Aula 05 - Equações com Coeficientes Constantes e Homogeneas

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EDO’s de 2ªOrdem: Equações 
Lineares Homogêneas com 
Coeficientes Constantes
Aula 05 – Equações Diferenciais
Professor: Éwerton Veríssimo
EDO de 2ª ordem
Uma equação diferencial de segunda ordem pode ser 
escrita como
)()()()( 012
2
2 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa 







dx
dy
yxf
dx
yd
,,
2
2
No caso de uma equação linear de segunda ordem, a 
escrita é da forma
EDO de 2ª Ordem
Dividindo por , obtemos uma forma mais usual 
para equação linear de 2ª ordem que assume a forma 
)()()(
²
²
xfxq
dx
dy
xp
dx
yd

em que p, q e f são funções dadas e contínuas em um 
intervalo aberto I .
)(2 xa
)()(')('' xfxqyxpy 
ou
Teorema da Existência
e Unicidade (T.E.U)
em todo o intervalo I.








00
00
')('
)(
)()(')(''
xxy
xxy
xfxqyxpy
Sejam p, q e f contínuas em um intervalo aberto I, que 
contém o ponto . Então, existe uma única solução 
para o PVI
0x
Teorema da Existência
e Unicidade (T.E.U)
em todo o intervalo I.
Sejam contínuas em um intervalo aberto I, 
que contém o ponto . Então, existe uma única 
solução para o problema
)(')()( 1
)2(
2
)1(
1
)( xfypypyxpyxpy nn
nnn  
 
sujeito às condições iniciais
0x
)1(
00
)1(
0000 )(,,')(',)(
  nn yxyyxyyxy 
nppp ,, 21
Equações Homogêneas
Definição: Uma equação diferencial de 2ª ordem é 
dita homogênea, se f(x) = 0, assumindo a forma
0)(')(''  xqyxpy
Exemplo: A equação é uma EDO 
linear de segunda ordem homogênea.
05'3''2  yyy
Exemplo2: A equação é uma 
EDO linear de segunda ordem não homogênea.
xeyxyxxy 2³7'²2''3 
Equações Homogêneas
Exemplo: A equação é uma 
EDO linear de quinta ordem homogênea.
02'5''25 )5(  yyyy
Exemplo2: A equação é uma 
EDO linear de terceira ordem não homogênea.
xyxyxxy 57''²2'''3 4 
0')()( 1
)2(
2
)1(
1
)(  
 ypypyxpyxpy nn
nnn 
De modo geral, uma EDO de ordem é 
homogênea quando escrita na forma
2n
Dependência e 
Independência Linear
admite .
nici ,...,1,0,0 
Um conjunto de funções é dito linearmente 
independente(L.I) em um intervalo I se a equação
0)(...)()( 2211  xfcxfcxfc nn
Note que, se existir pelo menos uma constante não 
nula, então o conjunto de funções será linearmente 
dependente(L.D). 
Dependência e 
Independência Linear
As funções
Exemplo:
são L.D no intervalo , pois a equação
xsenxxfxsenxf cos)(;2)( 21 
  ,
0cos2 21  xsenxcxsenc
é satisfeita para 
1
2
1
21  cec
Dependência e 
Independência Linear
1. Determine se as funções dadas são LD ou LI em 
.
²34)(²,)(,)( 321 xxxfxxfxxf 
c.
a.
b.
Exercício:
  ,
xxfxfxxf ²cos)(,1)(,2cos)( 321 
xexfxxfxf  )(,)(,0)( 321
Princípio da Superposição
de Soluções
em que são soluções em um intervalo I, 
então a combinação linear 
Dada a equação de segunda ordem 
2211 ycycy 
também é solução da equação diferencial
21 yey
0)(')(''  xqyxpy
Princípio da Superposição
de Soluções
As funções
Exemplo:
são soluções para a EDO homogênea
xxfsenxxf cos)(;)( 21 
0''  yy
Pelo princípio da superposição, a combinação linear
xcsenxcy cos21 
é solução da EDO no intervalo 
  ,
Princípio da Superposição
de Soluções
em que são soluções em um intervalo I, 
então a combinação linear 
nn ycycycy  2211
também é solução da equação diferencial
nyyy ,, 21
0')()( 1
)2(
2
)1(
1
)(  
 ypypyxpyxpy nn
nnn 
Dada a EDO de ordem
2n
Wronskiano – Solução de
Equações Homogêneas
Se são linearmente dependentes e 
possuem n-1 derivadas em um intervalo I, então o 
wronskiano, denotado por , será
))(),...,(),(( 21 xfxfxfW n
),...,,( 21 nfff
Teorema:
0
'''
)1()1(
2
)1(
1
21
21

 n
n
nn
n
n
fff
fff
fff




para todo .
Ix
Wronskiano – Solução de
Equações Homogêneas
Suponha que são L.D. Daí, resulta que:
),( 21 ff
Ixxfcxfc  ,0)()( 2211
Derivando essa combinação, obtemos o seguinte 
sistema





0)(')('
0)()(
2211
2211
xfcxfc
xfcxfc
Demonstração:
Wronskiano – Solução de
Equações Homogêneas





12211
02211
)(')('
)()(
bafcafc
bafcafc
Impondo condições iniciais :
10 )(',)( baybay 
Ix
ff
ff
xfxfW  ,0
''
))(),((
21
21
21
é possível obter a única solução do sistema para 
qualquer , se o determinante 
Ia
Wronskiano – Solução de
Equações Homogêneas
2. Mostre, através do Wronskiano, que as funções 
dadas são LI no intervalo indicado.
 ,0²;, xx
c.
a.
b.
Exercício:
 ,0,seccos, xsenx
  ,,, 4xxx eee
Solução Geral de Equações
Homogêneas 
Sejam soluções LI para a EDO linear homogênea
21, yy
Definição
em que p e q são contínuas em um intervalo I. Então a 
solução geral para a equação no intervalo é definida 
por
0)(')(''  xqyxpy
)()( 2211 xycxycy 
onde são constantes arbitrárias.
21 cec
Solução Geral de Equações
Homogêneas 
Sejam soluções LI para a EDO linear 
homogênea
nyyy ,, 21
)()()( 2211 xycxycxycy nn
onde são constantes arbitrárias.
nccc ,,, 21 
0')()( 1
)2(
2
)1(
1
)(  
 ypypyxpyxpy nn
nnn 
em que são contínuas em um intervalo I. 
Então a solução geral para a equação no intervalo é 
definida por
nppp ,, 21
Wronskiano – Solução de
Equações Homogêneas
3. Verifique que as funções dadas formam um 
conjunto fundamental de soluções para a equação 
diferencial no intervalo indicado. Determine a 
solução geral.
   ,;,012''' 43 xx eeyyy
c.
a.
b.
Exercício:
  ,,2,2cos;05'2'' xsenexeyyy xx
  ,0,,;012'6''² 43 xxyxyyx
Equações com Coeficientes
Constantes
mxey 
0''' 012
)1(
1
)(   yayayayaya
n
n
n
n 
Então, a n-ésima derivada de y será:
mxnn emy )(
 i
Considere uma EDO linear homogênea de ordem 
com coeficientes constantes 
2n
Note que, vamos procurar determinar soluções para 
EDO na forma
 i
Equações com Coeficientes
Constantes
denominada equação característica da EDO.
001
1
1 

 amamama
n
n
n
n 
Substituindo numa EDO de 2ª ordem, observe que
Daí, resulta por simplificação que a equação 
característica será escrita como:
001
2
2 
mxmxmx eameaema
001
2
2  amama
Substituindo e simplificando na EDO , temos que: 
 i
Equação Característica –
Raízes Reais Distintas
são soluções para a EDO.
Se são soluções da equação característica,
então: 
xmxm
eyey 21 21 ; 
A solução geral para a EDO de 2ªordem pode ser 
expressa como: 
21 mem
xmxm
ececy 21 21 
Equação Característica –
Raízes Reais Iguais
são soluções para a EDO linear homogênea.
Se é raiz da equação característica de multiplicidade 
k, então:
xmk
k
xmxm
exyxeyey 111 121 ,,,
 
Note que, a solução geral para a EDO de 2ªordem pode 
ser expressa como: 
1m
xmxm
xececy 11 21 Equação Característica –
Raízes Reais Complexas
em que são reais e 
Se são raízes complexas da equação 
característica, então
 imim  21 ;
Utilizando a fórmula de Euler, obtemos
 isenei  cos
21 mem
 e .1² i
Equação Característica –
Raízes Reais Complexas
Neste caso, escrevemos a solução geral de forma 
alternativa como
Sabemos que a solução geral para EDO de 2ª ordem é
da forma
xsenecxecy xx   21 cos 
xmxm
ececy 21 21 
Equações com Coeficientes
Constantes
4. Encontre a solução geral para a equação 
diferencial dada.
0'''4  yy
c.
a.
b.
Exercício:
036''  yy
09''  yy
d.
06'''  yyy
e.
0168
²
²
 y
dx
dy
dx
yd
Equações com Coeficientes
Constantes
5. Resolva a equação diferencial dada sujeita às 
condições iniciais indicadas.
2)0(',2)0(,016''  yyyy
c.
a.
b.
Exercício:
3)0(',0)0(,05'6''  yyyyy
0)0(',1)0(,0'2''2  yyyyy