Deformação e Torção em Eixos

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
Torc¸a˜o
Guilherme Nomura Mateus Leite
Luis Henrique Avelino Pereira
Matheus Labegalini Stencel
Higor Rael Bonfim Ferreira
Milene Caroline Thomal
Lucas Gois vieira
6 de agosto de 2019
Suma´rio
1 Deformac¸a˜o por torc¸a˜o de um eixo circular 4
2 A fo´rmula da torc¸a˜o 8
2.1 Eixo macic¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Eixo tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Tensa˜o de torc¸a˜o ma´xima absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Transmissa˜o de poteˆncia 11
4 Aˆngulo de torc¸a˜o 13
5 Elementos estaticamente indeterminados carregados com torque 16
6 Eixos macic¸os na˜o circulares 19
7 Tubos de parede fina com sec¸o˜es transversais fechadas 21
7.1 Fluxo de Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.2 Tensa˜o de cisalhamento me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.3 Aˆngulo de torc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8 Concentrac¸a˜o de tensa˜o 25
9 Torc¸a˜o inela´stica 27
9.1 Torque ela´stico ma´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2 Torque ela´stico pla´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.3 Torque pla´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.4 Torque ma´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10 Tensa˜o residual 31
11 Aplicac¸a˜o na engenharia 32
12 Exerc´ıcios 34
12.1 Exerc´ıcio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
12.2 Exerc´ıcio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12.3 Exerc´ıcio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
12.4 Exerc´ıcio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
12.5 Exerc´ıcio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
12.6 Exerc´ıcio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
Contents 2
12.7 Exerc´ıcio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12.8 Exerc´ıcio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
12.9 Exerc´ıcio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12.10Exerc´ıcio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Introduc¸a˜o
Ale´m das forc¸as axiais, tambe´m pode-se existir esforc¸os de torc¸a˜o, costumeira-
mente chamado de Torque, que tendem a torcer um elemento em torno de seu eixo
longitudinal. E, o efeito do torque e´ uma preocupac¸a˜o prima´ria em projetos de eixos ou
eixos de acionamento utilizados em ve´ıculos e diversas estruturas.
3
Cap´ıtulo 1
Deformac¸a˜o por torc¸a˜o de um
eixo circular
Podemos ilustrar fisicamente o que acontece quando um torque e´ aplicado a um
eixo circular considerando que este seja feito de um material com alto grau de de-
formac¸a˜o, como a borracha. Neste caso, utilizaremos este objeto circular (figura (a)),
sendo que neste temos c´ırculos contornando todo o elemento, representando uma homo-
geneidade da barra; linhas longitudinais, paralelas ao eixo central e, tambe´m, uma linha
radial, ligando o centro a` superf´ıcie da barra.
Analisando as duas imagem, pode-se observar que na primeira, na˜o ha´ nenhuma
deformac¸a˜o, na˜o ha´ nenhum esforc¸o agindo sobre ele. E na segunda imagem, temos dois
momentos, um em cada extremidade, sendo que um e´ no sentido anti-hora´rio e o outro,
no sentido hora´rio.
(a) Antes da Deformac¸a˜o (b) Depois da Deformac¸a˜o
Figura 1.1
4
Torc¸a˜o 5
Quando aplicado esses dois Torques em sentido contra´rio, gera uma torc¸a˜o, com
treˆs aspectos importantes. Um primeiro e´ que os c´ırculos continuam circulares, sem se
deformar; um segundo,e´ que as linhas radiais continuam retas; e as retas longitudinais
da grade, marcados originalmente no eixo, tendem a se distorcer segundo o padra˜o
mostrado na Figura b. Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades for aplicado
um torque a` sua outra extremidade, na˜o mais os dois eixos sofrendo esforc¸os, o plano
que esta´ recebendo esse Torque sera´ distorcido ate´ uma forma obl´ıqua, como mostra a
figura.
Figura 1.2
Aqui, uma linha radial localizada na sec¸a˜o transversal a uma distaˆncia x da ex-
tremidade fixa do eixo girara´ com aˆngulo φ(x). Deste modo, esse aˆngulo, definido dessa
maneira, e´ denominado aˆngulo de torc¸a˜o, depende da posic¸a˜o de x e variara´ ao longo do
eixo, sendo que quanto mais longe da face fixada, maior sera´ esse aˆngulo, como mostra
a figura. Deste modo, para entender como que essa distorc¸a˜o deforma o material, vamos
isolar um elemento com pequenas dimenso˜es, a` uma distaˆncia radial ρ do eixo longitu-
dinal central. Com a deformac¸a˜o observada da figura acima, a diferenc¸a da deformac¸a˜o
da face lateral do elemento AB origina ∆φ, que e´ em relac¸a˜o ao aˆngulo com o referencial
no eixo longitudinal. O resultado e´ que, em raza˜o dessas rotac¸a˜o, ∆φ, o elemento e´
submetido a uma deformac¸a˜o por cisalhamento.
Torc¸a˜o 6
Figura 1.3
Para calcular essa deformac¸a˜o, observe que, antes da deformac¸a˜o, o aˆngulo entre
as bordas AB e AC e´ 90◦; todavia, apo´s a deformac¸a˜o, as bordas do elemento se tornam
AD e AC e o aˆngulo entre elas e´ θ. Pela definic¸a˜o de deformac¸a˜o por cisalhamento,
temos:
γ = pi2 − lim θ′ C → A ao longo de CA
D → A ao longo de BA
Figura 1.4
Onde γ e´ a distorc¸a˜o sofrida pela torc¸a˜o.
Deste modo, partindo de noc¸o˜es de trigonometria, sabemos que, o segmento BD
e´ igual ao raio x aˆngulo, no nosso caso, para a variac¸a˜o vista do “corte” do cilindro,
o raio e´ ρ e o aˆngulo e´ dφ, como fora definidos anteriormente e, analogamente, com a
parte longitudinal, o aˆngulo torna-se γ e o raio, dx, uma vez que estamos retratando de
dimenso˜es infinitesimais. Resumindo:
BD = ρdφ = dxγ
Torc¸a˜o 7
Enta˜o, isolando o γ:
γ = ρ
dφ
dx
Visto que dx e dφ sa˜o os mesmos para todos os elementos localizados em pontos
da sec¸a˜o transversal em x, enta˜o dφ/dx e´ constante nesta sec¸a˜o e indica que o valor da
deformac¸a˜o por cisalhamento para qualquer um desses elementos varia somente com sua
distaˆncia radial ρ em relac¸a˜o a` linha central do eixo. Em outras palavras, a deformac¸a˜o
por cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de qualquer linha radial,
de zero na linha central do eixo ate´ um valor ma´ximo γMax em seu contorno externo.
