Apostila Integrais Parte 2

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Integrações Trigonométricas
Usaremos as seguintes identidades trigonométricas no cálculo das próximas integrais.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
Exemplos
Resolver as integrais
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
6) 
 
 
Exercícios
Resolver as integrais
1) R.: 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Substituições Trigonométricas
Um integrante que possui uma das seguintes formas: , e e se não tem outro fator irracional , pode ser transformado, com o emprego de uma nova variável em outro integrante envolvendo funções trigonométricas. Em todos os casos, a integração resulta numa função em que a variável é . A expressão correspondente pode ser obtida através de um triângulo retângulo como veremos a seguir:
Exemplos
Calcular as integrais
1) 
 	
 
 
2) 
 
fazendo e , então
 
 
 
 
3) 
 
 
 
Exercícios
Calcular as integrais
1) R.: 
2) 
3) 
4) 
Integração de Funções Hiperbólicas
Fórmulas
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) se 
11) se 
12) se 
Exemplos
Calcular as integrais
1) 
2) 
3) 
Exercícios
Calcular as integrais
1) R.: 
2) 
3) 
4) 
5) 
Integral Definida
Teorema Fundamental do Calculo Integral: Se é uma função contínua no intervalo e se é uma primitiva de neste intervalo, então:
Propriedades da Integral Definida
1) 
2) 
3) , sendo 
4) para todos os valores de .
5) para todos os valores de .
Exemplos
Calcular as integrais definidas.
1) 
2) 
3)
Exercícios
Calcular as integrais definidas.
1) R.: 
2) R.: 
3) R.: 
4) R.: 
5) R.: 
6) R.: 
Cálculo de Áreas por Integral
1º. Caso: Região entre o gráfico da função e o eixo das abscissas
 Se 
 é integrável e 
 
para todo 
, então a área da região delimitada pelo
 gráfico 
de 
 , pelo eixo das abscissas e pelas retas
 
 e 
 é:
Exemplos
1) Calcular a área limitada pela curva de equação , o eixo dos , e as ordenadas de e .
Solução
Gráfico
0
2) Calcular a área limitada pela curva , o eixo das abscissas, e as ordenadas de e .
Solução
y
A área que aparece negativa corresponde 
a
 região cujo gráfico esta abaixo do eixo das abscissas. No cálculo de áreas devemos considerar sempre o valor positivo
Observação: Quando calculamos a área devemos sempre calcular separadas as áreas das regiões abaixo e acima do eixo das abscissas. Se tivéssemos calculado sem a separação obteríamos área igual a zero.
2º. Caso: Região entre o gráfico da função e o eixo das ordenadas
Se 
 é integrável e 
 
está a direita do eixo das ordenadas 
para
 
todo 
, então a área da região delimitada pelo
 gráfico 
de 
 , pelo eixo das ordenadas e pelas retas
 
 e 
 é:
Exemplos
1) Calcular a área limitada pela parábola , o eixo dos e as retas e 
 
 
 
Observação: Se for negativa, a área calculada está situada à esquerda do eixo das ordenadas.
2) Calcule a área limitada pela curva , pelo eixo dos e pelas retas e 
Exercícios 
1) Calcular a área da região situada acima do eixo dos e sob a parábola de equação R.: 
2) Calcular a área da região limitada pela parábola o eixo dos e as retas e . R.: 
3) Calcular a área da superfície limitada pela curva e pelo eixo dos . R.: 
4) Calcule a área da superfície limitada pela curva , pelo eixo dos e pelas retas e . R.: 
5) Calcule a área da superfície limitada pela curva , pelo eixo dos e pelas retas e . R.: 
6) Calcule a área da superfície limitada pela curva e pela reta 
 R.: 
7) Calcule a área da superfície limitada pela curva e pelas retas e R.: 
3º. Caso: Região entre dois gráficos
Teorema
: Se 
 e 
 são funções contínuas
 
e 
 para todo 
 então a área da região delimitada pelos gráficos de 
, 
, 
 e 
 é:
Exemplos
1) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos das equações e .
Solução
Pontos de Interseção
Gráfico
2) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de e .
Solução
Pontos de Interseção:
Gráfico
Exercícios
1) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de e .
 R.: 
2) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de e .
 R.: 
3) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de e .
 R.: 
4) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de e . 
 R.: 
5) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de e .
 R.: 
6) Determinar o valor de tal que a área limitada pela reta e pela parábola seja de 
 R.: 
7) Encontre a área da região limitada pelas curvas e .
 R.: