ATPS DE EQUAÇÃO DIFERENCIAIS doc didi

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Engenharia Produção Mecânica 
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Professor: 
“ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS”
Atividade Práticas Supervisionadas orientadas pelo orientador Felipe Justino, referente à disciplina de Calculo I do curso de Engenharia Produção Mecânica ano 2014. 
Taubaté – SP 
2014
Sumário
1. Etapa 1: Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem.
1.1 Passo 1
1.2 Passo 2
1.3 Passo 3
1.4 Passo 4
2. Etapa 2: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
2.1 Passo 1
2.2 Passo 2
2.3 Passo 3
2.4 Passo 4
Introdução 
A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa, pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente as equações diferenciais ordinárias 
Desenvolvimento 
Responder passo a passo as pesquisas da etapa “1 e 2” abaixo, conforme conhecimento adquirido na sala de aula, de acordo com as normas da ABNT. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES
Resumo. 
Daremos inicialmente uma breve introdução sobre a teoria das equações diferenciais. Apresentaremos algumas noções preliminares ao estudo da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Faremos um estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e algumas aplicações destas em outras ciências. 
Equações Diferenciais Ordinárias:
Equação que representa a lei de Newton F=ma, se x(t) é a posição no instante t de uma partícula de massa m submetida a uma força f. Equação que governa o decaimento de uma substância radioativa com o tempo R(t), onde k é uma constante conhecida.
Será feito o estudo e análise crítica de diversas aplicações das equações diferenciais Ordinárias oriundas da mecânica, química, biologia, etc., assim como o seu estudo qualitativo, em que se toma a atitude de retirar das equações informações sobre o comportamento de suas soluções, sem aquela preocupação de escrevê-las explicitamente, tal estudo se justifica pelo fato de que o número de equações que podem ser resolvidas em termos de funções elementares, sem a utilização de métodos numéricos, é pequeno.
Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias.
 Um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem é um conjunto de n equações diferenciais, com uma variável independente t e n variáveis dependentes x1,x2,...,xn, que podem ser escritas da seguinte forma: 
dx1 = F1(x1,...,xn,x1',...,xn',t)
dt
dx2 = F2(x1,...,xn,x1',...,xn',t)
dt
dxn = Fn(x1,...,xn,x1',...,xn',t)
dt
ETAPA 1
PASSO 1
A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, tais como física, química, biologia, economia e engenharia. Ou seja, modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de se descrever matematicamente um fenômeno.
Dentre as diferentes formas e métodos de modelagem temos a modelagem via autômatos celulares e equações diferenciais, parciais e/ou ordinárias. A modelagem matemática via equações diferenciais tem um papel de enorme destaque, visto que tal técnica vem sendo utilizada para modelar fenômenos desde o século XVII por Malthus e Verhulst,no final dos anos 1700 1 . Pode-se, então, dizer que um modelo matemático é desenvolvido para simular a realidade usando a linguagem matemática. 2 .
Os modelos matemáticos se subsidiam, por exemplo, das leis da física (como as leis de Kirchhoff para sistemas eletricos e as leis de Newton para mecânicos) ou dados experimentais. Frequentemente, os modelos atingem grau de sofisticação suficiente para justificar ferramentas computacionais, envolvendo sistemas de equações diferenciais. Sofwares como MATLAB e Scilab contam com recursos focados nas soluções de tais modelos.
Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem.
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Apresentamos a seguir a forma geral de uma equação diferencial de primeira ordem:
Também podemos escrevê-la da seguinte forma:
Equações Diferenciais ordinárias de Segunda Ordem.
Uma Equação Diferencial de Segunda Ordem tem a forma Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem é um conjunto de n equações diferenciais, com uma variável independente t e n variáveis dependentes x1,x2,...,xn, que podem ser escritas da seguinte forma
dx1 = F1(x1,...,xn,x1',...,xn',t)
dt
dx2 = F2(x1,...,xn,x1',...,xn',t)
dt
dxn = Fn(x1,...,xn,x1',...,xn',t) 
dt
onde F1,F2,...,Fn são quaisquer funções de (2n + 1) variáveis reais, que definem o sistema. Não são considerados sistemas de equações de ordem superior a 1, devido a que se alguma das equações diferencias for de ordem superior, poderá ser escrita como um sistema de equações de primeira ordem.
PASSO 2
Métodos de integração
Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.
Índice
[esconder]
•	1 Integração por substituição
o	1.1 Substituições trigonométricas
•	2 Integração por partes
•	3 Integração por frações parciais
Integração por substituição
Considere a seguinte integral:
A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis, onde é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo: Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).
Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.
Substituições trigonométricas:
As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo expressões da forma:
Neste caso, as substituições adequadas são:
Passos para a integração:
Passo 1: Faça uma escolha para. Ex.: 
Passo 2: Calcule.
Passo 3: Faça a substituição. Neste ponto a integral deve estar em termos de. Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para.
Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5: Substituir por; assim, a resposta final estará em termos de.
Exemplo Considere a integral usando a substituição, obtém-se
A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes.
Voltando a equação original
Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a igual a, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo valerá. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:
O ângulo pode ser expresso como Obtendo assim a resposta final.
Integração por partes
Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que, com e deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:
Que é a fórmula da integração por partes.
Com um intervalo de integração definido em, com derivadas continuas fica-se com:
Exemplo de aplicação:
A escolha das funções e é arbitrária, ela requer prática e intuição. Depois do exemplo abaixo, algumas regras podem ser feitas PARA GANHAR tempo.
Se escolhemos, temos e tem-se, logo:
Por outro lado, se escolhermos temos e tem-se, logo:
De reparar que esta última integral é mais complicada que a anterior.
Integração por fraçõesparciais
A técnica de frações parciais é muito útil na resolução de integrais do tipo:
A integral pode ser representada por:
Com isso, muitas vezes é possível dividir a integral em duas, onde a resolução de cada uma torna-se mais fácil pela simplicidade obtida no denominador.
Exemplo de aplicação:
. A segunda integral pode ser facilmente resolvida utilizando o método da substituição
PASSO 3
Equações Diferenciais de Primeira Ordem, Equação diferencial de primeira ordem é da forma:
Se g(x) é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem
(1)
Pode ser resolvida por integração. A solução é
Equação Separável
Definição – Equação Separável
Uma equação diferencial da forma é chamada de separável ou tem variáveis separáveis.
Observe que uma equação separável pode ser escrita como
(2)
É imediato que (2) se reduz a (1) quando h(y) = 1.
Agora, se y = f (x) denota uma solução para (2), temos
logo,
Mas dy = f´(x)dx, a eq. acima é o mesmo que
PASSO 4
A modelagem matemática de circuitos elétricos é baseada nas leis de Kirchhoff. Constitui-se basicamente de equações diferenciais de primeira e segunda ordem.
I. Circuito RLC série (Análise estacionária)
A figura 1 mostra um circuito RLC série alimentado por uma fonte de tensão Alternada, cossenoide que oscila com frequência angular constante. A tensão aplicada
Ao circuito pode ser escrita como:
V = Vo cos(wt) na a lei de Kirchhoff das malhas, podemos escrever R C L V = V +V +V, onde as tensões em cada componente são dadas por:
R V = RI
Substituindo as equações 2 na equação 1, e utilizando a notação complexa, obtemos:
ETAPA 2
PASSO 1
MOTOR DE CORRENTE CONTINUA
Gerador de tensão: Pode ser exemplificado como uma bateria que alimenta o motor.
Motor:
Interruptor: é um dispositivo simples, usado para abrir ou fechar circuitos elétricos. São utilizados na abertura de redes, em tomadas e entradas de aparelhos eletrônicos, basicamente na maioria das situações que envolvem o ligamento ou desligamento de energia elétrica.
PASSO 2 E 3
PASSO 4
Para tal, considera-se um motor de corrente contínua com excitação separada (enrolamento de campo fixo ou ímã permanente).
A tensão de alimentação da armadura (bobinado do rotor) será representada pela variável v(t).
A carga mecânica aplicada ao motor é constituída pelo momento de inércia Jc e um atrito viscoso fc (supõe-se que ela é conectada diretamente ao eixo do motor).
Do ponto de vista mecânico: o torque eletromagnético gerado pelo motor Tm deve acionar o momento de inércia total
Jt = Jm + Jc onde Jm é a inércia do rotor.
Para o motor entrar em movimento é necessário vencer as forças de atrito do motor fm e aqueles da carga fc.
Seja, então, ft o coeficiente total ou global de atrito, dado por ft = fm + fc. Além dos torques acima, pode existir um torque resistente adicional representado por Tr.
Do ponto de vista elétrico, o circuito da armadura (induzido) é um receptor que apresenta uma f.c.e.m., E(t), proporcional ao fluxo e à velocidade de rotação (t). O circuito da armadura apresenta uma resistência r pequena e uma auto-indutância l. Em geral, esse sistema eletromecânico apresenta duas constantes de tempo bastante distintas: elétrica _e = l/r e mecânica _m = Jt/ft. Quando _m >> _e, pode-se desprezar a auto-indutância l levando a um sistema de primeira ordem.
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