Visto que dφdx =
γ
ρ =
γMax
c , enta˜o:
γ =
(ρ
c
)
γMax
Cap´ıtulo 2
A fo´rmula da torc¸a˜o
Quando um torque externo e´ aplicado a um eixo, ele cria um torque interno cor-
respondente no interior do eixo. Enta˜o, neste cap´ıtulo, analisaremos uma equac¸a˜o que
relaciona esse torque interno com a distribuic¸a˜o da tensa˜o de cisalhamento na sec¸a˜o
transversal de um eixo ou tubo circular.
Caso o material seja linear ela´stico, enta˜o a lei de Hooke se aplica, τ = Gγ, e uma
variac¸a˜o linear na deformac¸a˜o por cisalhamento, como fora observado, resulta em uma
variac¸a˜o linear na tensa˜o de cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha
radial na sec¸a˜o transversal. Desta maneira, assim como ocorre com a deformac¸a˜o por
cisalhamento para um eixo macic¸o, τ variara´ de zero na linha central do eixo longitudinal
a um valor ma´ximo τMax na superf´ıcie externa. Pela conservac¸a˜o de momento, onde o
torque (τ) em um determinado ponto, sobre ρ, e´ igual ao torque ma´ximo (τMax)sobre c.
assim, pode-se escrever como:
τ = (
ρ
c
)τMax
Essa equac¸a˜o expressaa distribuic¸a˜o da tensa˜o de cisalhamento em func¸a˜o da
posic¸a˜o radial ρ do elemento, definindo a distribuic¸a˜o da tensa˜o na sec¸a˜o transversal
em termos da geometria do eixo. Deste modo, usando essa equac¸a˜o e aplicando a
condic¸a˜o que exige que o torque produzido pela distribuic¸a˜o de tensa˜o por toda a sec¸a˜o
transversal seja equivalente ao torque interno resultante T na sec¸a˜o, o que mante´m o
eixo em equil´ıbrio, temos que, cada elemento de area dA, localizado a uma distaˆncia ρ
do centro, esta´ sujeito a` uma forc¸a dF = τ dA. Assim, o torque produzido por essa forc¸a
dT = ρ(τdA).
Deste modo, integrando ambos os lados temos:
8
Torc¸a˜o 9
T =
∫
A
ρ(τdA) =
∫
A
ρ(
ρ
c
)τMaxdA
e, como τMaxc e´ constante,
T =
τMax
c
∫
A
ρ2dA
Como podemos analisar, a integral desta equac¸a˜o depende somente da geometria
do eixo. Representando o momento polar de ine´rcia da a´rea da sec¸a˜o transversal do eixo
calculada em torno da linha central longitudinal do eixo. Esse valor da integral sera´
representado pelo s´ımbolo J, deste modo, isolando τMax, temos:
τMax =
Tc
J
τMax = a tensa˜o de cisalhamento ma´xima no eixo, que ocorre na superf´ıcie
externa
T = torque interno resultante que age na sec¸a˜o transversal. Seu valor e´
determinado pelo me´todo das sec¸o˜es e pela equac¸a˜o de equil´ıbrio de momento
aplicada ao redor da linha central longitudinal do eixo
J = momento polar de ine´rcia da a´rea da sec¸a˜o transversal
c = raio externo do eixo
Com base nessa equac¸a˜o, podemos na˜o somente achar a tensa˜o de cisalhamento ma´xima,
cujo e´ situado na superf´ıcie do cilindro, com o raio c, mas como tambe´m, um tensa˜o de
cisalhamento em uma distaˆncia intermedia´ria ρ, na equac¸a˜o:
τ =
Tρ
J
Portanto, essas duas fo´rmulas sa˜o denominadas fo´rmula da torc¸a˜o, e estas, so´
servem se o material for homogeˆneo, comportar-se de fo´rmula linear ela´stica e, o eixo
for circular, pelo fato de que essas fo´rmulas foram deduzidas nessas condic¸o˜es. Enta˜o,
deduzidas essas duas fo´rmulas, definiremos o momento polar de ine´rcia da a´rea da sec¸a˜o
transversal (J). Primeiramente, adotarmos o objeto sendo completamente macic¸o e, em
seguida, um eixo tubular.
Torc¸a˜o 10
2.1 Eixo macic¸o
O momento polar de ine´rcia J pode ser determinado por meio de um elemento de
a´rea na forma de um anel diferencial, de espessura dρ e circunfereˆncia 2piρ, deste modo,
o dA fica sendo igual a 2piρdρ, aplicando na equac¸a˜o:
J =
∫
A
ρ2dA =
∫ c0
ci
ρ2(2piρdρ) = 2pi
∫ c0
ci
ρ3dρ = 2pi(
1
4
)ρ4
∣∣∣c0
ci
J =
pi
2
c4
2.2 Eixo tubular
Se um eixo tiver uma sec¸a˜o transversal tubular, com raio interno ci; e raio externo
co, enta˜o, podemos determinar seu momento polar de ine´rcia subtraindo J para um eixo
de raio ci daquele determinado para um eixo de raio co na integral, da mesma forma do
eixo macic¸o, substituindo somente os intervalos de integrac¸a˜o, neste caso variando de ci
a` co. Deste modo, resultando em:
J =
pi
2
(c40 − c4i )
Observe que J e´ uma propriedade geome´trica da a´rea circular e e´ sempre positivo. As
unidades de medida comuns para J sa˜o mm4 ou pol4
2.3 Tensa˜o de torc¸a˜o ma´xima absoluta
Como podemos observar em qualquer sec¸a˜o transversal do eixo, a tensa˜o ma´xima
de cisalhamento ocorre na superf´ıcie externa. Contudo, se o eixo for submetido a uma
se´rie de torques externos, ou se o raio (momento polar de ine´rcia) mudar, a tensa˜o de
torc¸a˜o ma´xima no interior do eixo podera´ ser diferente de uma sec¸a˜o para outra. Se
quisermos determinar a tensa˜o de torc¸a˜o ma´xima absoluta, torna-se, enta˜o, importante
determinar a localizac¸a˜o na qual a raza˜o TcJ e´ ma´xima.Deste modo, torna-se u´til mostrar
a variac¸a˜o do torque interno T em cada sec¸a˜o ao longo da linha central do eixo por meio
de um diagrama de torque. Especificamente, esse diagrama e´ uma representac¸a˜o gra´fica
do torque interno T em relac¸a˜o a` sua posic¸a˜o x ao longo do comprimento do eixo.
Cap´ıtulo 3
Transmissa˜o de poteˆncia
Quando eixos e tubos de sec¸o˜es transversais circulares sa˜o usados para transmi-
tir poteˆncia desenvolvida por uma ma´quina, esta˜o sujeitos a torques que dependem da
poteˆncia gerada pela ma´quina e da velocidade angular do eixo.
Poteˆncia e´ definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. O trabalho trans-
mitido por um eixo rotativo e´ igual ao produto entre o torque aplicado e o aˆngulo de
rotac¸a˜o. Portanto, se durante um instante dt um torque aplicado T provocar a rotac¸a˜o
de no eixo, enta˜o a poteˆncia instantaˆnea sera´:
P =
Tdθ
dt
Visto que a velocidade angular do eixo ω = dθdt , tambe´m podemos expressar a
poteˆncia como
P = Tω
No SI, a poteˆncia e´ expressa em watts quando o torque e´ medido em newtons
metro (1Nm) e ω e´ expressa em radianos por segundo ( rads )(1ω =
1Nm
s ).
Quando se trata de ma´quinas rotativas, costuma-se informar a frequencia de
rotac¸a˜o de um eixo f. Frequencia e´ a medida do numero de revoluc¸o˜es ou ciclos que
o eixo faz por segundo e e´ expressa em hertz (Hz = 1 ciclo/s). Visto que 1 ciclo =
2pirad, enta˜o ω = 2pif, e a equac¸a˜o anterior torna-se:
P = 2pifT
11
Torc¸a˜o 12
Quando a poteˆncia transmitida de um eixo e sua frequeˆncia de rotac¸a˜o sa˜o co-
nhecidas, o torque desenvolvido no eixo pode ser determinado por, T = P2pif . Se T e´
a tensa˜o de cisalhamento admiss´ıvel, τadm, para o material forem conhecidos, podemos
determinar as dimenso˜es da sec¸a˜o transversal do eixo pela fo´rmula torc¸a˜o, contanto que
o comportamento do material linear ela´stico. Especificamente, o paraˆmetro de projeto
ou paraˆmetro geome´trico Jc torna-se
J
c
=
T
τadm
Para um eixo macic¸o, J = (pi2 )c
4, pode-se determinar, por substituic¸a˜o, um valor
u´nico para raio c do eixo, como fora visto anteriormente. Ja´ se o eixo for tubular, de
modo que J = (pi2 )(c
4
0 − c4i ), o projeto permite uma ampla faixa de possibilidades para
a soluc¸a˜o. Isso porque se pode escolher um valor arbitra´rio para c0 ou ci. e, enta˜o,
calcular o outro raio pela equac¸a˜o acima.
Cap´ıtulo 4
Aˆngulo de torc¸a˜o
A`s vezes, o projeto de um eixo depende de restric¸o˜es a` quantidade de rotac¸a˜o ou
torc¸a˜o que pode ocorrer quando o eixo e´ submetido a um torque. Ale´m do mais, saber
calcular o aˆngulo de torc¸a˜o para um eixo pode acarretar variac¸a˜o no torque interno ao
longo da linha central do eixo.
A ac¸a˜o do torque interno em posic¸a˜o arbitra´ria x (T(x)), provocara´ uma torc¸a˜o
no disco, de uma forma que a rotac¸a˜o relativa de uma de suas faces em relac¸a˜o a` outra
sera´ dφ. Assim, o resultado sera´ que um elemento de material localizado em um raio
qualquer ρ, sofrera´ uma deformac¸a˜o por cisalhamento γ. Deste modo, dφ e γ esta˜o
relacionados pela seguinte fo´rmula:
dφ = γ
dx
ρ
E, lembrando que a Lei de Hooke (τ = Gγ) se aplica, e tambe´m, aplicando a
fo´rmula a torc¸a˜o (τ = T (x)ρJ(x) ), pelo fato de que a tensa˜o de cisalhamento pode ser expressa
em termos do torque, temos que:
τ = Gγ → γ = τ
G
→ γ = T (x)ρ
J(x)G
e, enta˜o, substituindo na fo´rmula do dφ, temos:
dφ =
T (x)
J(x)G
dx
E, a partir disso, integrando em todo o comprimento L do eixo, encontramos o aˆngulo
de torc¸a˜o para o eixo inteiro:
φ =
∫ L
0
T (x)dx
J(x)G
13
Torc¸a˜o 14
Lembrando do que significa cada termo:
φ = aˆngulo de torc¸a˜o de uma extremidade do eixo em relac¸a˜o a` outra extre-
midade, medido em radianos
T(x) = torque interno na posic¸a˜o arbitra´ria x, determinado pelo me´todo das
sec¸o˜es e pela equac¸a˜o de equil´ıbrio de momento aplicada em torno da linha
central do eixo.
J(x) = momento polar de ine´rcia do eixoexpresso em func¸a˜o da posic¸a˜o x
G = mo´dulo de elasticidade ao cisalhamento do material
Enta˜o, com isso, temos um caso que e´ para torque e a´rea de sec¸a˜o transversal
constantes, pelo fato de que, na pra´tica da engenharia, normalmente, o material e´ ho-
mogeˆneo e, a a´rea da sec¸a˜o transversal do eixo e o torque aplicado sa˜o constantes ao
longo do comprimento do eixo. Deste modo, se esse for o caso, o torque na˜o variara´ em
relac¸a˜o de x, ou seja, T(x) passa a ser apenas T, e o mesmo ocorre para o momento polar
de ine´rcia que passa de J(x) para J. Como esses dois termos se tornaram constantes,
saem da integral, sobrando apenas dx, variando de 0 a` L e, resolvendo esta integral,
resulta na seguinte equac¸a˜o:
φ =
TL
JG
Com essa equac¸a˜o, podemos determinar o valor da elasticidade ao cisalhamento G
do material. Colocando um corpo de prova de comprimento e diaˆmetro conhecidos em
uma ma´quina de ensaio de torc¸a˜o, enta˜o, mede-se o torque e o aˆngulo de torc¸a˜o. Assim,
conhecendo todas as varia´veis, isolamos G na equac¸a˜o e achamos a resposta, que, sera´
um valor aproximado.
Se o eixo for submetido a va´rios torques diferentes ou se a a´rea da sec¸a˜o transversal ou
o mo´dulo de cisalhamento mudar abruptamente de uma regia˜o do eixo para a seguinte,
podera´ ser aplicada a cada segmento do eixo onde essas quantidades sa˜o todas constantes.
Enta˜o, o aˆngulo de torc¸a˜o de uma extremidade do eixo em relac¸a˜o a` outra e´ determinado
soma vetorial dos aˆngulos de torc¸a˜o de cada segmento. Para esse caso,
φ =
∑ TL
JG
Entretanto, para usar essa equac¸a˜o, temos de que desenvolver convenc¸a˜o de sinal para o
torque interno e para o aˆngulo de torc¸a˜o de uma extremidade do eixo em relac¸a˜o a` outra
extremidade, de modo que oriente o sentido em que o torque e´ positivo ou negativo,
para indicar a soma ou subtrac¸a˜o na equac¸a˜o, resultando num torque resultante atuante
no sistema . Para isso, iremos usar a regra da ma˜o direita, onde a tendeˆncia da rotac¸a˜o
do torque e´ seguida pelos diferentes do polegar, e o polegar indica o sentido positivo do
Torc¸a˜o 15
torque e do aˆngulo. Seguindo essa regra da ma˜o direita, aplica-se o sinal na equac¸a˜o
acima.
