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PREVISÃO DE PRECIPITAÇÃO PROBABILIDADE NOS PROJETOS Em Engenharia o conhecimento das magnitudes das precipitações apresenta grande interesse prático por sua freqüente aplicação nos projetos hidráulicos. Nos projetos de vertedouros de barragens, no dimensionamento de canais, na definição das obras de desvio dos cursos d'água, na determinação das dimensões de galerias de águas pluviais, deve-se conhecer a magnitude das enchentes que poderiam ocorrer com uma determinada freqüência. Já nos projetos de irrigação e abastecimento de água, há de se conhecer a grandeza das estiagens que adviriam e com que freqüência ocorreriam. A freqüência é estabelecida com base no conceito de período de retorno, como sendo o intervalo de tempo médio, em anos, para que um evento seja igualado ou superado Em geral, estruturas hidráulicas mais robustas devem ser projetadas para suportar eventos extremos de magnitudes maiores. Cientes de que estruturas mais robustas implicam em custos também maiores, os projetos são concebidos de maneira a admitir certo risco de falha durante a sua vida útil, para que ele se viabilize economicamente. Tal risco é variável à medida que trate de obras de maior ou menor responsabilidade. Para o dimensionamento de órgãos de descarga, adota-se geralmente a enchente com período de retorno de 10.000 (decamilenar). Construções provisórias, como enceradeiras, podem ser projetadas com menor segurança, sendo, nesses casos, o período de retorno admitido de 20 a 50 anos. Face ao exposto, pode-se dizer que o engenheiro deve dispor de elementos para avaliar o provável risco associado a vazões de projeto. Tais análises só são possíveis com o suporte de modelos de distribuição probabilística teóricos. Para tanto, realizam-se análises estatísticas de eventos registrados no passado, verificando-se a freqüência associada a cada magnitude. Em seguida, verifica-se o ajuste de tais dados a leis probabilísticas teóricas para, com o amparo das mesmas, avaliar as probabilidades de eventos extremos maiores por extrapolação. Há distribuições probabilísticas teóricas tipicamente ajustáveis a grandezas hidrológicas como os totais precipitados anuais e máximos e mínimos anuais. Duas delas serão mostradas aqui, a título de exemplo. DISTRIBUIÇÃO DOS TOTAIS PRECIPITADOS Tem-se verificado que quando a série de observações pluviométricas anuais é bastante longa, a freqüência se adapta bem à lei de Gauss, segundo a qual a probabilidade, F(x), de um total anual qualquer ser inferior a x; x um determinado total anual de precipitação, pode ser expressa como: ò ¥- -= z z dzexF 2/ 2 2 1 )( p 44 onde: z = variável reduzida da distribuição normal, aqui denominada variável normal, s m- = x z ; m= média aritmética dos dados observados s=desvio padrão dos valores observados 1 )( 1 2 - - = å = n x n i i m s No caso da Distribuição Normal, o período de retorno é definido por: )](1[ 1 xF T - = Observar que F(x) corresponde à integral da curva normal de distribuição de probabilidade, conforme ilustra a Fig.1. A mesma figura mostra, que a curva é simétrica em relação à média, possibilitando que, conhecido F(x), seja avaliado [1-F(x)]. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -3 -2 -1 0 1 2 3 z e- z* z/ 2 F(x) [1-2.F(x)] F(x) Curva de Gauss O ajuste da série de valores anuais de precipitação segundo a curva normal pode ser facilitado pelo uso de papéis de probabilidade, no qual a distribuição normal se apresenta como uma reta que passa por 3 pontos característicos: %13,84)(: %87,15)(: %50)(: =++ =-- = smsm smsm mm F F F Observa-se que atualmente instrumentos que facilitem o trabalho dos engenheiros mais aptos ao uso de computador devem ser empregados. Nesse sentido, embora em sala de aula alguns exercícios utilizem os papéis de probabilidade, aqui são apresentadas duas aplicações cujos resultados foram obtidos diretamente via planilhas Excel. As análises de freqüência admitem que a freqüência teórica "F(x)" para um evento de ordem “m”, em ordem crescente das observações, é : 1+ = n m F (Método de Kimbal ou Weibull) Se, por exemplo, for detectada uma chance de 5% de um total precipitado anual ser inferior a 600 mm, há probabilidade de 95% desse valor vir a ser igualado ou superado. Esse tipo de análise é útil aos projetos de abastecimento de água e problemas de planejamento de recursos hídricos em geral. Mas, o projetista pode estar preocupado com a drenagem ou problemas relativos à abundância de água e, então, é conveniente conhecer os totais precipitados com probabilidade de serem excedidos 10, 25, etc. porcento do tempo. Da mesma forma que, conhecidos os limites superior e inferior de tolerância de uma cultura, a probabilidade de falha da cultura devida a excesso ou falta de água pode ser avaliada. Ou, ainda, através das curvas de probabilidade de diversas estações, é possível mapear as chances de cheia, falha de culturas, ou outros problemas associados à ocorrência de precipitação. Observa-se ainda que, caso a distribuição normal não se ajuste aos valores da série original, pode-se proceder à transformação das variávies originais. Dessa maneira, por exemplo, variáveis que não se distribuam segundo a lei de Gauss, podem ter seus logaritmos assim distribuídos. Nesse caso, é dito que a transformação logarítmica é normalizante. Existem diversas outras possibilidades de transformações normalizantes na literatura especializada. APLICAÇÃO (Villela e Matos, 1975): A análise estatística do posto D4-15 (Estação da CPEF) em São Carlos, cujos dados são apresentados na tabela 3.2, foi feita tomando-se os totais anuais de 1941 a 1968, agrupando-os em intervalos de 50mm de amplitude, tabela 3.3, e calculando-se a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação, encontraram-se respectivamente x = 1378,6 mm e S=290,89. A repartição de freqüência calculada na tabela 3.3 é mostrada na figura 3.8. Para o traçado da reta (distribuição normal) foram determinados os seguintes pontos (1087,7; 15,87%); (1378,6; 50%) e (1669,5; 84,13%). Com base na figura 3.8 foram estabelecidos as seguintes alturas pluviométricas esperadas para São Carlos: Período de retorno Alturas pluviométricas prováveis (mm) Máxima mínima 5 anos 1600 1145 10 anos 1725 1015 100 anos 2020 700 1000 anos 2240 490 SOLUÇÃO UTILIZANDO TABELAS EM EXCEL: É mostrado aqui o exercício extraído de Villela e Matos (1975), para o qual realiza-se a verificação do ajuste da distribuição normal de totais precipitados anuais, através de planilha eletrônica. Assim os dados constantes da Tabela, referem-se ao do posto D4-15 (Estação da CPEF) em São Carlos. Tabela – Variável Normal Variável Normalano P(mm) m F=m/(n+1) Obs. Teórica ano P(mm) m F=m/(n+1) Obs. Teórica 1944,0 727,1 1 0,03 -1,82 -2,26 1956 1412,3 15 0,52 0,04 0,12 1963,0 885,9 2 0,07 -1,48 -1,71 1946 1429,8 16 0,55 0,13 0,18 1941,0 1066,6 3 0,10 -1,26 -1,08 1964 1451,0 17 0,59 0,22 0,26 1959,0 1105,0 4 0,14 -1,09 -0,95 1957 1467,1 18 0,62 0,31 0,31 1961,0 1136,3 5 0,17 -0,94 -0,84 1954 1471,0 19 0,66 0,40 0,33 1968,0 1194,6 6 0,21 -0,82 -0,63 1942 1489,1 20 0,69 0,49 0,39 1952,0 1199,2 7 0,24 -0,70 -0,62 1943 1552,2 21 0,72 0,60 0,61 1945,0 1205,8 8 0,28 -0,60 -0,60 1950 1559,0 22 0,76 0,70 0,63 1955,0 1224,5 9 0,31 -0,49 -0,53 1958 1567,2 23 0,79 0,82 0,66 1966,0 1230,9 10 0,34 -0,40 -0,51 1967 1649,6 24 0,83 0,94 0,95 1948,0 1245,3 11 0,38 -0,31 -0,46 1962 1673,7 25 0,86 1,09 1,03 1953,0 1248,8 12 0,41 -0,22 -0,45 1960 1833,7 26 0,90 1,26 1,59 1951,0 1251,5 13 0,45 -0,13 -0,44 1965 1850,0 27 0,93 1,48 1,64 1949,0 1410,8 14 0,48 -0,04 0,12 1947 2024,9 28 0,97 1,82 2,25 media 1377,2 mm d.p. 287,7 mm -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 500 1000 15002000 2500 P(mm) v a ri a v e l n o rm a l, z Teórica Obs. FREQUÊNCIA DE MÁXIMOS O fato dos projetos hidráulicos em geral serem concebidos considerando o custo mínimo associado a um risco admissível de falha, requer a previsão de grandezas hidrológicas de grande magnitude, tais como as máximas vazões ou precipitações que podem vir a ocorrer em certa localidade, com determinada freqüência. Assim, as séries de máximos valores são