Cinemática em 2 e 3 dimensões

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Movimento em 2 e 
3 dimensões 
Capítulo	3	
Cinemática	em	2	e	3	
dimensões	
•  Já	estudamos	cinemática	em	1	dimensão	
•  Maioria	 dos	 casos	 o	 movimento	 não	 é	
unidimensional	
•  Escolha	do	referencial?	
•  Em	1	D	bastava	escolher	o	sentido	e	a	origem	
do	eixo 		
	
0	
x(m)	
x(2s)=3m	
3	
Sistema	de	eixos	
•  Escolha	 do	 referencial	 é	 sempre	 o	 primeiro	
passo	
•  Em	 2	 (ou	 3)	 dimensões:	 em	 muitos	 casos	
usaremos	os	eixos	cartesianos	
•  Posição	é	um	vetor		
•  Mesmos	conceitos	de	cinemática	
•  Cinemática	1D	+	vetores	
�r(t) = x(t)ˆı+ y(t)�ˆ+ z(t)kˆ
y(t)
x(t)
z(t)
!r (t)
�r(t)
Seção	3.1	
Velocidade e 
aceleração vetoriais 
Seções	3.4	e	3.5	
Deslocamento	e	
velocidade	média	
•  Deslocamento	entre	2	
instantes	t1	e	t2	
•  Deslocamento	também	é	
um	vetor		
•  Componentes	 dos	 vetores	
são	independentes	
•  Em	três	dimensões	
��rt1�t2 = �r2 � �r1
x	
!r1
Δ
!r
y	
!r2��r = �xıˆ+�y�ˆ
Δy	
Δx	
��r = �xıˆ+�y�ˆ+�zkˆ
Trajetória	de	uma	partícula	
Posição	em	t2	
Posição	em	t1	
Velocidade	média	
•  Velocidade	 média	 foi	
definida	 como	 a	 razão	
entre	o	deslocamento	e	o	
intervalo	de	tempo	(Δt)	
•  Em	 2	 (e	 3)	 dimensões	 o	
deslocamento	é	um	vetor	
•  V e l o c i d a d e	 q u e	 a	
partícula	 teria	 se	 tivesse	
ido	 em	MRU	 de	 1	 para	 2	
em	Δt	
!r1
Δ
!r
y	
!r2
x	
�vm � ��r�t =
�r2 � �r1
t2 � t1
Velocidade	média	
•  Componentes	independentes	
•  Velocidade	média	é	um	vetor	(escalar	x	vetor)	
•  Mesmos	direção	e	sentido	do	deslocamento	
�vm � ��r�t =
�r2 � �r1
t2 � t1
�vm =
��r
�t
=
�x
�t
ıˆ+
�y
�t
�ˆ+
�z
�t
kˆ
Componente	x	
da	velocidade		
média	vmx	
vmy	 vmz	
Velocidade	instantânea	
•  Limite	 da	 velocidade	
média	quando	Δtè0	
•  Velocidade	 média	 tem	
mesmos	 d i reção	 e	
s e n t i d o	 d o	
deslocamento	
•  Velocidade	 instantânea	
também	é	um	vetor	
!r (t)
Δ
!r
y	
!r (t +Δt)
x	
�v(t) = lim
�t�0
�r(t+�t)� �r(t)
�t
=
d�r
dt
(t)
Diminuindo	Δt	
Velocidade	instantânea	
•  Limite	 da	 velocidade	
média	quando	Δtè0	
•  Velocidade	 média	 tem	
mesmos	 d i reção	 e	
s e n t i d o	 d o	
deslocamento	
•  Velocidade	 instantânea	
também	é	um	vetor	
!r (t) Δ!r
y	
!r (t +Δt)
x	
�v(t) = lim
�t�0
�r(t+�t)� �r(t)
�t
=
d�r
dt
(t)
Diminuindo	Δt	
Velocidade	instantânea	
•  Limite	 da	 velocidade	
média	quando	Δtè0	
•  Velocidade	 média	 tem	
mesmos	 d i reção	 e	
s e n t i d o	 d o	
deslocamento	
•  Velocidade	 instantânea	
também	é	um	vetor	
!r (t)
y	
Δt→ 0
x	
�v(t) = lim
�t�0
�r(t+�t)� �r(t)
�t
=
d�r
dt
(t)
Diminuindo	Δt	
Velocidade	instantânea	
•  Velocidade	 instantânea	
é	 um	 vetor	 tangente	 à	
trajetória	no	instante	
•  Cuidado:	 nesse	 caso	 o	
vetor	 velocidade	 não	
pode	 ser	 comparado	
com	a	escala	x	versus	y	
!r (t1)
y	
Δt→ 0
x	
�v(t) = lim
�t�0
�r(t+�t)� �r(t)
�t
=
d�r
dt
(t)
!v(t1) !r (t2 )
!v(t2 )
Componente	x	
da	velocidade		
instantânea	 vy	
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
ıˆ+
dy(t)
dt
|ˆ
Exemplo	
Sabe-se	que	uma	partícula	 se	move	no	plano	xy	
de	um	dado	 sistema	de	 coordenadas.	 Seu	vetor	
posição	é	
Com	t	dado	em	segundos	e	as	componentes	do	
vetor	posição	em	metros	
a)Qual	o	vetor	velocidade	em	t=2	s?	
b)Qual	o	vetor	velocidade	média	entre	t=0	e	t=2s?	
�r(t) = 2t2 ıˆ� (4t+ 3)�ˆ
Exemplo	
a)Sabemos	que	
	
