Capítulo 2 - Introdución a la conducción

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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
FRANK P. INCROPERA – FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR – CUARTA 
EDICION – CAPITULO 2 – INTRODUCCION A LA CONDUCCION 
 
PROBLEMA 2.1 
 
Suponga una conducción de calor unidimensional de estado estable a través de la forma simétrica 
axial que se muestra abajo. 
 
 
 
 
 
 
Suponiendo propiedades constantes y ninguna generación de calor interna, bosqueje la distribu-
ción de temperatura en las coordenadas 𝑇 − 𝑥. Explique con brevedad la forma de la curva que 
resulte. 
 
SOLUCIÓN 2.1 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Propiedades constantes. 
c) No hay generación de energía. 
Análisis: 
Realizando el balance de energía: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 = 0 
→ �̇�𝐼𝑁 = �̇�𝑂𝑈𝑇 = 𝑞𝑥 
• Es de saberse: 𝑞𝑥 ≠ 𝑞𝑥(𝑥), 𝑞𝑥 es el flujo de calor constante en cualquier posición. 
Además: 
𝑞𝑥 = −𝑘. 𝐴𝑥. 𝑑𝑇𝑑𝑥 
• Como 𝑞𝑥 y 𝑘 son constantes 
→ 𝐴𝑥. 𝑑𝑇𝑑𝑥 = cte 
- Es decir, el producto de área transversal normal a la transferencia de calor y el gradiente de 
temperatura se mantiene constante e independiente de la distancia 𝑥. De ello se deduce que, 
dado que aumenta 𝐴𝑥 con 𝑥, entonces 𝑑𝑇/𝑑𝑥 debe disminuir al aumentar 𝑥. 
Se obtiene la distribución de temperaturas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 2.2 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Una tubería de agua caliente con radio exterior r1 tiene una temperatura T1. Se aplica un aislante 
grueso de radio r2 y temperatura T2 para reducir la pérdida de calor. Sobre coordenadas T − r, 
bosqueje la distribución de temperatura en el aislante para una transferencia de calor unidimen-
sional de estado estable con propiedades constantes. Dé una breve explicación que justifique la 
forma de la curva que muestre. 
 
SOLUCIÓN 2.2 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional (radical). 
c) No hay generación de energía. 
Análisis: 
Aplicación de la ley de Fourier, para un sistema radical (EC.2.1) 
𝑞𝑟 = −𝑘. 𝐴𝑟 . 𝑑𝑇𝑑𝑟 = −𝑘(2𝜋𝑟. ℓ) 𝑑𝑇𝑑𝑟 
Dónde ℓ: Longitud de la tubería. 
• Se sabe: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 = 0 → 𝑞𝑟 = cte 
• Siendo: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑘, 𝜋, ℓ ctes → r �𝑑𝑇
𝑑𝑟
� = cte 
• Como se requiere que sean constantes, se obtiene que a medida que aumenta el radio la 
pendiente de distribución de la gráfica 𝑇 vs. 𝑟 debe disminuir, donde la pendiente es 
𝑑𝑇/𝑑𝑟. 
La gráfica será: 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 2.3 
 
Una capa esférica con radio interior 𝑟1 y radio exterior 𝑟2 tiene temperaturas superficiales 𝑇1 y 𝑇2, 
respectivamente, donde 𝑇1 > 𝑇2. Dibuje la distribución de temperatura sobre coordenadas 𝑇 − 𝑟, 
suponiendo conducción unidimensional de estado estable con propiedades constantes. Dé una 
breve explicación en la que justifique la forma de la curva que resulte. 
 
SOLUCIÓN 2.3 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
a) Estado estable 
b) Conducción unidimensional de forma radial (coordenadas esféricas) 
c) No hay generación interna 
d) Propiedades constantes. 
Análisis: 
La Ec. 2.1, para esta conducción unidimensional radial (coordenadas esféricas). 
Se obtiene: 
𝑞𝑟 = −𝑘. 𝐴𝑟 . 𝑑𝑇𝑑𝑟 = −𝑘(4𝜋𝑟2) 𝑑𝑇𝑑𝑟 
• Dónde: 𝐴𝑟: área de la esfera. 
• Por estado estacionario, se sabe : �̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 = 0 
→ 𝑞𝐼𝑁 = 𝑞𝑂𝑈𝑇 = 𝑞𝑟 ≠ 𝑞𝑟(𝑟) 
𝑞𝑟 = cte 
• Siendo: 𝑘, 𝜋: ctes, se obtiene que: 
𝑟2 �
𝑑𝑇
𝑑𝑟
� = cte 
- Por tanto, se requiere que el producto de 𝑟2 y la pendiente de la gráfica de distribución de 
temperatura respecto a "𝑟" sea constante, al aumentar el primero, el segundo disminuirá: 
La gráfica será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 2.4 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suponga una conducción de calor unidimensional de estado estable a través de la forma simétrica 
que se muestra. 
 
 
 
 
 
Suponiendo que no hay generación interna de calor, derive una expresión de la conductividad 
térmica 𝑘(𝑥) para estas condiciones: 𝐴(𝑥) = (1 − 𝑥), 𝑇(𝑥) = 300(1 − 2𝑥 − 𝑥3), y 𝑞 = 6000W, 
donde 𝐴 está en metros cuadrados, 𝑇 en Kelvin y 𝑥 en metros. 
 
SOLUCIÓN 2.4 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional en la dirección 𝑥. 
c) No hay generación interna 
Análisis: 
Aplicando el balance de energía: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 = 0 
�̇�𝐼𝑁 = �̇�𝑂𝑈𝑇 = 𝑞𝑥 = cte 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Usando la ley de Fourier: 
𝑞𝑥 = −𝑘. 𝐴𝑥. 𝑑𝑇𝑑𝑥 6000𝑊 = −𝑘(1 − 𝑥)m2. 𝑑
𝑑𝑥
[300(1 − 2𝑥 − 𝑥3)] 𝑘m 
→ 6000 = −𝑘(1 − 𝑥). 300(−2 − 3𝑥2) 
→ 𝑘 = 6000300(1 − 𝑥)(2 + 3𝑥2) 
Esta es la función de 𝑘 con respecto a la posición. 
 
PROBLEMA 2.5 
 
Un cono truncado sólido sirve de soporte de un sistema que mantiene la cara superior (trunca) del 
cono a una temperatura 𝑇1, mientras que la base del cono está a una temperatura 𝑇2 < 𝑇1. 
 
 
 
 
 
 
 
La conductividad térmica del sólido depende de la temperatura de acuerdo con la relación 
𝑘 = 𝑘0 − 𝑎𝑇, donde 𝑎 es una constante positiva, y los lados del cono están bien aislados. Las si-
guientes cantidades ¿aumentan, disminuyen o permanecen igual con el aumento en 𝑥; la veloci-
dad de transferencia de calor 𝑞𝑥, el flujo de calor 𝑞𝑥″, la conductividad térmica 𝑘 y el gradiente de 
temperatura 𝑑𝑇/𝑑𝑥? 
 
SOLUCIÓN 2.5 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional en el eje 𝑥. 
c) No hay generación interna. 
Análisis: 
Del balance de energía: �̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 = 0 
→ �̇�𝐼𝑁 = �̇�𝑂𝑈𝑇 ó también: 𝑞𝑥 = 𝑞𝑥+𝑑𝑥 
Por tanto: 
• 𝑞𝑥 es independiente de 𝑥. 
Para hallar 𝑞𝑥″, se sabe que 𝐴(𝑥) aumenta a medida que aumenta el valor de 𝑥. 
Se observa: 
𝑞𝑥
″ = 𝑞𝑥
𝐴(𝑥) 
• Se sabe que 𝑇 decrece a medida que el valor de 𝑥 aumenta, además 𝑘 se incrementa a 
medida que 𝑥 aumenta, de la ley de Fourier: 
𝑞𝑥
″ = −𝑘. 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
Por tanto se obtiene que 𝑑𝑇/𝑑𝑥 disminuye a medida que el valor de 𝑥 aumenta. 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
PROBLEMA 2.6 
 
Para determinar el efecto de dependencia de la temperatura de la conductividad térmica sobre la 
distribución de temperatura en un sólido, considere un material para el que esta dependencia 
puede representarse como 
𝑘 = 𝑘0 + 𝑎𝑇 
Donde 𝑘0 es una constante positiva y 𝑎 es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. Dibuje 
la distribución de temperatura de estado estable asociada con la transferencia de calor en una 
pared plana para tres casos que corresponden a 𝑎 > 0 , 𝑎 = 0 y 𝑎 < 0. 
 
SOLUCIÓN 2.6 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional. 
b) Estado estable. 
c) No hay generación interna. 
Análisis: 
Según la ley de Fourier: 
𝑞𝑥
″ = −𝑘. 𝑑𝑇
𝑑𝑥
= −(𝑘0 + 𝑎𝑇). 𝑑𝑇𝑑𝑥 … … … . . (1) 
Como sabemos que 𝑞𝑥″ es independiente de 𝑥, además: 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
= 𝑑
𝑑𝑥
�
𝑑𝑇
𝑑𝑥
� 
En (1): 
𝑑𝑞𝑥
″
𝑑𝑥
= 0 = − 𝑑
𝑑𝑥
��(𝑘0 + 𝑎𝑇). 𝑑𝑇𝑑𝑥�� 
−(𝑘0 + 𝑎𝑇) 𝑑2𝑇𝑑𝑥2 − 𝑎 �𝑑𝑇𝑑𝑥�2 = 0 
Por tanto: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
= −𝑎
𝑘0 + 𝑎𝑇 �𝑑𝑇𝑑𝑥�2 
Dónde: 
𝑘 = 𝑘0 + 𝑎𝑇 > 0 𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
> 0 
De la ecuación última, se tiene que para: 
• 𝑎 > 0 → 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2⁄ < 0 
• 𝑎 = 0 → 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2⁄ = 0 
• 𝑎 < 0 → 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2⁄ > 0 
 
 
 
 
 
 
 
Además la forma de distribución se puede inferir de (1), como 𝑇 decrece a medida que 𝑥 aumenta, 
para: 
• 𝑎 > 0 → 𝑘 decrece a media que 𝑥 aumenta → �𝑑𝑇
𝑑𝑥
� aumenta ante el aumento de 𝑥. 
• 𝑎 = 0 → 𝑘 = 𝑘0 → 𝑑𝑇/𝑑𝑥 es constante. 
𝑎 < 0 → 𝑘 aumenta al aumentar 𝑥 → �𝑑𝑇
𝑑𝑥
� disminuye ante el aumento de 𝑥. 
 