empregadas para ajuste, segundo a lei probabilística que melhor descreva o processo, possibilitando extrapolações. As séries hidrológicas de máximos podem ser constituídas pelos valores mais elevados observados em cada ano, constituindo as séries anuais. Para o propósito de dimensionamento de órgãos de descarga, adota-se geralmente a enchente com probabilidade de 0,01% (decamilenar). Alguns autores recomendam que os máximos anuais tomem por base o ano hidrológico e ao invés do ano civil. Entretanto, à medida que se dispõe de séries históricas mais extensas, torna-se indiferente. O ano hidrológico compreende um ciclo completo de cheia e estiagem, começando no mês em que as descargas do rio estão subindo, depois de um período seco. Para a maioria dos rios da região Centro-Sul do país, o ano hidrológico compreende os meses de outubro a setembro, porque aí, geralmente no mês de outubro, começa a estação mais chuvosa; as descargas máximas acontecem nos meses de dezembro a março, e depois diminuem, chegando ao mínimo nos meses de agosto e setembro. Alguns rios no Sul do Estado de São Paulo e mais par o Sul, às vezes, têm uma enchente nos meses de junho a agosto. No Sul do país, onde o clima é mais temperado, a distribuição dos períodos secos e chuvosos durante o ano é menos regular e o ano hidrológico tem início alguns meses mais cedo que na região Centro-Sul. Utilizar as descargas máximas com base no ano civil pode resultar em erros substanciais. Uma onda de enchente, por exemplo, pode estender-se dos meses de dezembro a fevereiro, com a ponta no mês de janeiro. No ano civil parece, então, acontecer um máximo no mês de dezembro de um ano, e outro no mês de janeiro do ano seguinte, enquanto se trata de uma só onda de enchente com a ponta no mês de janeiro. As séries anuais de valores máximos de cheias fornecem os melhores elementos para uma análise visando a determinação da cheia de projeto para um extravasor ou para um bueiro, embora às vezes sejam criticadas pelo fato de que em alguns anos da série, o valor da segunda maior cheia ser maior do que os valores máximos constantes em outros anos da série. Assim, as séries parciais, constituídas por todos os valores de cheias acima de uma vazão arbitrária fixada, são às vezes utilizadas em substituição às séries anuais. Os dois tipos de séries levam a períodos de retorno muito próximos para períodos de retorno mais curtos. As séries parciais não devem ser extrapoladas por métodos estatísticos para avaliação de eventos raros. Se o maior interesse for em relação às menores vazões e sobretudo quando tiver sido estipulado um período de retorno menor do que um ano, as séries parciais devem ser utilizadas marcando unicamente os valores máximos em função de T e esboçando, “a olho”, uma curva que melhor se adapte. Outra possibilidade é que os n maiores valores observados no período sejam utilizados para compor as séries parciais, sendo n o número de anos do período considerado. A diferença básica entre ambas as séries citadas é que, enquanto as séries anuais têm como termo de distribuição o tempo (ano), as séries parciais têm como termo de distribuição a magnitude dos valores extremos. Por essa razão as séries anuais revelam- se mais significativas. Diversas são as distribuições probabilísticas empregadas para exprimir os valores extremos de grandezas hidrológicas, destacando-se a Log Pearson Tipo III e a distribuição Tipo I de Fisher-Tippett, conhecida também como distribuição de Gumbel, cujos princípios são apresentados a seguir. Aos dados observados classificados em ordem decrescente atribui-se o seu número de ordem "m" , variável de 1 a n, sendo n o número de anos de observação. Assim, 1 é o número de ordem correspondente ao máximo valor observado para o referido período de registro. A freqüência teórica "F", chamada de excedência, com que um evento de ordem “m”, em conformidade com a ordem decrescente das observações, e magnitude conhecida foi igualado ou superado é : 1+ = n m F (Método de Kimbal ou Weibull) Considerando-se a freqüência como uma boa estimativa da