Onde	 usou-se	 que	 a	 derivada	 da	 soma	 é	 a	 soma	 das	
derivadas	e	que	a	derivada	de	uma	constante	é	0	
	
�r(t) = 2t2 ıˆ� (4t+ 3)�ˆ
dx
dt
=
d
dt
�
2t2
�
d
dt
(ctn) = c.ntn�1
� dx
dt
= 4t
dy
dt
=
d
dt
[�(4t+ 3)] � dy
dt
= �4
�v(t) = 4tˆı� 4�ˆ � �v(t = 2s) = 8ıˆ� 4�ˆ Com	as	componentes	em	m/s	
|�v(2)| =
�
v2x + v2y =
�
82 + (�4)2 = �80 � 8,9m/s
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
ıˆ+
dy(t)
dt
|ˆ
x(t)	 y(t)	
Exemplo	
b)Sabemos	que		 vm = �x�t �vmt1�t2 =
�r(t2)� �r(t1)
t2 � t1
�vm0�2 =
�r(2)� �r(0)
2
�r(t) = 2t2 ıˆ� (4t+ 3)�ˆ
�r(2) = 2.22 ıˆ� (4.2 + 3)�ˆ = 8ıˆ� 11�ˆ
Com	as	componentes	
em	m	
�r(0) = 2.02 ıˆ� (4.0 + 3)�ˆ = �3�ˆ
0	
�vm0�2 =
8ıˆ� 11�ˆ� (�3�ˆ)
2
� �vm0�2 = 4ıˆ� 4�ˆ Com	as	componentes	
em	m/s	
|�vm0�2| =
�
v2mx + v2my =
�
42 + (�4)2 = �32 � 5,7m/s �v(2s) �= �vm0�2
Atenção:	Velocidade	é	um	vetor!	Tem	módulo	direção	e	sentido	
Atenção:	Mas	a	componente	y	é	a	mesma…	
Aceleração	média	
•  De	novo	cinemática+vetores	
•  Aceleração	média	
•  É	um	vetor	que	tem	direção	do	vetor	diferença	
de	velocidade	
�am � ��v�t =
�v2 � �v1
t2 � t1
Aceleração	instantânea	
•  Limite	da	aceleração	média	com	Δtè0	
•  É	um	vetor	que	é	a	derivada	da	velocidade	
•  Em	geral	é	uma	função	do	tempo	
�a � lim
�t�0
��v
�t
=
d�v
dt
�a(t) = ax(t)ˆı+ ay(t)�ˆ+ az(t)kˆ
~a(t) =
dvx
dt
ıˆ+
dvy
dt
|ˆ+
dvz
dt
kˆ =
d2x
dt2
ıˆ+
d2y
dt2
|ˆ+
d2z
dt2
kˆ
Aceleração	
•  No	exemplo	anterior	
•  Aceleração	constante	
•  Porque	não	é	MRUV?	
•  Aceleração	(velocidade	e	posição)	é	um	vetor!	
•  Componentes	são	independentes	
�v(t) = 4tˆı� 4�ˆ
~a =
d~v
dt
=
dvx
dt
ıˆ+
dvy
dt
|ˆ
vx	 vy	
) ~a = 4ıˆ
Com	a	componente	
em	m/s2	
�r(t) = 2t2 ıˆ� (4t+ 3)�ˆ
Aceleração	
•  Em	x	
•  ax	é	constante	
•  A	componente	x	descreve	um	MRUV	
•  Em	y	
•  vy	é	constante	
•  A	componente	y	descreve	um	MRU	
ax = 4m/s
2; vx(t) = 4t;x(t) = 2t
2
vx(t) = axt;x(t) =
ax
2
t2
ay = 0; vy(t) = �4m/s;x(t) = �3� 4t
y(t) = y0 + vyt
Aceleração	
•  Movimento	 retilíneo	 é	
um	 caso	 particular	 em	
q u e	 v e l o c i d a d e	 e	
aceleração	 tem	 a	mesma	
direção	
•  S e 	 a c e l e r a ç ã o	 é	
constante	
•  Se																		tem	mesma	
d i r eção ,	 ve loc idade	
s e m p r e	 n a	 m e s m a	
direção	
~v = ~v0 + ~at
~a e~v0
!v0
!at
!v
!v0
!at
!v
~a =
d~v
dt
Vetores	
•  Cuidado:	 como	 a	 aceleração	 é	 um	 vetor,	 ela	
pode	 mudar	 módulo,	 direção	 e	 sentido	 da	
velocidade!	
•  Cuidado:	 como	 a	 velocidade	 é	 um	 vetor,	 ela	
pode	 mudar	 módulo,	 direção	 e	 sentido	 da	
posição!	
•  Mesmo	no	movimento	uniformente	variado	
•  																																NÃO	significa	que		
	
~v = ~v0 + ~at |~v| = |~v0|+ |~a|t
A	não	ser	que	seja	retilíneo	
Movimento	de	projéteis	
•  Projétil:	 É	 um	 objeto	 sujeito	 à	 queda	 livre	 na	
proximidade	da	Terra	
•  Consideramos	a	Terra	plana	
•  Desprezando	resistência	do	ar	
•  Galileu	observou	que	todos	os	corpos	sofrem	a	
mesma	aceleração	devido	à	gravidade	
•  Movimento	 uniformemente	 variado	 com	
aceleração	
Seção	3.6	
~a = ~g
~g
Movimento	de	projéteis	
•  Aceleração	da	gravidade	
•  1o	passo	para	resolução?	
•  Escolha	sistema	de	eixos	
•  Existe	mais	de	uma	opção	e	
resultado	físico	não	pode	
depender	dela	
•  Escolhendo,	por	exemplo	
chão	
~a = ~g
y	
x	0	
~a = �g|ˆ
Em	Física	I,	exceto	quando	se	disser		
o	contrário	g=9,8	m/s2	
Movimento	de	projéteis	
•  Estamos	trabalhando	com	
vetores	
•  Componentes	
independentes	
•  ax=0	èMovimento	
uniforme	em	x	
•  Em	y:	uniformemente	
variado	com	ay=-g	
chão	
~a = ~g
y	
x	0	
~a = �g|ˆ
y(t) = y0 + v0yt� 1
2
gt2 ; vy(t) = v0y � gt
Com	a	escolha	de	t0=0	
x(t) = x0 + v0xt; vx(t) = v0x
Movimento	de	projéteis	
•  Trabalhando	vetorialmente	
•  E	
chão	
~a = ~g
y	
x	0	
~a = �g|ˆ~v = vx(t)ˆı+ vy(t)|ˆ = v0x ıˆ+ (v0y � gt) |ˆ
~v = ~v0 + ~gt
~r(t) = (x0 + v0xt) ıˆ+
✓
y0 + v0yt� 1
2
gt2
◆
|ˆ
~r(t) = x(t)ˆı+
y(t)|ˆ
~r(t) = ~r0 + ~v0t+
1
2
~gt2
Trajetória	
•  Qual	a	trajetória	de	um	
projétil?	
•  Eliminamos	 o	 tempo	
das	equações	
•  Equação	da	parábola	
•  Concav idade	 para	
baixo	
x(t) = x0 + v0xt; y(t) = y0 + v0yt� gt
2
2
t =
x� x0
v0x
) y = y0 + (x� x0)v0y
v0x
� g
2v20x
(x� x0)2
y	
x	
~v0
Trajetória	
•  Decomposição	
•  Nesse	caso	x0=0	
•  Velocidade	é	sempre	
tangente	
•  No	ponto	de	altura	
máxima?	
y	
x	
~v0
θ	
v0x = |~v0| cos ✓; v0y = |~v0|sen✓
y0	
~v
~v
~v
vy = 0) ~v = v0x ıˆ
Sugestão	de	exercício:	mostre	que,	em		
um	lançamento	de	projétil	do	chão,	o	objeto		
atinge	novamente	o	chão	a	uma	distância	
d =
v20sen2✓
g
Independência	de	
movimento	
•  Considere	 2	 projéteis	
q u e	 c o m e ç a m	 o	
movimento	 do	 mesmo	
ponto,	 com	mesma	 v0y	
mas	v0x	diferentes	
•  Em	 y	 o	 movimento	
deve	ser	igual	
Independência	de	
movimento	
•  Considere	 2	 projéteis	
q u e	 c o m e ç a m	 o	
movimento	 do	 mesmo	
ponto,	 com	mesma	 v0y	
mas	v0x	diferentes	
•  Em	 y	 o	 movimento	
deve	ser	igual	
Exercício	
Uma	pedra	é	lançada	do	topo	de	um	prédio,	com	uma	
velocidade,	de	módulo	20	m/s,	que	faz	um	ângulo	de	30o	
acima	da	horizontal.	Sabe-se	que	a	altura	do	prédio	é	de	
45	metros.	
a)Quanto	tempo	a	pedra	leva	para	atingir	o	solo?	
b)	A	que	distância	horizontal	a	partir	do	ponto	de	
lançamento	a	pedra	atinge	o	solo?		
c)	qual	a	velocidade	da	pedra	ao	atingir	o	solo?	
d)Qual	o	deslocamento	da	pedra	entre	os	instantes	inicial	
e	aquele	no	qual	ela	atinge	o	chão?	
Exercício	
Escolhendo	 a	 origem	 do	
s istema	 de	 e ixos	 de	
maneira	a	coincidir	 com	a	
posição	inicial	da	pedra	
Condições	iniciais:	
	
Coordenadas	da	pedra	
x0 = y0 = 0
v0x = v0 cos ✓; v0y = v0sen✓
x(t) = x0 + v0xt = v0 cos ✓t
y(t) = y0 + v0yt� gt
2
2
= v0sen✓t� gt
2
2
Exercício	
a)Tempo	de	queda?	
Quando	 atinge	 o	 solo	 y=-
h=-45	m	
Isso	ocorre	no	instante	tq	
	
y(t) = v0sen✓t� gt
2
2
x(t) = v0 cos ✓t
y(tq) = �h) �h = v0sen✓tq �
gt2q
2
g
2
t2q � v0sen✓tq � h = 0
Bhaskara	
ax2 + bx+ c = 0) x = �b±
p
b2 � 4ac
2a
a	 b	 c	
Exercício	
a)	
	
	
	
b)Distância	horizontal	
percorrida?	
Vale																							?		
tq =
10 +
p
100 + 90.9,8
9,8
v0sen30
o = 20.
1
2
= 10m/s
tq =
v0sen30o +
p
v20sen
230o + 2gh
g
Não	faz	sentido	falar	em	t<0	
tq ⇡ 4,2 s
d =
v20sen2✓
g Cuidado	com	fórmulas	decoradas.	Esse	alcance	só	vale	
quando	o	projétil	volta	a	mesma	altura	original	
Física	não	é	decorar	fórmulas!!!!	
Exercício	
b )	 A	 d i s t â n c i a	 é	 a	
p e r c o r r i d a	
horizontalmente	 até	 o	
instante	tq	
	
	
c)Velocidade	é	um	vetor	
	
y(t) = v0sen✓t� gt
2
2
x(t) = v0 cos ✓t
d = x(tq) = v0 cos 30
otq ⇡ 20.
p
3
2
.4,2
d ⇡ 73m
~v = vx(t)ˆı+ vy(t)|ˆ
Exercício	
c)	Em	x	MU	e	em	y	MUV	
	
	
Atinge	o	solo	em	tq=4,2	s	
	
	
d)Deslocamento?	
	
	
	
y(t) = v0sen✓t� gt
2
2
x(t) = v0 cos ✓t
vx(t) = v0x = v0 cos 30
o
vy(t) = v0y � gt = v0sen30o � gt
Com	as	componentes	em	m/s		
�~r = ~r(tq)� ~r(t = 0) = dıˆ� h|ˆ
�~r = 73mıˆ� 45m|ˆ
vy(t) = 10� 9.8⇥ 4, 2
~v(tq) = 17,3ıˆ� 31,2|ˆ
Aula	passada	
•  Cinématica	em	2	(e	3)	dimensões:	cinemática	
1D	+	vetores	
•  Velocidade	 é	 a	 taxa	 de	 variação	 do	 vetor	
posição	e	a	aceleração	a	do	vetor	velocidade	
•  Componentes	independentes	
•  Projéteis	
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
ıˆ+
dy(t)
dt
|ˆ ~a =
d~v
dt
=
dvx
dt
ıˆ+
dvy
dt
|ˆ
Exercício	Y&F	70	
Um	 estudante	 está	 sentado	 sobre	 uma	
plataforma	 a	 uma	 altura	 h	 acima	 do	 solo.	 Ele	
lança	 um	 rojão	 com	 uma	 velocidade	 horizontal	
de	 módulo	 v.	 Entretanto,	 devido	 ao	 vento	 que	
sopra	 paralelamente	 ao	 solo,	 o	 artefato	 possui,	
durante	 todo	 seu	 movimento	 de	 queda,	 uma	
aceleração	horizontal	de	módulo	a.	 Isso	faz	com	
que	 o	 rojão	 caia	 no	 chão	 diretamente	 sob	 o	
estudante.	Determine	a	altura	h	em	termos	de	v,	
a	e	g.	
Exercício	Y&F	70	
•  É	projétil?	NÃO!	
•  Aceleração	horizontal	a	
•  Componente	y:	
•  Componente	x:	
•  Atinge	o	solo	exatamente	sob	o	estudante	
y	
x	
h	
v	
y(t) = h� gt
2
2
Componentes	independentes	
x(t) = vt� at
2
2
x(tq) = y(tq) = 0
Exercício	Y&F	70	
•  Portanto	
•  Mesmo	de	projétil	(componentes	independentes)	
•  Por	outro	lado	
•  Elevando	ao	quadrado	
y(tq) = 0) h�
gt2q
2
= 0) tq =
s
2h
g
x(tq) = 0) vtq �
at2q
2
= 0) v
s
2h
g
= a
h
g
v2
2h
g
= a2
h2
g2
) h = 2gv
2
a2
Movimento	Circular	
•  O	movimento	circular	é	
a q u e l e	 em	 q u e	 a	
trajetória	 do	 objeto	
estudado	 é	 um	 círculo	
( o u	 um	 a r c o )	 d e	
mesmo	raio	
•  É	 um	movimento	 em	 2	
dimensões	
•  Escolhendo	 a	 origem	
no	centro	da	trajetória	
Seção	3.7	
y	
x	
Movimento	Circular	
•  Em	 um	 d e t e rm i n a d o	
instante	
•  Raio	da	trajetória	r	
•  Vetor	posição	
•  Raio	é	sempre	o	mesmo	
•  Apenas	 com	 o	 ângulo	 θ	 a	
posição	fica	determinada	
y	
x	
r	
�r(t) = r cos [�(t)]ˆı + rsen[�(t)]�ˆ
θ	
Movimento	Circular	
•  Estamos	 trabalhando	 com	 o	
sistema	de	eixos	cartesianos	
•  Nesse	 caso	 é	mais	 adequado	
definir	um	outro	 conjunto	de	
vetores	unitários	
•  	 	 :	 vetor	 unitário	 que	 vai	
sempre	 da	 origem	 ao	 ponto	
onde	 se	 encontra	 o	 objeto	
estudado	
•  Tem	mesma	direção	do	vetor	
posição	(por	construção)	
y	
x	
r	
�r(t) = r cos [�(t)]ˆı + rsen[�(t)]�ˆ
θ	
rˆ
�r = rrˆ
Movimento	Circular	
•  Mesmo	 vetor	 escrito	 em	
diferentes	 sistemas	 de	
cordenadas	
•  	 tem	 mesma	 direção	 do	
vetor	posição	mas	é	unitário	
y	
x	
r	
�r(t) = r cos [�(t)]ˆı + rsen[�(t)]�ˆ
θ	
�r = rrˆ
rˆ
rˆ =
�r
|�r| =
�r
r
rˆ = cos �ıˆ+ sen��ˆ
rˆ · rˆ = cos2 � + sen2� = 1
(ˆı · ıˆ = �ˆ · �ˆ = 1 ; ıˆ · �ˆ = 0)
rˆ
Movimento	Circular	
•  Precisamos	 de	 um	 outro	
unitário	para	ter	um	sistema	
de	coordenadas	
•  Um	 vetor	 unitário	 que	 seja	
perpendicular	a	
•  Chamaremos	de		
y	
x	
r	
�r(t) = r cos [�(t)]ˆı + rsen[�(t)]�ˆ
θ	
�r = rrˆ
rˆ
rˆ
rˆ
�ˆ
rˆ · �ˆ = 0
�ˆ = �x ıˆ+ �y �ˆ ...
�ˆ = �sen�ıˆ + cos ��ˆ
rˆ = cos �ıˆ+ sen��ˆ
�ˆ · �ˆ = 1
�ˆ
Movimento	Circular	
•  Essas	 são	 as	 coordenadas	
polares	(r,θ)	
•  D i f e r e n t e	 d o s	 e i x o s	
cartesianos,	os	unitários	das	
coordenadas	polares	variam	
com	o	tempo!	
•  Quem	é	a	velocidade?	
•  S e m p r e	 t a n g e n t e	 à	
trajetória	
y	
x	
r	
θ	
�r = rrˆ
rˆ = cos �ıˆ+ sen��ˆ
�ˆ = �sen�ıˆ + cos ��ˆ
rˆ
�ˆ
θ	
Vetor	é	sempre		
tangente	a	trajetória	
Vetor	é	sempre		
radial	a	trajetória	
�v = v� �ˆ
Movimento	circular	
•  Se	o	movimento	ocorre	no	
sentido	anti-horário	
•  vθ>0	(no	mesmo	sentido	
de				)	
•  Se	o	movimento	ocorre	no	
sentido	horário	
•  vθ<0	(sentido	contrário	ao	
de				)	
•  No	movimento	circular	vr=0	
	
y	
x	
θ	�r
�r = rrˆ
�v = v� �ˆ
�v�ˆ
�ˆ
Movimento	circular	
uniforme	
•  O	 movimento	 circular	
uniforme	 (MCU)	 é	 o	
movimento	 circular	 no	
q u a l	 o	 mód u l o	 d a	
velocidade	é	constante	
•  Atenção:	a	velocidade	no	
movimento	circular	muda	
de	direção	o	tempo	todo	
•  No	 MCU	 apenas	 seu	
módulo	é	constante	
•  Descrição	do	movimento?	
•  Velocidade	é	tangencial	
sempre	
•  O	 arco	 de	 círculo	 percorrido	
em	função	do	tempo	|�v| = constante
�v �= constante
s(t) = r�(t)
r	
θ	
s	
O	ângulo	θ	deve	ser	expresso	em	radianos	
Movimento
Circular	
Uniforme	
•  O	 arco	 é	 percorrido	
devido	 à	 velocidade	
tangente	à	trajetória	
•  Definimos	 a	 velocidade	
angular	
•  Taxa	 de	 variação	 do	
ângulo	θ
•  No	 MCU,	 módulo	 da	
velocidade	é	uniforme	
•  A	velocidade	angular	é,	
portanto,	constante	
•  MCU:	 objeto	 percorre	
ângu los	 igua is	 em	
intervalos	iguais	
v =
ds
dt
= r
d�
dt
s(t) = r�(t)
� =
d�
dt
v = �r
� = constante
�(t) = �0 + �t
MCU	
•  Sempre	 leva	 o	 mesmo	
tempo	para	dar	1	volta	
•  Qual	o	período	T?	
•  θ(T)-θ0=2π (uma	 volta	
completa)
•  Frequência	 de	 rotação	
(quantas	 voltas	 por	
intervalo	de	tempo)	
•  Unidade	de	ω	SI:	rad/s	
•  Ponteiro	de	minuto	do	
relógio	(1	volta	a	cada	
60	s)	
�(t) = �0 + �t
T =
2�
�
=
2�r
v r	
θ	
�v
f =
1
T
� =
2�
60
� 0,1 rad/s
Aceleração	no	MCU	
•  No	MCU	
•  M ó d u l o	 d e 	 v 	 é	
constante	 mas	 direção	
muda	
•  Se	 velocidade	 varia	 há	
aceleração!	
•  Aceleração	 é	 a	 taxa	 de	
variação	da	velocidade	
•  Velocidade	 não	 muda	
de	módulo	
•  No	MCU	
r	
θ	
�v
�v = �r�ˆ
�a =
d�v
dt
�a � �v
a� = 0� �a = ar rˆ
�v(t+�t) = �v(t) + �a�t
Aceleração	no	MCU	
•  Quem	é	ar?	
•  Recapitulando	
•  Por	outro	lado	
•  Então	
•  Finalmente	
�a = ar rˆ
�r = rrˆ ; �v = �r�ˆ
�v =
d�r
dt
=
d
dt
(rrˆ)
constante	
�v = r
drˆ
dt
= r��ˆ
drˆ
dt
= ��ˆ
analogamente
d�ˆ
dt
= ��rˆ
�a =
d�v
dt
=
d
dt
�
�r�ˆ
�
constante	
�a = �r
d�ˆ
dt
�a = ��2rrˆ = �v
2
r
rˆ
Aceleração	centrípeta	
•  Sinal	 de	 –	 indica	 que	 o	
v e t o r	 a c e l e r a ç ã o	
aponta	 para	 o	 centro	
do	círculo	
•  Por	 isso	 é	 chamada	 de	
aceleração	centrípeta	
�v
�a = ��2rrˆ = �v
2
r
rˆ
�a
Movimento	circular	
qualquer	
•  No	MCU	
•  E	 se	 o	 movimento	 for	
c i r c u l a r 	 m a s 	 n ã o	
uniforme	 (módulo	 de	 v	
muda)?	
•  Vetor	 posição	 não	 muda	
(trajetória	é	um	círculo)	
	
•  O	 vetor	 velocidade	 não	
muda	 (continua	 sendo	
tangente	à	trajetória)	
•  Mas	 ω	 n ã o	 é	 ma i s	
constante	 (v	 muda	 de	
módulo)	
•  É	 preciso	 haver	 uma	
componente	 tangencial	
da	aceleração	
•  Componente	 radial	 é	 a	
me sma	 ( a c e l e r a ç ão	
centrípeta)	
Seção	3.8	
�r = rrˆ ; �v = ±�r�ˆ ; �a = ��2rrˆ
Dependendo	se	o	movimento	é	
no	sentido	horário	ou	anti-horário	
�a = ��2rrˆ + dv
dt
�ˆAceleração	centrípeta	é	a	componente	
radial	da	aceleração	em	coordenadas	polares	
Exercício	
3.19)	 Com	 que	 velocidade	 linear	 estamos	 nos	
movendo	devido	à	rotação	da	Terra	em	torno	do	
seu	 eixo,	 se	 estivermos	 na	 Linha	 do	 Equador?	
Qual	 seria	 a	 nossa	 aceleração	 centrípeta?	
Exprima	essa	aceleração	como	um	percentual	de	
g.	
•  Estamos	em	movimento	circular	uniforme	de	
raio	=	Raio	da	Terra	
RT ⇡ 6400 km
Exercício	
•  Período	do	movimento?	
•  24	horas=24x60x60=86400	segundos	
•  Aceleração	centrípeta	
T =
2�
�
=
2�RT
v
� v = 2�RT
T
v =
2.3,14� 6400� 103
86400
� v � 465m/s
ar =
v2
RT
� 465
2
6400� 103 � 0,034m/s
2
ar � 0,34%g E	no	Rio,	é	a	mesma	coisa?	
Velocidade	Relativa	
•  Primeiro	 passo	 para	 tratar	 um	 problema	 em	
mecânica	é	a	definição	do	referencial	
•  Até	 agora	 o	 observador	 (quem	 observa	 o	
movimento)	estava	sempre	parado	
•  E	se	o	observador	está	também	em	movimento?	
•  Quando	 você	 está	 dentro	 de	 um	 avião,	 a	 pessoa	
ao	seu	lado	está	parada	em	relação	a	você…	
Seção	3.9	
Velocidade	relativa	
•  Suponha	2	partículas	que	
se	 movem	 em	 relação	 a	
origem	 O	 de	 um	 sistema	
de	eixos.	
•  Em	 um	 dado	 instante	 as	
posições	das	parículas	em	
relação	 a	 uma	 mesma	
origem	O	são							e																		
•  A	posição	de	2	em	relação	
a	1	é	
•  L emb r a n d o	 q u e	 a s	
posições	são	vetores	
�r1 �r2
y	
x	0	
�r1
�r2
�r12 = �r2 � �r1
�r12
Velocidade	relativa	
•  A	 velocidade	 de	 2	 em	
relação	a	1	será	
•  Obs:	 esse	 resultado	 só	
vale	 para	 velocidades	
de	1	e	2	constantes	
y	
x	0	
�r1
�r2
�r12 = �r2 � �r1
�r12
�v12 =
d�r12
dt
=
d�r2
dt
� d�r1
dt
�v12 = �v2 � �v1
Exercício	
Um	 barco	 parte	 de	 uma	 margem	 de	 um	 rio,	
direcionando	 o	 barco	 na	 direção	 Norte.	 Sua	
velocidade	em	 relação	 à	 água	é	de	 10	 km/h,	 e	o	 rio	
tem	 uma	 velocidade	 de	 5km/h	 em	 relação	 à	 Terra.	
Determine	 a	 velocidade	 do	 barco	 relativa	 a	 um	
observador	parado	em	uma	das	margens.		
a)Se	 a	 largura	 do	 rio	 é	 de	 3km,	 quanto	 tempo	 ele	
leva	para	atravessá-lo?		
b)Se	o	barco	faz	a	travessia	em	uma	direção	
perpendicular	à	margem,	quanto	tempo	leva	a	
travessia?	
Exercício	
a)A	 velocidade	 do	 barco	
em	relação	à	água	é	
�vba = �vb � �va
Velocidade	do	barco	
em	relação	ao	observador	
Velocidade	a	água	
em	relação	ao	observador	
~vb = ~va + ~vba
~vba
~va
~vb
x	
y	
~vb = 5ıˆ+ 10|ˆ
Componentes	em	km/h	
Em	módulo		 |~vb| =
p
52 + 102 ⇡ 11,2 km/h
Exercício	
•  Quanto	tempo	demora	
a	travessia?	
•  D e s l o c a m e n t o	 e	
velocidade	são	vetores	
•  Só	 nos	 impor ta	 a	
componen te	 y	 do	
movimento	(MU)	
~vba
~va
~vb
x	
y	
~v =
�~r
�t
) vy = �y
�t
Δy=3km	
�t =
�y
vy
=
3
10
= 0,3 h = 18min
Exercício	
b ) A t r a v e s s a	
p e r p e n d i c u l a rmen t e	 à	
margem	
•  Velocidade	 da	 água	 em	
relação	à	margem	
•  Qual	deve	ser	a	velocidade	
do	 barco	 em	 relação	 à	
água?	
x	
y	
~vb
~vb = ~va + ~vba
~va
~vba
~vba = �vbasen✓ıˆ+ vba cos ✓|ˆ
θ
~va = va ıˆ ) ~va + ~vba = vb|ˆ ) vbasen✓ = va
Exercício	
•  Portanto	
•  Portanto	
•  E	
x	
y	
~vb
~vb = ~va + ~vba
~va
~vba
θ
vbasen✓ = va
sen✓ =
va
vba
=
5
10
sen✓ =
1
2
) ✓ = 30o
vb = vba cos ✓ = 10 cos 30
o
�t =
�y
vb
=
3
5
p
3
vb = 5
p
3 km/h
�t ⇡ 0,35 h ⇡ 21min Por	que	maior	que		
no	primeiro	caso?