Quantidade de movimento angular

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Física 
 
 
 
 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .......................................................................................................................................2 
Objetivos ..........................................................................................................................................2 
Conceitos .........................................................................................................................................2 
Rotação ............................................................................................................................................2 
Quantidade de Movimento angular ..............................................................................................3 
Exercícios .........................................................................................................................................5 
Gabarito ...........................................................................................................................................6 
Resumo ............................................................................................................................................7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
 
Nesta aula iremos falar sobre rotações e, mais especificamente, sobre a 
quantidade de movimento angular. Aplicaremos seu mecanismo em situações do dia 
a dia, e explicaremos a matemática envolvida. Ao fim da apostila, resolveremos 
alguns exercícios para fixação do conteúdo. 
 
Objetivos 
 
• Entender os princípios de rotação; 
• Compreender a quantidade de movimento angular; 
• Entender como a rotação e a quantidade de movimento angular se 
relacionam e as leis físicas que as regem; 
• Resolver exercícios envolvendo quantidade de movimento angular. 
 
Conceitos 
 
O movimento de rotação é bastante comum e está em todo lugar. A Terra ilustra 
bem o exemplo de rotação em torno de um eixo, assim como o pião e o carrossel. No 
entanto, o seu movimento pode ser bem mais complexo do que a simples rotação 
em torno de um eixo. As portas das casas são fixadas aos batentes utilizando-se de 
duas ou três dobradiças. O efeito das dobradiças é o de permitir o movimento de 
rotação da porta em torno do batente da mesma. Para fazermos uma porta girar 
devemos aplicar uma força sobre a porta. Certamente, você já notou que é mais fácil 
abrir a porta empurrando-a cada vez mais longe das dobradiças. 
 
Rotação 
 
O que caracteriza o movimento, em geral, é a variação do vetor de posição. 
Dizemos assim, que houve movimento se o vetor de posição (r)deslocou-se para 
outro vetor de posição (r'), como ilustrado na imagem a seguir. 
 
 
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Podemos dizer que o movimento é de rotação pura se a direção e o sentido 
do vetor posição mudam, ou seja, apenas o módulo do vetor permanece constante. 
Portanto, numa rotação pura ocorre: 
 
| ' | | |r r=
 
 
Quantidade de Movimento angular 
 
A quantidade de movimento associado a um objeto que executa um 
movimento de rotação em torno de um ponto fixo, conforme mostrado na figura 
abaixo é conhecida como momento angular. 
 
 
 
Chamamos de L o momento angular. Ele pode ser calculado pela expressão: 
 
 
 senƟ 
Como é a quantidade de movimento linear dada por , é a 
distância do corpo ao ponto fixo sobre o qual gira e, 
sen
 é o ângulo entre a força e o 
braço da alavanca , sendo a relação entre a velocidade linear e a velocidade 
angular dada por , temos, 
 
 
Como é visto na figura acima que , logo, 
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Se o ângulo da força for 90°, sendo sen (90°) =1, fica, 
 
 
Adicionamos agora à expressão de momento de inércia (I), que é uma 
grandeza física calculada por: 
 
2I m r= 
 
 
Substituindo essa expressão na equação anterior, teremos: 
 
L I = 
 
 
O momento de inércia varia de corpo para corpo, dependendo do eixo de 
rotação e do raio do objeto, como pode ser observado na imagem a seguir. 
 
 
 
A lei da conservação do momento angular de uma partícula diz que, quando o 
torque é igual a zero, o vetor momento angular é constante, ou seja, a soma vetorial 
dos torques que atuam sobre uma partícula é igual a zero. 
 
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EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. A figura apresenta esquematicamente o sistema de transmissão de uma bicicleta 
convencional. 
 
 
Na bicicleta, a coroa (A) conecta-se à catraca (B) por meio da correia (P). Por sua 
vez, (B) é ligada à roda traseira (R), girando com ela quando o ciclista está 
pedalando. Nessa situação, supondo que a bicicleta se move sem deslizar, diga as 
relações (maior, menor ou igual) das magnitudes das velocidades angulares, ωA, 
ωB e ωC. 
2. As duas polias da figura abaixo estão acopladas por meio de uma correia e estão 
girando em sentido anti-horário. Sabendo que o raio da polia 2 é o dobro do raio 
da polia 1, marque a alternativa que mostra a relação correta entre as frequências 
das polias. 
 
Sobre a conservação do movimento angular, o exemplo mais 
clássico para sua ilustração é algo que fazíamos quando 
criança: rodar em um balanço. Você deve lembrar que, com 
as pernas esticadas, a velocidade do giro naquela situação 
(ou seja, a velocidade angular) era menor do que com as 
pernas dobradas. Se observamos a fórmula e levarmos em 
conta que o momento angular se conserva, veremos que 
para um L constante, quanto maior o momento de inércia 
(que é maior conforme o raio de rotação), menor será a 
velocidade angular. 
 
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3. Um estudante se senta em um assento que pode girar livremente segurando dois 
pesos, cada um de 3Kg. Quando seus braços estão esticados horizontalmente, os 
pesos estão a 1m do eixo de rotação e ele gira a uma velocidade angular de 
0,750rad/s. O momento de inércia do estudante mais o acento é de 3Kg.m² e 
supõe-se que seja constante. O estudante puxa os pesos horizontalmente até uma 
distância de 0,3m do eixo de rotação. Encontre a nova velocidade angular do 
estudante. 
 
Gabarito 
 
1. A catraca (B) e a roda estão acopladas por eixo, portanto, possuem mesma 
velocidade angular (ωB = ωR). Como a catraca (B) está conectada à coroa (A) 
por correia, elas possuem a mesma velocidade angular, então: 
vA = vB 
ωA.RA = ωB.RB 
Como RA > RB, a igualdade só poderá ser mantida se ωB > ωA. Portanto: 
ωA <ωB = ωR 
 
 
2. Para o acoplamento por correia, as polias apresentarão as mesmas 
velocidades angulares, logo: 
v1 = v2 
ω1.R1 = ω1.R1 
Como a velocidade angular pode ser dada por ω = 2.π.f, em que f é a 
frequência de giro, temos: 
2.π.f1.R1 = 2.π.f2.R2 
f1.R1 = f2.R2 
Sabendo que R2 = 2R1, temos: 
f1.R1 = f2. 2R1 
f1= 2.f2 
 
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3. Quando "diminui a resistência à rotação", ou seja, o momento de inércia, 
aumenta a velocidade angular. Essa é a conservação do momento angular. 
 
 
O momento de inércia com os braços esticados é 
 
 
Com os braços contraídos: 
2
2
3 2
3 2 3 0,3
3,54
I m r
I
I
= +  
= +  
= 
Substituindo todos os valores na primeira fórmula: 
9 0,75 3,54
1,90


 = 
= 
Resumo 
 
Rotação 
O que caracteriza o movimento, em geral, é a variação do vetor de posição dentro do 
movimento. 
 
Quantidade de movimento angular 
Vimos que a quantidade de movimento angular é uma grandeza vetorial que se 
conserva, assimcomo a quantidade de movimento linear. Ela está relacionada com 
o momento de inércia, tal que: 
L I = 