PROBLEMA 2.7 
 
En el sistema mostrado se produce una conducción de estado estable unidimensional sin genera-
ción de calor. La conductividad térmica es 25𝑊/m. 𝐾 y el espesor 𝐿 es 0.5 m. 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
 
Determine las cantidades desconocidas para cada caso en la tabla siguiente y dibuje la distribución 
de temperatura, indicando la dirección del flujo de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 2.7 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional. 
b) Estado estable. 
c) No hay generación de energía. 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Análisis: 
Para este sistema se sabe que: 
𝑞𝑥
″ = −𝑘. 𝑑𝑇
𝑑𝑥
… … . (1) 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑇1 − 𝑇2
𝐿
… … . . (2) 
CASO 1: 
𝑇1 = 400 𝐾 
𝑇2 = 300 𝐾 
De (2): 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= (400 − 300)𝑘0.5 m = 200 𝑘/m 
De (1): 
𝑞𝑥
″ = −25 𝑊m. 𝑘 (200𝑘/m) = −5000 𝑊/m2 
 
 
 
 
CASO 2: 
𝑇1 = 100℃ 
𝑑𝑇/𝑑𝑥 = −250 𝑘/m 
De (1): 
𝑞𝑥
″ = −25 𝑊
m.𝑘(−250 𝑘/m) = 6250 𝑊/m2 
De (2): 
𝑇2 = 𝑇1 − 𝐿 �𝑑𝑇𝑑𝑥� = 100℃ − 0.5m �−250 𝑘m� 
𝑇2 = 225℃ 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
CASO 3: 
𝑇1 = 80℃ 
𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 200 𝑘/m 
De (1): 
 
𝑞𝑥
″ = −25 𝑊
m.𝑘(200 𝑘/m) = −5000 𝑊/m2 
De (2): 
𝑇2 = 80℃ − 0.5m (200 𝑘/m) = −20℃ 
 
 
 
 
CASO 4: 
𝑇2 = −5℃ 
𝑞𝑥
″ = 4000 𝑊/m2 
De (1): 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= − 𝑞𝑥″
𝑘
= −4000 𝑊/m225 𝑊/m. 𝑘 = −160 𝑘/m 
De (2): 
𝑇1 = 𝐿 �𝑑𝑇𝑑𝑥� + 𝑇2 = 0.5 m (−160 𝑘/m) + (−5℃) 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑇1 = −85℃ 
 
 
 
 
CASO 5: 
𝑇1 = 30℃ 
𝑞𝑥
″ = −3000 𝑊/m2 
De (1): 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= − 𝑞𝑥″
𝑘
= 3000 𝑊/m225 𝑊/m. 𝑘 = 120 𝑘/m 
De (2): 
𝑇2 = 30℃ − 0.5m (+120 𝑘/m) = −30℃ 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 2.8 
Considere condiciones de estado estable para una conducción unidimensional en una pared plana 
que tiene una conductividad térmica 𝑘 = 50𝑊/𝑚 . 𝐾 y un espesor 𝐿 = 0.25 m, sin generación 
interna de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Determine el flujo de calor y la cantidad desconocida para cada caso y dibuje la distribución de 
temperatura, indicando la dirección del flujo de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 2.8 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) No hay generación interna. 
Análisis: 
Se tienen las ecuaciones: 
𝑞𝑥
″ = −𝑘. 𝑑𝑇
𝑑𝑥
… … . (1) 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑇2 − 𝑇1
𝐿
… … . . (2) 
• CASO 1: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑇1 = 50℃ 
𝑇2 = −20℃ 
De (2): 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= (−20 − 50)𝑘0.25 m = −280 𝑘/m 
 
De (1): 
𝑞𝑥
″ = −50 𝑊
m.𝑘(−280𝑘/m) = 14000 𝑊/m2 
 
 
 
 
 
• CASO 2: 
𝑇1 = −30℃ 
𝑇2 = −10℃ 
De (2): 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= (−10 + 30)𝑘0.25 m = 80 𝑘/m 
De (1): 
 
𝑞𝑥
″ = −50 𝑊
m.𝑘 �80𝑘m � = −4000 𝑊/m2 
• CASO 3: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑇1 = 70℃ 
𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 160 𝑘/m 
De (1): 
𝑞𝑥
″ = −50 𝑊
m.𝑘(160 𝑘/m) = −8000 𝑊/m2 
De (2): 
𝑇2 = 𝐿 �𝑑𝑇𝑑𝑥� + 𝑇1 = 0.25 m (160 𝑘/m) + 70℃ 
𝑇2 = 110℃ 
 
 
 
 
 
 
• CASO 4: 
𝑇2 = 40℃ 
𝑑𝑇/𝑑𝑥 = −80 𝑘/m 
De (1): 
𝑞𝑥
″ = −50 𝑊
m.𝑘(−80 𝑘/m) = 4000 𝑊/m2 
De (2): 
𝑇1 = 𝑇2 − 𝐿 �𝑑𝑇𝑑𝑥� = 40℃ − 0.25m �−80 𝑘m� 
𝑇1 = 60℃ 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
• CASO 5: 
𝑇2 = 30℃ 
𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 200 𝑘/m 
De (1): 
𝑞𝑥
″ = −50 𝑊
m.𝑘(200 𝑘/m) = −10000 𝑊/m2 
De (2): 
𝑇1 = 30℃ − 0.25m (200 𝑘/m) 
𝑇1 = −20℃ 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 2.9 
 
Considere una pared plana de 100 mm de espesor y conductividad térmica 100 𝑊/𝑚 . 𝐾. Se sabe 
que existen condiciones de estado estable con 𝑇1 = 400 𝐾 y 𝑇2 = 600 𝐾. Determine el flujo de 
calor 𝑞𝑥″ y el gradiente de temperatura 𝑑𝑇/𝑑𝑥 para el sistema coordenado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
SOLUCIÓN 2.9 
 
Esquema: 
𝑇1 = 400 𝐾 
𝑇2 = 600 𝐾 
𝑘 = 100 𝑊/m. 𝑘 
𝐿 = 0.1 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) No hay generación de energía. 
Análisis: 
Delas ecuaciones de transferencia: 
𝑞𝑥
″ = −𝑘. 𝑑𝑇
𝑑𝑥
… … . (1) 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑇(𝐿) − 𝑇(0)
𝐿
… … . . (2) 
• Para hallar los gradientes, se reemplaza las temperaturas, usando (2): 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
(a) 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑇2 − 𝑇1
𝐿
= (600 − 400)𝑘0.1m = 2000 𝑘/m 
(b) 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑇1 − 𝑇2
𝐿
= (400 − 600)𝑘0.1m = −2000 𝑘/m 
 
(c) 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑇2 − 𝑇1
𝐿
= (600 − 400)𝑘0.1m = 2000 𝑘/m 
• Usamos la ecuación (1): 
(a) 
𝑞𝑥
″ = −100 𝑊
m.𝑘(2000 𝑘/m) = −200 𝐾𝑊/m2 
(b) 
𝑞𝑥
″ = −100 𝑊
m.𝑘(−2000 𝑘/m) = 200 𝐾𝑊/m2 
(c) 
𝑞𝑥
″ = −100 𝑊
m.𝑘(2000 𝑘/m) = −200 𝐾𝑊/m2 
 
PROBLEMA 2.10 
 
Un cilindro de radio r0, longitud L y conductividad térmica 𝑘 está inmerso en un fluido de coefi-
ciente de convección h y temperatura desconocida T∞. En cierto instante la distribución de tem-
peratura en el cilindro es T(r) = a + br2, donde a y b son constantes. Obtenga expresiones para 
la velocidad de transferencia de calor en r0 y la temperatura del fluido. 
 
SOLUCIÓN 2.10 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional (radial). 
Análisis: 
Para hallar el flujo de calor en sistema radial: 
𝑞𝑟 = −𝑘. 𝐴𝑟 . 𝑑𝑇𝑑𝑟 
• Se sabe que: 
𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝑟2 → 𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 2𝑏𝑟 ∧ 𝐴𝑟 = 2𝜋𝑟. 𝐿 
→ 𝑞𝑟 = −𝑘(2𝜋𝑟. 𝐿)(2𝑏𝑟) 
𝑞𝑟 = −4𝜋𝑘𝑏. 𝐿. 𝑟2 
• Para la superficie externa: 𝑟 = 𝑟0 
𝑞𝑟=𝑟0 = −4𝜋𝑘. 𝑏𝐿2. 𝑟02 
- Balance de energía en 𝑟 = 𝑟0: 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝑟=𝑟0 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ(2𝜋𝑟0𝐿)�𝑇(𝑟0) − 𝑇∞� 
→ −4𝜋𝑘. 𝑏𝐿2. 𝑟02 = ℎ(2𝜋𝑟0𝐿)�𝑇(𝑟0) − 𝑇∞� 
→ 𝑇∞ = 𝑇(𝑟0) + 2𝑘𝑏𝑟0ℎ 
𝑇∞ = 𝑎. 𝑏𝑟02 + 2𝑘𝑏𝑟0ℎ 
→ 𝑇∞ = 𝑎 + 𝑏𝑟0 �𝑟0 + 2𝑘ℎ � 
 
PROBLEMA 2.11 
En el cuerpo bidimensional que se ilustra, se encuentra que el gradiente en la superficie 
𝐴 es 𝜕𝑇 𝜕𝑦⁄ = 30𝐾/m. ¿Cuánto valen 𝜕𝑇 𝜕𝑦⁄ y 𝜕𝑇 𝜕𝑥⁄ en la superficie 𝐵? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 2.11 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción bidimensional. 
Análisis: 
- En la superficie 𝐴, el gradiente de temperatura en la dirección 𝑥 será 0. 
�
𝜕𝑇
𝜕𝑥
�
𝐴
= 0 
• Para el flujo de calor en la superficie 𝐴. Será en eje y (solamente): 
𝑞𝑦,𝐴′ = −𝑘. 𝑙𝐴. 𝜕𝑇𝜕𝑥 � 𝐴 = −10 𝑊m.𝑘 × 2m × 30𝑊m = −600𝑊/m 
- En la superficie 𝐵, se tiene: 
�
𝜕𝑇
𝜕𝑥
�
𝐵
= 0 
- Como el flujo de calor es el mismo para ambas superficies conductoras, se obtiene: (con-
servación de energía) 
𝑞𝑦,𝐴′ − 𝑞𝑥,𝐵′ = 0 ó 𝑞𝑦,𝐴′ = 𝑞𝑥,𝐵′ 
Nótese que: 
𝑞𝑥,𝐵′ = −𝑘. 𝑙𝐵. �𝜕𝑇𝜕𝑥�𝐵 
Por tanto: 
�
𝜕𝑇
𝜕𝑥
�
𝐵
= −𝑞𝑦,𝐴′
𝑘. 𝑙𝐵 = −(−600 𝑊/m)10 𝑤/m. 𝑘 × 1m = 60𝑘/m 
 
PROBLEMA 2.12 
 
Algunas secciones del oleoducto de Alaska están tendidas sobre tierra, sostenidas por columnas 
verticales de acero (𝑘 = 25𝑊/m. 𝐾) de 1 m de longitud y sección transversal de 0.005 m2. En 
condiciones normales de operación, se sabe que la variación de temperatura de un extremo a otro 
de la longitud de una columna se rige por una expresión de la forma: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑇 = 100 − 150𝑥 + 10𝑥2 
Donde 𝑇 y 𝑥 tienen unidades de ℃ y metros, respectivamente. Las variaciones de temperatura 
son insignificantes sobre la sección transversal de la columna. Evalúe la temperatura y rapidez de 
conducción de calor en la unión columna-ducto (𝑥 = 0) y en la interfaz columna-tierra (𝑥 = 1 m). 
Explique la diferencia en las transferencias de calor. 
 
SOLUCIÓN 2.12 
 
Esquema: 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional en 𝑥. 
c) Propiedades constantes. 
Análisis: 
Calculo de temperaturas, en el tope y fondo del soporte: 
𝑇(𝑥=0) = 100℃ ∧ 𝑇(𝑥=1) = −40℃ 
• Además: 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 20𝑥 − 150 
• Aplicando la ley de Fourier: 
𝑞𝑥 = −𝑘. 𝐴. 𝑑𝑇𝑑𝑥 = −25 𝑊m.𝑘(0.005m2)(20𝑥 − 150)℃m 
𝑞𝑥 = 0.125(150 − 20𝑥)𝑊 
Por tanto: 
𝑞𝑥(0) = 18.75𝑊 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝑥(𝐿) = 16.25𝑊 
Se observa que 𝑞𝑥(0) > 𝑞𝑥(𝐿) , esta diferencia que hay entre ellos es debido a la pérdida de calor y 
está representado por 𝑞𝑒 en la gráfica, la pierde hacia el medio externo a medida que aumenta 𝑥. 
 
PROBLEMA 2.13 
 
Una conducción unidimensional en estado estable se produce en una varilla de conductividad 
térmica constante, 𝑘, y de área variable de la sección transversal, 𝐴𝑥(𝑥) = 𝐴0𝑒𝑎𝑥, donde 𝐴0 y 𝑎 
son constantes. La superficie lateral de la varilla está bien aislada. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Escriba una expresión para la rapidez de conducción de calor, 𝑞𝑥(𝑥). Use esta expresión 
para determinar la distribución de temperatura 𝑇(𝑥) y dibuje cualitativamente la distribu-
ción para 𝑇(0) > 𝑇(𝐿). 
Ahora considere condiciones para las que se genera energía térmica en la varilla a una rapidez 
volumétrica �̇� = �̇�0exp (−𝑎𝑥), donde �̇�0 es una constante. Obtenga una expresión para 𝑞𝑥(𝑥) 
cuando la cara izquierda (𝑥 = 0) está bien aislada. 
 
SOLUCIÓN 2.13 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional en la varilla. 
Análisis: 
Para el volumen de control se tiene el balance energético: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 + �̇�𝑔 = 0 
𝑞𝑥 − 𝑞𝑥+𝑑𝑥 + �̇�𝐴(𝑥). 𝑑𝑥 = 0 
• El flujo de calor conductivo puede ser expresado como una serie de Taylor; 
−𝑑
𝑑𝑥
(𝑞𝑥) + �̇�0. 𝑒−𝑎𝑥. 𝐴0𝑒𝑎𝑥 = 0 … … … (1) 
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴(𝑥). 𝑑𝑇𝑑𝑥 … … … (2) 
a) Para el caso sin generación de energía; �̇�0 = 0 y de la ecuación (1): 
−𝑑𝑞𝑥
𝑑𝑥
= 0 
Por tanto: 
𝐴0𝑒
𝑎𝑥 . 𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝐶1 
𝑑𝑇 = 𝐶1. 𝐴0−1. 𝑒−𝑎𝑥. 𝑑𝑥 
𝑇(𝑥) = −𝐶1. 𝐴0. 𝑎. 𝑒−𝑎𝑥 + 𝐶2 
Donde 𝐶1 y 𝐶2 son constantes y usando el valor numérico de las temperaturas 𝑇(𝑥=0) y 𝑇(𝑥=𝐿), co-
mo condiciones, se logran obtener: 
→ la gráfica para 𝑇(𝑥=0) > 𝑇(𝑥=𝐿), será: 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
b) Para el caso de generación de energía: de la Ec. (1): (𝑥 = 0) 
−𝑑
𝑑𝑥
(𝑞𝑥) + �̇�0. 𝐴0 = 0 
→ 𝑞𝑥 = �̇�0. 𝐴0. 𝑥 
Se observa que el flujo de calor aumenta a medida que 𝑥 aumenta, y de forma lineal.PROBLEMA 2.14 
 
Una varilla cilíndrica sólida 0.1 m de longitud y 25 mm de diámetro está bien aislada en la parte 
lateral, mientras que las caras de sus extremos se mantienen a temperaturas de 100 y 0℃. ¿Cuál 
es la rapidez de transferencia de calor a través de la varilla si se construye de (a) cobre puro, (b) 
aleación de aluminio 2024-T6, (c) acero inoxidable AISI 302, (d) nitruro de silicio, (e) madera (ro-
ble), (f) óxido magnésico, 85% y (g) Pyrex? 
 
SOLUCIÓN 2.14 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional 
Análisis: 
Tomando los valores de conductividad (𝑘) del Apéndice 𝐴, tablas 𝐴1, 𝐴2 y 4.3, para una tempera-
tura promedio de 50℃ = 323K. 
Según la de Fourier: 
𝑞𝑥
″ = −𝑘 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
Se obtiene: 
𝑞 = 𝑘. 𝐴. 𝑇1 − 𝑇2
𝐿
= 𝑘. 𝜋(0.025m)24 × (100 − 0)℃0.1 m = 0.491(𝑘)𝑊 
→ Para cada material de reemplaza: 
a) Cobre puro. 
b) Aluminio 2024 -𝑇6 
c) Acero inoxidable (AISI 302) 
d) Nitruro de silicio. 
e) Madera (roble). 
f) Oxido magnésico (85%). 
g) Pyrex 
 
Conductividad 
𝒌(𝑾/𝐦. 𝒌) Rapidez de flujo de calor 𝒒(𝑾) 
401 196.9 
177 86.9 
16.3 8.0 
14.9 7.32 
0.19 0.093 
0.052 0.026 
1.4 0.69 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
PROBLEMA 2.15 
 
Un sistema unidimensional sin generación de calor tiene un espesor de 20 mm con superficies que 
se mantienen a temperaturas de 275 y 325 K. Determine el flujo de calor a través del sistema si se 
construye con (a) aluminio puro, (b) acero ordinario al carbono, (c) acero inoxidable 316 AISI, (d) 
pyroceram, (e) Teflón y (f) concreto. 
 
SOLUCIÓN 2.15 
 
Esquema: 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) No hay generación de energía. 
Análisis: 
• Para evaluar las propiedades como la conductividad 𝑘, la temperatura a evaluarlas será: 
𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 = 325 + 2752 = 300 𝐾 
El valor de 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚, lo usaremos para obtener "𝑘" del Apéndice 𝐴. 
• Según la ley de Fourier: 
𝑞𝑥
″ = −𝑘 𝑑𝑇
𝑑𝑥
= −𝑘. 𝑇2 − 𝑇1
𝐿
 
→ 𝑞𝑥″ = −𝑘. (275 − 325)𝑘20 × 10−3m = 2500(𝑘). 𝑊m2 (Flujo de calor) 
 
Aplicando la ecuación anterior para cada material: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
Material 
Conductividad térmica Flujo de calor 
𝒒𝒙
″(𝒌𝑾/𝐦𝟐) (tabla) 𝒌(𝑾/𝐦. 𝒌) 
Aluminio (A - 1) 237 592.5 
Acero ordinario al carbono (A - 1) 60.5 151.25 
Acero inoxidable 316 AISI (A - 1) 13.4 33.5 
Pyroceram (A - 2) 3.98 9.95 
Teflón (A - 3) 0.35 0.88 
Concreto (A - 3) 1.4 3.5 
 
PROBLEMA 2.16 
 
Un anuncio por televisión de un bien conocido fabricante de aislantes afirma: no es el espesor del 
material aislante lo que cuenta, sino el valor 𝑅. El comercial muestra que, para obtener un valor 𝑅 
de 19, necesita 18 pies de piedra, 15 pulgadas de madera o sólo 6 pulgadas del aislante del fabri-
cante. ¿Es técnicamente razonable este comercial? Si usted es como la mayoría de los telespecta-
dores, no sabe que el valor 𝑅 se define como 𝐿/𝑘, donde 𝐿(pulgadas) es el espesor del aislante y 
𝑘(𝐵𝑡𝑢. pulgada/hr. 𝑝𝑖𝑒2. ℉) es la conductividad térmica del material. 
 
SOLUCIÓN 2.16 
 
Propiedades: 
Tabla A-3 (300K) 
Material Conductividad térmica 
𝑘(𝑊/m. 𝑘) 
Roca (caliza) 2.15 
Madera (Pino)/(Abeto) 0.11 
Madera (roble) 0.14 
Aislante (fibra de vidrio 10𝑘𝑔/m3) 0.048 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Análisis: 
Definición del valor de 𝑅: 
𝑅 = 𝐿. (in)
𝑘(𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡2. ℉) 
Este 𝑅 es interpretado como una resistencia térmica de 1𝑓𝑡2 a través del material. Usando la con-
versión del Sistema Internacional al inglés: 
• Roca (caliza), el de menor valor de 𝑘 (generará el mayor valor de 𝑅) 
𝑅 = 18𝑓𝑡 × 12 in 𝑓𝑡⁄2.15 𝑊m.𝑘 × 0.5778 𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡. ℉𝑊/m. 𝑘 × 12in𝑓𝑡 = 14.5(𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡2. ℉)−1 
• Madera (Pino) 
𝑅 = 15 in0.11 × 0.5778 × 12 = 19.6(𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡2. ℉)−1 
• Madera (Roble) 
𝑅 = 15 in0.14 × 0.5778 × 12 = 15.5(𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡2. ℉)−1 
• Aislamiento: 
𝑅 = 6 in0.048 × 0.5778 × 12 = 18.02(𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡2. ℉)−1 
Este material es razonable al considerar que la madera sea de roble, pero no de pino ni abeto. 
 
PROBLEMA 2.17 
 
Un aparato para medir la conductividad térmica emplea un calentador eléctrico intercalado entre 
dos muestras idénticas de 30 mm de diámetro y 60 mm de longitud, prensadas entre placas que se 
mantienen a una temperatura uniforme T0 = 77℃ mediante la circulación de un fluido. Se pone 
grasa conductora entre todas las superficies para asegurar un buen contacto térmico. Se empotran 
termopares diferenciales en las muestras con un espaciado de 15 mm. Las caras laterales de las 
muestras se aíslan para asegurar una trasferencia de calor unidimensional a través de las mues-
tras. 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Con dos muestras de SS316 en el aparato, el calentador toma 0.353 A a 100 V y los termo-
pares diferenciales indican ∆T1 = ∆T2 = 25.0℃. ¿Cuál es la conductividad térmica del ma-
terial de la muestra de acero inoxidable? ¿Cuál es la temperatura promedio de las mues-
tras? Compare sus resultados con el valor de conductividad térmica de que se informa para 
este material en la tabla A.2. 
(b) Por error, se ha puesto una muestra de hierro Armco en la posición inferior del aparato con 
una de las muestras de SS316 de la parte (a) en la parte superior. Para esta situación, el ca-
lentador toma 0.601 A a 100 V, y los termopares diferenciales indican ∆T1 = ∆T2 = 15.0℃ 
¿Cuál es la conductividad térmica y la temperatura promedio de la muestra de hierro 
Armco? 
¿Cuál es la ventaja de construir el aparato con el calentador intercalado entre dos muestras idénti-
cas y en lugar de construirlo con una sola combinación muestra-calentador? ¿Cuándo resulta signi-
ficativo el escape de calor por la superficie lateral de las muestras? ¿Bajo qué condiciones espera-
ría que ∆T1 ≠ ∆T2? 
 
SOLUCIÓN 2.17 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional en muestras. 
b) Estado estable. 
Análisis: 
Para las propiedades se obtendrán de las tablas (A-2) 
• Acero inoxidable SS316 (𝑇� = 400 K), 𝑘𝑠𝑠 = 15.2 𝑊/m. K 
• Hierro Armco (𝑇� = 380 K), 𝑘𝑛 = 71.6 𝑊m . K 
 
(a) Para el CASO A, se tiene que la energía que proviene del calentador pasará por ambas 
muestras de manera idéntica, según la ley de Fourier; se obtiene: 
𝑞 = 𝑘. 𝐴𝑐. ∆𝑇∆𝑥 
𝑘 = 𝑞. ∆𝑥
𝐴𝑐 . ∆𝑇 = 0.5(100V × 0.353𝐴). 0.015 m𝜋 (0.03 m)24 × 25℃ = 15 𝑊/m. K 
• Para la variación de temperatura de una muestra: ∆𝑇1 �
𝐿
∆𝑥
� = 25℃ �60 mm
15 mm� será 
100℃. Por tanto: 
𝑇calentador= 𝑇𝑐 = 77℃ + 100℃ = 177℃ 
𝑇� = 𝑇0 + 𝑇𝑐2 = 77 + 1772 = 127℃ = 400 K 
• Los resultados son casi coincidentes en el caso del valor de conductividad. 
 
(b) Para el CASO B, asumimos que su conductividad térmica es la misma, hallada en (a) la rapi-
dez de transferencia de calor en el hierro: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞ℎ = 𝑞calentador − 𝑞𝑠𝑠 = 100V × 0.601𝐴 − 15 𝑊m.K . 𝜋 (0.03m)24 . 15℃0.015m 
𝑞hierro = 60.1 − 10.6 = 49.5 𝑊 
Dónde: 
𝑞𝑠𝑠 = 𝑘𝑠𝑠 . 𝐴𝑐 . ∆𝑇2∆𝑋2 
• Aplicando la ley de Fourier a la muestra de hierro, se obtiene: 
𝑘𝑛 = 𝑞𝑛 . ∆𝑋2𝐴𝑐 . ∆𝑇2 = 49.5𝑊 × 0.015 m𝜋 (0.03m)24 × 15℃ = 70 𝑊/m. K 
• La caída de temperatura es : 
15℃ �
60 mm15 mm� = 60℃ 
→ 𝑇calentador = 𝑇0 + 60℃ = 137℃ 
→ 𝑇� = 𝑇0 + 𝑇𝑐2 = (137 + 77)2 = 107℃ = 380K 
• Los resultados son casi coincidentes en el caso de conductividad, con relación al valor de 
tablas. 
 
