MATEMATICA FINANCEIRA AULA 04

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Matemática Financeira
Aula 4: Taxas de juros
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você irá distinguir as taxas: equivalente, nominal/efetiva/proporcional e a taxa real/aparente.
Bons estudos!
OBJETIVOS
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Determinar taxa equivalente, taxa nominal, taxa proporcional ou efetiva, taxa real, taxa bruta e taxa líquida.
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TAXA EQUIVALENTE
Fonte:
Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo
capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual i .
O montante M ao �nal do período de 1 ano será igual a
M = C (1 + i )
Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
O montante M’ ao �nal do período de 12 meses será igual a
M’ = C (1 + im)124
Vejamos algumas aplicações desse conceito:
Primeira aplicação:
Seja:
I = 1% a.m. (Período mês)
Vamos determinar qual a taxa equivalente ao ano (i % a.a.). (Período ano)
SOLUÇÃO
(1 + i ) = (1 + I )
(1 + i ) = (1 + 0,01)
(1 + i ) = 1,1268
Logo: i = 1,1268 – 1 = 0,1268 ou 12,68% a.a.
Segunda aplicação:
Vamos determinar qual o montante acumulado no �nal de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa
de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos.
SOLUÇÃO
𝛼
𝛼
m
𝜶
𝛼 m
12
𝛼
12
𝛼
𝛼
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C = R$100,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 1 ano
n = 12 meses
M = ?
Temos: M = C (1 + i)
M = 100 (1 + 0,01)
M = 100 x 1,126825 (da Tabela)
M = R$112,68
Terceira aplicação:
Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano.
SOLUÇÃO
i = ? % a.m. (Período mês)
(i = 60% a.a.)? (Período ano)
(1 + i) = (1 + i ) (1 ano = 12 meses, logo expoente 12)
(1 + 0,60) = (1 + i )
1,6 = (1 + i )
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 12, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 4% a.m.
Quarta aplicação:
Vamos calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano.
SOLUÇÃO
i = ? % a.t. (Período trimestre)
(i = 60% a.a.)? (Período ano)
(1 + i ) = (1 + i ) (1 ano = 4 trimestres, logo expoente 4)
(1 + 0,60) = (1 + it)
1,6 = (1 + i )
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 12% a.m.
n
12
m
a
m
12
m
12
m
12
t
a
a t
4
4
t
4
t
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Quinta aplicação:
Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre.
SOLUÇÃO
I = ? % a.t. (Período ao mês)
(i = 60% a.t.)? (Período trimestre)
(1 + i ) = (1 + i ) (1 trimestre = 3 meses, logo expoente 3)
(1 + 0,60) = (1 + i )
1,6 = (1 + i )
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 17% a.m.
Saiba+
Seja:
i = taxa de juros anual
i = taxa de juros semestral
i = taxa de juros mensal
i = taxa de juros diária
Como fazer as conversões das taxas?
Podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + i = (1 + i ) [porque 1 mês = 30 dias]
1 + i = (1 + i ) [porque 1 ano = 12 meses]
1 + i = (1 + i ) [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + i = (1 + i ) [porque 1 semestre = 6 meses]
Todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital
produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta veri�car a lei de formação que é
bastante clara.
Por exemplo, se i = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever: 1 + i = (1 + i )  [porque 1 ano = 3
quadrimestres].
Exemplo
m
t
t m
3
m
3
m
3
m
a
s
m
d
m d
30
a m
12
a s
2
a m
6
q a q
3
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Vamos determinar qual o montante acumulado no �nal de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de
1% a.m., no regime de juros compostos.
C = R$2.000,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 2 anos
n = 24 meses
M = ?
Temos:
M = C (1 + i)
M = 2000 (1 + 0,01)
M = 2000 x 1,269735 (da Tabela)
M = R$2.539,47
Exercícios!
Questão 1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?
Resposta Correta
Questão 2 - Qual a taxa mensal equivalente a 48% ao ano?
Resposta Correta
Questão 3 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
Resposta Correta
Questão 4 - Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre?
Resposta Correta
Questão 5 - Uma taxa diária de 1%, equivale a que taxa mensal?