probabilidade teórica (P) e recordando-se tempo de recorrência ou período de retorno como sendo o período de tempo médio, em anos, em que um determinado evento deve ser igualado ou superado pelo menos uma vez, tem-se a seguinte relação: F ou P T 11 = Para períodos de retorno bem menores que o número de anos de observação, o valor encontrado para F pode dar uma boa idéia do valor real de P, mas para grandes períodos de recorrência a repartição de freqüência deve ser ajustada a uma lei probabilística teórica, para possibilitar um cálculo mais correto da probabilidade. DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL A distribuição de Gumbel é expressa por: yeexXP ---=³ 1)( sendo )( xXP ³ a probabilidade de um valor extremo qualquer X da série ser maior ou igual a x , ou seja, )( xXP ³ =[1-F(x)], e y é a variável reduzida ou variável Gumbel, expressa como: x n fxXy s s ).( -= (1) sendo: ns =desvio padrão da variável reduzida y xs =desvio padrão da variável X fx =moda dos valores extremos X, expressa por: n n xf y xx s s .-= (2) ondex= média aritmética da variável X; ny = média aritmética da variável reduzida y. A substituição de (2) em (1) produz: x n n n x y xXy s s s s )..( +-= (3) Os valores de ny e ns encontram-se na Tabela 2, em função do período de observação n. Tabela 2. Média e desvio padrão da variável Gumbel y em função do número de observações. Fonte: Gumbel (1958) n ny ns n ny ns n ny ns 8 0,4843 0,9043 35 0,5403 1,1285 64 0,5533 1,1793 9 0,4902 0,9288 36 0,5410 1,1313 66 0,5538 1,1814 10 0,4952 0,9497 37 0,5418 1,1339 68 0,5543 1,1834 11 0,4996 0,9676 38 0,5424 1,1363 70 0,5548 1,1854 12 0,5035 0,9833 39 0,5430 1,1388 72 0,5552 1.1873 13 0,5070 0,9972 40 0,5436 1,1413 74 0,5557 1,1890 14 0,5100 1,0095 41 0,5442 1,1436 76 0,5561 1,1906 15 0,5128 1,0206 42 0,5448 1,1458 78 0,5565 1,1923 16 0,5157 1,0316 43 0,5453 1,1480 80 0,5569 1,1938 17 0,5181 1,0411 44 0,5458 1,1499 82 0,5572 1,1953 18 0,5202 1,0493 45 0,5463 1,1519 84 0,5576 1,1967 19 0,5220 1,0566 46 0,5468 1,1538 86 0,5580 1,1980 20 0,5236 1,0628 47 0,5473 1,1557 88 0,5583 1.1994 21 0,5252 1,0696 48 0,5477 1,1574 90 0,5586 1,2007 22 0,5268 1,0754 49 0,5481 1,1590 92 0,5589 1,2020 23 0,5283 1,0811 50 0,5485 1,1607 94 0,5592 1,2032 24 0,5296 1,0864 51 0,5489 1,1623 96 0,5595 1,2044 25 0,5309 1,0915 52 0,5493 1,1638 98 0,5598 1,2055 26 0,5320 1,0961 53 0,5497 1,1653 100 0,5600 1,2065 27 0,5332 1,1004 54 0,5501 1,1667 150 0,5646 1,2253 28 0,5343 1,1047 55 0,5504 1,1681 200 0,5672 1,2360 29 0,5353 1.1086 56 0,5508 1,1696 250 0,5688 1,2429 30 0,5362 1,1124 57 0,5511 1,1708 300 0,5699 1,2479 31 0,5371 1,1159 58 0,5515 1,1721 400 0,5714 1,2545 32 0,5380 1,1193 59 0,5518 1,1734 500 0,5724 1,2588 33 0,5388 1,1226 60 0,5521 1,1747 750 0,5738 1,2651 34 0,5396 1,1255 62 0,5527 1,1770 1000 0,5745 1,2685 Observa-se que a substituição dos valores ny =0,57 e ns =1,28, para n=¥, em (3) conduz a: x xxXy s s 7797,0 1 )..45,0( +-= (4) A equação (3) pode ainda ser escrita de maneira ligeiramente diferente como: x n nyyxX s s .÷÷ ø ö çç è æ - += , que substituída da equação de Ven Te Chow, que mostrou que a maioria das funções de freqüência teóricas aplicáveis na análise hidrológica podem ser resolvidas por: sm kX += sendo: X - magnitudeou intensidade do evento; m - média dos valores de intensidade observados X; k - fator de freqüência que depende do tamanho da amostra, do período de retorno e do tipo de distribuição; s - desvio padrão das variáveis X. resulta: n nyyK s - = (5) sendo K é o fator de freqüência, função do período de retorno,T, e do número n de valores extremos que constituem a série. y é avaliado por: )) 1 1ln(ln( T y ---= , e os valores de ny e ns encontram-se na Tabela 2, em função do número de observações n. Weiss construiu um monograma para determinar o valor de K (fator de freqüência) em função de T (período de retorno em anos) e n (período de dados em anos), a ser utilizado na equação de Ven Te Chouw para previsão de um valor extremo. O gráfico de Weiss é mostrado na próxima figura.
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