1 - APOSTILA DE PROBABILIDADE

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1. Variáveis aleatórias 
 
1. Introdução 
 
As distribuições de freqüências de amostras foram tratadas anteriormente. Agora, 
trataremos das distribuições de probabilidades de populações. A distribuição de 
freqüência de uma amostra é uma estimativa da distribuição de probabilidade da 
população correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, espera-se que a 
distribuição de freqüências da amostra tenha uma boa aproximação da 
distribuição de probabilidade da população. 
 
No estudo de pesquisas empíricas e análises de situações reais, a Estatística 
Descritiva (tabelas de freqüências, média, moda, mediana, desvio padrão, etc) são 
bastante úteis. Porém, no estudo de uma população, as distribuições de 
probabilidades, como veremos mais adiante, são preferidas, pois possibilitam a 
construção de modelos matemáticos que nos auxiliam na compreensão dos 
fenômenos do mundo real. 
 
2. Variáveis aleatórias 
 
Como já vimos no estudo das probabilidades, o conjunto de todos os possíveis 
resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Os 
elementos desse conjunto podem ser numéricos ou não. Por exemplo, o número 
de filhos de um casal é um exemplo de conjunto numérico. Porém, o grau de 
escolaridade de um indivíduo é algo não numérico. Dessa forma, em muitas 
vezes, para podermos trabalhar probabilisticamente com uma variável não 
numérica, atribuímos valores para cada elemento do espaço amostral. 
 
O resultado de um experimento de probabilidade geralmente é uma contagem ou 
uma medida. Quando isso ocorre, o resultado é chamado de variável aleatória. 
 
Definição: uma variável aleatória X representa um valor numérico associado a 
cada resultado de um experimento de probabilidade. A palavra aleatória indica que 
os valores assumidos por X são obtidos ao acaso. 
 
Notação: geralmente, as variáveis aleatórias são representadas por letras 
maiúsculas (X), enquanto que os valores assumidos por essas variáveis 
aleatórias são representadas por letras minúsculas (x). Dessa forma, se 
escrevermos X=x queremos dizer que a variável aleatória X assume um valor 
numérico igual a x. 
 
As variáveis aleatórias podem ser de dois tipos: discretas ou contínuas. 
 
2.1. Variáveis aleatórias discretas 
 
Uma variável aleatória é discreta se ela assume um número finito de valores ou 
assume um número infinito de valores numeráveis (contáveis). Podemos dizer que 
uma variável é discreta quando seus valores puderem ser listados. 
 
 
3 
Por exemplo: o número de ligações recebidas por dia em um escritório pode ser 
um valor igual a 0, 1, 2, 3, 4, ... Assim, definimos a variável aleatória X: 
 
X: número de ligações recebidas pelo escritório. 
 
Os valores que essa variável pode assumir são x=0, 1, 2, 3, ... Dessa forma, se 
escrevermos X=3 estamos dizendo que “o número de ligações recebidas pelo 
escritório (X) é igual a 3 ligações (x)”. 
 
2.2. Variáveis aleatórias contínuas 
 
Uma variável aleatória é contínua se ela possui um número incontável de 
possíveis resultados. Ou seja, uma variável é dita contínua quando os valores que 
ela pode assumir puderem ser representados como um intervalo na reta dos 
números reais. Neste caso, os valores assumidos por uma variável contínua, não 
podem ser listados, visto que são infinitos os possíveis valores dessa variável. 
 
Por exemplo: consideremos o tempo de duração de uma ligação recebida em 
minutos (incluindo frações de minutos). Neste caso, podemos definir uma variável 
aleatória Y da seguinte forma: 
 
Y: tempo de duração de uma ligação em minutos. 
 
Perceba que os valores de Y podem assumir qualquer valor em um intervalo real. 
Suponhamos, para facilitar, que o tempo máximo de uma ligação seja de 120 
minutos. Neste caso, os valores y pertencem ao intervalo [0, 120]. 
 
3. Distribuições de probabilidades discretas 
 
Para cada valor de uma variável aleatória discreta pode-se determinar uma 
probabilidade correspondente a esse valor. Ao listar cada valor de uma variável 
aleatória juntamente à sua probabilidade, você estará formando uma distribuição 
de probabilidade. 
 
Uma distribuição de probabilidades deve satisfazer as seguintes condições: 
 
I. A probabilidade de cada valor da variável é um número de 0 à 1. Ou seja: 
 
1)xX(P0 ≤=≤ ou, ainda, 1)x(P0 ≤≤ . 
 
II. A soma de todas as probabilidades é igual a 1: 
 
∑ ==
i
i 1)xX(P , ou ainda, ∑ =
i
i 1)x(P . 
 
Perceba que podemos trabalhar com dois tipos de notação: P(X=x) ou 
simplesmente P(x). Por exemplo, a probabilidade de a variável X assumir o valor 
igual a 3 pode ser escrita como P(X=3) ou apenas P(3). 
 
 
4 
Exemplo 1: um psicólogo aplicou um teste para classificar o nível de estresse dos 
150 funcionários de uma empresa. Para isso, ele atribuiu cinco possibilidades: 
muito calmo, calmo, moderado, irritado, muito irritado. Essas características foram 
pontuadas com valores de 1 à 5, onde 1 indica a qualidade “muito calmo” e 5 
indica “muito irritado”. Definindo a variável aleatória X: nível de estresse, podemos 
dizer que x=1,2,3,4,5. Os resultados da pesquisa estão na tabela a seguir: 
 
x frequência 
1 24 
2 33 
3 42 
4 30 
5 21 
total 150 
 
Construir uma distribuição de probabilidade para a variável X. 
 
Resolução 
 
Utilizando a tabela, podemos calcular as probabilidades: 
 
P(X=1) = 24/150 = 0,16 
P(X=2) = 33/150 = 0,22 
P(X=3) = 42/150 = 0,28 
P(X=4) = 30/150 = 0,20 
P(X=5) = 21/150 = 0,14 
 
A distribuição de probabilidades está apresentada na tabela a seguir: 
 
x 1 2 3 4 5 
P(X=x) 
ou P(x) 0,16 0,22 0,28 0,20 0,14 
 
Graficamente, podemos representar da seguinte forma: 
 
 
5 
Níveis de estresse
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
1 2 3 4 5
escore
pr
o
ba
bi
lid
ad
e
 
 
Exemplo 2: em uma cidade, a distribuição de probabilidade da variável que 
representa o número de dias de chuva ao longo de uma determinada semana é 
dada pela tabela: 
 
Dias de chuva Probabilidade 
0 0,216 
1 0,432 
2 m 
3 0,064 
 
a) defina a variável aleatória X; 
b) calcule o valor m apresentado na tabela; 
c) determine P(X=3); 
d) calcule P(X<2); 
e) calcule P(X ≥ 2). 
 
Resolução 
 
a) X: número de dias da semana que chove em certa cidade. 
b) A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Logo: 
0,216 + 0,432 + m + 0,064 = 1 
E, portanto, m=0,288. 
c) P(X=3) = P(3) = 0,064 
d) P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 0,216 + 0,432 = 0,648 
e) Sabendo que P(X<2) + P(X ≥ 2) = 1, temos que P(X ≥ 2) = 1 – 0,648 = 0,352. 
 
Exemplo 3: em uma caixa há 5 peças boas e 3 defeituosas. Duas peças são 
retiradas ao acaso e sem reposição. Definindo a variável aleatória X como sendo o 
número de peças boas retiradas, obtenha a distribuição de probabilidades. 
 
 
6 
 
Resolução 
 
Vamos construir a árvore de probabilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definindo: 
 
X: número de peças boas retiradas. 
 
Note que X poderá assumir valores iguais a 0, 1, ou 2. Logo, a distribuição de 
probabilidades será dada pela tabela: 
 
 
x 0 1 2 
P(X=x) 
56
6
 
56
30
 
56
20
 
 
 
4. Valor Esperado ou Média de uma variável aleatória discreta 
 
Seja X uma variável aleatória discreta, com valores x1, x2, ..., xk. O valor esperado 
de X (ou esperança matemática de X), ou simplesmente a média de X é definida 
como: 
 
∑
=
==µ
k
1i
ii )x(P.x)X(E 
 
 
 
Já vimos que a média amostral é dada por ∑
=
=
n
1i
ii x.fx . A média teórica (ou 
populacional) µ é semelhante à média amostral x . À medida que o tamanho da 
amostra aumenta, a freqüência relativa fi aproxima-se de p(xi), ou seja, a média 
amostral aproxima-se da média populacional. 
B 
DB 
B 
D 
D 
5/8 
3/8 
4/7 
3/7 
5/7 
2/7 
20 / 56 
15 / 56 
15 / 56 
6 / 56 
 
7 
 
Observação: embora as probabilidades nunca possam ser negativas, o valor 
esperado de uma variável aleatória pode ser negativo. 
 
 
Exemplo 4: considere um jogo no qual se lançam três moedas não viciadas e se 
recebe R$ 2,00 caso apareça 1 cara, R$ 4,00 se aparecerem 2 caras e R$ 8,00 
caso apareçam 3 caras. Se nenhuma cara ocorrem, nada se recebe. Quanto se 
esperaria ganhar caso fizesse esse jogo uma vez? Em outras palavras: qual é o 
valor esperado de uma jogada? 
 
Inicialmente, fazendo o estudo das probabilidades (como a construção de uma 
árvore de probabilidades, por exemplo), verificamos que a probabilidade de 
ocorrer uma certo número de caras é dada pela tabela: 
 
N° caras Probabilidade 
0 1/8 
1 3/8 
2 3/8 
3 1/8 
 
Se definirmos a variável aleatória X: valor a ser recebido, podemos construir a 
distribuição de probabilidades de X, conforme tabela a seguir: 
 
N° caras 0 1 2 3 
xi: valor a ser recebido (R$) 0 2 4 8 
Probabilidade: P(X=xi) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
A esperança (ou valor esperado) será: 
 
25,3 $R
8
26
8
1
.8
8
3
.4
8
3
.2
8
1
.0)X(E ==+++= . 
 
O valor esperado é uma média a longo prazo. No caso, após várias jogadas, se 
esperaria ganhar R$ 3,25. 
 
 
Exemplo 5: em um sorteio, 1500 bilhetes são vendidos a R$ 2,00 cada. Serão 4 
prêmios sorteados nos valores de R$ 500, R$ 250, R$ 150 e R$ 75. Você compra 
um bilhete. Qual o valor esperado do seu lucro? 
 
Resolução 
 
Para encontrar o lucro para cada prêmio, devemos subtrair o valor do prêmio do 
valor pago pelo bilhete. Assim, para o prêmio de R$ 500, temos um lucro igual a 
R$ 500 – R$ 2 = R$ 498. E assim por diante para os demais prêmios. Definindo a 
variável aleatória discreta X: lucro em reais, construímos a distribuição de 
probabilidades: 
 
 
 
8 
 
Lucro em reais(x) 498 248 148 73 –2 
P(X=x) 
1500
1
 
1500
1
 
1500
1
 
1500
1
 
1500
1496
 
 
Agora, calculamos o valor esperado: 
 
35,1
1500
1496).2(
1500
1
.73
1500
1
.148
1500
1
.248
1500
1
.408)X(E −=−++++= 
 
Logo, como o valor esperado é negativo, você espera perder uma média de 
R$1,35 por cada bilhete que comprar. 
 
 
5. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta 
 
Como já estudamos, a variância é uma medida de dispersão que avalia o grau de 
homogeneidade dos valores da variável em torno da média. A definição da 
variância de uma variável aleatória discreta X é dada por: 
 [ ]22 )x(E)X(Var µ−==σ
 
 
Desenvolvendo o quadrado da diferença, obtemos uma fórmula prática para o 
cálculo da variância: 
 
)X(E)X(E)X(Var)X( 222 −==σ
 
 
 
onde: 
 
∑
=
=
k
1i
ii )x(P.x)X(E e 
 
∑
=
=
k
1i
i
2
i
2 )x(P.x)X(E
 
 
Cuidado: E2(X) = [E(X)]2 que é diferente do valor de E(X2). 
 
 
O desvio padrão da variável X corresponde à raiz quadrada da variância: 
 
)X()X( 2σ=σ
 ou ainda )X(Var)X(DP = . 
 
 
 
 
 
 
9 
Exemplo 6: uma loja possui a seguinte distribuição de vendas de geladeiras por 
semana: 
 
xi (vendas) 0 1 2 3 4 
P(X=xi) 0,20 0,30 0,30 0,15 0,05 
 
Calcular o valor esperado de X: número de vendas por semana e o desvio padrão 
de X. 
 
Utilizando a fórmula para a esperança: 
 
E(X) = 0.0,20 + 1.0 ,30 + 2.0,30 + 3.0,15 + 4.0,05 = 1,55 geladeiras. 
 
Vamos calcular a variância. Para isto, precisamos determinar, antes, o valor de 
E(X2): 
 
E(X2) = 02.0,20 + 12.0,30 + 22.0,30 + 32.0,15 + 42.0,05 = 3,65. 
 
Utilizando a fórmula da variância: 
 
25,1)55,1(65,3)X(E)X(E)X(Var 222 =−=−= 
 
O desvio padrão será: 
 
12,125,1)X(DP == fogões. 
 
6. Exercícios 
 
1) Seja X a variável aleatória correspondente à soma dos pontos obtidos no 
lançamento de dois dados. Determine: 
a) a distribuição de probabilidades de X; 
b) P(3 ≤ X ≤ 10) 
c) P(X > 7) 
d) P(X ≤ 5) 
 
 
2) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte 
fórmula: 
 
P(xi) = K/x para x = 1, 3, 5, 7. 
 
a) Determinar K. 
b) Calcular P(2 ≤ X ≤ 6). 
 
3) Um vendedor calcula que cada contato resulta em venda com probabilidade de 
20%. Certo dia, ele contata dois possíveis clientes. Construa a tabela de 
distribuição de probabilidade para a variável Y: número de clientes que assinam 
um contrato de venda. 
 
 
10 
4) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a 
distribuição de probabilidade: 
 
xi 1 2 3 4 5 
P(xi) 0,20 0,25 ? 0,30 0,10 
 
a) Encontre o valor de P(3). 
b) Calcule a média da distribuição. 
c) Calcule a variância e o desvio padrão de X. 
 
5) A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é dada pela fórmula: 
 
P(x) = (0,8).(0,2)x–1 para x=1,2,3,... 
 
a) Calcular P(x) para x=1, x=2, x=3, x=4 e x=5. 
b) Some as probabilidades obtidas no item a. O que você pode dizer a respeito 
das probabilidades para valores de x maiores que 5? 
 
6) O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas 
respectivas probabilidades para um intervalo de um minuto são: 
 
N° de chamadas 0 1 2 3 4 5 
Probabilidades 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02 
 
a) Determinar P(1 ≤ X ≤ 4) e P(X > 1). 
b) Qual é o número esperado de chamadas em um minuto? 
c) Lembrando que o coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e 
a média, calcule o coeficiente de variação de X. 
 
7) De acordo com uma pesquisa do Data Journal, 70% das pessoas que 
trabalham em escritórios utilizam computadores da IBM. Se dois indivíduos que 
trabalham em escritórios são selecionados ao acaso, encontrar a distribuição de 
probabilidades da variável X: número de usuários dos computadores da IBM. 
Calcule a média e o desvio padrão dessa variável. 
 
8) O gráfico mostra a distribuição de furacões que atingiram o território dos EUA 
divididos por categorias, sendo 1 o nível mais fraco e 5 o mais forte. 
 
 
11 
 
Para essa variável, calcule: 
a) a esperança; 
b) a variância; 
c) o desvio padrão. 
 
9) O gráfico mostra a distribuição de probabilidades do número de pessoas que 
moram em cada casa nos EUA: 
 
 
 
Para essa variável, calcule: 
a) a esperança; 
b) a variância; 
c) o desvio padrão. 
 
10) Em um jogo de roleta americana, há 38 números: 00, 0, 1, 2, 3, ..., 36 
marcados em espaços igualmente divididos. Se um jogador aposta $ 1 em um 
número e ganha, ele continua apostando com o $ 1 e recebe $ 35 adicionais. 
Caso contrário, ele perde $ 1. Definindo a variável X: lucro obtido em uma rodada, 
determine a quantidade média de dinheiro, por jogo, que esse jogador pode 
esperar perder (e não ganhar, visto que se trata de um jogo de azar). 
 
 
 
 
 
12 
 
Respostas 
1) a) 
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
P(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
b) 8/9 
c) 5/12 
d) 5/18 
2) a) K = 105/176 b) 7/22 
3) 
yi 0 1 2 
P(yi) 0,64 0,32 0,04 
4) a) 0,15 b) 2,85 c) 1,7275 e 1,31 
5) a) 
xi 1 2 3 4 5 
P(xi) 0,8 0,16 0,032 0,0064 0,00128 
b) A soma das probabilidades é 0,99968. logo, as probabilidades para valores maiores que 5 são 
próximas de zero. 
6) a) 0,43 e 0,20 b) 0,83 d) CV = 145,8% 
7) 
xi 0 1 2 
P(xi) 0,09 0,42 0,49 
µ (X) = 1,40 
σ (X) = 0,65 
8) a) 2,0 b) 1,0 c) 1,0 
9) a) 2,5 b) 1,9 c) 1,4 
10) $ 0,05 
 
 
13 
2. Modelos Discretos de Distribuições de Probabilidades 
 
2.1. Lei binomial da probabilidade - Ensaios de Bernoulli 
 
Consideremos um experimento que consiste em uma seqüência de ensaios ou 
tentativas independentes, isto é, ensaios nos quais a probabilidade de um 
resultadoem cada ensaio não depende dos resultados ocorridos nos ensaios 
anteriores, nem dos resultados nos ensaios posteriores. Em cada ensaio, podem 
ocorrer apenas dois resultados, um deles que chamaremos de sucesso (S) e 
outro que chamaremos de fracasso (F). À probabilidade de ocorrer sucesso em 
cada ensaio chamaremos de p; a probabilidade de fracasso chamaremos de q, 
de tal modo que q=1–p. Tal tipo de experimento recebe o nome de ensaio de 
Bernoulli. 
 
Exemplos de ensaio de Bernoulli 
 
1) Uma moeda é lançada 5 vezes. Cada lançamento é um ensaio, em que dois 
resultados podem ocorrer: cara ou coroa. Chamemos de sucesso o evento sair 
uma cara e de fracasso o evento sair uma coroa. Em cada ensaio, p=0,5 e 
q=0,5. 
 
2) Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, 
observada sua cor e reposta na urna; este procedimento é repetido 8 vezes. Cada 
extração é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou 
bola branca. Chamemos de sucesso o evento sair bola vermelha. 
Conseqüentemente, fracasso corresponde ao evento sair bola branca. Neste 
caso, 
10
4p = e 
10
6q = . 
 
2.2. Distribuição Binomial 
 
Antes de apresentarmos a fórmula e suposições da distribuição Binomial de 
probabilidades, vamos analisar um exemplo e deduzir a fórmula a partir dele. 
 
Exemplo 1: uma prova consta de 10 testes com 5 alternativas cada um, sendo 
apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria 
avaliada, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade dele 
acertar exatamente 6 testes? 
 
A probabilidade de acertar um teste aleatoriamente é 2,0
5
1
= . Logo, a de errar 
esse teste é de 8,0
5
4
5
11 ==− . 
 
Vamos considerar uma situação bastante específica: o aluno acerta os testes de 1 
à 6 e erra os testes de 7 à 10. A probabilidade de isso acontecer é obtida 
utilizando–se o Princípio Fundamental da Contagem: 
 
0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 = 
 
14 
= (0,2)6 . (0,8)4 ≅ 0,000026 ou 0,0026%. 
 
Porém, essa é apenas uma situação de acertos / erros possível. O número total de 
maneiras que esse aluno pode acertar 6 testes de um total de 10 testes é 
calculada utilizando–se combinação (visto que a ordem dos acertos NÃO importa): 
 
210)!610!.(6
!10C 6,10 =
−
= maneiras. 
 
Para cada uma dessas 210 formas, temos uma probabilidade de acerto igual a 
calculada anteriormente. Logo, a probabilidade de esse aluno acertar 6 testes 
qualquer é: 
 
210 . (0,2)6 . (0,8)4 ≅ 0,0055 ou 0,55%. 
 
Vamos definir a variável aleatória X que representa sucesso como sendo: 
 
X: número de testes que o aluno acerta (sucesso). 
 
Associada a X, temos a probabilidade de sucesso p=0,2 e, conseqüentemente, a 
probabilidade de fracasso q=1–0,2=0,8 (probabilidade de errar o teste). 
 
Lembrando que 





=
6 
10C 6,10 , podemos escrever que a probabilidade do aluno 
acertar 6 testes é: 
 
P(X=6) = 





6 
10
. (0,2)6 . (0,8)4 
 
Generalizando, se em cada uma das n repetições de Ensaios de Bernoulli a 
probabilidade de ocorrer um evento definido como sucesso é sempre p, a 
probabilidade de que esse evento ocorra em apenas k das n repetições é dada 
por: 
 
knk )p1.(p.
k
n)kX(P −−





==
 
 
 
 
Resumindo: um experimento binomial deve satisfazer os seguintes critérios: 
 
1) O experimento é repetido n vezes, onde cada tentativa é independente das 
demais. 
2) Há apenas dois resultados possíveis em cada tentativa: um de interesse, 
associado à variável X, chamado de sucesso e o seu complementar que é o 
fracasso. 
 
15 
3) A probabilidade de sucesso será denotada por p e é a mesma em cada 
tentativa (entenda Ensaio de Bernoulli). Logo, a probabilidade de fracasso será 
denotada por q = 1 – p. 
 
Observações importantes: é comum àqueles que estão iniciando os estudos da 
distribuição Binomial acharem que a variável definida como sucesso precisa ser 
algo “bom”. Porém, isso não está correto. A variável X, ou seja, o sucesso, deverá 
ser algo que nos interesse. Por exemplo, poderíamos definir como sucesso: 
 
– alunos reprovados em determinado ano; 
– número de óbitos em uma UTI; 
– número de fumantes presentes em uma reunião; 
– acertar um alvo num torneio de tiro; 
– entrevistados serem do sexo masculino; 
– sair cara no lançamento de uma moeda; 
– sair face 5 ou 6 no lançamento de um dado. 
 
Ou seja, a variável sucesso pode ser ou pode não ser algo bom! Às vezes, 
pode ser algo imparcial, como face de uma moeda ou dado, ou sexo de uma 
pessoa. 
 
Exemplo 2: para entender melhor a fórmula, vamos recapitular o cálculo de 
probabilidades com base em um exemplo. Responda rapidamente a pergunta: um 
casal deseja ter 4 filhos, 2 homens e 2 mulheres. Supondo que a probabilidade de 
nascimento de um homem (H) ou uma mulher (M) seja a mesma, qual a 
probabilidade de tal fato acontecer? 
 
Muitas pessoas respondem 50%. Se você foi uma delas, a pergunta seguinte 
possivelmente será “por quê? Não é???”. A resposta é não! O que mostra que 
muitas vezes a intuição nos engana, enfatizando a importância da probabilidade 
(veja, por exemplo, o caso de um médico obstetra ou um laboratório que muitas 
vezes precisa conhecer cálculos de probabilidades como este). 
 
Faremos, inicialmente, um método mais trabalhoso, mas que certamente 
convencerá o leitor de que tal probabilidade não é 50%. Depois, faremos o cálculo 
utilizando um modelo probabilístico. 
 
Listemos todas as possibilidades de nascimentos: 
 
 
HHHH 
HHHM 
HHMH 
HMHH 
MHHH 
HHMM 
HMHM 
MHHM 
HMMH 
MHMH 
 
16 
MMHH 
HMMM 
MHMM 
MMHM 
MMMH 
MMMM 
 
Das 16 possibilidades listadas, note que em 6 delas ocorrem o nascimento de 2 
homens e 2 mulheres. Logo, a probabilidade disso ocorrer é: 
 
37,5% ou 375,0
16
6P == . 
 
Ou seja, a probabilidade é inferior a 50%, mais precisamente, vale 37,5%, o que 
contradiz a intuição da maioria das pessoas. 
 
Uma outra forma de resolver esse mesmo problema é utilizando a Binomial. 
 
Agora, para resolvermos essa situação apresentada através da Binomial, vamos 
determinar que nosso interesse seja o número de homens que nascem. Essa 
ocorrência será chamada de sucesso. Assim: 
 
X: número de homens que nascem (sucesso) 
 
Logo, nascer mulher indicaria fracasso. Não é nenhum tipo de preconceito, mas 
sim, uma questão Estatística. Poderíamos, sem problemas, ter trocado homem por 
mulher e vice-versa. 
 
A probabilidade de sucesso é a probabilidade de em um nascimento qualquer 
ocorrer um homem, ou seja, 
 
5,0
2
1p == . 
 
Temos interesse que, em 4 nascimentos, 2 sejam homens e 2 sejam mulheres. 
Como chamamos de sucesso nascer homem, temos interesse no nascimento de 2 
homens ou, em linguagem matemática, X=2. Logo, o valor de k é 2 (basta 
comparar a fórmula X=k com o que acabamos de escrever X=2). 
 
Obtemos, portanto: 
 
375,0
8
3
4
1
.
4
1
.6
2
11.
2
1
.
2
4)2X(P
242
===





−











==
−
, 
 
que é o mesmo valor obtido utilizando o método anterior. 
 
Cabe ressaltar que a fórmula apresentada não tem caráter místico algum. É 
possível fazer a sua dedução e, para isso, basta utilizarmos a lógica desenvolvida 
no método anterior. Vejamos: 
 
17 
 
Suponhamos 4 caixas numeradas, e que iremos colocar em cada uma delas um 
cartão que possui uma letra H ou um cartão que possui uma letra M. Suponhamos 
que temos um par de cartões “mestre” que serão utilizados na escolha de uma das 
letras e que tenhamos uma outra pilha de cartões que serão colocados nas caixas. 
 
Inicialmente, escolheremos duas delas para colocarmos um cartão quepossui a 
letra H. O número de maneiras que podemos fazer tal escolha não depende da 
ordem, ou seja, escolher a caixa 1 e 3 é indiferente de escolher a 3 e 1, visto que 
colocaremos cartas iguais dentro de cada uma delas. Utilizamos a combinação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
2
4C 2,4 =





= 
 
Logo, há 6 maneiras de se fazer tal escolha. 
 
Fixemos uma das escolhas, como por exemplo, H nas caixas 1 e 3. Nas caixas 2 e 
4 colocaremos cartas com a letra M. A probabilidade de tal fato ocorrer pode ser 
expressa através do princípio multiplicativo. A probabilidade de ocorrer cada H é 
de 0,5 (pois sorteamos as letras a partir dos cartões-mestre) e de ocorrer M 
também é 0,5. 
 
Assim, a probabilidade de sortearmos H na primeira vez, M na segunda, H na 
terceira e M na quarta é dada por 
 
0,5.0,5.0,5.0,5 = (0,5)4 = 0,0625. 
 
Como tal fato (2 H e 2 M) pode ocorrer de 6 maneiras diferentes temos que a 
probabilidade final fica 
 
P = 6 . 0,0625 = 0,375. 
 
Note que 0,5 = 1 – 0,5 = 1 – p. O raciocínio aqui desenvolvido é o mesmo que se 
faz para deduzir a fórmula da Distribuição Binomial. 
 
 
Exemplo 3: uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é 
extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. 
Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha? 
 
Inicialmente, vamos definir a variável aleatória de interesse: 
 
X: número de bolas vermelhas observadas (sucesso). 
1 2 3 4 
H H 
M 
H 
Cartões mestre 
 
18 
 
Logo, a probabilidade de sucesso será p=4/10=0,4. Utilizando a fórmula 
apresentada, em que n=5 (número de retiradas) e k=3 (número de bolas 
vermelhas que temos interesse em observar), temos: 
 
2304,06,0.4,0.
3
5)4,01.(4,0.
3
5)3X(P 23353 =





=−





==
−
ou 23,04%. 
 
Exemplo 4: numa cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 
pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de 
exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A? 
 
Definindo X: número de pessoas que possuem o carro da marca A (sucesso), 
temos associada uma probabilidade de sucesso p=0,10. Sendo n=30 e k=5, 
temos: 
 
1023,09,0.1,0.
5 
30)1,01.(1,0.
5 
30)5X(P 2555305 ≅





=−





==
−
 ou 10,23%. 
 
 
Exemplo 5: admite–se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado 
circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 horas. Analisando–se 
10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3 continuem 
funcionando após 600 horas? 
 
Seja X: número de válvulas que permanecem funcionando após 600 horas. Temos 
que a probabilidade de sucesso é p=0,3. Perceba que estamos realizando 10 
Ensaios de Bernoulli (n=10). Logo, queremos calcular: 
 
P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... + P(X=9) + P(X=10). 
 
Note que teríamos que calcular cada uma das probabilidades envolvidas nessa 
soma utilizando a fórmula apresentada, ou seja, teríamos que aplicar a fórmula 8 
vezes para, em seguida, somar todos os resultados. Neste caso, vamos utilizar 
uma propriedade, já vista, de eventos complementares: 
 
P(X≥3) = 1 – P(X<3) = 
 
= 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] = 
 
= 





−





+−





+−





−
−−− 210211010100 )3,01.(3,0.
2 
10)3,01.(3,0.
1 
10)3,01.(3,0.
0 
10
1 = 
= 











+





+





−
8291100 7,0.3,0.
2 
10
7,0.3,0.
1 
10
7,0.3,0.
0 
10
1 = 
= 1 – 0,3828 = 0,6172 ou 61,72%. 
 
 
19 
Exemplo 6: em uma grande pesquisa com 6000 respondentes, determinou–se 
que 1500 dos entrevistados assistiam determinado programa de TV. Se 20 
pessoas são escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que ao menos 19 
assistam a esse programa? 
 
Definindo a variável aleatória que indica sucesso: 
 
X: número de pessoas que assistem ao programa. 
 
Perceba que a probabilidade de sucesso (p) pode ser calculada a partir do 
enunciado: 
 
25,0
6000
1500p == . 
 
Logo, queremos calcular: 
 
P(X≥19) = P(X=19) + P(X=20) = 
= 
020119 75,0.25,0.
20
20
75,0.25,0.
19
20






+





= 
≅ 5,5.10–11, ou seja, a probabilidade de 19 ou 20 pessoas assistirem ao programa 
é muito pequena, quase zero, visto que vale 0,0000000055%. 
 
Exemplo 7: vamos supor o lançamento de uma moeda honesta (ou seja, 
P(cara)=P(coroa)=0,5). Suponhamos que você faça uma aposta com um amigo 
seu: ganha aquele que obtiver mais caras (no seu caso) ou coroas (no caso dele) 
em 7 lançamentos. 
 
A probabilidade de você ganhar ocorre quando saírem 4 ou 5 ou 6 ou 7 caras. 
Utilizando o modelo Binomial onde: 
 
X: número de caras (sucesso) 
n = 7 lançamentos 
k = 4,5,6,7 
p = 0,5 
 
temos: 
 
P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 
5,0
2
1
.1
2
1
.7
2
1
.21
2
1
.35
2
11
2
1
7
7
2
11
2
1
6
7
2
11
2
1
5
7
2
11
2
1
4
7
7777
777676575474
=





+





+





+





=
=





−











+





−











+





−











+





−











=
−−−−
 
Resultado interessante, não? Ou seja, ao invés de fazer essa aposta, poderiam ter 
feito a tradicional aposta de cara x coroa. 
 
Exemplo 8: Suponhamos a mesma situação do exemplo anterior, mas agora, 
você pega, sem seu amigo perceber, uma moeda viciada em que a probabilidade 
 
20 
de ocorrer uma cara é de 0,75 ou 
4
3
. Neste caso, p=0,75 e a probabilidade de 
você ganhar é: 
 
P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 
 
9294,0
4
31
4
3
7
7
4
31
4
3
6
7
4
31
4
3
5
7
4
31
4
3
4
7 777676575474
≅





−











+





−











+





−











+





−











=
−−−−
 
ou 92,94%. 
 
Logo, é muito provável que você ganhe a aposta usando essa moeda viciada. 
 
Exemplo 9: Overbooking é prática realizada na aviação do mundo todo. Consiste 
na empresa aérea vender mais bilhetes do que o disponível no vôo com base na 
média de desistência dos vôos anteriores. Uma empresa aérea possui um avião 
com capacidade para 100 lugares. Se para um certo vôo essa empresa vendeu 
103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro não 
comparecer para embarque é de 1%, qual a probabilidade de algum passageiro 
não conseguir embarcar? 
 
Este é um problema clássico resolvido utilizando a Binomial. Aqui, é muito comum 
haver uma certa confusão na elaboração do que é o sucesso bem como do que se 
deseja calcular. Assim, vamos definir: 
 
X: número de passageiros que comparecem ao embarque (sucesso). 
 
Neste caso, p=0,99. Temos, ainda, que n=103, visto que cada um dos 103 
passageiros pode comparecer ao embarque (sucesso) ou não comparecer 
(fracasso). Queremos calcular a probabilidade de que algum passageiro não 
consiga embarcar, ou seja, de que compareçam ao embarque mais de 100 
passageiros: 
 
P(X>100) = P(X=101) + P(X=102) + P(X=103) = 
= 
010311022101 01,0.99,0.
103
10301,0.99,0.
102
10301,0.99,0.
101
103






+




+





= 
=
010311022101 01,0.99,0.101,0.99,0.10301,0.99,0.5253 ++ = 
= 0,9150 ou 91,50%. 
 
Espantoso? Pois é, a probabilidade de haver problemas devido ao excesso de 
passageiros para esse vôo é bastante elevada e igual a 91,5%. 
 
 
2.2.1. Média ou Valor Esperado de uma distribuição Binomial 
 
Seja uma variável X com distribuição Binomial de parâmetros n (número de 
ensaios de Bernoulli) e p (probabilidade de sucesso). A média ou valor 
esperado de X é dado por: 
 
21 
 
p.n)X(E ==µ
 
 
 
2.2.2. Variância e Desvio Padrão de uma distribuição Binomial 
 
Nas mesmas suposições da média, temos: 
 
Variância: 
q.p.n)X(Var2 ==σ
 ou )p1.(p.n)X(Var2 −==σ 
 
 
Desvio padrão: 
q.p.n)X(DP ==σ
 ou )p1.(p.n)X(DP −==σ 
 
Exemplo 10: consideremos o exemplo anterior que trata sobre o Overbooking. 
Determine a média, variância e desvio padrão para a variável X definida 
anteriormente. Interprete os resultados. 
 
Lembrando que: 
n=103 
p=0,99 
q=1–0,99=0,01 
 
Então: 
 
E(X) = 103 . 0,99 = 101,97 
Var(X) = 103 . 0,99 . 0,01 = 1,0197 
DP(X) = 0197,1 =1,0098 
 
Logo, em média comparecem ao embarque aproximadamente 102 (101,97) 
passageiros com um desvio padrão de 1 passageiro. 
 
2.2.3. Exercícios 
 
1) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos 
exatamente duas caras? 
 
2) Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4” apareça 
exatamente 3 vezes? 
 
3) Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. 
Supondo que as vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a 
probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros? 
 
4) A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. 
De um grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 
4 cheguem aos 65 anos? 
 
22 
 
5) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao 
menos uma cara? 
 
6) Um time de futebol tem probabilidade p = 0,6 de vencer todas as vezes que 
joga. Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma? 
 
7) Uma prova consta de 5 testes com 4 alternativas casa um, sendo apenas uma 
delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria da prova, “chuta” 
uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade desse aluno: 
 a) acertar os 5 testes? 
 b) acertar apenas 4 testes? 
 c) acertar apenas 3 testes? 
 d) acertar apenas 2 testes? 
 e) acertar apenas 1 teste? 
 f) errar todos os testes propostos? 
 g) qual o resultado mais provável obtido pelo aluno? 
 
8) Foi realizada uma pesquisa com 500 pessoas para verificar se assistiam 
determinado programa de televisão. Duzentas pessoas afirmaram assistir. Se, a 
partir da população, retirarmos 8 indivíduos, qual é a probabilidade de que no 
máximo 6 assistam o programa? 
 
9) Um aluno tem o domínio de 70% do conteúdo que será cobrado em uma prova. 
Sabendo–se que essa prova é composta por 10 questões, qual a probabilidade de 
ele acertar, ao menos, 7 questões para ser aprovado? 
 
10) Em uma UTI, em média 5% dos bebês que nascem prematuros não 
sobrevivem. Se, atualmente, há 40 bebês prematuros, qual a probabilidade de que 
no máximo 5% dos bebês não sobrevivam? 
 
11) Em 320 famílias com quatro crianças cada uma, quantas famílias seria 
esperado que tivessem: 
a) nenhuma menina? 
b) três meninos? 
c) quatro meninos? 
 
12) Um time X tem 
3
2
 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 
cinco partidas, calcule a probabilidade de: 
a) X vencer exatamente três partidas; 
b) X vencer ao menos uma partida; 
c) X vencer mais da metade das partidas. 
 
13) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 
3
1
. Se ele atirar seis vezes, 
qual a probabilidade de: 
a) acertar exatamente dois tiros? 
b) não acertar o alvo? 
 
 
23 
14) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de 
que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: 
a) nenhuma defeituosa; 
b) três defeituosas; 
c) mais do que uma boa. 
 
15) Em determinada cidade, 56% dos dias são nublados. Encontre a média, a 
variância e o desvio padrão para o número de dias nublados durante o mês de 
junho. 
 
16) Calcule a média, a variância e o desvio padrão da distribuição binomial cujos 
parâmetros são: 
a) n=80 e p=0,3; 
b) n=124 e p=0,26. 
 
 
 
 
Respostas 
1) 0,2344 
2) 0,03215 
3) 0,4588 
4) 0,2592 
5) 0,98439 
6) 0,9898 
7) a) 1/1024 b) 15/1024 c) 90/1024 d) 270/1024 e) 405/1024 f) 243/1024 
 g) O resultado mais provável é que o aluno acerte apenas 1 teste. 
8) 0,9915 
9) 0,6496 
10) 0,6767 
11) a) 20 b) 80 c) 20 
12) a) 80/243 b) 242/243 c) 64/81 
13) a) 80/243 b) 64/729 
14) a) (0,95)100 
b) 





3
100
 (0,05)3.(0,95)97 
c) 1–(0,05)100 – 100.(0,95).(0,05)99 
15) E(X)=16,8 Var(X)=7,4 DP(X)=2,7 
16) a) E(X) = 24 Var(X)=16,8 DP(X)=4,1 b) E(X) = 32,2 Var(X)=23,9 DP(X)=4,9 
 
 
24 
2.3. Distribuição Geométrica 
 
Muitas situações reais podem ser repetidas até atingir–se o sucesso. Um 
candidato pode prestar uma prova de vestibular até ser aprovado, ou você pode 
digitar um número de telefone várias vezes até conseguir completar a ligação. 
Situações como essas podem ser representadas por uma distribuição Geométrica. 
 
Uma distribuição pode ser considerada Geométrica se satisfizer as seguintes 
condições: 
1) Uma tentativa (correspondente a um Ensaio de Bernoulli) é repetida até que o 
sucesso ocorra, ou seja, ocorrem k–1 fracassos até que ocorra o primeiro sucesso 
na k–ésima tentativa. 
2) As tentativas são independentes umas das outras. 
3) A probabilidade de sucesso p é constante em todos os Ensaios de Bernoulli. 
 
Logo, a probabilidade de que ocorra sucesso na tentativa k é: 
 
P(X=k) = p.(1–p)k–1 
 
com k=1,2,3,4... 
 
Ou seja, ocorrem k–1 fracassos com probabilidade 1–p até que ocorra um 
sucesso na tentativa k com probabilidade p. 
 
 
Exemplo 1: uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle 
da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a 
produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é 
observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser defeituosa, determine a 
probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa na 1ª peça produzida, na 2ª, na 5ª, 
na 10ª, na 20ª e na 40ª. 
 
Vamos admitir que cada peça tem a mesma probabilidade de ser defeituosa, 
independentemente da qualidade das demais. Sendo a ocorrência de peça 
defeituosa um sucesso, podemos aplicar o modelo Geométrico. Definindo a 
variável aleatória com distribuição geométrica X: número total de peças 
observadas até que ocorra a primeira defeituosa, podemos escrever nosso 
modelo: 
 
P(X=k) = 0,01 . 0,99k–1 
 
Assim, podemos aplicar nosso modelo para calcular as probabilidades pedidas: 
 
P(X=1) = 0,01 . 0,990 = 0,01 
P(X=2) = 0,01 . 0,991 = 0,0099 
P(X=5) = 0,01 . 0,994 = 0,0096 
P(X=10) = 0,01 . 0,999 = 0,0091 
P(X=20) = 0,01 . 0,9919 = 0,0083 
P(X=40) = 0,01 . 0,9939 = 0,0068 
 
 
25 
Exemplo 2: por experiência, você sabe que a probabilidade de que você fará uma 
venda em qualquer telefone dado é 0,23. Encontre a probabilidade de que sua 
primeira venda ocorra na quarta ou na quinta ligação. 
 
X: número da primeira ligação em que ocorre a venda (sucesso). 
 
P(X=4) = 0,23 . 0,773 ≅ 0,105003 
P(X=5) = 0,23 . 0,774 ≅ 0,080852 
 
Logo, a probabilidade desejada é: 
 
P(venda na 4ª ou 5ª ligação) = P(X=4) + P(X=5) = 0,105003 + 0,080852 ≅ 0,186. 
 
Embora um sucesso possa, teoricamente, nunca ocorrer, a distribuição geométricaé uma distribuição de probabilidade discreta porque os valores de x podem ser 
listados – 1,2,3.... Perceba que conforme x se torna maior, P(X=x) se aproxima de 
zero. Por exemplo: 
 
P(X=50) = 0,23 . 0,7749 ≅ 0,0000006306. 
 
 
2.3.1. Esperança (ou média) da Distribuição Geométrica 
 
Seja X uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro p 
(probabilidade de sucesso). A média ou esperança de X é dada por: 
 
p
1)X(E ==µ
 
 
 
2.3.2. Variância da Distribuição Geométrica 
 
Nas mesmas condições que as apresentadas para a média, temos que a variância 
é dada por 
 
2
2
p
p1)X(Var −==σ
 
 
 
Observação: o desvio padrão é calculado como sendo a raiz quadrada da 
variância, assim como já estudamos anteriormente. 
 
2.3.3. Exercícios 
 
1) Considere uma variável aleatória X com distribuição Geométrica com parâmetro 
p=0,4. Calcule: 
a) P(X = 4). 
b) P(3 ≤ X < 5). 
c) P(X ≥ 2). 
 
26 
 
2) Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até 
que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de 
lançamentos anteriores à ocorrência de cara. Determine: 
a) P(X ≤ 2). 
b) P(X > 1). 
c) P(3 < X ≤ 5). 
 
3) Suponha que a probabilidade de que você faça uma venda durante qualquer 
um dos telefonemas feitos é 0,19. Encontre a probabilidade de que você: 
a) faça sua primeira venda durante a quinta ligação; 
b) faça sua primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligação; 
c) não faça uma venda durante as três primeiras ligações. 
 
4) Um produtor de vidro descobre que 1 em cada 500 itens de vidro está torcido. 
Encontre a probabilidade de: 
a) o primeiro item de vidro torcido ser o décimo item produzido; 
b) o primeiro item de vidro torcido ser o segundo ou terceiro item produzido; 
c) nenhum dos dez primeiros itens de vidro estar imperfeito. 
 
 
 
 
Respostas 
1) a) 0,0864 b) 0,2304 c) 0,6000 
2) a) 0,875 b) 0,250 c) 0,047 
3) a) 0,082 b) 0,469 c) 0,531 
4) a) 0,002 b) 0,004 c) 0,980 
 
 
27 
2.4. Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson (fala–se: “Poassom”) é uma distribuição de 
probabilidade discreta de uma variável aleatória X que satisfaz às seguintes 
condições: 
 
1) O experimento consiste em calcular o número de vezes, k, que um evento 
ocorre em um dado intervalo. O intervalo pode ser de tempo, área, volume, etc. 
2) A probabilidade de o evento acontecer é a mesmas para cada intervalo. 
3) O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de 
ocorrências em outro intervalo. 
 
A distribuição de Poisson possui um parâmetro λ (leia–se: “lâmbda”) que 
chamamos de taxa de ocorrência, que corresponde à freqüência média ou 
esperada de ocorrências em um determinado intervalo. Além disso, sempre temos 
que λ >0. 
 
A probabilidade é calculada da seguinte forma: 
 
!k
.e)kX(P
kλ
==
λ−
 
 
onde: 
k=0,1,2,3,... 
e é o número irracional que vale aproximadamente 2,71828; 
λ
 é a taxa de ocorrência (que é igual à média da distribuição). 
 
2.4.1. Esperança e Variância da distribuição de Poisson 
 
Sendo X uma variável que segue o modelo Poisson com parâmetro λ , temos que: 
 
Média ou esperança: E(X) = λ . 
 
Variância: Var(X) = λ . 
 
Desvio padrão: DP(X) = λ . 
 
Importante: a Poisson, assim como a Geométrica, é uma distribuição que pode 
assumir infinitos valores. Dessa forma, k assume valores em todo o conjunto dos 
números naturais. 
 
Exemplo 1: a emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de 
uma distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte 
utilizada. Suponha que o número de partículas alfa, emitidas por minuto, seja uma 
variável aleatória seguindo o modelo Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa 
média de ocorrências é de 5 emissões a cada minuto. Calcular a probabilidade de 
haver mais de 2 emissões em um minuto. 
 
 
28 
Resolução 
 
Pelo enunciado, temos que 
X: número de emissões em um minuto; 
λ = 5 emissões/minuto 
 
Neste caso, queremos calcular P(X > 2), que é uma soma infinita de valores, pois 
podemos ter X=3,4,5,6,7,8,... Assim, devemos, obrigatoriamente, trabalhar com o 
complementar: 
 
P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ] = 
= 





++−
−−−
!2
5.e
!1
5.e
!0
5.e1
251505
 = 0,875. 
 
Logo, há uma probabilidade de 87,5% de haver mais que 2 emissões ao longo de 
um minuto. 
 
Exemplo 2: você é o gerente de uma loja e sabe que, fora do horário de pico, 
entram, em média, 6 clientes a cada 10 minutos. Qual a probabilidade de 
entrarem: 
a) 6 clientes na loja em um período qualquer de 10 minutos fora do horário de 
pico? 
b) até 2 clientes num período de 10 minutos fora do horário de pico? 
c) entrarem 3 clientes ou mais fora do horário de pico? 
 
Resolução 
 
Inicialmente, percebemos que se trata de uma variável com distribuição de 
Poisson: 
X: número de clientes que entram num período de 10 minutos; 
λ =6 clientes a cada 10 minutos 
 
a) P(X=6) =
!6
6.e 66−
 = 0,1606. 
 
b) =++==+=+==≤
−−−
!2
6.e
!1
6.e
!0
6.e)2X(P)1X(P)0X(P)2X(P
261606
 
0620,025.e
!2
6
!1
6
!0
6
.e 6
210
6
==





++= −− 
Perceba que o cálculo ficou bastante simplificado quando colocamos o termo e–6 
em evidência (fator comum). 
 
c) Vamos utilizar o resultado do item anterior na resolução: 
9380,00620,01)2X(P1)3X(P1)3X(P =−=≤−=<−=≥ . 
 
Note que P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) que é exatamente igual a P(X≤2). 
 
 
29 
Exemplo 3: no pedágio da rodovia dos Imigrantes passam, em média, 3600 
carros por hora em vésperas de feriado. Qual a probabilidade de: 
 
a) passarem dois carros em um segundo? 
b) passarem 30 carros em 15 segundos? 
c) passarem até 5 carros em 10 segundos? 
 
Resolução 
 
Pelo enunciado, temos que λ =3600 carros/hora. Porém, se você observar as 
perguntas, poderá perceber que as unidades não correspondem a 1 hora. Assim, 
devemos recalcular o valor do nosso parâmetro a cada item, de modo a 
trabalharmos sempre na mesma unidade. Esse cálculo pode ser direto ou através 
de uma regra de três simples. 
 
a) X: número de carros que passam no pedágio por segundo. 
Nosso parâmetro será recalculado. Lembrando que 1 hora possui 3600 segundos, 
temos: 1
3600
3600
==λ carro por segundo. Agora, podemos calcular a probabilidade 
desejada: 
 
1839,0
!2
1.e)2X(P
21
===
−
. 
 
b) X: número de carros que passam no pedágio a cada 15 segundos. 
Vamos trabalhar, agora, com uma regra de três: 
 
3600 carros ––––– 3600 segundos (1h) 
 λ –––––- 15 segundos 
 
λ = 15 carros a cada 15 segundos. Assim: 
 
00022,0
!30
15.e)30X(P
3015
===
−
. 
 
c) X: número de carros que passam no pedágio a cada 10 segundos. 
Da mesma forma que no item anterior, temos que λ = 10 carros a cada 10 
segundos. Portanto: 
 
==++=+==≤ )5X(P...)1X(P)0X(P)5X(P 
0671,06667,1477.e
!5
10
!4
10
!3
10
!2
10
!1
10
!0
10
.e
!5
10.e
!4
10.e
!3
10.e
!2
10.e
!1
10.e
!0
10.e
10
543210
10
510410310210110010
==





+++++=
=+++++=
−−
−−−−−−
 
 
Ou seja, há uma probabilidade de 6,71% de passarem 5 carros ou menos ao 
longo de 10 segundos. 
 
 
30 
Exemplo 4: suponha que 360 erros de impressão estejam distribuídos 
aleatoriamente, segundo uma Poisson, em um livro de 180 páginas. Calcule a 
probabilidade de encontrar uma página com: 
a) nenhum erro; 
b) mais de um erro. 
 
Resolução 
 
Sendo X: número de erros encontrados em 1 página, devemos calcular o valor do 
nosso parâmetro: 
 
2
180
360
==λ erros / página.a) 1353,0
!0
2.e)0X(P
02
===
−
. 
b) [ ] 5940,0
!1
2.e
!0
2.e1)1X(P)0X(P1)1X(P1)1X(P
1202
=





+−==+=−=≤−=>
−−
. 
 
Exemplo 5: experiências passadas indicam que o número de ligações recebidas, 
no período noturno, em uma central telefônica segue uma distribuição de Poisson. 
As probabilidades de receber um certo número de chamadas por hora estão 
apresentadas na tabela a seguir: 
 
N° chamadas Probabilidade 
0 0,0111 
1 0,0500 
2 0,1125 
3 0,1687 
4 0,1898 
5 0,1708 
 
Calcule a probabilidade de que essa central receba 3 ou mais chamadas ao longo 
de uma hora. 
 
Resolução 
 
Cuidado! Perceba que queremos calcular P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... 
que é uma soma infinita. Muitas vezes, essa tabela nos leva a um erro na hora do 
cálculo caso você não se lembre que a Poisson é válida para infinitos valores, no 
caso, do número de chamadas. Devemos, portanto, trabalhar com o 
complementar: 
 
P(X≥3) = 1–P(X<3) = 1- – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] = 
= 1 – [0,0111 + 0,0500 + 0,1125] = 0,8264 ou 82,64%. 
 
 
 
 
31 
2.4.2. Exercícios 
 
1) A aplicação de fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1 m2 é feita 
mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo 
com uma variável aleatória Poisson de parâmetro λ = 1 defeitos por m2. Uma 
chapa é sorteada ao acaso para ser inspecionada. Qual a probabilidade de: 
a) encontrarmos pelo menos 1 defeito? 
b) no máximo 2 defeitos serem encontrados? 
c) encontrar entre 2 e 4 defeitos? 
d) não mais de 1 defeito ser encontrado? 
 
2) Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, 
telefone e Internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio, durante 
o horário comercial, é uma variável aleatória discreta com distribuição Poisson 
com taxa de 5 pedidos por hora. 
a) Calcule a probabilidade de haver mais de 2 pedidos por hora. 
b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 
pedidos? 
c) Qual a probabilidade de não haver nenhum pedido em um dia de trabalho? 
Você diria que isso é um evento raro? 
 
3) O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os orlos de fita isolante 
apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a 
distribuição do número de emendas é dada pela Poisson, calcule a probabilidade 
de encontrar: 
a) nenhuma emenda em um rolo de 125 metros; 
b) no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros. 
c) pelo menos uma emenda num rolo de 100 metros. 
 
4) Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcule a 
probabilidade de receber, em um dia: 
a) 4 chamadas; 
b) 3 ou mais chamadas. 
 
5) A média de chamadas telefônicas numa hora é igual a 3. Qual a probabilidade 
de: 
a) receber exatamente 3 chamadas em uma hora? 
b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos? 
 
6) Na pintura de paredes, aparecem defeitos em média na proporção de um 
defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa 
parede de 2 x 2m? 
 
7) Suponha que haja em média dois suicídios por ano numa população de 50000 
habitantes distribuídos segundo uma Poisson. Em certa cidade com 100 000 
habitantes, qual a probabilidade de que o número de suicídios em determinado 
ano seja: 
a) igual a 0? 
b) igual a 1? 
c) igual a 2? 
 
32 
d) igual a 2 ou mais? 
 
8) Suponha que ocorram 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em 
um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página 
contenha: 
a) nenhum erro; 
b) exatamente dois erros. 
 
9) Certa loja recebe, em média, 5 clientes por hora, segundo o modelo Poisson. 
Qual a probabilidade de: 
a) receber dois clientes em 24 minutos? 
b) receber pelo menos três clientes em 18 minutos? 
 
10) A média de chamadas telefônicas em uma hora é três, segundo o modelo 
Poisson. Qual a probabilidade de receber: 
a) três chamadas em 20 minutos? 
b) no máximo duas chamadas em meia hora? 
 
11) Em uma estrada passam, em média, 1,7 carros por minuto. Qual a 
probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos? Admita 
válido o modelo Poisson. 
 
12) Uma fábrica produz tecidos com 2,2 defeitos, em média, por peça, segundo o 
modelo Poisson. Determine a probabilidade de haver ao menos dois defeitos em 
duas peças. 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1) a) 0,632 b) 0,920 c) 0,261 d) 0,736 
2) a) 0,875 b) 0,018 c) Sim, pois a probabilidade é de e–40. 
3) a) 0,0821 b) 0,5440 c) 0,8647 
4) a) 0,1680 b) 0,5767 
5) a) 0,2241 b) 0,6580 
6) 0,1954 
7) a) 0,0183 b) 0,0732 c) 0,1464 d) 0,9085 
8) a) 0,449 b) 0,1438 
9) a) 0,2707 b) 0,1912 
10) a) 0,0613 b) 0,8088 
11) 0,1929 
12) 0,9337 
 
 
 
33 
3. Modelos Contínuos de Distribuições de Probabilidades 
 
Como já vimos, uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Quando a 
variável é contínua, ou seja, assume valores em intervalos da reta dos números 
reais, a distribuição de freqüência de uma amostra de observações pode ser 
representada através de um histograma. 
 
Agora, porém, queremos analisar a população de onde foi retirada essa amostra. 
Como não temos acesso ao histograma de freqüências relativo à população, não 
conseguimos determinar, diretamente, o cálculo de qualquer probabilidade. Para o 
cálculo exato, necessitamos de um modelo para a distribuição de freqüências da 
população. Estudaremos, aqui, dois dos principais modelos contínuos: a Normal e 
a Exponencial. 
 
Os modelos que serão analisado representam comportamentos de uma extensa 
série de variáveis do mundo dos negócios e também distribuições teóricas de 
probabilidades que são fundamentais para os métodos de inferência estatística. 
Tais modelos são expressos por funções matemáticas denominadas funções 
densidade de probabilidade. 
 
A área sob a curva que expressa a função densidade de probabilidade é igual a 
1 (total das probabilidades), sendo que a probabilidade de uma particular 
observação pertencer a um intervalo é dado pela área sob a curva, 
correspondente ao intervalo, conforme podemos observar na figura seguinte: 
 
 
 
 
3.1. Distribuição Uniforme 
 
A Distribuição Uniforme Contínua é uma das distribuições contínuas mais simples 
de toda a Estatística. Ela se caracteriza por ter uma função densidade contínua 
em um intervalo fechado [a,b]. Ou seja, a probabilidade de ocorrência de um certo 
valor é sempre o mesmo. Embora as aplicações desta distribuição não sejam tão 
abundantes quanto as demais distribuições que discutiremos mais adiante, 
utilizaremos a Distribuição Uniforme para introduzirmos as funções contínuas e 
darmos uma noção de como se utiliza a função densidade para determinarmos 
probabilidades, esperanças e variâncias. 
 
 
34 
3.1.1. Função densidade de probabilidade 
 
A variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo [a,b] se sua 
densidade de probabilidade for dada por: 
 



 ≤≤
−
=
contrário. caso 0,
b;xa ,
ab
1
)x(f 
 
 
Usaremos a notação X ~ U[a,b] para indicar que X segue o modelo Uniforme 
Contínuo no intervalo considerado. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que a área compreendida entre a função densidade e o eixo é: 
 
Área = base x altura = (b–a) .
ab
1
−
= 1. 
 
Ou seja, de modo simples, podemos dizer que ÁREA = PROBABILIDADE. 
 
3.1.2. Esperança 
 
Já vimos que a esperança para variáveis discretas é calculada através da fórmula 
∑ ==
i
ii )xX(P.x)X(E . Quando trabalhamos com variáveis contínuas, utilizamos a 
função densidade. Além disso, não podemos trabalhar com o “somatório” visto que 
se trata de uma função contínua, ou seja, se trata do cálculode uma área. Logo, 
utilizaremos integral. 
f(x) 
x 
a b 
ab
1
−
 
 
35 
Vamos deduzir a fórmula da esperança da distribuição Uniforme contínua: 
 
2
ba
)ab(2
ab
2
x
.
ab
1dx
ab
1
.xdx)x(f.x)X(E
22b
a
2b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
===µ ∫∫ . 
 
Logo, 
 
2
ba)X(E += . 
 
3.1.3. Variância 
 
Assim como já vimos, a variância de uma variável aleatória é obtida através da 
expressão: 
 
22222 )X(E)X(E)X(E)X(Var µ−=−==σ . 
 
Já calculamos o valor de E(X). Vamos calcular, agora, E(X2): 
 
 
3
aabb
)ab(3
ab
3
x
.
ab
1dx
ab
1
.xdx)x(f.x)X(E
2233b
a
3b
a
2
b
a
22 ++
=
−
−
=
−
=
−
== ∫∫ . 
 
Agora, podemos obter a variância: 
 
( ) ( ) ( )
12
ab
2
ba
3
aabbXEXE)X(Var
2222
222 −
=




 +
−
++
=−==σ . 
 
Logo, 
 
( )
12
ab)X(Var
2
−
= . 
 
Exemplo: com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos 
de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os 
tubos inspecionados tem 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes 
pressões até o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distância a uma das 
extermidades (fixada à priori) é anotada para fins de análise posterior. Escolhe-se 
um tubo ao acaso para ser inspecionado. Denote por X a variável aleatória que 
indica a distância correspondente ao vazamento. Assuma que X tem uma 
distribuição Uniforme Contínua. 
 
a) Determine a função densidade de probabilidade. 
b) Construa o gráfico da função densidade. 
c) Utilizando apenas a função, determine a probabilidade de que o vazamento 
esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades. 
 
36 
d) Utilizando apenas o gráfico construído no item b, determine a probabilidade de 
que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades. 
 
Resolução 
 
a) Temos, a partir do enunciado, que X ~ U[0,6]. Logo: 
 



 ≤≤
=
contrário. caso 0,
6;x0 ,
6
1
)x(f 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Utilizando a função densidade: 
 
3
1
6
5
6
60
6
1
6
x
6
xdx
6
1dx
6
1)6X5(P)1X0(P
6
5
1
0
6
5
1
0
=−+−=+=+=≤≤+≤≤ ∫∫ . 
 
Portanto, a probabilidade desejada vale 
3
1
. 
 
 
d) usando apenas o gráfico construído, basta lembrarmos que probabilidade é 
equivalente a área sob o gráfico da função densidade: 
 
 
 
 
 
f(x) 
x 
0 6 
6
1
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área hachurada é igual a probabilidade procurada: 
 
3
1
6
1
.1
6
1
.1)6X5(P)1X0(P =+=≤≤+≤≤ , 
 
que é igual ao resultado obtido no cálculo do item c. 
 
 
3.1.4. Exercícios 
 
1) Sendo X ~ U[0,4], calcule: 
a) P(X > 2). 
b) P(X ≥ 2). 
c) P(1 < X < 2). 
 
2) Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica 
de 10 km. 
a) Qual é a probabilidade de a pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de 
ocorrer nos 3 km centrais da rede? 
b) O custo de reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local 
da pane. Considere que o centro de serviço está na origem da rede e que o custo 
é de R$ 200 para distâncias até 3 km, de R$ 400 entre 3 e 8 km e de R$ 1000 
para as distâncias acima de 8 km. Qual é o custo médio do conserto? 
 
3) O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado 
de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos tendo por 
base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, 
recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado, qual a probabilidade 
da dor: 
a) cessar em até 10 minutos? 
b) demorar pelo menos 12 minutos até cessar? 
f(x) 
x 
0 6 
6
1
 
1 5 
 
38 
 
4) Suponha que o valor esperado de uma variável aleatória com distribuição 
Uniforme contínua é 1 e a variância é igual a 1/12. Encontre a probabilidade da 
variável assumir valores menores que 3/4. 
 
 
 
Respostas 
1) a) ½ b) ½ c) ¼ 
2) X ~ U[0,10] a) 1/20 e 3/10 b) 460 
3) X ~U[5,15] a) ½ b) 3/10 
4) Resolva um sistema com os valores da média e da variância para determinar quanto valem os 
parâmetros a e b. P(X < ¾) = ¼ . 
 
 
 
 
39 
 
3.2. Distribuição Exponencial 
 
Há uma estreita relação entre a distribuição Exponencial e a distribuição de 
Poisson. O modelo de distribuição de probabilidade que descreve o tempo, ou 
espaço, entre dois sucessos consecutivos de uma variável de Poisson é a 
distribuição exponencial. Assim, por exemplo, o tempo entre falhas de 
equipamentos, o tempo entre chegadas de clientes a um shopping, a área entre 
dois defeitos consecutivos de uma peça de tecido, etc., são descritos pela 
distribuição Exponencial. 
 
Uma variável aleatória contínua X, que assuma todos os valores reais não 
negativos, terá uma distribuição Exponencial com parâmetro λ >0 se a sua função 
densidade de probabilidade for dada por: 
 


 ≥λ
=
λ−
 contrário. caso , 0
0;t se, e.)x(f
x.
 
 
 
3.2.1. Média e Variância da Distribuição Exponencial 
 
Se uma variável X possui distribuição Exponencial com parâmetro λ , então: 
 
Média ou Esperança: 
λ
=
1)X(E . 
 
Variância: 2
1)X(Var
λ
= . 
 
Conseqüentemente: 
 
Desvio padrão: 
λ
=
1)X(DP . 
 
3.2.2. Cálculo de Probabilidades 
 
Lembrando que a probabilidade é a área compreendida entre o eixo x e a curva do 
gráfico da função densidade de probabilidade, podemos calcular as probabilidades 
da distribuição Exponencial utilizando a função densidade juntamente com uma 
integral definida. 
 
Porém, podemos, também, utilizar as seguintes fórmulas para o cálculo: 
 
t.e)tX(P λ−=> . 
 
Logo: 
 
 
40 
t.e1)tX(P λ−−=≤ . 
 
 
Fazendo um esboço gráfico temos: 
 
 
 
 
Exemplo 1: suponha que, em determinado período do dia, o tempo médio de 
atendimento em um caixa de banco seja de 5 minutos. Admitindo que o tempo 
para atendimento tenha distribuição exponencial, determinar a probabilidade de 
um cliente: 
a) esperar mais do que 5 minutos; 
b) esperar menos do que 4 minutos; 
c) esperar entre 3 e 8 minutos. 
 
Resolução 
 
Seja a variável aleatória X: tempo de atendimento. Foi dado que o tempo médio 
de atendimento é de 5 minutos. Vimos que a média, ou esperança, de uma 
variável com distribuição exponencial é 
λ
=
1)X(E . Logo: 2,0
5
151 ==λ⇒=
λ
, que 
é o parâmetro da distribuição. 
 
a) Vimos que: t.e)tX(P λ−=> . Então: 
P(X>5) = e-0,2.5 = 0,3679 ou 36,79%. 
 
b) Vimos que t.e)tX(P λ−=> . Logo: 
5507,0e1)4X(P 4.2,0 =−=≤ − ou 55,07%. 
 
c) Graficamente, esperar entre 3 e 8 minutos corresponde à região hachurada: 
 
 
41 
 
 
Essa área (probabilidade) pode ser calculada da seguinte forma: 
 
P(3 < X < 8) = P(X > 3) – P(X > 8) = e–0,2.3 – e–0,2.8 = 0,5488 – 0,2019 = 0,3469. 
 
3.2.3. Distribuição Exponencial aplicada à Teoria da Confiabilidade 
 
Na teoria da confiabilidade de componentes, ou sistemas, calculam-se as 
probabilidades de que o componente, ou sistema, não venha a falhar durante um 
intervalo [O, t0], ou seja: a probabilidade de que o componente ainda esteja 
funcionando na época t0. Uma das mais importantes leis de falhas é aquela cuja 
duração até falhar é descrita pela distribuição exponencial. Admite-se que a taxa 
de falhas é constante, isto é, depois que a peça (equipamento, sistema etc.) esteja 
em uso, sua probabilidade de falha não se altera. Logo, não se considera o efeito 
do desgaste quandoo modelo exponencial é admitido. Por exemplo, 
considerando-se uma taxa de falhas constante, o funcionamento de um rolamento, 
a qualquer momento, é tão bom quanto novo, e nestes casos o modelo de 
distribuição de tempo até falhar é exponencial. 
 
Exemplo 2: Suponha que a duração da vida de um dispositivo eletrônico seja 
exponencialmente distribuída com tempo médio entre falhas de 100 horas. 
a) Qual a probabilidade de o dispositivo não falhar em 150 horas de uso? 
b) Qual o número de horas para se ter confiabilidade de 90% (isto é, 90% de 
probabilidade de não falhar)? 
 
Resolução 
 
Como 
λ
=
1)X(E , então 01,0
100
11100 ==λ⇒
λ
= . 
 
a) P(X>150) = e–0,01.150 = 0,2231 ou 22,31%. 
 
b) Queremos encontrar um valor t de modo que: 
 
P(X > t) = 0,90 
e–0,01.t = 0,90 
 
Aplicando logaritmo nos dois lados da igualdade temos: 
 
42 
 
ln e–0,01.t = ln 0,90 
–0,01.t = ln 0,90 
01,0
90,0lnt −= 
t = 10,54 horas. 
 
Ou seja, há 90% de confiabilidade de o dispositivo não falhar antes de 10,54 
horas. 
 
Exemplo 3: uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação 
continuamente. A empresa oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a 
lâmpada dure menos de 50 horas. A vida útil dessas lâmpadas é modelada 
através da distribuição exponencial e possui, para t ≥ 0, a seguinte função 
densidade de probabilidade: 
t.
8000
1
e.
8000
1)t(f −= . Qual a porcentagem de lâmpadas 
que essa indústria deverá repor a seus clientes, a título de garantia? 
 
Comparando com a função densidade da distribuição Exponencial 


 ≥λ
=
λ−
 contrário. caso , 0
0;t se, e.)x(f
x.
, percebemos que o nosso parâmetro vale 
8000
1
=λ . Queremos calcula a seguinte probabilidade: 
 
006,0e1)50T(P 50.8000
1
=−=<
−
.
 
 
Ou seja, a proporção de trocas por defeito de fabricação será de 
aproximadamente 0,6%. Esse número é relativamente pequeno, algo natural, visto 
que como o parâmetro vale 
8000
1
=λ , a média da distribuição é 
8000
8000
1
11
==
λ
=µ horas. 
 
 
 
3.2.4. Exercícios 
 
1) Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade de probabilidade a 
seguir: 
 





≥
<
=
−
0t , e.
1000
1
0t , 0
)t(f
1000
t
. Determine: 
 
 
 
43 
a) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1.000 horas; 
b) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração 
média; 
c) o desvio padrão da distribuição. 
 
2) O tempo de atendimento numa oficina é aproximadamente exponencial com 
média de quatro minutos. Qual é a probabilidade de: 
a) espera superior a quatro minutos? 
b) espera inferior a cinco minutos? 
c) espera de exatamente quatro minutos? 
 
3) Sabemos que o intervalo entre ocorrências sucessivas de uma doença 
contagiosa é uma variável aleatória que tem distribuição exponencial com média 
de 100 dias. Qual é a probabilidade de não se ter registro de incidência da doença 
por pelo menos 200 dias a partir da data em que o último caso for registrado? 
 
4) Se as interrupções no suprimento de energia elétrica ocorrem segundo uma 
distribuição de Poisson com a média de uma interrupção por mês (quatro 
semanas), qual a probabilidade de que entre duas interrupções consecutivas haja 
um intervalo de: 
a) menos de uma semana? 
b) entre 10 e 12 semanas? 
c) exatamente um mês? 
d) mais de três semanas? 
DICA: calcule o parâmetro da distribuição de Poisson. Ele será o mesmo na 
Exponencial. 
 
5) A duração de certo tipo de condensador tem distribuição exponencial com 
média de 200 horas. Qual a proporção de condensadores que duram: 
a) menos de 100 horas? 
b) mais de 500 horas? 
c) entre 200 e 400 horas? 
 
6) Uma companhia fabrica lâmpadas especiais com uma duração média de 100 
horas e distribuição exponencial. 
a) Qual deve ser a garantia do fabricante para repor apenas 5% da produção? 
b) Qual a probabilidade de uma lâmpada durar de 163 a 185 horas? 
 
7) O tempo necessário para eliminar o perigo de contaminação de certo pesticida, 
após sua aplicação em um pomar, é uma variável aleatória Exponencial de 
parâmetro 2 (em anos). O maior ou menor tempo depende de fatores como chuva, 
vento e umidade da região. Tendo em vista esse comportamento, as autoridades 
sanitárias recomendam que o contato direto ou indireto com as frutas pulverizadas 
seja evitado por algum tempo após a aplicação. 
a) Calcule a probabilidade de uma fruta desse pomar, escolhida ao acaso, não 
estar mais contaminada após 1 ano da pulverização. 
b) Qual é a nossa “segurança” se aguardarmos 2 anos para consumir essas 
frutas? 
 
 
 
44 
 
Respostas 
1) a) 0,6321 b) 0,3679 c) 1000 horas 
2) a) 0,3679 b) 0,7135 c) 0 
3) 0,1353 
4) a) 0,2212 b) 0,0323 c) 0 d) 0,4724 
5) a) 0,3935 b) 0,0821 c) 0,2325 
6) a) 5,13 h b) 0,0387 
7) a) 0,865 b) A probabilidade da contaminação se encerrar em até 2 anos é 0,982. 
 
 
 
 
45 
 
3.3. Distribuição Normal 
 
“O mundo é normal!” Acredite se quiser! Muitos dos fenômenos aleatórios que 
encontramos na prática apresentam uma distribuição muito peculiar, chamada 
Normal. 
 
Um modelo probabilístico é aquele que nos diz, ou melhor, nos traduz na forma de 
números o comportamento de uma variável. Por exemplo, já fizemos algumas 
análises das variáveis altura e peso. Considerando o caso de grandes amostras 
aleatórias ou mesmo da população, tanto o peso como a altura tem um 
comportamento muito parecido. Vejamos, por exemplo, a variável altura, 
considerando-se o sexo masculino e sendo a população os habitantes do Brasil. 
Essa variável é dita Normal, conforme discutiremos mais adiante. 
 
Essa distribuição de freqüência denominada curva normal, considerada um 
modelo teórico ou ideal que resulta muito mais de uma equação matemática do 
que de um real delineamento de pesquisa com coleta de dados. 
 
A curva normal é um tipo de curva simétrica, suave, cuja forma lembra um sino. 
Ela é unimodal, sendo seu ponto de freqüência máxima situado no meio da 
distribuição, em que a média, a mediana e a moda coincidem. 
 
 
 
Para exemplificarmos, suponhamos 2000 lançamentos de 200 moedas 
honestas. Utilizando um software de simulação, obtivemos os seguintes 
resultados: 
 
 
[80 ... 81] 5 
[82 ... 83] 6 
[84 ... 85] 16 
[86 ... 87] 19 
[88 ... 89] 39 
[90 ... 91] 60 
[92 ... 93] 91 
[94 ... 95] 111 
[96 ... 97] 165 
[98 ... 99] 194 
 
46 
[100 ... 101] 227 
[102 ... 103] 220 
[104 ... 105] 206 
[106 ... 107] 174 
[108 ... 109] 155 
[110 ... 111] 123 
[112 ... 113] 84 
[114 ... 115] 49 
[116 ... 117] 21 
[118 ... 119] 18 
[120 ... 121] 6 
[122 ... 123] 8 
[124 ... 125] 2 
[126 ... 127] 1 
 
sample mean = 102.132 
sample st dev = 7.238 
 
A partir desses dados, construímos o histograma: 
 
 79.50 127.50
0
227
Freq
heads
 
 
Observando tal histograma e a tabela anterior, notamos que a média está entre as 
duas classes com maior freqüências. Além disso, considerando-se a média, 
percebemos que o histograma parece ser simétrico ao redor dela. A freqüência é 
menor quanto mais nos afastamos da média, tanto para mais quanto para menos, 
sendo que as menores freqüências ocorrem nas pontas do gráfico. 
 
Note que quanto mais classes usamos, mais fácil fica identificarmos um formato 
criado pelas colunas do histograma. Esse formato faz lembrar um sino, conforme a 
figura seguinte: 
 
 
 
 
47 
 79.50 127.50
0
227
Freq
heads
 
 
“Limpando” o gráfico acima, temos: 
 
80.0 90.0 100.0 110.0 120.0 130.080.0 90.0 100.0 110.0 120.0 130.0
 
 
 
Essacurva que chamamos de sino recebe um nome especial: Curva Normal. 
 
A Curva Normal é a representante do modelo normal e é obtida a partir da função 
densidade que nada mais é do que uma função que origina o gráfico anterior. 
 
Assim, se X é uma variável aleatória com distribuição Normal com média µ e 
variância σ2 (notação: X ~ N(µ, σ2)) então a sua função densidade é dada por 
 
2
2
2
)x(
e
2
1)x(f σ
µ−
−
piσ
=
 
 
 
A Normal apresenta as seguintes propriedades: 
 
- é simétrica ao redor da média; 
- a área sobre a curva é igual a 1; 
Média = 102,3 
 
48 
- para valores muito grandes de x, tendendo a infinito (ou muito pequenos, 
tendendo a menos infinito), a curva tende a zero. 
 
Note que conforme o caso, poderemos ter curvas com formatos diferentes, ou 
seja, mais para a direita, mais para a esquerda, mais ou menos achatadas... 
enfim, cada caso poderá gerar uma curva diferente. Vejamos mais um caso. 
 
Consideremos o lançamento de dois dados não viciados. Estamos interessados 
em analisar a soma dos resultados obtidos em cada jogada. Realizando uma 
simulação e construindo o histograma dos resultados, obtemos: 
 
 
 1.50 12.50
0
173
Freq
sum
 
 
 
No caso simulado, obtivemos: 
 
sample mean = 7.07200 
sample st dev = 2.34282 
 
Ou seja, µ = 7,07 e s = 2,34, onde µµµµ indica a média e s o desvio padrão da 
amostra. Isolando a curva da normal temos: 
 
 
49 
−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.011.012.013.014.015.016.0
0.1
−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.011.012.013.014.015.016.0
0.1
 
 
Assim, conforme havíamos dito, existem diferentes curvas, que variam conforme 
os valores da média e do desvio-padrão. 
 
Lembramos que a área abaixo desse gráfico vale 1. Ou seja, a área corresponde 
a uma probabilidade. 
 
3.3.1. Área sob a Curva Normal 
 
É aquela região do plano compreendida entre a curva e o eixo das abscissas, que 
corresponde em qualquer distribuição normal a 100% dos dados considerados. 
 
Exemplo 1: consideremos uma população de uma cidade A e de uma outra 
cidade B. Suponhamos que todas as pessoas tenham informado as respectivas 
alturas (em centímetros). E deseja-se fazer uma comparação entre tais 
populações. As principais estatísticas obtidas por essa pesquisa foram: 
 
 População A População B 
Média (µµµµ) 174 178 
Variância (σσσσ2) 64 1 
 
Um pesquisador deseja sortear aleatoriamente pessoas para fazer um teste sobre 
DNA e crescimento e, para isso, gostaria de coletar (aleatoriamente!) pessoas 
com mais de 1,80m. Em qual das duas populações será mais fácil achar pessoas 
com tais características? 
 
Para isso, podemos dizer que estamos trabalhando com duas variáveis: 
 
XA: altura de 1 pessoa selecionada ao acaso na população A 
XB: altura de 1 pessoa selecionada ao acaso na população B 
 
Nosso objetivo é calcular as seguintes probabilidades: 
 
P(XA > 180) e P(XB > 180). 
 
 
50 
Mas antes, calculemos o valor do desvio-padrão (σ) de cada uma das populações. 
Lembrando que o desvio-padrão nada mais é do que a raiz quadrada da variância. 
Logo: 
 
864A ==σ 
11B ==σ 
 
Utilizando um software é possível calcularmos tais probabilidades. Esse software 
calcula, na verdade, a área abaixo da curva: 
 
P(XA > 180) = 0,2266 ou 22,66%. 
 
P(XB > 180) = 0,0228 ou 2,28%. 
 
Portanto, o pesquisador terá mais facilidade de achar pessoas com mais de 1,80m 
na população A. Aleatoriamente falando, tal probabilidade é de 22,66%. 
 
Esse resultado pode parecer estranho, visto que a população B possui uma média 
de alturas superior ao da população A. Porém, tal fato é explicado através da 
variabilidade dos resultados, ou melhor, pelo desvio-padrão. 
 
 
Exemplo 2: Consideremos, ainda, o exemplo anterior. Só que, agora, temos 
interesse em obter pessoas que tenham entre 1,75m e 1,80m. Qual população 
possui um número maior de habitantes nessa faixa de altura? 
 
Aqui, queremos calcular as seguintes probabilidades: 
P(175 < XA < 180) e 
P(175 < XB < 180) . 
 
Novamente, usando um software, obtemos: 
 
P(175 < XA < 180) = 0,2236 e 
 
P(175 < XB < 180) = 0,9759. 
 
Portanto, é evidente que a população B, mais uma vez, representa a melhor 
escolha, pois a probabilidade de escolhermos uma pessoa nessa faixa de altura 
na população B é quase 100%, ou seja, quase todos habitantes possuem as 
alturas procuradas. 
 
 
 
 
 
 
Meu computador “deu pau”! Como calcular as 
probabilidades da Normal? 
 
USE A NORMAL PADRÃO ! 
 
51 
3.3.2. Normal Padrão 
 
Em muitos livros de Estatística podemos encontrar uma tabela da Normal Padrão. 
É uma tabela que nos fornece valores das áreas (= probabilidades) de acordo com 
o valor de x, exatamente como fizemos nos exemplos anteriores com o auxílio do 
software Winstats. 
 
A maioria dos softwares de Estatística possuem comandos que permitem 
calcularmos o valor das áreas sobre curvas como a Normal, dentre eles, o SAS, o 
Excel, o S-PLUS, e outros. Porém, se não temos acesso a um computador, 
podemos usar a Tabela da Normal. Mas, como dissemos anteriormente, existem 
diversas curvas da normal, que variam segundo a média e variância. Isso significa 
que teríamos que ter inúmeras tabelas da normal... o que não parece muito viável. 
 
Dessa forma, criou-se uma maneira mais simples de se obter as áreas desejadas. 
Criou-se uma curva denominada Normal Padrão, que corresponde a uma 
distribuição normal com média zero e desvio-padrão um. Geralmente a 
variável aleatória associada à distribuição normal padrão é chamada de Z. Em 
notação: 
 
 
 
 
 
A grande vantagem de usarmos tal distribuição é o fato de trabalharmos apenas 
com uma distribuição e, portanto, com uma única tabela. Tudo é mais fácil! 
 
Porém, como fazer para obtermos tal variável Z (padronizada) a partir de uma 
variável aleatória qualquer X tal que X ~ N(µµµµ, σσσσ2) ? 
 
Basta padronizarmos ou normalizarmos a variável X através da fórmula: 
 
 
 
 
 
onde: 
µ = média de X 
σ = desvio-padrão de X 
 
3.3.2. Usando a tabela da Normal Padrão 
 
Existem algumas variações de apresentação da tabela. No nosso caso, 
utilizaremos uma tabela tal que P(0 ≤ Z ≤ zc) = p, ou seja, a probabilidade 
fornecida pela tabela (p) corresponde ao intervalo que vai de 0 até um certo 
número zc no eixo x. Esquematicamente, a tabela da normal nos fornece a 
probabilidade correspondente à área a seguir: 
 
 
 
Z ~ N(0,1), ou seja, µZ = 0 e σZ = 1 
σ
µ−
=
XZ 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
Veja, esquematicamente, como deve ser a leitura da tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 – Padronização 
 
Voltemos ao caso do exemplo anterior onde tínhamos µ = 174 e σ = 8. Queríamos 
calcular P(X > 180). Vamos normalizar a variável X (ou seja, transformá-la em Z) e 
utilizar a tabela para obter a probabilidade desejada. 
 
( )75,0ZP
8
174180XP)180X(P >=




 −
>
σ
µ−
=> 
 
Para obtermos a probabilidade desejada, devemos lembrar que a nossa tabela 
nos fornece a probabilidade de 0 até um certo valor. 
0 zc 
p 
Leitura da TabelaLeitura da TabelaLeitura da TabelaLeitura da Tabela 
2ª casa decimal de Z 
Parte 
inteira e 
1ª casa 
decimal 
de Z 
Probabilidade 
 
53 
 
 
 
 
 
Dado Z = 0,75, vejamos como obter a probabilidade a partir da tabela da Normal 
Padrão. Na coluna mais à esquerda, tomamos a parte inteira e a primeira decimal 
de Z, no caso, 0,7. Na linha superior, observamos o valor da segunda casa 
decimal, no caso 5 (lembre-se que o número é 0,75). A célula correspondente á 
linha do número