Cap´ıtulo 5
Elementos estaticamente
indeterminados carregados com
torque
Quando as reac¸o˜es em um eixo carregado com torque na˜o podem ser determina-
das estritamente pelas equac¸o˜es de equil´ıbrio, diz-se que este e´ um elemento estatica-
mente indeterminado.
Ao considerar-se a geometria da deformac¸a˜o, e´ poss´ıvel definir uma equac¸a˜o adicional
requerida para a soluc¸a˜o. Esta, especificamente, e´ chamada de condic¸a˜o de compati-
bilidade ou condic¸a˜o cinema´tica, visto que indica as condic¸o˜es para o deslocamento.
E´ necessa´rio que na˜o haja deslocamento relativo de uma extremidade do elemento em
relac¸a˜o a` outra, ou seja, o aˆngulo de torc¸a˜o entre as extremidades do eixo deve ser nulo,
para que esteja se tratando de uma condic¸a˜o de compatibilidade adequada. Desta forma,
os apoios das extremidades estara˜o fixos. Assim,
φA/B = 0
Atrave´s da relac¸a˜o carga-deslocamento, e´ poss´ıvel expressar tal equac¸a˜o em func¸a˜o do
comportamento do material. Para o caso espec´ıfico, sera´ considerado que o material
se comporta de maneira linear ela´stica, de forma que sera´ poss´ıvel descrever essa ex-
pressa˜o matema´tica em termos dos torques desconhecidos. Assim sendo, esta relac¸a˜o
sera´ expressa por:
φ =
TL
JG
16
Torc¸a˜o 17
Considerando a situac¸a˜o descrita pela figura abaixo:
Figura 5.1
Para determinar as reac¸o˜es nas extremidades A e B ocasionadas por T — que por
sua vez, age externamente em C — e´ necessa´rio, primeiramente, construir o diagrama
de corpo livre:
Figura 5.2
Os torques de reac¸a˜o em A e em B sa˜o desconhecidos. Portanto, pela equac¸a˜o de
equil´ıbrio dos momentos em x:
∑
Mx = 0 T − TA− TB = 0
E´ importante observar que ha´ uma equac¸a˜o de equil´ıbrio para um nu´mero superior
de inco´gnitas. Portanto, verifica-se que realmente se trata de um caso estaticamente
indeterminado.
Ale´m disso, utilizando o me´todo das sec¸o˜es transversais, determina-se que o torque
Torc¸a˜o 18
interno no segmento AC e´ +TA e no segmento CB e´ -TB.
Assim sendo, pode-se escrever a equac¸a˜o de compatibilidade da seguinte forma:
TALAC
JG
− TBLBC
JG
= 0
Sendo:
TA = torque interno na posic¸a˜o A
TB = torque interno na posic¸a˜o B
LAC = comprimento do segmento AC
LBC = comprimento do segmento BC
TA = torque interno na posic¸a˜o A
J = momento polar de ine´rcia do eixo
G = mo´dulo de elasticidade ao cisalhamento do material
Visto que J e G sa˜o constantes em todo o eixo e considerando L = LAC + LBC,
e´ poss´ıvel obter:
TA = T (
LBC
L
) TB = T (
LAC
L
)
E´ relevante notar que TA e TB sa˜o os torques de reac¸a˜o nas extremidades do eixo
e que os mesmos variam linearmente com a localizac¸a˜o da aplicac¸a˜o de T.
Em s´ıntese, atrave´s da aplicac¸a˜o das equac¸o˜es de equil´ıbrio, descric¸a˜o da equac¸a˜o de
compatibilidade e ana´lise da relac¸a˜o torque-deslocamento no diagrama de corpo livre, e´
poss´ıvel definir os torques inco´gnitos em eixos estaticamente indeterminados.
Cap´ıtulo 6
Eixos macic¸os na˜o circulares
Para todos os casos estudados ate´ enta˜o, foram considerados eixos de sec¸a˜o trans-
versal circular, ou seja, que apresentam simetria em relac¸a˜o a` sua linha central. Nessas
situac¸o˜es, existe linearidade na deformac¸a˜o por cisalhamento, que, por sua vez, e´ ma´xima
na superf´ıcie externa e zero na linha central. Ale´m disso, a sec¸a˜o transversal permanece
plana apo´s a torc¸a˜o, devido a` uniformidade da deformac¸a˜o em todos os pontos de um
mesmo raio. A partir de agora, sera˜o considerados elementos que possuem sec¸o˜es trans-
versais quadradas, triangulares e el´ıpticas, isto e´, desprovidas de simetria.
Uma vez que, nesses casos, a tensa˜o por cisalhamento e´ distribu´ıda de forma muito de-
sordenada, as deformac¸o˜es geradas por esta entortara˜o as sec¸o˜es transversais quando o
eixo sofrer torc¸a˜o. Assim sendo, a ana´lise desse fenoˆmeno no tipo de eixo em questa˜o
sera´ muito complicada e, por essa raza˜o, deixada de lado. Contudo, e´ poss´ıvel investigar
a distribuic¸a˜o dessa tensa˜o no interior do elemento por meio da teoria da elasticidade.
(a) Na˜o Deformado (b) Deformado
Figura 6.1
19
Torc¸a˜o 20
E´ importante esclarecer que tanto a tensa˜o, quanto a deformac¸a˜o por cisalhamento
nos cantos deste tipo de eixo sa˜o nulas. Ja´ nos pontos de sua borda mais pro´ximos da
linha central, sera˜o ma´ximas.
Figura 6.2
Analisando a tabela abaixo, e´ poss´ıvel perceber que um eixo cuja sec¸a˜o transversal
e´ circular possui eficieˆncia maior, pois a tensa˜o de cisalhamento ma´xima a` qual estara´
submetido sera´ menor, bem como o aˆngulo de torc¸a˜o, quando comparados aos eixos de
sec¸a˜o transversal assime´trica.
Figura 6.3
Cap´ıtulo 7
Tubos de parede fina com sec¸o˜es
transversais fechadas
Esses componentes sa˜o frequentemente utilizados na construc¸a˜o de pec¸as de aero-
naves, sendo que, em alguns casos podem ser submetidos a` torc¸a˜o. Sera˜o analisados os
efeitos da aplicac¸a˜o de um torque a um tubo de paredes finas, sem fraturas ou fendas
ao longo do comprimento de sua sec¸a˜o transversal, o que implica ser uma sec¸a˜o trans-
versal fechada.
Figura 7.1
Essas paredes teˆm espessura varia´vel, descrita em func¸a˜o de t. A partir disso,
pode-se determinar a tensa˜o de cisalhamento me´dia em qualquer ponto do tubo, uma
vez que o mesmo possui paredes finas e tensa˜o uniformemente distribu´ıda.
Antes de se definir a torc¸a˜o para o caso descrito, e´ necessa´rio analisar alguns conceitos.21
Torc¸a˜o 22
(a) (b)
Figura 7.2
7.1 Fluxo de Cisalhamento
As figuras acima mostram um pequeno elemento de um tubo de comprimento s e
largura dx. Em cada extremidade desse elemento, tem-se espessuras distintas, tA e tB;
por isso sa˜o desenvolvidas tenso˜es de cisalhamentos diferentes em cada uma dessas faces
quando e´ aplicado um torque T na estrutura. Para que as faces superior e inferior do
elemento estejam livres de tensa˜o, como deve ocorrer, na˜o devem existir outras tenso˜es
agindo no tubo ale´m das componentes da tensa˜o de cisalhamento.
Visto que os valores das espessuras das laterais do elemento sa˜o constantes, as
forc¸as que agem sobre cada face respectiva sa˜o:
dFA = τA(tAdx) e dFB = τB(tBdx)
Para que haja equil´ıbrio:
τAtA = τBtB
Assim sendo, o produto entre a espessura do tubo e a tensa˜o de cisalhamento
longitudinal me´dia e´ constante em cada ponto na a´rea da sec¸a˜o transversal do tubo.
Esse resultado e´ conhecido como fluxo de cisalhamento, expresso por:
q = τmedt
O fluxo de cisalhamento representa forc¸a por unidade de comprimento ao longo da a´rea
da sec¸a˜o transversal do tubo. Devido ao torque aplicado, o fluxo e a tensa˜o me´dia de
Torc¸a˜o 23
cisalhamento esta˜o sempre direcionados de forma a tangenciar a parede do tubo, visando
contribuir para o torque resultante T.
Pela equac¸a˜o, quando a espessura do tubo for a menor, a tensa˜o de cisalhamento me´dio
sera´ maior, visto que o fluxo e´ constante na sec¸a˜o transversal.
7.2 Tensa˜o de cisalhamento me´dia
Como ja´ demonstrado, a tensa˜o de cisalhamento desenvolve uma forc¸a sobre o
elemento que esta´ sendo analisado e age tangente a` linha central da parede do tubo.
Visto isso, e´ poss´ıvel relacionar a tensa˜o de cisalhamento me´dia τmed ao torque produzido
em torno de um ponto selecionado respeitando os limites interiores do tubo.
Seja ho brac¸o de momento, pode-se descrever o torque no elemento da seguinte
forma:
dT = h(dF ) = h(τmedtds)
Logo, para a sec¸a˜o transversal inteira, sera´:
T =
∮
hτmedtds → T = τmedt
∮
hds
Para simplificar a integral, e´ poss´ıvel fazer uma analogia da situac¸a˜o a` seguinte imagem:
Figura 7.3
Tendo em vista que a figura em destaque possui formato triangular, pode-se definir sua
a´rea me´dia da seguinte maneira:
dAm =
1
2
hds
Logo, pode-se isolar h ds:
hds = 2dAm
Torc¸a˜o 24
Substituindo na integral:
T = 2τmedt
∫
dAm = 2τmedtAm
Resolvendo para τmed, obte´m-se:
τmed =
T
2tAm
Sendo:
τmed = tensa˜o de cisalhamento me´dia que age sobre a espessura do tubo
T = torque interno resultante na sec¸a˜o transversal
t = espessura do tubo no local onde a tensa˜o me´dia de cisalhamento deve
ser determinada
Am = a´rea me´dia contida no contorno da linha central da espessura do tubo
Figura 7.4
Considerando τmed =
q
t
q =
T
2Am
7.3 Aˆngulo de torc¸a˜o
Para um tubo de parede fina e comprimento L, pode-se determinar o aˆngulo de
torc¸a˜o atrave´s dos me´todos de energia. Caso o material se comporte de modo linear
ela´stico e G for o mo´dulo de cisalhamento, pode-se expressar esse aˆngulo, em radianos,
integrando o contorno da a´rea da sec¸a˜o transversal do tubo, da seguinte forma:
φ =
TL
4A2mG
∮
ds
t
Cap´ıtulo 8
Concentrac¸a˜o de tensa˜o
A fo´rmula da torc¸a˜o (τMax =
Tc
J ) pode ser aplicada a regio˜es de um eixo com
sec¸a˜o transversal circular ou ligeiramente coˆnica. Quando ocorre mudanc¸as repentinas
nessa sec¸a˜o os ca´lculos de distribuic¸a˜o de tensa˜o e deformac¸a˜o por cisalhamento, se
tornam muito mais complexos. Devido a` complexidade para se calcular a tensa˜o em
uma descontinuidade do eixo foi determinado um fator de concentrac¸a˜o de tensa˜o por
torc¸a˜o K.
Para se determinar o valor de K e´ necessa´rio fazer a raza˜o geome´trica Dd e
r
d , com esses
dois dados basta compara´-los no gra´fico para obter K. Um exemplo de gra´fico e´:
Figura 8.1
25
Torc¸a˜o 26
Logo a tensa˜o de cisalhamento ma´xima e´ determinada pela equac¸a˜o:
τMax = K
Tc
J
Cap´ıtulo 9
Torc¸a˜o inela´stica
As equac¸o˜es analisadas anteriormente sobre tensa˜o e deformac¸a˜o se tratavam de
casos lineares nos quais o material se comportava de forma ela´stica. No entanto, quando
a torc¸a˜o e´ excessiva deve-se fazer uma ana´lise pla´stica levando em considerac¸a˜o a distri-
buic¸a˜o da tensa˜o e o aˆngulo de torc¸a˜o.
Figura 9.1
Analisando o comportamento do material e a equivaleˆncia do torque resultante
com a tensa˜o na sec¸a˜o, pode-se expressar essa ana´lise, considerando a tensa˜o τ sobre
uma determinada a´rea dA a uma distaˆncia ρ do centro do eixo. Logo a forc¸a F produzida
por essa tensa˜o e´ dF = τdA e o torque dT = ρ, portanto dF = ρτdA. Agora, para se
obter o eixo inteiro:
27
Torc¸a˜o 28
T =
∫
A
ρτdA
Se a a´rea considerada puder ser definida como um anel diferencia dA=2piρdρ, a
equac¸a˜o fica da seguinte forma:
T = 2pi
∫
A
τρ2dρ
A distribuic¸a˜o de tensa˜o em um eixo pode ser distribu´ıda em quatro tipos de torque:
9.1 Torque ela´stico ma´ximo
E´ quando o torque produz uma deformac¸a˜o por cisalhamento ela´stica ma´xima no
contorno externo do eixo. Se essa tensa˜o for distribu´ıda linearmente (τ = τe
ρ
c ), o torque
ela´stico ma´ximo pode ser representado por:
Te = 2pi
∫ c
0
τe(
ρ
c
)ρ2dρ
Ou
Te =
pi
2
τec
3
9.2 Torque ela´stico pla´stico
Ocorre em materiais que exibem comportamento ela´stico perfeitamente pla´stico.
Esse material sofre uma tensa˜o de cisalhamento ate´ atingir o ponto de escoamento, a
partir disso, o aumento do torque provoca o escoamento do material. Em consequeˆncia,
o contorno externo do eixo sofrera´ uma deformac¸a˜o por cisalhamento ate´ progredir para
dentro na direc¸a˜o do eixo, produzindo assim um nu´cleo ela´stico. Enquanto a porc¸a˜o
externa do eixo forma um anel pla´stico que sofre deformac¸o˜es por cisalhamento maiores
do que no interior. Levando em considerac¸a˜o ρ = c, chega-se na seguinte fo´rmula para
comportamento ela´stico-pla´stico:
T = 2pi
∫ c
0
τρ2dρ
Torc¸a˜o 29
T = 2pi
∫ ρe
0
(
τe
ρ
ρe
)
ρ2dρ+ 2pi
∫ c
ρe
τeρ
2dρ
T =
2pi
ρe
τe
∫ ρe
0
ρ3dρ+ piτe
∫ c
ρe
ρ2dρ
T =
pi
2ρe
τeρ
4
e +
2pi
3
τe
(
c3 − ρ3e
)
T =
piτe
6
(
4c3 − ρ3e
)
9.3 Torque pla´stico
Caso haja aumento do torque sobre o nu´cleo ela´stico, isso acarretara´ no escoamento
total do material, fazendo com que ele tenha um comportamento perfeitamente pla´stico
com tensa˜o de cisalhamento constante. Devido a isso, t = te fazendo com que se chegue
na seguinte fo´rmula para torque pla´stico:
Tρ = 2pi
∫ c
0
τeρ
2dρ → Tρ = 2pi
3
τec
3
Comparando com o torque ela´stico ma´ximo pode-se ver que:
Tρ =
4
3
Te
9.4 Torque ma´ximo
Se ocorrer uma distribuic¸a˜o da tensa˜o de cisalhamento agindo na linha radial da
sec¸a˜o transversal o torque produzido sera´ ma´ximo.
Torc¸a˜o 30
(a) Distribuic¸a˜o da tensa˜o de cisalhamento
ma´xima
(b)
Figura 9.2
Uma forma de se calcular esse torque e´ considerando a a´rea de um anel (γA = 2piρ∆ρ),
multiplicada pela tensa˜o de cisalhamento, de modo que a forc¸a se torna (∆F = τ∆A).
Logo torque e´ igual a (∆T = ρ∆F = ρ(τ∆A)) , de modo que a soma de todos os torques
da sec¸a˜o transversal acarretara´ na seguinte equac¸a˜o:
Tmax = 2pi
∑
τρ2∆ρ
Cap´ıtulo 10
Tensa˜o residual
Apo´s um eixo ser submetido a tensa˜o por cisalhamento pla´stica provocada por
torc¸a˜o, a remoc¸a˜o da torc¸a˜o acarretara´ na permaneˆncia de uma tensa˜o chamada de
tensa˜o residual.
A recuperac¸a˜o ela´stica e´ caracterizada pela diminuic¸a˜o da deformac¸a˜o no material quando
a torc¸a˜o e´ retirada.Dessa forma, essa tensa˜o que permanece cria uma tensa˜o de cisa-
lhamento inversa causando a recuperac¸a˜o ela´stica da deformac¸a˜o do material.
Como se trata de um comportamento ela´stico a distribuic¸a˜o de tensa˜o se torna linear,
fazendo com que a tensa˜o de cisalhamento ma´xima seja denominada nesse caso, como
mo´dulo de ruptura. E pode ser expressa pela seguinte fo´rmula:
τr =
Tρc
J
=
Tρc(
pi
2
)
c4
31
Cap´ıtulo 11
Aplicac¸a˜o na engenharia
A deformac¸a˜o por torc¸a˜o e´ observada quando uma pec¸a deforma em torno do seu
pro´prio eixo longitudinal devido a aplicac¸a˜o de um momento torsor ou torque.
Na indu´stria automotiva eixos sa˜o frequentemente empregados na transmissa˜o de poteˆncia
gerada pelos motores. O eixo cardan, por exemplo, e´ muito utilizado em ve´ıculos de
trac¸a˜o integral ou traseira que possuem motorizac¸a˜o dianteira para transmitir o torque
e a frequeˆncia angular obtidos na sa´ıda da caixa de caˆmbio ate´ o eixo diferencial.
Em suas extremidades existem conexo˜es chamadas juntas universais, onde esta˜o as cru-
zetas, combinadas da˜o ao eixo cardan a capacidade de transmitir o torque do motor
para o eixo diferencial em diferentes aˆngulos.
Ale´m da transmissa˜o de torque em variados aˆngulos, possibilitada pelas juntas uni-
versais, o eixo cardan tambe´m deve ser capaz de variar seu comprimento conforme a
oscilac¸a˜o vertical do eixo cardan. Esse movimento e´ poss´ıvel devido ao conjunto de
luvas e ponteiras localizado dentro do eixo.
Figura 11.1
Ainda na indu´stria automotiva, suspenso˜es do tipo eixo de torc¸a˜o sa˜o amplamente
usadas devido a simplicidade e agilidade na produc¸a˜o, ale´m de um o´timo desempenho
quando aplicada em ve´ıculos leves. Nesse tipo de suspenc¸a˜o e´ notado uma deformac¸a˜o
na travessa principal.
32
Torc¸a˜o 33
Nas suspenc¸o˜es tipo eixo de torc¸a˜o, a travessa principal e´ fundamental na rigidez estru-
tural e configurac¸a˜o da geometria do conjunto de suspenc¸a˜o, assim alterando o compor-
tamento do ve´ıculo.
Figura 11.2
Cap´ıtulo 12
Exerc´ıcios
12.1 Exerc´ıcio 1
Exercicio 5.5 (Hibbeler) O eixo macic¸o de 30 mm de diaˆmetro e´ usado para trans-
mitir os torques aplicados a`s engrenagens. Determine a tensa˜o de cisalhamento ma´xima
absoluta no eixo.
Figura 12.1
(1) 300 + TAC = 0 → TAC = −300Nm
(2) 300− 500TCD = 0 → TCD = 200Nm
(3) 300− 500− 200 + TDB = 0 → TDB = 400Nm
34
Torc¸a˜o 35
→ TDB e´ a maior tensa˜o em mo´dulo, assim
τMax =
TDB
pi
2 c
3
→ τmax = 400pi
2 (0, 015)
3
τMax = 75, 451MPa
12.2 Exerc´ıcio 2
Exercicio 5.102 (Hibbeler) Um tubo com as dimenso˜es mostradas na figura e´ sub-
metido a um torque T = 50 N·m. Desprezando as concentrac¸o˜es de tensa˜o em seus
cantos, determine a tensa˜o de cisalhamento me´dia no tubo nos pontos A e B. Mostre a
tensa˜o de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
Figura 12.2
Dimenso˜es me´dias:
50-5 = 45mm
50-3 = 47mm
A´rea me´dia:
Am = 45·47 = 2115mm2
1)
τ(A)med =
T
2tAAm
→ τ(A)med =
50000
2 · 3 · 2115 = 3, 94MPa
2)
τ(B)med =
T
2tBAm
→ τ(A)med =
50000
2 · 5 · 2115 = 2, 36MPa
Torc¸a˜o 36
12.3 Exerc´ıcio 3
Exercicio 5.115 (Hibbeler) O eixo aumentado foi projetado para girar a 540rpm. Se
o raio do filete de solda que interliga os eixos for r = 7,20 mm e a tensa˜o de cisalhamento
admiss´ıvel para o material for Tadm = 55 MPa, determine a poteˆncia ma´xima que o
eixo pode transmitir.
Figura 12.3
ω = 540 · 2pi
60
= 56, 549rad/s K = 1, 3
D
d
=
75
60
= 1, 25
r
d
=
7, 2
60
= 0, 12
τadm = K
Tc
J
T =
pic3τadm
2K
T =
pi0, 033 · 55 · 106
2 · 1, 3 = 1794, 33Nm
Pmax = ωT = 56, 549 · 1794, 33 = 101, 5KW
12.4 Exerc´ıcio 4
Exercicio 5.143 (Hibbeler) O tubo de alumı´nio tem 5 mm de espessura e dimenso˜es
da sec¸a˜o transversal externa mostradas na figura. Determine a ma´xima tensa˜o de cisa-
lhamento me´dia no tubo.Se o tubo tiver comprimento de 5 m, determine o aˆngulo de
torc¸a˜o. Gal = 28GPa.
Torc¸a˜o 37
Figura 12.4
Am =
(
150 + 140
2
)
·
(
100 + 90
2
)
= 13, 775mm2
(τmed)max =
TAB
2tAm
=
280
2 · 0, 005 · 13, 775 · 10−6 = 2, 03MPa
φ =
∑ TL
4A2mGal
∮
ds
t
=
(
(280 · 2) + (145 · 3)
4 · (13, 775 · 10−6)2 · 28 · 109
)(
(2 · 0, 145) + (2 · 0, 08)
0, 005
)
φ = 0, 00449rad = 0, 258◦
12.5 Exerc´ıcio 5
Exercicio 5.64 (Hibbeler) O conjunto e´ feito de ac¸o A-36 e e´ composto por uma
haste macic¸a de 15 mm de diaˆmetro conectada ao interior de um tubo por meio de um
disco r´ıgido em B. Determine o aˆngulo de torc¸a˜o em A. O tubo tem diaˆmetro externo
de 30mm e espessura de parede de 3 mm.
Figura 12.5
Torc¸a˜o 38
φA = φA/D + φD/E + φB/C
φA − 50 · 0, 3
0, 5 · pi · 0, 000754 · 109 +
80 · 0, 3
0, 5 · pi · (0, 0154 − 0, 0124) · 109 = 0, 0470565
φA = 2, 70
◦
12.6 Exerc´ıcio 6
Exercicio 3.111 (Beer) Cada uma das duas barras de lata˜o mostradas esta´ sujeita
a um torque de intensidade = 1,4kNm. Sabendo-se que G = 39GPa, determinar para
cada barra a ma´xima tensa˜o de ciisalhamento e o aˆngulo de torc¸a˜o em B.
Figura 12.6
a)
τMax =
T
A
→ τMax = 1400
0, 1 · 0, 025 → τmax = 560000Pa
φ =
TL
JG
→ φ = 1400 · 0.635
(J)39 · 109 ...
Torc¸a˜o 39
b)
τMax =
T
A
→ τMax = 1400
0, 4 · 0, 06 → τmax = 58333, 33Pa
φ =
TL
JG
→ φ = 1400 · 0.635
(J)39 · 109 ...
12.7 Exerc´ıcio 7
Exercicio 3.136 (Beer) Uma barra de alumı´nio AB (G=26GPa) e´ ligada a uma
barra de lata˜o (G=39GPa). Sabendo-se que o trecho CD da barra e´ vazado e tem um
diaˆmetro interno de 40mm, determinar o aˆngulo de torc¸a˜o em A.
Figura 12.7
φA = φA/D + φD/E + φB/C
LAB = 0, 4m LBC = 0, 375 LCD = 0, 25m
JAB = 1, 64 ·−7 m4 JBC = 1, 27 ·−6 m4 JCD = 1, 02 ·−6 m4
φA/B =
800 · 0, 4
1, 64 · 10−7 · 27 · 109 = 0, 072rad ou 4, 14
◦
φB/C =
2400 · 0, 375
1, 27 · 10−6 · 39 · 109 = 0, 018rad ou 1, 04
◦
Torc¸a˜o 40
φC/D =
2400 · 0, 25
1, 02 · 10−6 · 39 · 109 = 0, 015rad ou 0, 86
◦
φA = 4, 14
◦ + 1, 04◦ + 0, 86◦ → φA = 6, 04◦
12.8 Exerc´ıcio 8
Dimensionar o eixo vazado com relac¸a˜o entre diaˆmetros igual a 0,6, para transmi-
tir uma poteˆncia de 27,2cv, girando a 120rpm.
O material do eixo e´ ABNT 1045 e a tensa˜o admiss´ıvel indicada para o caso e´ 50MPa.
Soluc¸a˜o:
d
D
= 0, 6 → D
d
= 1, 67 → D = 1, 67d
P = 27, 2 · 735, 5 → P = 20005, 6W = 20005, 6Nm/s
ω =
pin
30
=
pi120
30
= 4pirad/s
MT =
P
ω
=
20005, 6Nm/s
4pi/s
→ MT = 1592Nm
τ =
MT
Wρ
=
MT
pi(D4−d4)
16D
=
MT
pi
16
(
(1,67d)4−d4
1,67d
)
τ =
MT
pi
16
(
7,78d4−d4
1,67d
) MT
pi
16
(
(6,78d4
1,67d
)
τ =
MT
pi
16 · 4, 06d3
=
16MT
4, 06pid3
d = 3
√
16MT
4, 06pi · τ =
3
√
16 · 1592
4, 06pi · (50 · 106) → d = 34, 18mm
D =
d
0, 6
=
34, 18 · 10−3
0, 6
→ D = 56, 97mm
Torc¸a˜o 41
12.9 Exerc´ıcio 9
Um motor de poteˆncia 100kW e velocidade angular aciona duas ma´quinas atrave´s
da transmissa˜o por polias representada na figura. A ma´quina da direita (2), consome
80kW e a da esquerda (3) 20kW. Desprezam-se as perdas. O eixo da direita (2), possui
di = 80mm e comprimento igual a 1,2m, enquanto o eixo da esquerda possui d = 40mm e
comprimento igual a O,8m. Gac¸o = 80GPa. Os diaˆmetros nominais das polias sa˜o: dn =
150mm; dn2 = 450mm; dn3 = 180mm; dn4 = 360mm; dn5 = 200mm; dn6 = 400mm. De-
termine:
Figura 12.8
a) A rotac¸a˜o nos eixos (1), (2) e (3).
b) Tensa˜o ma´xima atuante nos eixos (2) e (3).
c) Aˆngulo de torc¸a˜o nos eixos (2) e (3).
d) A distorc¸a˜o nos eixos (2) e (3).
Soluc¸a˜o:
a)
ω = 2pif → f = 40pirad/s
2pi
= 20Hz
nmotor= 20Hz · 60s → nmotor = 1200rpm
(Eixo 1)
n1 = nmotor · dn1
dn2
→ n1 = 1200rpm · 150mm
450mm
n1 = 400rpm
(Eixo 2)
n2 = n1 · dn3
dn4
→ n2 = 400rpm · 180mm
360mm
n2 = 200rpm
(Eixo 3)
n3 = n1 · dn5
dn6
→ n2 = 400rpm · 200mm
400mm
n3 = 200rpm
Torc¸a˜o 42
b) (Eixo 2)
MT2 =
(
30
pi
)
·
(
P
n2
)
→ MT2 =
(
30
pi
)
·
(
80000
200
)
→ MT2 = 3820Nm
τmax2 =
MT2
Wp
=
16MT2
pid3
→ τmax2 =
16 · 3820
pi(8 · 10−2)3 = 38MPa
(Eixo 3)
MT3 =
(
30
pi
)
·
(
P
n3
)
→ MT3 =
(
30
pi
)
·
(
20000
200
)
→ MT3 = 955Nm
τmax3 =
MT3
Wp
=
16MT3
pid3
→ τmax2 =
16 · 955
pi(4 · 10−2)3 = 76MPa
c) (Eixo 2)
θ2 =
MT2 · l2
Jp ·G → θ2 =
32 · 3820 · 1, 2
pi(8 · 10−2)4 · 80 · 109 → θ2 = 1, 425 · 10
−2rad
(Eixo 3)
θ3 =
MT3 · l3
Jp ·G → θ3 =
32 · 955 · 0, 8
pi(4 · 10−2)4 · 80 · 109 → θ3 = 3, 8 · 10
−2rad
d) (Eixo 2)
γ2 =
τmax2
Gaco
→ γ2 = 38 · 10
6
80 · 109 → γ2 = 4, 75 · 10
−4rad
(Eixo 3)
γ3 =
τmax3
Gaco
→ γ3 = 76 · 10
6
80 · 109 → γ3 = 9, 5 · 10
−4rad
12.10 Exerc´ıcio 10
A bomba opera com um motor que tem poteˆncia de 85 W. Supondo que o impul-
sor em B esteja girando a 150 rev/min, determinar a tensa˜o de cisalhamento ma´xima
Torc¸a˜o 43
desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissa˜o que tem 20 mm de diaˆmetro.
Figura 12.9
Soluc¸a˜o:
P = Tω → T = P
ω
T =
85000
150
(
2pi
60
) = 5411, 27N.mm
τMax =
Td
2Jt
→ τMax = Td
2
(
pid4
32
) = 16Td
pid3
τMax =
16 · 5411, 27
pi203
→ τMax = 3, 445 N
mm2
= 3, 445MPa
A tensa˜o ma´xima de cisalhamento em A e´ de 3,445MPa
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] Russell Charles Hibbeler. Resisteˆncia dos materiais, 7aed. PPH, Sa˜o Paulo, 2010.
[2] Ferdinand Pierre Beer and Elwood Russell Johnston. Resisteˆncia dos materiais,
volume 5. McGraw-Hill, 1982.
[3] J.E. Shigley. Elementos de ma´quinas, volume 1. 2008.
[4] MELCONIAM Sarkis. Mecaˆnica te´cnica e resisteˆncia dos materiais, 17aed. E´rica,
Sa˜o Paulo, page 356, 2007.
[5] Luiz Eduardo Miranda RODRIGUES. Estudo de torc¸a˜o, transmissa˜o de poteˆncia e
torque. 2015. URL http://www.engbrasil.eng.br/pp/res/aula6.pdf.
[6] Vin´ıcius LEAL and Prof.Janes LANDRE JUNIOR. Estudo cinemA´tico de sus-
pensO˜es veiculares do tipo eixo de torC¸A˜o. Tese (Doutorado) - Curso de En-
genharia Mecaˆnica, Programa de Po´s Graduac¸a˜o em Engenharia Mecaˆnica, Pon-
tifI´cia Universidade CatO´lica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2007. URL http:
//www.biblioteca.pucminas.br/teses/EngMecanica_LealV_1.pdf.
44
	1 Deformação por torção de um eixo circular
	2 A fórmula da torção
	2.1 Eixo maciço
	2.2 Eixo tubular
	2.3 Tensão de torção máxima absoluta
	3 Transmissão de potência
	4 Ângulo de torção
	5 Elementos estaticamente indeterminados carregados com torque
	6 Eixos maciços não circulares
	7 Tubos de parede fina com seções transversais fechadas
	7.1 Fluxo de Cisalhamento
	7.2 Tensão de cisalhamento média
	7.3 Ângulo de torção
	8 Concentração de tensão
	9 Torção inelástica
	9.1 Torque elástico máximo
	9.2 Torque elástico plástico
	9.3 Torque plástico
	9.4 Torque máximo
	10 Tensão residual
	11 Aplicação na engenharia
	12 Exercícios
	12.1 Exercício 1
	12.2 Exercício 2
	12.3 Exercício 3
	12.4 Exercício 4
	12.5 Exercício 5
	12.6 Exercício 6
	12.7 Exercício 7
	12.8 Exercício 8
	12.9 Exercício 9
	12.10 Exercício 10