(c) 
• La principal ventaja de tener dos muestras idénticas es la garantía de que toda la energía 
eléctrica disipada en el calentador aparecerá como flujos de calor equivalentes a través de 
las muestras. Con una sola muestra, el calor puede fluir de la parte trasera del calentador 
incluso si está aislado. 
• El escape de calor por las superficies laterales de las muestras, será significativo cuando la 
conductividad térmica de la muestra es comparable a la del material aislante. Por tanto, el 
método es adecuado para materiales metálicos, pero debe usarse con precaución en mate-
riales no metálicos. 
Para cualquier combinación de materiales en la posición superior e inferior, esperamos ∆𝑇1 =
∆𝑇2. Sin embargo, si el aislamiento es mal aplicado en las superficies laterales, es posible que exis-
ta escape de calor y por tanto ocurrirá que ∆𝑇1 ≠ ∆𝑇2. 
 
PROBLEMA 2.18 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
Un método comparativo común para medir la conductividad térmica de metales se ilustra en el 
diagrama. Muestras de prueba cilíndricas (1 y 2) y una muestra de referencia de igual diámetro y 
longitud se apilan bajo presión y bien aisladas (no se muestran en el diagrama) sobre las superfi-
cies laterales. La conductividad térmica del material de referencia, hierro Armco en este caso, se 
da por conocida con referencia a la tabla A.2. Para la condición de extremo sumidero de Th = 400 K y 𝑅𝑐 = 300 K, los termopares diferenciales que se insertan en las muestras con un 
espaciado de 10 mm indican ∆T𝑟 = 2.49℃ y ∆T𝑡,1 = ∆T𝑡,2 = 3.32℃ para las muestras de referen-
cia y de prueba, respectivamente. 
(a) ¿Cuál es la conductividad térmica del material de prueba? ¿Qué temperatura asignaría a 
este valor medido? 
(b) ¿Bajo qué condiciones esperaría que ∆T𝑡,1 no fuera igual a ∆T𝑡,2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 2.18 
 
Esquema: 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional a través de las muestras y material de referencia. 
Análisis: 
De tabla A – 2: Hierro armco (𝑇� = 350K) 𝑘𝑛 = 69.2 𝑊/m. K 
(a) Recordando que el flujo de calor pasa por las muestras y el material de referencia, todos 
con el mismo diámetro. Según la ley de Fourier se obtiene: 
𝑘𝑡 × ∆𝑇𝑡,1∆𝑥 = 𝑘𝑟 . ∆𝑇𝑟∆𝑥 = 𝑘𝑡 × ∆𝑇𝑡,2∆𝑥 
→ 𝑘𝑡 = 𝑘𝑟 . ∆𝑇𝑟∆𝑇𝑡 = 69.2 𝑊m.K × 2.49℃3.32℃ = 51.9 𝑊m.K 
• Nosotros deberíamos asignar este valor a la temperatura: 𝑇� = 350K 
Si las muestras de ensayo son idénticas en todos los aspectos, ∆𝑇𝑡,1 ≠ ∆𝑇𝑡,2 además si a conducti-
vidad térmica depende en gran medida de la temperatura. Además si hay escape de calor en las 
superficies laterales, se podrá esperar que: ∆𝑇𝑡,2 < ∆𝑇𝑡,1. 
 
PROBLEMA 2.19 
Un método para determinar la conductividad térmica 𝑘 y el calor específico 𝑐𝑝 de un material se 
ilustra en el diagrama. Inicialmente las dos muestras idénticas de diámetro 𝐷 = 600 mm y espe-
sor 𝐿 = 10 mm y el delgado calentador están a una temperatura uniforme de T𝑖 = 23.00℃, 
mientras está rodeado por un polvo aislante. Súbitamente el calentador se energiza para propor-
cionar un flujo de calor uniforme 𝑞0″ en cada una de las interfaces de la muestra, y el flujo de calor 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
se mantiene constante durante un intervalo ∆T0. Poco tiempo después de que se inicia el calen-
tamiento súbito, la temperatura en su interfaz T𝑜 se relaciona con el flujo de calor como 
T𝑜(𝑡) − T𝑖 = 2𝑞0″ � 𝑡𝜋. 𝜌. 𝑐𝑝𝑘�1/2 
Para un ejercicio de prueba particular, el calentador eléctrico disipa 15.0 W por un periodo 
∆T0 = 120 𝑠 y la temperatura en la interfaz es T0(30 𝑠) = 24.57℃ después de 30 s de calenta-
miento. Mucho tiempo después de que el calentador se desconecta, 𝑡 ≫ ∆T0, las muestras alcan-
zan la temperatura uniforme T0(∞) = 33.50℃. La densidad de los materiales de la muestra, de-
terminada por mediciones de volumen y masa, es 𝜌 = 3965 kg/m3. 
 
Determine el calor específico y la conductividad térmica del material de prueba. Con los valores de 
las propiedades termofísicas de la tabla A.2. Identifique el material de la muestra de prueba. 
 
SOLUCIÓN 2.19 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional en las muestras. 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
b) Propiedades constantes. 
Análisis: 
Considerando un volumen de control sobre las muestras y el calentador, aplicamos conservación 
de energía, en el intervalo de tiempo 𝑡 = 0 hacia 𝑡 = ∞. E𝐼𝑁 − E𝑂𝑈𝑇 = ∆E = EF − E; 
𝑃. ∆𝑡0 − O = m. 𝐶𝑝�𝑇(∞) − 𝑇(0)� 
→ Por tanto para 𝐶𝑝: 
𝐶𝑝 = 𝑃. ∆𝑡m. �𝑇(∞) − 𝑇(0)� = 15 𝑊 × 120𝑠2.3965 × kg
m3
 × �𝜋. 0.0624 � m2 × 0.01m[33.5℃ − 23℃] 
→ 𝐶𝑃 = 765 J/kg. k 
Dónde: 
m = ρ × V = ρ × 2 �𝜋𝐷24 � . 𝐿 
• De la primera ecuación: 
𝑇(0)(𝑡) − 𝑇𝑖 = 2𝑞0″ � 𝑡𝜋. 𝜌. 𝐶𝑝. 𝑘�1/2 
→ 𝑘 = 𝑡
𝜋. 𝜌. 𝐶𝑝 � 2𝑞0″𝑇(0)(𝑡) − 𝑇𝑖�2 … … … . . (1) 
 
𝑞0
″ = 𝑃2𝐴𝑠 = 𝑃2 �𝜋𝐷24 � = 15𝑊2 �𝜋. 0.0624 � m2 = 2653 𝑊/m2 
En (1): 
𝑘 = 30𝑠
𝜋. 3965 kg/m3 × 765J/kg. k �2 × 2653 𝑊/m2(24.57 − 23)℃ �2 = 36 𝑊/m. K 
⇒ De la tabla A.2, se ve que se trata de Oxido de Aluminio Policristalino. 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
PROBLEMA 2.20 
 
En un instante determinado, la distribución de temperatura dentro de un cuerpo infinito homogé-
neo está dada por la función 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 − 2𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 
Suponiendo propiedades constantes y ninguna generación interna de calor, determine las regio-
nes donde la temperatura cambia con el tiempo. 
 
SOLUCIÓN 2.20 
 
Suposiciones: 
a) Propiedades constantes dentro del cuerpo infinito. 
b) No hay generación de energía interna. 
Análisis: 
La distribución de temperatura a través del cuerpo, en cualquier instante de tiempo, debe satisfa-
cer la ecuación de calor. Para unsistema cartesiano de 3 dimensiones, se usa la ecuación 2.15. 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ 𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+ 𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
= 1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
… … . . (1) 
Conociendo: 
𝑇(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥2 − 2𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 … … . . (2) 
→ Derivando (2), respectivamente: 
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑥 − 𝑦) + 𝜕
𝜕𝑦
(−4𝑦 − 𝑥 + 2𝑧) + 𝜕
𝜕𝑧
(2𝑧 + 2𝑦) = 1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
→ 2 − 4 + 2 = 1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Por tanto: 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 0 
Lo cual implica que la temperatura en todo lugar es independiente del tiempo. 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
PROBLEMA 2.21 
 
En una varilla cilíndrica de 50 mm de diámetro de combustible de un reactor nuclear ocurre gene-
ración interna de calor a �̇�1 = 5 × 107 𝑊/m3, y en condiciones de estado estable la distribución 
de temperatura es 𝑇(𝑟) = 𝑎 + 𝑏𝑟2, donde 𝑇 está en grados Celsius y 𝑟 en metros, mientras 
𝑎 = 800℃ y 𝑏 = −4.167 × 105℃/m2. Las propiedades de la varilla de combustible son 
𝑘 = 30 𝑊/m. K, ρ = 1100 kg/m3, y 𝑐𝑝 = 800 J/kg. K. 
(a) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en 𝑟 = 0 
(línea central) y en 𝑟 = 25 mm (superficie)? 
Si el nivel de potencia del reactor aumenta súbitamente a �̇�2 = 108 𝑊 𝑚3⁄ , ¿cuál es la velocidad 
de cambio de temperatura en el tiempo inicial en 𝑟 = 0 y 𝑟 = 25𝑚𝑚? 
 
SOLUCIÓN 2.21 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional en dirección radial. 
b) Generación uniforme. 
Análisis: 
(a) Para coordenadas cilíndricas, se tiene: 
𝑞𝑟
″ = −𝑘 𝜕𝑇
𝜕𝑟
 → 𝑞 = −𝑘. A 𝜕𝑇
𝜕𝑟
 
Por tanto: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝑟 = −𝑘(2𝜋𝑟𝐿). 𝜕𝑇𝜕𝑟 
→ 𝑞𝑟 𝐿⁄ = −𝑘(2𝜋𝑟) 𝜕𝑇𝜕𝑟 (Por unidad de longitud) 
Dónde 𝜕𝑇 𝜕𝑟⁄ , será evaluado de la función 𝑇(𝑟); en 𝑟 = 0 se tiene 𝜕𝑇 𝜕𝑟⁄ = 0 
En la primera ecuación: 
𝑞𝑟
″ = −𝑘(0) = 0 
𝑞𝑟 𝐿⁄ = −𝑘(2𝜋𝑟)(0) = 0 𝑊/m 
En 𝑟 = 𝑟0 = 0.025 m 
→
𝜕𝑇
𝜕𝑟
� 
𝑟=𝑟0
= −2(4.167 × 105). 𝑟0 = −2(4.167 × 105)(0.025) 
𝜕𝑇
𝜕𝑟
� 
𝑟=𝑟0
= −0.208 × 105 𝑘/m 
→ 𝑞𝑟 𝐿⁄ = −𝑘(2𝜋𝑟) 𝜕𝑇𝜕𝑟 � 𝑟=𝑟0 = −30 𝑊m.k(2. 𝜋. 0.025m)(−0.208 × 105𝑊m) 
𝑞𝑟 𝐿⁄ = 0.98 × 105 𝑊/m 
 
(b) Cuando la generación cambia, se toma la ecuación 2.20. 
 1
𝑟
. 𝜕
𝜕𝑟
�𝑘. 𝑟 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� + �̇�2 = 𝜌. 𝐶𝑝. 𝜕𝑇𝜕𝑡 
Por tanto: 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 1
𝜌. 𝐶𝑝 �1𝑟 . 𝜕𝜕𝑟 �𝑘. 𝑟 𝜕𝑇𝜕𝑟 � + �̇�2� 
Inicialmente: (𝑡 = 0), la distribución de temperatura: 𝑇(𝑟) = 800 − 4.167 × 105. 𝑟2 
→
1
𝑟
. 𝜕
𝜕𝑟
�𝑘. 𝑟 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� = 𝑘
𝑟
. 𝜕
𝜕𝑟
[𝑟(−8.334 × 105. 𝑟)] 
= 𝑘
𝑟
(−16.668 × 105. 𝑟) 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor = −16.668 × 105 . 𝑘 
La velocidad de cambio de temperatura será el mismo para 𝑟 = 0 y 𝑟 = 0.025 m 
→
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 1
𝜌. 𝐶𝑝 �1𝑟 . 𝜕𝜕𝑟 �𝑘. 𝑟 𝜕𝑇𝜕𝑟 � + �̇�2� 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 11100 kg/m3 × 800 J/kg. K × �−16.668 × 105 �30 𝑊m.K� + 108� 
𝜕𝑇
𝜕𝑟
= 1880000 J/m3. K × (−5 × 107 𝑊/m3 + 108 𝑊/m3) 
𝜕𝑇
𝜕𝑟
= 56.82 𝑘
𝑠
 
 
PROBLEMA 2.22 
 
Se observa que la distribución de temperatura de estado estable en una pared unidimensional de 
conductividad térmica 50 𝑊/m. K y espesor 50 mm es 𝑇(℃) = 𝑎 + 𝑏𝑥2, donde 𝑎 = 200℃, 𝑏 =
−2000℃/m2, y 𝑥 está en metros. 
(a) ¿Cuál es la rapidez de generación de calor �̇� en la pared? 
Determine los flujos de calor en las dos caras de la pared. ¿De qué manera se relacionan estos 
flujos de calor con la rapidez de generación de calor? 
 
