aula-3-solidos de resolucao

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Volumes de Sólidos de Revolução
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Volumes de Sólidos de Revolução
1.O método do disco
2.O método da arruela
3.Aplicação
1. O método do disco
Conforme a figura a seguir, obtém-se um
sólido de revolução fazendo-se uma região plana
revolver em torno de uma reta. A reta é chamada
eixo de revolução.
1. O método do disco
1. O método do disco
Para deduzir uma fórmula que nos permita
achar o volume de um sólido de revolução,
consideremos uma função contínua f, não-negativa
no intervalo [a, b]. Suponhamos a área da região
aproximada por n retângulos, todos com mesma
largura Dx, conforme a figura a seguir.
1. O método do disco
n→∞
1. O método do disco
Fazendo os retângulos revolverem em torno
do eixo x, obtemos n discos circulares, cada um
dos quais tem volume dado por
2( )if x x  ⋅ ∆ pi
O volume do sólido formado pela revolução
da região em torno do eixo x é aproximadamente
igual à soma dos volumes dos n discos. Além disso,
tomando o limite quando n tende para o infinito,
podemos ver que o volume exato é dado por uma
integral definida. Este resultado é chamado o
Método do Disco.
1. O método do disco
O Método do Disco
O volume do sólido formado pela revolução, em torno
do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f e pelo
eixo x (a ≤ x ≤ b), é
[ ]2Volume ( )b
a
f x dx= ∫pi
1. O método do disco
Exemplo 1: Determine o volume do sólido formado
pela revolução, em torno do eixo x, da região
delimitada pelo gráfico de f (x) = -x2 + x e pelo eixo x.
1. O método do disco
Inicialmente fazemos um esboço da região
delimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x.
Conforme a figura a seguir, tracemos um retângulo
representativo cuja altura é f (x) e cuja largura é ∆x.
1. O método do disco
2Raio ( )f x x x= = − +
1. O método do disco
[ ]1 2
0
Volume ( )f x dx= ∫pi
( )1 220 x x dx= − +∫pi
Método do Disco
Substituir f (x)
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
( )1 4 3 20 2x x x dx= − +∫pi
15 4 3
05 2 3
x x x 
= − + 
 
pi
unidades cúbicas0,105 
30
= ≈
pi
Desenvolvendo o integrando
1. O método do disco
OBS: No Exemplo 1, todo o problema foi resolvido
sem apelar para o esboço tridimensional mostrado
na figura anterior, à direita. Em geral, para
estabelecer a integral para o cálculo do volume de
um sólido de revolução, é mais útil um esboço
gráfico da região plana do que do próprio sólido,
porque o raio se torna mais visível na região plana.
2. O método da arruela
Podemos ampliar o Método do Disco para
calcular o volume de um sólido de revolução que
apresente um buraco. Consideremos uma região
delimitada pelos gráficos de f e g, conforme a
figura a seguir (lado esquerdo).
2. O método da arruela
2. O método da arruela
Se a região revolve em torno do eixo x,
podemos determinar o volume do sólido resultante
aplicando o Método do Disco a f e g e subtraindo
os resultados.
[ ] [ ]2 2Volume ( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx= −∫ ∫pi pi
Escrevendo esta expressão como uma única
integral, obtemos o Método da Arruela.
O Método da Arruela
Sejam f e g contínuas e não-negativas no intervalo
fechado [a, b]. Se g (x) ≤ f (x) para todo x no intervalo,
então o volume do sólido gerado pela revolução, em
torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos de
f e g (a ≤ x ≤ b), é
f (x) é o raio exterior e g (x) é o raio interior.
[ ] [ ]2 2Volume ( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx= −∫ ∫pi pi
2. O método da arruela
2. O método da arruela
Note que, na figura anterior (à direita), o
sólido de revolução tem um buraco. Além disso, o
raio do buraco é g (x), o raio interior.
Exemplo 2: Calcule o volume do sólido gerado pela
revolução, em torno do eixo x, da região delimitada
pelos gráficos de
2. O método da arruela
2( ) 25 e ( ) 3f x x g x= − =
conforme a figura a seguir.
2. O método da arruela
Determinemos primeiro os pontos de
interseção de f e g igualando f (x) e g (x) e resol-
vendo em relação a x.
2. O método da arruela
( ) ( )f x g x=
225 3x− =
Igualar f (x) e g (x)
Substituir f (x) e g (x)
Resolver em relação a x
Elevar ambos os membros ao quadrado225 9x− =
2 16x =
4x = ±
Tomando f (x) como raio exterior e g (x) como
raio interior, podemos determinar o volume do
sólido como a seguir.
2. O método da arruela
Método das Arruelas
[ ] [ ]( )4 2 24Volume ( ) ( )f x g x dx−= −∫pi
( ) ( )24 224 25 3x dx−  = − −  ∫pi
Substituir f (x) e g (x)
2. O método da arruela
( )4 24 16 x dx−= −∫pi Simplificar
43
4
16
3
x
x
−
 
= − 
 
pi Determinar a antiderivada
polegadas cúbicas
256 268,08 
3
= ≈
pi
3. Aplicação
Exemplo 3: De acordo com o regulamento, uma
bola de rugby pode ter como modelo um sólido
formado pela revolução, em torno do eixo x, do
gráfico de
2( ) 0,0944 3,4, 5,5 5,5f x x x= − + − ≤ ≤
conforme a figura a seguir. Utilize este modelo
para determinar o volume de uma bola de rugby.
(No modelo, x e y são dados em polegadas.)
3. Aplicação
OBS: Obtém-se um sólido em forma de uma bola de rugby (futebol
americano) pela revolução de um segmento de parábola em torno do eixo x.
3. Aplicação
Para determinar o volume do sólido de revolução,
aplique o Método do Disco.
Método do Disco[ ]5 2
5
Volume ( )f x dx
−
= ∫pi
( )5 225 0,0944 3,4x dx−= − +∫pi Substituir f (x)
polegadas cúbicas232 ≈
3. Aplicação
Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtido
pela rotação da região limitada por y = x3, y = 8 e
x = 0 ao redor do eixo y.
3. Aplicação
Como a região é girada ao redor do eixo y,
faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao
eixo y e, portanto, integrar em relação a y.
3. Aplicação
Se fatiarmos a uma altura y, obteremos um
disco circular com raio x, onde x = y1/3.
3(y)f y=
[ ]2Volume ( )b
a
f y dy= ∫pi
3. Aplicação
Como o sólido está entre y = 0 e y = 8, seu
volume é
28
3
0
Volume )y dy =  ∫pi
8 821/3 2/3
0 0
Volume y dy y dy = = ∫ ∫pi pi
8
85/3 5/3
0
0
Volume
3 3
5 5
y y   = =    
pi pi
[ ]80Volume 3 9632 05 5= − =
pi
pi