Problemas de Física: Blocos Conectados, Força Variável, Loop e Energia Potencial

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS NOTA
CIEˆNCIA EXATAS E TECNOLO´GICAS - FI´SICA
F´ısica Mecaˆnica A - Turma 63 - 2a Verificac¸a˜o - Grau B
Data: Prof. Vilarbo da Silva Ju´nior
Aluno: .
(1) (1,0 p.t.) Um bloco de massa m1 que se encontra sobre uma superf´ıcie horizontal esta´
conectado a outro bloco de massa m2 via uma corda ideal sendo que esta passa por uma
roldana de massa e atrito desprez´ıveis (figura abaixo). O coeficiente de atrito cine´tico entre
a superf´ıcie horizontal e o bloco de massa m1 e´ µc. Admitindo que o sistema acelere para a
direita do plano horizontal.
(a) Apresente os diagramas de forc¸as para cada bloco, bem como as equac¸o˜es dinaˆmicas
provenientes da aplicac¸a˜o da Lei de Newton.
(b) Com base no item (a) mostre que a acelerec¸a˜o adquirida pelo conjunto e´ dada por
a =
m2 − µcm1
m1 +m2
g.
Interprete este resultado em termos da acelerac¸a˜o da gravidade g.
(c) Mostre que o mo´dulo da forc¸a tensora na corda que une os blocos vale
T = (1 + µc)
m1
m1 +m2
m2g.
Interprete fisicamente este resultado em termos do peso de m2.
(d) Se o sistema parte do repouso, conclua que apo´s o mesmo percorrer uma distaˆncia L,
sua velocidade e´
v =
√(
m2 − µcm1
m1 +m2
)
2gL.
(e) Se todas quantidades f´ısicas envolvidas neste problema estiverem no (SI), comprove
que a acelerac¸a˜o do item (b) esta´ dada, de fato, em m/s2, i.e. [a] = m/s2.
[Dica:
∑−→
F = m−→a :. p = mg:. fac = µcN :. v2 = v2o + 2a∆x.].
(2) (1,0 p.t.) A figura abaixo representa o gra´fico de uma forc¸a varia´vel F (x).
x0 2x0 3x0 4 x0
x
-F0
F0
FHxL
(a) Apresente explicitamente a lei matema´tica desta forc¸a no intervalo [0, 4xo].
(b) Calcule o trabalho realizado por esta forc¸a sob uma part´ıcula no deslocamento x ∈
[0, 4xo].
(c) Se Fo = 1N , xo = 1m e tal trabalho (item (b)) foi realizado em 1s. Determine a
poteˆncia me´dia.
[Dica: W =a´rea (com sinal), P = W/∆t.]
(3) (1,0 p.t.) Uma part´ıcula de massa m e´ abandonado do repouso no alto de uma rampa
e parte em direc¸a˜o ao loopde raio R (setor circular da rampa).
(a) Se H = 6R, utilize corretamente o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia mecaˆnica para
mostra que sua velocidade no ponto mais baixo da trejeto´ria (in´ıcio do loop) vale
v = 2
√
3gR.
(b) Levando em conta que a trajeto´ria dentro do loop e´ circular, mostre que o mo´dulo da
forc¸a normal no ponto mais baixo da trajeto´ria e´ dado por
N = 13mg,
interprete este resultado no contexto deste problema.
(c) Utilize o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia mecaˆnica, bem como o desenvolvimento
do item (b), para mostrar que o mo´dulo da forc¸a normal no ponto mais baixo da trajeto´ria
depende da altura inicial H do seguinte modo
N = mg
(
1 + 2
H
R
)
.
(d) Defina, n = N
mg
e h = H
R
. Conclua que a forc¸a normal apresentada no item (c) pode
ser reescrita como
n = 1 + 2h
(e) Por fim, construa o gra´fico n× h, para h ∈ [0, 6]. Interprete este gra´fico no contexto
deste problema.
[Dica: Ei = Ef :. E = K + U :. K =
mv2
2
:. U(y) = mgy:. p = mg:.
∑
F = ma:. ac =
v2
r
.]
.
(4) (1,0 p.t.) Suponha que uma part´ıcula esteja submetida a um campo de forc¸as que
induz a seguinte energia potencial U(x)
U(x) = −x
2
2
+ a x
onde a e´ uma constante positiva.
(a) Obtenha uma expressa˜o para a forc¸a varia´vel F (x) induzida por esta energia potencial.
(b) Baseado exclusivamente no item (a), mostre que o ponto de equil´ıbrio de U(x) ocorre
em
x1 = a
(c) Mostre que o valor de U(x), avaliado no ponto de equil´ıbrio, vale
U(a) =
a2
2
e que
lim
x→+∞U(x) = −∞, limx→−∞U(x) = −∞.
(d) Utilize o iten anterior para esboc¸ar o gra´fico de U(x) para x ∈ (−∞,+∞).
(e) Com base no gra´fico do item (d), classifique o ponto de equil´ıbrio de U(x) quanto a
natureza da sua estabilidade. Justifique.
[Dica: F (x) = −dU(x)
dx
:. d
dx
[xn] = nxn−1.]
Extra (1.0) Na figura abaixo dois blocos de mesma massa m sa˜o abandonados, a partir
do repouso, sobre um plano inclinado de aˆngulo θ. Os blocos 1 e 2 esta˜o unidos por uma
haste r´ıgida de comprimento a, ale´m disso o bloco 2 esta´ a uma distaˆncia L do solo medida
ao longo do plano (vide figura). Existe atrito entre os blocos e o plano, sendo µ o coeficiente
de atrito cine´tico entre cada bloco e o plano inclinado.
Utilizando corretamente o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia mecaˆnica na presenc¸a
de forc¸as de atrito (∆E = −∑ fad) mostre que a velocidade do sistema apo´s percorrer a
distaˆncia L vale
v =
√
(sin (θ)− µ cos (θ))2gL.