SOLUCIÓN 2.22 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Flujo de calor unidimensional y propiedades constantes. 
Análisis: 
(a) Como se tiene flujo de calor de una dirección y propiedades constantes, se usa la ecuación 
2.15. 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ 𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+ 𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+ �̇�
𝑘
= 1
𝛼
. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Simplificando: 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ �̇�
𝑘
= 0 → �̇� = −𝑘. 𝑑
𝑑𝑥
�
𝑑𝑇
𝑑𝑥
� 
→ S e sabe: 𝑇(𝑥) = 200 − 2000. 𝑥2 
→
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= −4000. 𝑥 
→ �̇� = −𝑘. 𝑑
𝑑𝑥
[−4000. 𝑥] = −𝑘. (−4000 ℃/m2) 
�̇� = − �50 𝑊
m.K� . (−4000 𝑘/m2) 
→ �̇� = 2 × 105 𝑊/m3 
(b) Para los flujos de calor: 
𝑞(𝑥)″ = −𝑘 �𝑑𝑇𝑑𝑥 � 𝑥 � 
→ 𝑞(𝑥)″ = −𝑘(−4000. 𝑥) 
• Para 𝑥 = 0 
→ 𝑞(0)″ = 0 
• Para 𝑥 = 𝐿 
→ 𝑞(𝐿)″ = −𝑘. (−4000. 𝐿) = −50 𝑊m.K × −4000 𝑘m2 × 0.05m 
𝑞(𝐿=0.05m)″ = 104 𝑊/m2 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
PROBLEMA 2.23 
 
La distribución de temperatura a través de una pared de 0.3 m de espesor en cierto instante es 
𝑇(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2, donde 𝑇 está en grados Celsius y 𝑥 en metros, 𝑎 = 200℃, 𝑏 =
−200℃/m y c = 30℃/m2. La pared tiene una conductividad térmica de 1 𝑊/m. K. 
(a) Tomando como base un área unitaria, determine la velocidad de transferencia de calor ha-
cia dentro y hacia fuera de la pared y la rapidez de cambio de energía almacenada por la 
pared. 
Si la superficie fría se expone a un fluido a 100℃ ¿Cuál es el coeficiente de convección? 
 
SOLUCIÓN 2.23 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional en x. 
b) Conductividad constante. 
Análisis: 
(a) Según la ley de Fourier: 
𝑞𝑥
″ = −𝑘. 𝜕𝑇
𝜕𝑥
 ∧ 𝜕𝑇
𝜕𝑥
≈
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 𝑑
𝑑𝑥
(200 − 200𝑥 + 30𝑥2) 
→ 𝑞(𝑥)″ = (200 − 60𝑥). 𝑘 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝐼𝑁
″ = 𝑞(𝑥=0)″ = 200 × 1 = 200 𝑊m2 
𝑞𝐼𝑁
″ = 𝑞(𝑥=1)″ = [200 − 60(0.3)] × 1 = 182 𝑊m2 
• Tomando a la pared como volumen de control, aplicando balance de energía: 
�̇�𝐼𝑁
″ − �̇�𝑂𝑈𝑇
″ = �̇�𝑎𝑙𝑚″ 
→ �̇�𝑎𝑙𝑚
″ = 𝑞𝐼𝑁″ − 𝑞𝑂𝑈𝑇″ = 18 𝑊/m2 
 
(b) Para la superficie: 𝑥 = 𝐿 
 
→ 𝑞″ = 𝑞𝑂𝑈𝑇″ = ℎ. �𝑇(𝐿) − 𝑇∞� 
→ ℎ = 𝑞𝑂𝑈𝑇″
𝑇(𝑥=𝐿) − 𝑇∞ = 182 𝑊/m2142.7℃ − 100℃ = 4.3 𝑊m2.𝐾 
 
PROBLEMA 2.24 
 
Un estanque solar con gradiente salino es un cuerpo de agua poco profundo que consiste en tres 
capas fluidas distintas y se utiliza para colectar energía solar. Las capas superior e inferior están 
bien mezcladas y sirven para mantener las superficies superior e inferior de la capa central a tem-
peraturas uniformes 𝑇1y 𝑇2, donde 𝑇2 > 𝑇1. Aunque hay un movimiento de fluido global en las 
capas mezcladas, no existe este tipo de movimiento en la capa central. Considere condiciones para 
las que la absorción de la radiación solar en la capa central proporciona una generación no uni-
forme de calor de la forma �̇� = 𝐴𝑒−𝑎𝑥, y la distribución de temperatura en la capa central es 
𝑇(𝑥) = − 𝐴
𝑘𝑎2
𝑒−𝑎𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 
Las cantidades 𝐴(𝑊/m3), 𝑎(1/m), 𝐵(𝐾/m), y 𝐶(𝐾) son constantes conocidas que tienen las uni-
dades que se establecen, y 𝑘 es la conductividad térmica,que también es constante. 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
(a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de área de la 
capa inferior mezclada a la capa central y de la capa central a la capa superior mezclada. 
(b) Determine si las condiciones son estables o transitorias. 
Obtenga una expresión para la rapidez a la que se genera energía térmica en la capa central, por 
unidad de área superficial. 
 
SOLUCIÓN 2.24 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional. 
b) Propiedades constantes. 
Análisis: 
Como se da flujo de calor por conducción: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
″ = −𝑘. 𝜕𝑇
𝜕𝑥
 ∧ 𝜕𝑇
𝜕𝑥
≈
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 𝐴
𝑘𝑎
. 𝑒−𝑎𝑥 + 𝐵 
(a) 
→ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
″ = −𝑘 � 𝐴
𝑘𝑎
. 𝑒−𝑎𝑥 + 𝐵� 
Por tanto: 
𝑞𝐿
″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 (𝑥=𝐿)″ = −𝑘 � 𝐴𝑘𝑎 . 𝑒−𝑎𝐿 + 𝐵� 
𝑞𝑢
″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 (𝑥=0)″ = −𝑘 � 𝐴𝑘𝑎 + 𝐵� 
(b) Las condiciones son estables si: 𝜕𝑇 𝜕𝑡⁄ = 0 
Aplicando las ecuaciones de calor: (Ec. 2.15) 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ �̇�
𝑘
= 1
𝛼
. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Dónde: 
𝑇(𝑥) = − 𝐴𝑘𝑎2 . 𝑒−𝑎𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 → 𝑑2𝑇𝑑𝑥 = − 𝐴𝑘 . 𝑒−𝑎𝑥 
�̇�(𝑥) = 𝐴𝑒−𝑎𝑥 → �̇�𝑘 = 𝐴𝑘 . 𝑒−𝑎𝑥 
→ −
𝐴
𝑘
. 𝑒−𝑎𝑥 + 𝐴
𝑘
. 𝑒−𝑎𝑥 = 0 = 1
𝛼
. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
→
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 0 
Por tanto se trata de condiciones estables para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
(c) Para la capa central, la generación de energía se da: 
�̇�𝑔 = � 𝑞𝑑𝑥̇𝐿
0
= 𝐴. � 𝑒−𝑎𝑥. 𝑑𝑥𝐿
0
 
�̇�𝑔 = − 𝐴𝑎 𝑒−𝑎𝑥 � 𝐿0 = − 𝐴𝑎 (𝑒−𝑎𝐿 − 1) = 𝐴𝑎 (1 − 𝑒−𝑎𝐿) 
O también por balance energético: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 + �̇�𝑔 = 0 → �̇�𝑔 = �̇�𝑂𝑈𝑇 − �̇�𝐼𝑁 
�̇�𝑔 = 𝑞𝑢″ − 𝑞𝐿″ = 𝐴𝑎 (1 − 𝑒−𝑎𝐿) 
 
PROBLEMA 2.25 
La distribución de temperaturas de estado estable en un material semitransparente con conducti-
vidad térmica 𝑘 y espesor 𝐿 expuesto a irradiación láser es de la forma 
𝑇(𝑥) = − 𝐴
𝑘𝑎2
𝑒−𝑎𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 
Donde 𝐴, 𝑎, 𝐵 y 𝐶 son constantes conocidas. Para esta situación, la absorción de radiación en el 
material se manifiesta por un término de generación de calor distribuido, �̇�(𝑥). 
 
 
 
 
 
(a) Obtenga expresiones para los flujos de calor por conducción en las superficies superior e 
inferior. 
(b) Derive una expresión para �̇�(𝑥) 
Derive una expresión para la rapidez a la que se absorbe la radiación en todo material, por unidad 
de área superficial. Exprese el resultado en términos de las constantes conocidas para la distribu-
ción de temperaturas, conductividad térmica del material y espesor. 
SOLUCIÓN 2.25 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) Propiedades constantes. 
Análisis: 
(a) Conociendo la distribución de temperatura, se hallan los flujos. 
𝑞𝑥
″ = −𝑘 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 ∧ 𝑑𝑇
𝑑𝑥
= − 𝐴
𝑘𝑎2
(−𝑎)𝑒−𝑎𝑥 + 𝐵 
→ 𝑥 = 0 ; 𝑞𝑥″(0) = −𝑘 � 𝐴𝑘𝑎2 𝑒−𝑎0 + 𝐵� = −𝑘 � 𝐴𝑘𝑎2 + 𝐵� 
→ 𝑥 = 𝐿 ; 𝑞𝑥″(𝐿) = −𝑘 � 𝐴𝑘𝑎2 𝑒−𝑎𝐿 + 𝐵� 
(b) Según la Ec. 2.15, se obtiene: 
(Estado estable, 𝜕𝑇 𝜕𝑡⁄ = 0) 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ �̇�
𝑘
= 0 
→ �̇� = −𝑘. 𝑑
𝑑𝑥
�
𝑑𝑇
𝑑𝑥
� 
�̇�(𝑥) = −𝑘. 𝑑𝑑𝑥 �− 𝐴𝑘𝑎2 (−𝑎)𝑒−𝑎𝑥 + 𝐵� = 𝐴𝑒−𝑎𝑥 
(c) Realizando la integración para obtener: 
�̇�𝑔
″ = � �̇�(𝑥). 𝑑𝑥𝐿
0
 
�̇�𝑔
″ = � 𝐴𝑒−𝑎𝑥𝑑𝑥𝐿
0
= − 𝐴
𝑎
(𝑒−𝑎𝑥) � 𝐿
0
 
�̇�𝑔
″ = 𝐴
𝑎
(1 − 𝑒−𝑎𝐿) 
O también por balance energético: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 + �̇�𝑔 = 0 
→ �̇�𝑔 = �̇�𝑂𝑈𝑇 − �̇�𝐼𝑁 = 𝑞𝑥″(𝐿) − 𝑞𝑥″(0) = −𝑘 � 𝐴𝑘𝑎 𝑒−𝑎𝐿 + 𝐵� + 𝑘 � 𝐴𝑘𝑎 + 𝐵� 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
�̇�𝑔 = 𝐴𝑎 (1 − 𝑒−𝑎𝐿) 
 
PROBLEMA 2.26 
 
La distribución de temperaturas de estado estable en una pared unidimensional de conductividad 
térmica 𝑘 y espesor 𝐿 es 𝑇 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑. Derive expresiones para la rapidez de genera-
ción de calor por unidad de volumen en la pared y los flujos de calor en las dos caras de la pared (𝑥 = 0, 𝐿). 
 
SOLUCIÓN 2.26 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Flujo de calor unidimensional. 
Análisis: 
Para esta condición se usa la Ec. 2.15 y para el eje X, se obtiene: 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+ �̇�
𝑘
= 0 → �̇� = −𝑘 𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
 
𝑇(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 → 𝑑𝑑𝑥 �𝑑𝑇𝑑𝑥� = 𝑑𝑑𝑥 (3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐) 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
= 6𝑎𝑥 + 2𝑏 
→ �̇� = −𝑘(6𝑎𝑥 + 2𝑏) 
La cual es una función lineal con la coordenada X. 
• En 𝑥 = 𝐿 (pared) 
→ �̇� = −𝑘(6𝑎𝐿 + 2𝑏) 
• Los flujos de calor, se da según la ley de Fourier: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝑥
″ = −𝑘. 𝑑𝑇
𝑑𝑥
= −𝑘(3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐) 
→ 𝑥 = 0 → 𝑞𝑥″(0) = −𝑘(𝑐) 
→ 𝑥 = 𝐿 → 𝑞𝑥″(𝐿) = −𝑘(3𝑎𝐿2 + 2𝑏𝐿 + 𝑐) 
 
PROBLEMA 2.27 
 
En una pared plana de conductividad térmica constante está ocurriendo una conducción unidi-
mensional en estado estable sin generación de energía interna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Es posible la distribución de temperaturas que se describe? Explique en forma breve su razona-
miento. Con la temperatura en 𝑥 = 0, y la temperatura del fluido fija en 𝑇(0) = 0℃ y 𝑇∞ = 20℃, 
respectivamente, calcule y elabore una gráfica de la temperatura en 𝑥 = 𝐿, 𝑇(𝐿), como función de 
ℎ para 10 ≤ ℎ ≤ 100 𝑊/m2 ⋅ 𝐾. Explique sus resultados de manera concisa. 
 
SOLUCIÓN 2.27 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional. 
b) No hay generación de energía interna. 
c) Condición de estado estable. 
Análisis: 
Para comprobar si la distribución de temperatura es posible, hay que observar el balance de ener-
gía en 𝑥 = 𝐿, se debe satisfacer que: 
�̇�𝐼𝑁 = �̇�𝑂𝑈𝑇 → 𝑞𝑥″(𝐿) = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ … … … . (1) 
→ 𝑞𝑥
″(𝐿) = −𝑘 𝑑𝑇
𝑑𝑥
� 
𝑥=𝐿
= −𝑘. 𝑇(𝐿) − 𝑇(0)
𝐿
= −4.5 𝑊
m.K × 120 − 0℃0.18 m = −3000 𝑊m2 
→ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
″ = ℎ�𝑇(𝐿) − 𝑇∞� = 30 𝑊m2.𝐾 × (120 − 20)𝐾 = 3000 𝑊m2 
Al reemplazar en (1): 
−3000 𝑊
m2
≠ 3000 𝑊
m2
 
Por lo tanto la distribución de temperatura no es posible. 
• Se tiene: 𝑇(0) = 0℃ ∧ 𝑇∞ = 20℃, para 𝑥 = 𝐿 se realiza un balance: 
 
 
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�̇�𝐼𝑁 = �̇�𝑂𝑈𝑇 → 𝑞𝑥″(𝐿) = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ o 𝑞𝑥″(𝐿) − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ = 0 
→ −𝑘 × 𝑇(𝐿) − 𝑇(0)
𝐿
− ℎ�𝑇(𝐿) − 𝑇∞� = 0 
−4.5 𝑊
m.K × �𝑇(𝐿) − 0�0.18 − ℎ�𝑇(𝐿) − 20� = 0 
→ 𝑇(𝐿) = −3.6ℎ4.5 + 0.18ℎ 
Tabla: 
ℎ(𝑊/m2. 𝐾) 𝑇(𝐿)℃ 
10 5.71 
20 8.89 
40 12.31 
60 14.12 
80 15.23 
100 16 
 
Al graficar la función: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Se obtiene que el valor 𝑇(𝐿) no es linealmente dependiente de ℎ. Además para mayores valores de 
ℎ, 𝑇(𝐿) se acerca al valor de 𝑇∞. 
 
PROBLEMA 2.28 
 
Una capa plana de carbón de espesor 𝐿 = 1 m experimenta una generación volumétrica uniforme 
a razón de �̇� = 20 𝑊/m3 debido a la oxidación lenta de las partículas de carbón. Promediada en 
un periodo diario, la superficie superior de la capa transfiere calor por convección al aire del am-
biente para el que ℎ = 5 𝑊 𝑚2⁄ . 𝐾 y 𝑇∞ = 25℃, mientras recibe irradiación solar por la cantidad 
𝐺𝑠 = 400 𝑊/m2. La absortividad y emisividad solar de la superficie con cada una 𝛼𝑠 = 𝜀 = 0.95. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Escribe la forma de estado estable de la ecuación de difusión de calor para la capa de car-
bón. Verifique que esta ecuación se satisface para una distribución de temperaturas de la 
forma. 
𝑇(𝑥) = 𝑇𝑠 + �̇�𝐿22𝑘 �1 − 𝑥2𝐿2 � 
A partir de esta distribución, ¿qué puede decir sobre las condiciones en la superficie inferior (𝑥 = 0)? Dibuje la distribución de temperaturas y marque las características clave. 
(b) Obtenga una expresión para la velocidad de transferencia de calor por conducción para un 
área unitaria en 𝑥 = 𝐿. Aplique un balance de energía a una superficie de control sobre la 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
superficie superior de la capa y obtenga una expresión para 𝑇𝑠. Evalúe 𝑇𝑠 y 𝑇(0) para las 
condiciones que se establecen. 
Los valores promedio diarios de 𝐺𝑠 y ℎ dependen de un número de factores como la época del 
año, la nubosidad y las condiciones de viento. Para ℎ = 5 𝑊/m2. 𝐾 calcule y elabore una gráfica 
de 𝑇𝑠 y 𝑇(0) como función de 𝐺𝑠 para 50 ≤ 𝐺𝑠 ≤ 500 𝑊/m2. Para 𝐺𝑠 = 400 𝑊/m2. Calcule y 
elabore una gráfica de 𝑇𝑠 y 𝑇(0) como función de ℎ para 5 ≤ ℎ ≤ 50 𝑊/m2 ⋅ 𝐾. 
 
SOLUCIÓN 2.28 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional 
b) Generación de energía. 
c) Condición de estado estable. 
Análisis: 
Se sabe de tabla (A.3), 𝑘carbón = 0.26 𝑊/m. K 
(a) Por las condiciones establecidas, para difusión de calor dado, se obtiene de la ecuación 
2.16: 
𝑑
𝑑𝑥
�
𝑑𝑇
𝑑𝑥
� + �̇�
𝑘
= 0 ∧ 𝑇(𝑥) = 𝑇𝑠 + �̇�𝐿22𝑘 �1 − 𝑥2𝐿2 � 
Sustituyendo: 
𝑑
𝑑𝑥
�
�̇�𝐿22𝑘 �− 2𝑥𝐿2 �� + �̇�𝑘 = 0 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
�̇�𝐿22𝑘 �− 2𝐿2� + �̇�𝑘 = 0 
→ Si se cumple la ecuación de difusión de calor, para todo valor de 𝑥 y la distribución de tempera-
turas si la satisface. 
• De: 
𝑞𝑥
″(0) = −𝑘 𝑑𝑇
𝑑𝑥
� 
𝑥=0
= −𝑘. ��̇�𝐿22𝑘 �− 2𝑥𝐿2 ��
𝑥=0
= 0 
Por tanto en 𝑥 = 0 el gradiente es cero, por tanto la base es aislada. 
• De la distribución: 
𝑇(𝑥) = 𝑇𝑠 + �̇�𝐿22𝑘 . �1 − 𝑥2𝐿2 � 
𝑇(𝑥) = 𝐴 − 𝐵𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
• Por balance de energía en toda la capa de carbón, el flujo de calor por conducción será: 
𝑞𝑥
″(𝐿) = �̇�𝑔″ = �̇�𝐿 
• Para el balance, en la superficie superior: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 + �̇�𝑔 = 0 ∧ 𝑞𝑥″(𝐿) − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ + 𝐺𝑠. 𝛼𝑠 − �̇� = 0 
→ �̇�𝐿 − ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) + 0.95𝐺𝑠 − 𝜀. 𝜎. 𝑇𝑠4 = 0 20 𝑊
m3
(1m) − 5 𝑊
m2.𝐾(𝑇𝑠 − 298K) + 0.95 × 400 𝑊m2 − 0.95 × 5.67 𝑊m2𝐾4 × 10−8𝑇𝑠4 = 0 
→ 𝑇𝑠 = 295.7K = 22.7℃ 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Para: 
𝑇(0) = 𝑇𝑠 + �̇�𝐿22𝑘 �1 − 02𝐿2 � = 22.7℃ + 30 𝑊m2.𝐾 × (1m)22 × 0.26 𝑊m.K = 61.1℃ 
(c) De las ecuaciones anteriores: 
 
 𝑇𝑠 = 𝑓(𝐺𝑠) 20 − 5(𝑇𝑠 − 298) + 0.95. 𝐺𝑠 − 5.3865 × 10−8. 𝑇𝑠4 = 0 
𝑇(0) = 𝑇𝑠 + �̇�𝐿22𝑘 = 𝑇𝑠 + 57.692 
Se observa la gráfica en el Excel: 
 
Gs (W/m2) Ts (K) T0 (K) 
50 261.29 318.98 
100 266.59 324.28 
150 271.75 329.44 
200 276.78 334.47 
250 281.68 339.37 
300 286.46 344.15 
350 291.12 348.81 
400 295.67 353.36 
450 300.11 357.80 
500 304.45 362.14 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 𝑇𝑠 = 𝑓(ℎ) 20 − ℎ(𝑇𝑠 − 298) + 380 − 5.3865 × 10−8. 𝑇𝑠4 = 0 
𝑇(0) = 𝑇𝑠 + 57.692 
Se observa la gráfica en el Excel: 
 
h 
(W/m2*K) Ts (K) T0 (K) 
5 295.67 353.36 
10 296.42 354.11 
15 296.80 354.49 
20 297.04 354.73 
25 297.19 354.88 
30 297.31 355.00 
35 297.39 355.08 
40 297.46 355.15 
45 297.51 355.20 
50 297.56 355.25 
 
 
 
 
PROBLEMA 2.29 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
El sistema cilíndrico que se ilustra tiene una variación de temperatura insignificante en las direc-
ciones 𝑟 y 𝑧. Suponga que ∆𝑟 = 𝑟0 − 𝑟𝑖, es pequeña comparada con 𝑟𝑖 y denote la longitud en la 
dirección 𝑧, normal a la página, como 𝐿. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Comenzando con un volumen de control definido de forma apropiada y considerando los 
efectos de generación y almacenamiento de energía, derive la ecuación diferencial que 
describe la variación en la temperatura con la coordenada angular 𝜙. Compare su resulta-
do con la ecuación 2.20. 
(b) Para condiciones de estado estable sin generación interna de calor y con propiedades 
constantes, determine la distribución de temperatura 𝑇(𝜙) en términos de las constantes 
𝑇1, 𝑇2, 𝑟𝑖, y 𝑟0. ¿Es lineal en 𝜙 esta distribución? 
Para las condiciones de la parte (b) escriba la expresión para la transferencia de calor 𝑞𝜙 
 
SOLUCIÓN 2.29 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) 𝑇 es independiente de 𝑟, 𝑧. 
b) ∆𝑟 = 𝑟0 − 𝑟𝑖 ⋘ 𝑟𝑖 
Análisis: 
(a) Definiendo al volumen del control: 𝑉 = 𝑟𝑖. 𝑑𝜙. Δ𝑟. 𝐿. Al aplicar la conservación de energía: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 + �̇�𝑔 = �̇�𝑎𝑙𝑚 
→ �̇�0 − 𝑞𝜙+𝑑𝜙 + �̇�𝑉 = 𝜌. 𝑉𝑐. 𝜕𝑇𝜕𝑡 … … … … . . (1) 
Dónde: 
𝑞𝜙 = −𝑘(Δ𝑟. 𝐿) 𝜕𝑇𝑟𝑖𝜕𝜙 
𝑞𝜙+𝑑𝜙 = 𝑞𝜙 = + 𝜕𝜕𝜙 (𝑞𝜙)𝑑𝜙 
Reemplazando en (1) y simplificando: 1
𝑟𝑖2
𝜕
𝜕𝜙
�𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝜙
� + �̇� = 𝜌𝑐 𝜕𝑇
𝜕𝑡
… … … . . (2) 
Se obtiene el mismo resultado que la Ec. 2.20 al decir que 𝑇 es independiente de 𝑟 y 𝑧. 
(b) Para la condición de estado estable 𝜕𝑇 𝜕𝑡⁄ = 0 ∧ �̇� = 0 
De (2): 
𝑑
𝑑𝜙
�𝑘. 𝑑𝑇
𝑑𝜙
� = 0 
Con propiedades constantes, se deduce que 𝑑𝑇 𝑑𝜙⁄es constante la cual implica que 𝑇(𝜙) es lineal 
con 𝜙; 
𝑑𝑇
𝑑𝜙
= 𝑇2 − 𝑇1
𝜙2 − 𝜙1
= 1
𝜋
. (𝑇2 − 𝑇1) 
→ 𝑇(𝜙) = 𝑇1 + 1𝜋 . (𝑇2 − 𝑇1)𝜙 
(c) Para las condiciones de (b), la transferencia de calor, según la ley de Fourier: 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝜙 = −𝑘(Δ𝑟. 𝐿). 𝜕𝑇𝑟𝑖. 𝜕𝜙 
𝑞𝜙 = −𝑘(Δ𝑟. 𝐿). 1𝑟𝑖 �1𝜋 (𝑇2 − 𝑇1)� = −𝑘 �𝑟0 − 𝑟𝑖𝜋𝑟𝑖 � . 𝐿. (𝑇2 − 𝑇1) 
 
PROBLEMA 2.30 
 
Comenzando con un volumen de control diferencial en la forma de una coraza cilíndrica, derive la 
ecuación de difusión de calor para un sistema coordenado radial cilíndrico unidimensional con 
generación interna de calor. Compare sus resultados con la ecuación 2.20. 
 
 
SOLUCIÓN 2.30 
 
Esquema: 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Medio homogéneo. 
Análisis: 
Para el volumen de control: 
𝑉 = 𝐴𝑟 . 𝑑𝑟 = 2𝜋𝑟. 𝑑𝑟. 𝐿 
Para la ecuación de energía: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 + �̇�𝑔 = �̇�𝑎𝑙𝑚 
𝑞𝑟 − 𝑞𝑟+𝑑𝑟 + �̇�𝑉 = 𝜌. 𝑉. 𝑐. 𝜕𝑇𝜕𝑡 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
• Según la ley e Fourier (Ec. 2.1) 
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴𝑟 𝜕𝑇𝜕𝑟 = −𝑘. (2𝜋𝑟. 𝐿) 𝜕𝑇𝜕𝑟 
• Para la superficie externa: 
𝑞𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 (𝑞𝑟)𝑑𝑟 = 𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 �−𝑘. 2𝜋𝑟. 𝐿. 𝜕𝑇𝜕𝑟� 𝑑𝑟 
 
Por tanto del balance: 
𝑞𝑟 − �𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 �−𝑘. 2𝜋𝑟. 𝐿 𝜕𝑇𝜕𝑟 � 𝑑𝑟� + �̇�2𝜋𝑟. 𝐿𝑑𝑟 = 𝜌. 2𝜋𝑟. 𝐿𝑑𝑟. 𝐶𝑝. 𝜕𝑇𝜕𝑡 
→
1
𝑟
. 𝜕
𝜕𝑟
�𝑘. 𝑟. 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� + �̇� = 𝜌. 𝐶𝑝. 𝜕𝑇𝜕𝑡 
Se obtiene el mismo resultado que la ecuación 2.20 al decir que 𝑇 es independiente de 𝜙, 𝑧 (los 
cuales, sus coordenadas son eliminadas). 
 
PROBLEMA 2.31 
 
Comenzando con un volumen de control diferencial en la forma de una coraza esférica, derive la 
ecuación de difusión de calor para un sistema coordenado, radial, esférico y unidimensional con 
generación interna de calor. Compare su resultado con la ecuación 2.23. 
 
SOLUCIÓN 2.31 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Medio homogéneo: 
Análisis: 
Para el volumen de control: 
𝑉 = 𝐴𝑟 . 𝑑𝑟 = 4𝜋𝑟2. 𝑑𝑟 
Usando la conservación de energía: 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 + �̇�𝑔 = �̇�𝑎𝑙𝑚 
𝑞𝑟 − 𝑞𝑟+𝑑𝑟 + �̇�𝑉 = 𝜌. 𝑉. 𝐶𝑝. 𝜕𝑇𝜕𝑡 
Aplicando la ley de Fourier, para este sistema de coordenadas: (Ec. 2.1) 
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴𝑟 𝜕𝑇𝜕𝑟 = −𝑘. (4𝜋𝑟2) 𝜕𝑇𝜕𝑟 
Para la superficie externa: (𝑟 + 𝑑𝑟) 
𝑞𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 (𝑞𝑟)𝑑𝑟 = 𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 �−𝑘. 4𝜋𝑟2. 𝜕𝑇𝜕𝑟� 𝑑𝑟 
Por tanto, el balance de energía será: 
𝑞𝑟 − �𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 �−𝑘. 4𝜋𝑟2. 𝜕𝑇𝜕𝑟� 𝑑𝑟� + �̇�. 4𝜋𝑟2. 𝑑𝑟 = 𝜌. 4𝜋𝑟2. 𝑑𝑟. 𝐶𝑝. 𝜕𝑇𝜕𝑡 
→
1
𝑟2
. 𝜕
𝜕𝑟
�𝑘. 𝑟2. 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� + �̇� = 𝜌. 𝐶𝑝. 𝜕𝑇𝜕𝑡 
Este resultado se obtiene de la ecuación 2.23 al eliminar las coordenadas 𝜃 y 𝜙 (será lo mismo). 
 
PROBLEMA 2.32 
 
Derive la ecuación de difusión de calor, ecuación 2.20, para coordenadas cilíndricas, comenzando 
con el volumen de control diferencial que se muestra en la figura 2.9. 
 
SOLUCIÓN 2.32 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Medio homogéneo. 
Análisis: 
Considerando el volumen de control diferencial: 𝑉 = 𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧 
• Para la conservación de energía: 
𝑞𝑟 − 𝑞𝑟+𝑑𝑟 + 𝑞𝜙 − 𝑞𝜙+𝑑𝜙 + 𝑞𝑧 − 𝑞𝑧+𝑑𝑧 + �̇�𝑔 = �̇�𝑎𝑙𝑚 … … … (1) 
• Para los términos de generación y energía almacenada, (ambos presentan fenómenos vo-
lumétricos) 
�̇�𝑔 = �̇�𝑉 = �̇�(𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧) … … . (2) 
�̇�𝑎𝑙𝑚 = 𝜌. 𝑉. 𝑐 𝜕𝑇𝜕𝑡 = 𝜌(𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧)𝑐 𝜕𝑇𝜕𝑡 . … … … . . (3) 
• Para los flujos de salida (usando las series de expansión de Taylor): 
𝑞𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 (𝑞𝑟)𝑑𝑟 … … … . (4) 
𝑞𝜙+𝑑𝜙 = 𝑞𝜙 + 𝜕𝜕𝜙 �𝑞𝜙�𝑑𝜙 … … … . (5) 
𝑞𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞𝑧 + 𝜕𝜕𝑧 (𝑞𝑧)𝑑𝑧 … … … . (6) 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
• Para los flujos de calor, por conducción: 
𝑞𝑟 = −𝑘. 𝐴𝑟 . 𝜕𝑇𝜕𝑟 = −𝑘. (𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧) 𝜕𝑇𝜕𝑟 … … … (7) 
𝑞𝜙 = −𝑘. 𝐴𝜙. 𝜕𝑇𝑟𝜕𝜙 = −𝑘. (𝑑𝑟. 𝑑𝑧) 𝜕𝑇𝑟𝜕𝜙 … … … (8) 
𝑞𝑧 = −𝑘. 𝐴𝑧. 𝜕𝑇𝜕𝑧 = −𝑘. (𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙) 𝜕𝑇𝜕𝑧 … … … (9) 
→ Reemplazando las ecuaciones (4), (5), (6) ˄ (2) y (3) en (1): 
𝑞𝑟 − �𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 (𝑞𝑟)𝑑𝑟� + 𝑞𝜙 − �𝑞𝜙 + 𝜕𝜕𝜙 �𝑞𝜙�𝑑𝜙� + 𝑞𝑧 − �𝑞𝑧 + 𝜕𝜕𝑧 (𝑞𝑧)𝑑𝑧�+ �̇�(𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧) = 𝜌(𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧)𝑐. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Reemplazando (7), (8) y (9). Se obtiene luego de: 
−
𝜕
𝜕𝑟
�−𝑘. (𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧) 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� 𝑑𝑟 −
𝜕
𝜕𝜙
�−𝑘. (𝑑𝑟. 𝑑𝑧) 𝜕𝑇
𝑟𝜕𝜙
� 𝑑𝜙 −
𝜕
𝜕𝑧
�−𝑘. (𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙) 𝜕𝑇
𝜕𝑧
� 𝑑𝑧+ �̇�(𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧) = 𝜌(𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜙. 𝑑𝑧)𝑐. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Simplificando: 1
𝑟
. 𝜕
𝜕𝑟
�𝑘. 𝑟 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� + 1
𝑟2
. 𝜕
𝜕𝜙
�𝑘. 𝜕𝑇
𝜕𝜙
� + 𝜕
𝜕𝑧
�𝑘. 𝜕𝑇
𝜕𝑧
� + �̇� = 𝜌. 𝑐. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
PROBLEMA 2.33 
 
Derive la ecuación de difusión de calor, ecuación 2.23, para coordenadas esféricas, comenzando 
con el volumen de control diferencial que se muestra en la figura 2.10. 
 
