Aula 10 - Teste de Hipóteses II

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 Definições. 
 
 Testes 
 
 para Média Populacional. 
 
 para Igualdade de Duas Médias Populacionais. 
 
 para Proporção Populacional. 
 
 para Igualdade de Duas Proporções Populacionais. 
 
 
 Aplicações. 
 
 
 
 
Testes de Hipóteses 
Teste para média populacional 
 
 Na aula anterior discutimos o processo básico dos testes 
de significância. 
 
 Vimos que, resumidamente, tais testes compreendem os 
seguintes estágios: 
 
◦ 1. Estabelecer a hipótese nula e a hipótese alternativa. 
 
◦ 2. Identificar uma distribuição amostral adequada. 
 
◦ 3. Particionar a distribuição amostral em regiões de aceitação e de 
rejeição. 
 
◦ 4. Calcular uma estatística teste. 
 
◦ 5. Comparar a estatística amostral (de teste) com o valor crítico 
(rejeitar H0 se for maior que o valor crítico). 
Testes de Hipóteses 
Teste para média populacional 
 
 Na aula de hoje e seguintes estudaremos os diversos 
testes de hipóteses, com ênfase para os testes com 
médias e proporções populacionais. 
 
 O objetivo dos testes de hipóteses (ou testes de 
significância) para médias é avaliar afirmações feitas a 
respeito de médias populacionais. 
 
 Os diversos testes exigem dados quantitativos, sejam 
contínuos ou discretos. 
 
Testes de Hipóteses 
Teste para média populacional 
 
 Há basicamente três tipos de afirmação que se podem 
fazer acerca de médias populacionais, e cada tipo requer 
um tipo diferente de avaliação. 
 
◦ Uma afirmação pode dizer respeito à média de uma única 
população: a avaliação envolve então um teste de uma amostra. 
 
◦ Ou pode-se afirmar que as médias de duas populações são iguais; 
tem-se então um teste de duas amostras. 
 
◦ Finalmente, pode-se afirmar que as médias de mais de duas 
populações são todas iguais, o que envolve um teste de k 
amostras. 
 
 Neste tópico abordaremos os dois primeiros testes. 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias 
 
 Utiliza-se um teste de uma amostra para testar uma 
afirmação sobre uma única média populacional. 
 
 Extrai-se uma amostra de n observações e calcula-se a 
média amostral. 
 
 Compara-se então o desvio entre o valor alegado e esta 
média amostral com a variabilidade da distribuição 
amostral baseada na afirmação. 
 
 Grandes desvios sugerem que a afirmação é falsa; 
pequenos desvios corroboram a afirmação. 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias 
 
 Por exemplo, suponha-se que queiramos avaliar a 
afirmação de um fabricante, de que seus pneus radiais 
suportam uma quilometragem de 40.000 km. 
 
 A hipótese nula é: 
 
H0: μ = 40.000 km 
 
 Ressalte-se que existem três hipóteses alternativas 
possíveis (muito embora, na prática, só uma delas seja 
considerada). 
 
 As três são: 
 
H1: μ ≠ 40.000; H1: μ > 40.000 ou H1: μ < 40.000 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ conhecido 
 
 Quando se conhece o desvio padrão da população, a 
distribuição amostral adequada é a distribuição normal. 
 
 Se a população é normal, a distribuição amostral será 
normal para todos os tamanhos de amostra. 
 
 Se a população é não-normal, ou se sua forma é 
desconhecida, pode-se usar um teste de uma amostra 
para médias só para tamanhos de amostra superiores a 30 
observações. 
 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ conhecido 
 
 Consideremos com maior detalhe o exemplo do fabricante 
que alega que seus pneus suportam uma quilometragem 
de 40.000 km no mínimo. 
 
 Suponhamos que os resultados de um teste tenham sido: 
amostra de n = 49, com média amostral = 38.000 km. 
Sabe-se que a população (quilometragem de todos os 
pneus) tem desvio padrão de 3.500 km. 
 
 Procederemos como segue: 
 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ conhecido 
 
 1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa: 
 
H0: μ = 40.000 km 
 
Suponhamos que o teste esteja sendo feito por um grupo de 
consumidores. 
 
Naturalmente esse grupo está empenhado em que os 
compradores não venham a receber pneus com menor resistência, 
de modo que a hipótese alternativa é: 
 
H1: μ < 40.000 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ conhecido 
 
 2. Escolher um nível de significância e particionar a 
distribuição amostral apropriada. 
 
◦ Suponhamos que o grupo deseje aceitar um risco de 5% de rejeitar 
H0 quando ela é verdadeira. 
 
◦ Assim, α = 0,05. Como σx é conhecido e o tamanho da amostra é 
grande, usa-se a distribuição normal. O valor de z que deixa 0,05 
na cauda inferior é -1,65. 
 
 3. Calcular a estatística teste: 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ conhecido 
 
 4. Comparar a estatística teste com o valor crítico. 
 
◦ Como -4,0 excede -1,65, rejeita-se H0. 
 
◦ A Figura abaixo ilustra esta situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Concluímos, assim, que a vida média dos pneus é inferior a 
40.000 km. (Não precisamos, assim, testar μ > 40.000.) 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ conhecido 
 
 Suponhamos agora que seja o fabricante que tenha interesse no 
teste. 
 
 Ele poderá utilizar um teste de duas caudas, porque deseja, por 
um lado, precaver-se contra a entrega de pneus muito pouco 
duráveis (o que desmentiria sua propaganda, entre outras 
coisas), e, por outro lado, não deseja aprimorar demais a 
qualidade (o que aumentaria seu custo de fabricação). 
 
 Temos então os seguintes fatos: 
 
x = 38.000 km 
n = 49 
σx = 3.500 km 
 
 A análise se processa como segue: 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ conhecido 
 
 1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa: 
 
◦ H0: n = 40.000 km 
 
◦ H1: μ ≠ 40.000 
 
 2. Escolher α e particionar a distribuição amostral. 
Tomando α = 0,05, os valores críticos de z são ±1,96. 
 
 3. Calcular a estatística teste. Como estamos usando os 
mesmos dados, o valor da estatística teste permanece o 
mesmo: 
 
 
 
 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ conhecido 
 
 4. Como - 4,0 excede o valor crítico inferior, o fabricante 
rejeitará H0 e concluirá que a vida média não é igual a 
40.000 km. 
 
 A Figura abaixo ilustra o teste. 
 
 
 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ desconhecido 
 
 Quando não se conhece o desvio padrão da população, 
deve-se estimá-lo a partir dos dados amostrais usando o 
desvio padrão amostral. 
 
 Quando isso ocorre (na maioria das situações reais σx é 
desconhecido), a distribuição t é adequada. 
 
 Na prática, entretanto, só se exige o uso da distribuição t 
quando o tamanho da amostra é igual ou inferior a 30, 
pois, para maiores valores do tamanho da amostra, os 
valores de t e z são aproximadamente os mesmos, 
podendo-se então usar a distribuição z em lugar da t. 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ desconhecido 
 
 Voltemos ao exemplo dos pneus com vida média de 
40.000 km. Consideraremos agora o desvio padrão 
populacional como sendo desconhecido. 
 
 Desejamos também comparar a análise para grandes 
amostras com os casos de pequenas amostras. 
 
 Como antes, tomemos como nossa hipótese nula H0 “a 
verdadeira média é 40.000 km”. 
 
 Além disso, testemos novamente as três hipóteses 
alternativas: 
 
H1: μ ≠ 40.000; H1: μ > 40.000 ou H1: μ < 40.000 
 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ desconhecido 
 
 Exemplo 1 Grandes amostras. 
 
◦ Suponhamos uma amostra de 36 observações com média 41.200 
e desvio padrão amostral3.000. Usemos α = 0,05. 
 
◦ Ora, como n é maior que 30, podemos usar o valor de z de uma 
tabela normal para aproximar o valor de t. Logo, o valor crítico é 
+1,65 ou -1,65, para um teste unilateral, e ±1,96 para um teste 
bilateral. Para qualquer teste a estatística é 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ desconhecido 
 
◦ As três hipóteses alternativas possíveis são testadas na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Note-se que a finalidade dos três testes é ilustrar as várias 
possibilidades; na prática, só seria utilizada uma alternativa. 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ desconhecido 
 
 Exemplo 2 Pequena amostra. 
 
◦ Quando o tamanho da amostra é 30 ou menos, acha-se o valor de 
t numa tabela da distribuição t. Note-se que, com pequenas 
amostras, a população deve ter distribuição normal, pois, do 
contrário, não se pode usar esta técnica. 
 
◦ Suponhamos uma amostra de n = 25, com os resultados: X médio 
= 41.100 km; sx = 2.750 km. 
 
◦ Usando α = 0,05 e (25 – 1) = 24 graus de liberdade, o valor 
crítico de t é + 1,71 ou -1,71 para um teste unilateral, e ± 2,07 
para um teste bilateral. 
 
◦ A estatística é 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ desconhecido 
 
◦ As três hipóteses alternativas possíveis são testadas na figura 
abaixo (novamente, a finalidade dos três testes é ilustrar as várias 
possibilidades; na prática, só seria utilizada uma alternativa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Testes de Hipóteses 
Teste de uma amostra para médias, com σ desconhecido 
 
◦ Em resumo, o quadro abaixo sintetiza as situações (cálculo das 
estatísticas de teste) para teste de hipóteses de uma amostra para 
a média populacional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Testes de Hipóteses 
Lista de exercícios 
 
 3ª lista de exercícios: 2ª bateria. 
 
◦ Pag. 238, exercícios 01, 02, 04, 08 e 12;