensão nas 
armaduras de tração considerando estádio 2a) 
 




















+=
=
≤
454
5,12
3
5,12
2
1
crisi
si
i
i
ctm
si
si
si
i
i
E
w
fEw
w
ρ
σ
η
φ
σσ
η
φ
 
 
mmcmw 22,0022,0
565,2
2373
210000
237
25,25,12
0,2
1 ==
×
×
= 
 
mmcmw 15,0015,045
0283,0
4
210000
237
25,25,12
0,2
2 ==





+
×
= 
 
Portanto, mmw 15,0= . Como para concreto armado sujeito a classe de agressividade 
II tem-se mmw 3,0lim = , logo a viga está bem dimensionada para o estado limite de 
abertura de fissuras.