Resposta Correta
TAXA NOMINAL / TAXA PROPORCIONAL OU EFETIVA
Fonte:
Taxa nominal é aquela que está de�nida em período de tempo diferente do período de capitalização.
n
24
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A taxa nominal de juros relativa a uma operação �nanceira pode ser calculada pela expressão:
Vejamos algumas aplicações desse conceito:
Primeira aplicação:
Vamos determinar a taxa de juros nominal de um empréstimo de $100.000,00 que deve ser quitado ao �nal de um ano,
pelo valor monetário de $150.000,00.
SOLUÇÃO
Juros pagos = J = $150.000 - $100.000 = $50.000,00
Segunda aplicação:
Vamos determinar o montante (M) obtido ao �nal de um ano de uma aplicação de R$10.000,00 à taxa i = 36% ao ano
com capitalização mensal.
SOLUÇÃO
Como a taxa i está de�nida em um período de tempo diferente do período de capitalização (i
é anual e a capitalização, mensal) dizemos que i é uma taxa nominal. Assim, a taxa que será
realmente aplicada neste exemplo é a taxa proporcional mensal 36/12 = 3% a.m., que será a
taxa efetiva.
Logo:
i = 36% a.a. com capitalização mensal → i = 3% a.m.
C = 10000
t = 1 ano → n = 12 (meses) → porque a taxa i está em % ao mês
M = C (1 + i)
M = 10000 (1 + 0,03)
M = 10000 (1,03)
M = 10000 . 1,425761  (da Tabela Financeira: linha n = 2, coluna 3%)
p
n
12
12
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M = 14257,61 é o montante ao �m de 1 ano.
Observação: O denominador é 12 porque a taxa i é anual e a capitalização é mensal.
Terceira aplicação:
O capital de R$10.000,00 será aplicado por 1 ano. Vamos determinar a que taxa anual deverá ser aplicado para gerar o
mesmo montante da aplicação à taxa composta de 3% ao mês.
SOLUÇÃO
Obs.: a taxa composta de 3% ao mês indica tratar-se de juros compostos, ou seja, a cada
mês será aplicado um porcentual de 3% sobre o montante.
I = taxa anual
C = 10000
t = 1 ano = 12 meses
i = ?
Solução:
- Vamos calcular o montante à taxa de 3% ao mês.
M = C (1 + i)
M = 10000 (1 + 0,03)
M = 10000 (1,03)
- Vamos calcular o montante à taxa de I % ao ano:
M = 10000 (1 + I)
Igualando:
10000 (1,03) = 10000 (1 + I)
1,03 = 1 + I
- Pela Tabela:
1,425761 = 1 + I
I = 0,425761 ou 42,5761 % a.a.
Exercícios!Questão 1 - Determine as taxas mensal, trimestral e semestral equivalentes a 36% a.a. Em seguida, compare os valores
obtidos com as respectivas taxas proporcionais.
n
12
12
12
12
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Resposta Correta
Questão 2 - Um capital de $10.000,00 foi aplicado durante 5 anos à taxa de juros de 3% a.a.
Diga:
a) Quais os juros totais produzidos.
b) O valor atingido pelo capital ao �nal de 5 anos.
Resposta Correta
Questão 3 - Que taxa nominal de juros anual, capitalizada trimestralmente, produz juros totais iguais a 60% do capital
ao �nal de 5 anos?
Resposta Correta
Questão 4 - Quanto devo aplicar numa instituição �nanceira, em caderneta de poupança, que paga uma taxa de juros
de 6% a.a., para obter $10.000,00 ao �nal de 5 anos?
Resposta Correta
TAXA REAL
Fonte:
Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de in�ação. A taxa real expurga o efeito da in�ação.
Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode ser negativa!
Vamos encontrar uma relação entre a taxa de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital
C é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal i . O montante M ao �nal do período, será
dado por:
M = C(1 + i )
Consideremos agora que, durante o mesmo período, a taxa de in�ação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O
capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante:
M = C(1 + j)
Vejamos algumas aplicações desse conceito:
Primeira aplicação:
O capital de R$10.000,00 produziu em 1 ano o montante de R$13.500,00. Tendo neste período havido uma in�ação de
30%, vamos determinar qual a taxa real do juros e qual a taxa de remuneração do capital.
n 1
1 n
2
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SOLUÇÃO
T = 30%
T = taxa real de juros real
J = M - C
J = 13.500 - 10.000 = 3.500
i = 35% (taxa de juros)
Como (1 + i ) = (1 + r) . (1 + j)
Logo, T = 1,0385 - 1 = 0,0385 ou 3,85%
Atenção!
T ou r é a taxa real
I ou i é a taxa de juros
T ou j é a taxa de in�ação
Segunda aplicação:
Numa operação �nanceira com taxas pré-�xadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com
$150.000,00. Sendo a in�ação durante o período do empréstimo igual a 10%, vamos calcular as taxas nominal e real
deste empréstimo.
i
r
n
r
r
n
j
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SOLUÇÃO
Teremos que a taxa nominal será igual a:
i = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25%
Portanto: i = 25%
Como a taxa de in�ação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior,
vem:
(1 + i ) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de in�ação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto, teríamos uma taxa real de juros
negativa!
Exercício!
$100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao �nal de um ano. Se a in�ação no período foi de 20%,
qual a taxa real do empréstimo?
Resposta Correta
TAXA BRUTA E TAXA LÍQUIDA
Denomina-se taxa bruta de uma aplicação
�nanceira a taxa de juros obtida considerando o
valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem
levar em conta o desconto do imposto de renda,
que é retido pela instituição �nanceira.
Denomina-se taxa líquida de uma aplicação
�nanceira a taxa de juros obtida considerando o
valor da aplicação e o valor do resgate líquido, já
levando em conta o desconto do imposto de renda,
que é retido pela instituição �nanceira.
Assim, taxa bruta é sempre maior que a taxa líquida.
n
n
n
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TAXA PREFIXADA / PÓS-FIXADA
A diferença básica entre ambas as taxas, pre�xada e pós-�xada, se concentra na forma de compor a taxa:
O crédito pre�xado opera com juros estáveis, que
considera a in�ação, o ganho da �nanceira e mais
uma margem de garantia para qualquer
eventualidade.
O pós-�xado conta com taxas menores, que
equivalem apenas aos juros.
Os outros dois componentes  (risco da economia e in�ação) �cam por conta do devedor, que, além do juro, arca com a
correção por um indicador de in�ação, como TR ou variação cambial.
Portanto, aí está centrado o risco do negócio:
Fonte:
Mesmo com a estabilidade econômica, tanto o dólar quanto a in�ação podem apresentar variações, o que pode
transformar os �nanciamentos pós-�xados em operações arriscadas. O consumidor pode  sair ganhando na parte �xa
da taxa de juros, mas em caso de qualquer oscilação mais forte na parte variável, pode acabar pagando mais pelo
crédito pós-�xado.
Exemplo!
Um exemplo de aplicação pós-�xada é a Caderneta de Poupança, que permite ao investidor aplicar pequenas somas com
rendimentos a cada 30 dias. A remuneração é composta por TR (taxa referencial) da data de aniversário da aplicação + 0,5% ao
mês. A caderneta de poupança é uma aplicação pós-�xada. Os ganhos são isentos de imposto de renda, mas se o aplicador
resgatar antes da data de aniversário da aplicação, perde toda a rentabilidade do período (do montante resgatado e não do saldo).
ATIVIDADES
Questão 1 - Calcule as taxas mensal e diária proporcionais à taxa de 3,6% ao trimestre.
1,3% a.m. – 0,06% a.d.
1,2% a.m. – 0,04% a.d.
1,4% a.m. – 0,08% a.d.
1,1% a.m. – 0,02% a.d.
Justi�cativa
Questão 2 - Calcule a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% ao ano, capitalizados mensalmente.
0,68%
0,32%
0,85825%
0,70337%
Justi�cativa
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Questão 3 - Calcule a taxa diária equivalente à taxa de 9% ao semestre.
1,05%
0,05%
0,065%
0,85%
Justi�cativa
Glossário