SOLUCIÓN 2.33 
 
Esquema: 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Medio homogéneo. 
Análisis: 
El volumen diferencial (de control): 𝑉 = 𝑑𝑟. 𝑟 sen 𝜃 𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜃 y los términos de conducción están 
identificadas en la figura 2.10. 
• Para la conservación de energía se tiene: 
𝑞𝑟 − 𝑞𝑟+𝑑𝑟 + 𝑞𝜙 − 𝑞𝜙+𝑑𝜙 + 𝑞𝜃 − 𝑞𝜃+𝑑𝜃 + �̇�𝑔 = �̇�𝑎𝑙𝑚 … … … (1) 
• Los términos de �̇�𝑔 y �̇�𝑎𝑙𝑚 , son funciones de volumen: 
�̇�𝑔 = �̇�𝑉 = �̇�(𝑑𝑟. 𝑟. sen 𝜃 𝑑𝜙. 𝑟𝑑𝜃) … … . (2) 
�̇�𝑎𝑙𝑚 = 𝜌. 𝑉. 𝑐 𝜕𝑇𝜕𝑡 = 𝜌(𝑑𝑟. 𝑟. sen 𝜃 𝑑𝜙. 𝑟𝑑𝜃)𝑐. 𝜕𝑇𝜕𝑡 … … … . . (3) 
• Usando la expansión de Taylor, se obtiene: 
𝑞𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞𝑟 + 𝜕𝜕𝑟 (𝑞𝑟)𝑑𝑟 … … … . (4) 
𝑞𝜙+𝑑𝜙 = 𝑞𝜙 + 𝜕𝜕𝜙 �𝑞𝜙�𝑑𝜙 … … … . (5) 
𝑞𝜃+𝑑𝜃 = 𝑞𝜃 + 𝜕𝜕𝜃 (𝑞𝜃)𝑑𝜃 … … … . (6) 
• De la ley de Fourier: 
𝑞𝑟 = −𝑘. 𝐴𝑟 . 𝜕𝑇𝜕𝑟 = −𝑘. (𝑟. sen 𝜃 𝑑𝜙. 𝑟𝑑𝜃) 𝜕𝑇𝜕𝑟 … … … (7) 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝜙 = −𝑘. 𝐴𝜙. 𝜕𝑇𝑟. sen 𝜃 𝜕𝜙 = −𝑘. (𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜃) 𝜕𝑇𝑟 sen 𝜃 𝜕𝜙 … … … (8) 
𝑞𝜃 = −𝑘. 𝐴𝜃. 𝜕𝑇𝑟. 𝜕𝜃 = −𝑘. (𝑑𝑟. 𝑟 sen 𝜃 𝑑𝜙) 𝜕𝑇𝑟𝜕𝜃 … … … (9) 
→ Reemplazando (2), (3) y (4), (5), (6) en (1), se obtiene: 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑞𝑟)𝑑𝑟 − 𝜕𝜕𝜙 �𝑞𝜙�𝑑𝜙 − 𝜕𝜕𝜃 (𝑞𝜃)𝑑𝜃 + �̇�[𝑑𝑟. 𝑟 sen 𝜃𝑑𝑟 . 𝑟𝑑𝜃]= 𝜌[𝑑𝑟. 𝑟 sen 𝜃 𝑑𝜙. 𝑟𝑑𝜃]𝑐. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
… … . (10) 
→ Sustituyendo (7), (8), (9) en (10) 
−
𝜕
𝜕𝜃
�−𝑘. (𝑟 sen 𝜃 𝑑𝜙. 𝑟𝑑𝜃) 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� 𝑑𝑟 −
𝜕
𝜕𝜙
�−𝑘. (𝑑𝑟. 𝑟𝑑𝜃) 𝜕𝑇
𝑟 sen 𝜃 𝜕𝜙� 𝑑𝜙
−
𝜕
𝜕𝜃�−𝑘. (𝑑𝑟. 𝑟 sen 𝜃 𝑑𝜙) 𝜕𝑇
𝑟. 𝜕𝜃� 𝑑𝜃 + �̇�(𝑑𝑟. 𝑟. sen 𝜃 𝑑𝜙. 𝑟𝑑𝜃)= 𝜌(𝑑𝑟. 𝑟 sen 𝜃 𝑑𝜙. 𝑟𝑑𝜃)𝑐. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Simplificando (todo entre 𝑑𝑟. 𝑟 sen 𝜃 𝑑𝜙. 𝑟𝑑𝜃), se obtiene: 1
𝑟2
. 𝜕
𝜕𝑟
�𝑘. 𝑟2 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� + 1
𝑟2 sen2 𝜃 . 𝜕𝜕𝜙 �𝑘. 𝜕𝑇𝜕𝜙� + 1𝑟2 sen 𝜃 . 𝜕𝜕𝜃 �𝑘. sen 𝜃 𝜕𝑇𝜕𝜃� + �̇�= 𝜌. 𝑐. 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
→ Se obtiene la Ec. 2.23. 
 
PROBLEMA 2.34 
 
Se cubre un tubo de vapor con un aislante de radios interior y exterior, 𝑟𝑖 y 𝑟0, respectivamente. 
En un instante particular se sabe que la distribución radial de temperaturas en el aislante es de la 
forma 
𝑇(𝑟) = 𝐶1 ln � 𝑟𝑟0� + 𝐶2 
¿Son condiciones de estado estable o transitorio? ¿Cómo varían el flujo de calor y la rapidez de 
transferencia de calor con el radio? 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
SOLUCIÓN 2.34 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional en dirección 𝑟. 
b) Propiedades constantes. 
Suposiciones: 
De la Ecu. 2.20, la ecuación se reduce a: 1
𝑟
. 𝜕
𝜕𝑟
�𝑟. 𝜕𝑇
𝜕𝑟
� = 1
𝛼
. �𝜕𝑇
𝜕𝑡
� 
• 
𝜕𝑇
𝜕𝑟
= 𝐶1
𝑟
 
→
1
𝑟
. 𝜕
𝜕𝑟
�𝑟. 𝐶1
𝑟
� = 1
𝑟
. 𝜕
𝜕𝑟
(𝐶1) = 0 = 1𝛼 . �𝜕𝑇𝜕𝑡 � 
→ 𝜕𝑇 𝜕𝑡⁄ = 0 
Se trata de un estado estable 
• El flujo de calor para el componente radial (Ecu. 2.19) 
𝑞𝑟
″ = −𝑘. 𝜕𝑇
𝜕𝑟
= −𝑘. 𝐶1
𝑟
 
→ Por tanto el flujo de calor disminuye ante el incremento del valor de 𝑟. 
Para cualquier radio, la rapidez de transferencia de calor será: 
𝑞𝑟 = 2𝜋𝑟. 𝐿. 𝑞𝑟″ = −2𝜋. 𝐿. 𝑘. 𝐶1 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
→ Donde la rapidez de transferencia de calor es independiente de 𝑟. 
 
PROBLEMA 2.35 
 
Para un tubo circular largo de radios interno y externo 𝑟1 y 𝑟2, respectivamente, se mantienen 
temperaturas uniformes 𝑇1 y 𝑇2 en las superficies interna y externa, mientras la generación de 
energía térmica ocurre dentro de la pared del tubo (𝑟1 < 𝑟 < 𝑟2). Considere condiciones de es-
tado estable para las que 𝑇1 > 𝑇2. ¿Es posible mantener una distribución de temperaturas radias 
lineal en la pared? Si es así, ¿Qué condiciones especiales deben existir? 
 
SOLUCIÓN 2.35 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional en dirección radial. 
b) Condición de estado estable. 
Análisis: 
Para las condiciones, de la Ecu. 2.20 se reduce a: 
𝑘
𝑟
. 𝑑
𝑑𝑟
�𝑟. 𝑑𝑇
𝑑𝑟
� + �̇� = 0 
Si �̇� = 0 ó �̇� = constante, está claro que será imposible tener una distribución lineal de la tempe-
ratura. 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Sin embargo, podemos usar la ecuación de calor para inferir una forma especial de 𝑞(𝑟) para los 
que 𝑑𝑇 𝑑𝑟⁄ es una constante (llamado 𝐶1). 
De ello se deduce que: 
𝑘
𝑟
. 𝑑
𝑑𝑟
(𝑟. 𝐶1) + �̇� = 0 
→ �̇� = − 𝐶1𝑘
𝑟
 
Dónde: 
𝐶1 = 𝑇2 − 𝑇1𝑟2 − 𝑟1 
Por tanto, si la generación varía inversamente con la ubicación radial, la distribución de tempera-
turas será lineal (𝑇(𝑟) = 𝐶1. 𝑟 + 𝐶2) 
 
PROBLEMA 2.36 
 
El paso de una corriente eléctrica a través de una larga varilla conductora de radio 𝑟𝑖 y conductivi-
dad térmica 𝑘𝑟 tiene como resultado un calentamiento volumétrico uniforme a una velocidad de 
�̇�. La varilla conductora se envuelve en un material de revestimiento no conductor de radio ex-
terno 𝑟0 y conductividad térmica 𝑘𝑐, y se suministra enfriamiento por convección mediante un 
fluido contiguo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Para condiciones de estado estable, escriba las formas apropiadas de las ecuaciones de calor para 
la varilla y el revestimiento. Exprese condiciones de frontera apropiadas para la solución de estas 
ecuaciones. 
 
SOLUCIÓN 2.36 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional en 𝑟. 
Análisis: 
De la ecuación 2.20, se obtiene las ecuaciones de calor: 
• Varilla conductora: 
𝑘𝑟
𝑟
. 𝑑
𝑑𝑟
�𝑟. 𝑑𝑇𝑟
𝑑𝑟
� + �̇� = 0 
• Revestimiento: 
𝑑
𝑑𝑟
�𝑟. 𝑑𝑇𝑐
𝑑𝑟
� = 0 
→ Para las condiciones de frontera: 
• 𝑟 = 0 (El centro simétrico) 
→ 𝑑𝑇𝑟
𝑑𝑟
� 
𝑟=0
= 0 
• 𝑟 = 𝑟𝑖 (Equilibrio térmico y conservación de energía): 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
→ 𝑇𝑟(𝑟𝑖) = 𝑇𝑐(𝑟𝑖) 
→ 𝑘𝑟 𝑑𝑇𝑟𝑑𝑟 � 𝑟1 = 𝑘𝑐 𝑑𝑇𝑐𝑑𝑟 � 𝑟1 
• 𝑟 = 𝑟0 (Conservación de energía en superficie externa) 
→ 𝑘𝑐
𝑑𝑇𝑐
𝑑𝑟
� 
𝑟0
= ℎ. [𝑇𝑐(𝑟0) − 𝑇∞] 
 
PROBLEMA 2.37 
 
Un cable eléctrico de radio 𝑟1 y conductividad térmica 𝑘𝑐, envuelto por una cubierta aislante cuya 
superficie exterior tiene radio 𝑟2, experimenta transferencia de calor por convección e intercambio 
de radiación con el aire contiguo y alrededores, respectivamente. Cuando pasa corriente eléctrica 
a través del cable, se genera energía térmica dentro del cable a razón de �̇�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Escriba las formas de estado estable de la ecuación de difusión de calor para el aislante y el 
cable. Verifique que estas ecuaciones sean satisfechas por las siguientes distribuciones de 
temperatura: Aislante: T(r) = 𝑇𝑠,2 + (𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2) ln(𝑟/𝑟2)ln(𝑟1/𝑟2) Cable: 𝑇(𝑟) = 𝑇𝑠,1 + �̇�𝑟124𝑘𝑐 �1 − 𝑟2𝑟12� 
 
 
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Fundamentos de Transferencia de Calor 
Dibuje la distribución de temperaturas, 𝑇(𝑟), en el cable y en la cubierta, señalando las caracterís-
ticas clave. 
(b) Aplicando la ley de Fourier, muestre que la rapidez de transferencia de calor por conduc-
ción por unidad de longitud a través de la cubierta puede expresarse como 
𝑞𝑟
′ = 2𝜋𝑘𝑠(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2)ln(𝑟2/𝑟1) 
Aplicando un balance de energía a una superficie de control colocada alrededor del cable, obtenga 
una expresión alternativa para 𝑞𝑟′ que exprese sus resultados en términos de �̇� y 𝑟1. 
(c) Aplicando un balance de energía a una superficie de control colocada alrededor de la su-
perficie externa de la cubierta, obtenga una expresión de la que 𝑇𝑠,2 se determine como 
función de �̇�, 𝑟1, ℎ, 𝑇∞, 𝜀, 𝑇𝑎𝑖𝑟. 
(d) Considere condiciones paras las que 250 A pasan a través de un cable que tiene una resis-
tencia eléctrica por unidad de longitud de 𝑅𝑒′ = 0.005 Ω/m, un radio de 𝑟1 = 15 mm y una 
conductividad térmica de 𝑘𝑐 = 200 𝑊/m. K. Para 𝑘𝑠 = 0.15 𝑊/m. K, 𝑟2 = 15.5 mm, h =25 W/m2. 𝐾, 𝜀 = 0.9, 𝑇∞ = 25℃, y 𝑇𝑎𝑖𝑟 = 35℃; evalúe las temperaturas de las superfi-
cies, 𝑇𝑠,1 y 𝑇𝑠,2, así como la temperatura 𝑇0 en la línea central del cable. 
Con todas las otras condiciones sin cambio, calcule y elabore una gráfica de 𝑇0, 𝑇𝑠,1 y 𝑇𝑠,2, como 
función de 𝑟2 para 15.5 ≤ 𝑟2 ≤ 20 mm. 
 
SOLUCIÓN 2.37 
 
Suposiciones: