Função 1

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CÁLCULO I
CAPÍTULO 1 – OS LIMITES SÃO APLICADOS 
NAS DIVERSAS CIÊNCIAS?
Oswaldo Luiz Cobra Guimarães
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Introdução
Neste capítulo, estudaremos um importante operador do Cálculo I: o limite de uma função. Com o estudo de
limites, podemos compreender o comportamento de funções nas proximidades de um ponto de interesse, assim
como é possível definir importantes operadores matemáticos do Cálculo, como derivadas e integrais, além de
estudarmos sobre a continuidade de funções.
Contudo, mesmo que uma função não exista em um dado ponto, podemos estudar as vizinhanças deste? Você
sabia que podemos interpretar o comportamento de funções no infinito? Imagine a seguinte situação: desejamos
calcular o que ocorre com uma epidemia quando o tempo tende a um valor cada vez maior. Como poderíamos
calcular o resultado? Como poderíamos saber quantas pessoas estariam infectadas?
A aplicação de limites surge como uma ferramenta matemática que é capaz de ajudar a solucionar problemas de
natureza diversas. Entretanto, antes de estudarmos limites, faremos uma revisão sobre funções matemáticas.
Além de limites, também analisaremos aspectos de continuidade de funções, definindo as condições para que
uma função seja contínua em um dado ponto. O estudo de continuidade é fundamental no Cálculo,
principalmente na definição de derivadas e integrais.
Vamos em frente!
1.1 Revisão de funções
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Essencialmente, uma função é uma relação
entre conjuntos. As funções matemáticas estão presentes em nosso cotidiano, mesmo que não percebamos.
Quando ouvimos que nosso salário precisa ser reajustado em função da inflação anual, por exemplo, estamos
intuitivamente usando o conceito de função matemática. Já quando o médico nos diz que a febre de uma pessoa
está relacionada com certa doença ou quando lemos no noticiário que a epidemia de dengue está relacionada
com as condições ambientais, estamos relacionando grandezas ou quantidades.
Assim, temos que uma função relaciona grandezas, sendo que cada grandeza pertencente a um conjunto.
Mas como podemos representar uma função?
Uma função pode ser representada numericamente, em tabelas, por fórmulas algébricas e graficamente.
Observe a Tabela a seguir, que relaciona a distância percorrida por um carro.
VOCÊ O CONHECE?
Gottfried Wilhelm von Leibniz provavelmente foi o primeiro matemático que usou o termo
“função” em 1694. Leibniz também é considerado um dos inventores do Cálculo, junto com
Isaac Newton. Na verdade, os dois sistematizaram muitos dos conhecimentos já existentes e
desenvolveram poderosas ferramentas, como a derivada de uma função. Para saber mais sobre
este brilhante matemático e filósofo, acesse: < >.http://ecalculo.if.usp.br/historia/leibniz.htm
http://ecalculo.if.usp.br/historia/leibniz.htm
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Tabela 1 - Valores de distância percorrida por um carro.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Na tabela, temos que os valores de tempo representam o conjunto domínio da função, enquanto que os valores
de distância percorrida representam a imagem da função. Desta forma, podemos estabelecer o conjunto domínio
e o conjunto imagem:
A distância percorrida pelo carro é função do tempo. Vamos representar a distância percorrida pelo carro em um
gráfico, conforme vemos a seguir.
Figura 1 - Gráfico da distância percorrida pelo carro.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Assim, temos que a distância percorrida pode ser analisada numericamente (com tabelas) e graficamente. A
função, entretanto, também pode ser representada algebricamente por uma fórmula. Ao obtermos esta fórmula,
estamos obtendo o modelo matemático do processo ou fenômeno em estudo.
Realçamos que, na matemática, existem alguns métodos que possibilitam a obtenção de modelos matemáticos,
entre eles, o ajuste de curvas pelo método de mínimos quadrados, o qual não é objeto de estudo deste livro.
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entre eles, o ajuste de curvas pelo método de mínimos quadrados, o qual não é objeto de estudo deste livro.
Vamos focar, então, em definir o que é uma função: ela pode ser vista como sendo uma relação que associa
elementos de dois conjuntos. Representando matematicamente, teremos:
No Cálculo, frequentemente usamos a representação . Ao conjunto dos valores de desta relação, damos
o nome de , enquanto que ao conjunto dos valores de damos o nome de .conjunto domínio conjunto imagem
Também dizemos que representa a variável independente, e representa a variável dependente.
1.1.1 Função de primeiro grau
Uma função afim ou de primeiro grau se apresenta sob a forma , com e sendo constantes
(GUIDORIZZI, 2015).
Temos que na expressão , é chamado de ou , fornecendo a inclinaçãocoeficiente angular declive
da reta. O termo , por sua vez, é denominado , indicando onde, no plano cartesiano, a retacoeficiente linear
intercepta o eixo do . O ponto de interceptação é dado por .
Uma característica importante de funções matemáticas é que elas podem possuir comportamentos crescente e
ou decrescentes. Uma função de primeiro grau é dita quando temos o valor do coeficiente , e écrescente
dita quando o valor do coeficiente for . De forma simplificada, uma função é crescente quando,decrescente
conforme a variável cresce, também cresce. Por outro lado, é decrescente quando, conforme cresce, 
decresce.
Para a função , temos os conjuntos domínio e imagem dados por:
Por exemplo, a função é uma função de primeiro grau crescente, pois . Observe o gráfico a
VOCÊ QUER LER?
O artigo “Conceito de funções”, de Emanuel Jaconiano e Diego Cordeiro, é um excelente
material sobre funções, de fácil leitura, associando o estudo de conjuntos matemáticos. Nele,
temos exemplos de funções e seus conjuntos de domínio e imagem. Além disso, os autores
classificam as funções em relação a serem injetoras, bijetoras e sobrejetoras, com diagramas
de fácil entendimento. Vale a pena conferir: <http://educacao.globo.com/matematica/assunto
>./funcoes/conceito-de-funcoes.html
VOCÊ QUER LER?
No livro “Fundamentos da Matemática I: funções”, de Gil da Costa Marques, você poderá rever
a definição de função matemática e entender como podemos proceder a construção de
gráficos. O texto apresenta exemplos de funções elementares, bem como define as funções
composta e inversas. Para ler o material, acesse o : <link https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001
>./impressos/plc0001_02.pdf
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_02.pdf
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_02.pdf
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Por exemplo, a função é uma função de primeiro grau crescente, pois . Observe o gráfico a
seguir.
Figura 2 - Exemplo de função linear crescente.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Já a função é uma função de primeiro grau decrescente, pois . Observe o gráfico a seguir.
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Figura 3 - Exemplo de função linear decrescente.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Agora que entendemos melhor sobre a função de primeiro grau, iremos estudar a função polinomial de segundo
grau, cujo gráfico recebe o nome de .parábola
1.1.2 Função quadrática ou polinomial de segundo grau
Uma função de segundo grau possui a forma e é, também, graficamente chamada de .parábola
O coeficiente determina a concavidade da parábola, assim, caso , a concavidade é para cima, mas, caso 
, a concavidade é para baixo. Vejamos um gráfico demonstrativo, da função forma .
Figura 4 - Gráfico demonstrativo de concavidade.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
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Agora, observe o gráfico com , em que temos a concavidade da parábola voltada para baixo. O gráfico
exemplifica a função forma .
Figura 5 - Gráfico demonstrativo de concavidade.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Para acharmos as raízes de uma equação de segundo grau, podemos usar a fórmula de Bháskara: e 
. Nesta expressão, é chamado de discriminante, em que, de acordo com Flemming e Gonçalves
(2006), temostrês possíveis casos para seu valor. Clique na interação a seguir e veja quais são eles.
Quando , teremos duas raízes reais e iguais (a parábola intercepta o eixo em um único ponto).
Quando , teremos duas raízes reais e diferentes ou distintas (a parábola intercepta o eixo em dois pontos
distintos).
Quando , não teremos raízes reais (a parábola não intercepta o eixo).
Lembre-se de que, ao determinar as raízes de uma equação, estamos interessados em obter os zeros, ou seja, os
valores que anulam a equação.
Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo 1
Seja a função dada por .
Vamos plotá-la no plano coordenado.
Reescrevendo a função, temos que . Portanto, , e a concavidade da parábola é para cima.
O discriminante é calculado por . Temos, então, duas raízes reais e
distintas.
Aplicando a Bháskara, temos:
Portanto, as raízes da função são e .
O gráfico da função pode ser visto a seguir.
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Figura 6 - Exemplo de parábola com concavidade voltada para cima.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Nas funções polinomiais, o conjunto domínio é sempre o campo dos reais, ou seja, não existe valor de que
invalide a existência da função, salvo alguma restrição imposta. O conjunto imagem, por sua vez, dependerá da
forma ou do comportamento da função polinomial. Como exemplo, considere . Observe que,
para todo valor de do campo dos reais, obtemos um respectivo e único . Não existe que invalide a existência
da função. Logo, o domínio é dado por .
A figura anterior nos mostra que os valores possíveis de são . Logo, o conjunto imagem de 
 será .
Vejamos agora alguns movimentos associados a funções, ou seja, os chamados movimentos de gráficos. Vamos
entender melhor como podemos executar algumas transformações de forma a obter novas funções.
Anton (2014) nos indica:
Movimentos de translação vertical
 translada o gráfico de , unidades para cima se ;
 translada o gráfico de , unidades para baixo se .
Movimentos de translação horizontal
 translada o gráfico de , unidades para esquerda se ;
 translada o gráfico de , unidades para direita se .
Veja um exemplo da função definida por .
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Figura 7 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Vejamos alguns movimentos de translação. Iremos adicionar 1 ao lado direito de , em que teremos 
. Observe a seguir o gráfico de e .
Figura 8 - Gráfico.
Fonte: Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que a função original foi transladada para cima de 1 unidade.
Agora, seja a função . Observe na sequência o gráfico de e .
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Figura 9 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que a função original foi transladada para baixo em 2 unidades.
Vamos proceder a substituição: . Vejamos o movimento gráfico de e .
Figura 10 - Gráfico
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Veja que a função original foi transladada de 3 unidades para esquerda.
Finalmente, façamos . Observe na sequência o gráfico de e .
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Figura 11 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Veja que a função original foi transladada 4 unidades para a direita.
Podemos, também, obter movimentos de reflexão:
 reflete o gráfico da função em torno do eixo ;
 reflete o gráfico da função em torno do eixo .
Vejamos um exemplo: seja a função . Observe seu gráfico e o gráfico da função .
Figura 12 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe a reflexão em torno do eixo .
Seja, agora, e .
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Figura 13 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe a reflexão que ocorreu em torno do eixo .
A seguir, vamos conhecer mais um tipo de função: a trigonométrica.
1.1.3 Funções trigonométricas
As funções trigonométricas modelam diversos fenômenos das ciências, por isso, o estudo de seu comportamento
também é foco de estudo em cálculo diferencial e integral.
As funções trigonométricas descrevem comportamentos que também estão presentes no nosso dia a dia.
Particularmente, elas aparecem em fenômenos com comportamentos periódicos, como amortecimentos de
molas, sinais de rádio, ondas, entre outros. Elas também são chamadas .razões trigonométricas
As funções trigonométricas consideradas elementares são as funções seno, cosseno e tangente. As notações para
estas podem ser dadas pelas funções apresentadas na interação a seguir. Acompanhe.
Seno
Cosseno
Tangente
As funções trigonométricas elementares são definidas em função dos lados do triângulo retângulo, ou seja,
aquele que possui um ângulo reto (90°).
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Figura 14 - Triângulo retângulo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Podemos, em função da figura anterior, definir as funções trigonométricas elementares e suas extensões:
Temos, também, uma importante relação associada ao triângulo retângulo: o Teorema de Pitágoras, em que a
hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, sendo .
Vejamos, agora, o comportamento gráfico de algumas funções trigonométricas. Para a função , por
exemplo, digite y=senx=sin(x) no , um software gratuito de Geometria Dinâmica, mas com muitasGeogebra
ferramentas para o Cálculo. Temos, então, o gráfico a seguir.
Figura 15 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Os conjuntos domínio e imagem da função são dados, respectivamente, por e .
Além disso, a função é periódica, de período . Castanheira (2015) estabelece a condição de
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Além disso, a função é periódica, de período . Castanheira (2015) estabelece a condição de
periodicidade da função , sendo , em que é um número inteiro relativo.
Vejamos algumas características da função :
• possui comportamento oscilatório e, como seu conjunto imagem nos mostra, este comportamento varia 
entre e 1;
• é simétrica em relação à origem, sendo classificada como uma função ímpar, ou seja, .
A função é alternadamente crescente e decrescente:
• crescente para , com e um número inteiro relativo;
• decrescente para , com e um número inteiro relativo;
• crescente para , com e um número inteiro relativo.
Agora, vejamos outro exemplo. Para a função , digite y=cos(x) no Geogebra. Teremos o gráfico a seguir.
Figura 16 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Os conjuntos domínio e imagem da função cosseno são dados, respectivamente, por e .
A função cosseno é periódica, de período . Castanheira (2015) estabelece a condição de peridiocidade da
função cosseno, sendo , em que é um número inteiro relativo.
A função cosseno é alternadamente crescente e decrescente:
• decrescente para , com e um número inteiro relativo;
• crescente para , com e um número inteiro relativo.
Agora, vamos estudar a função tangente. Para a função , digite y=tan(x) no Geogebra Teremos o gráfico.
na sequência.
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•
•
•
•
•
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Figura 17 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Os conjuntos domínio e imagem da função tangente são dados, respectivamente, por 
 e , em que representa o conjunto dos números inteiros relativos.
A função tangente é periódica, de período . Todas as funções trigonométricas são periódicas, o que equivale
a dizer que .
As funções trigonométricas seguem importantes propriedades trigonométricas, conforme vemos na interação a
seguir:
Tenha sempre em mãos estas relações trigonométricas, pois elas ajudarão na simplificação de muitos cálculos.
Agora, na sequência, vamos conhecer as funções exponencial e logarítmicas.
VOCÊ QUER LER?
Que tal ler sobre as aplicações das funções trigonométricas no cotidiano e verificar que estas
funções não são importantes somente nos cálculos? O texto “Aplicações das funções
trigonométricas”, de Gil da Costa Marques, apresenta interessantes aplicações das funções
trigonométricas em relação à Física, estudando movimentos periódicos, descritos por senos e
cossenos. Para a leitura, acesse o : <link https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01
>./fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top09.pdf
https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top09.pdf
https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top09.pdf
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1.1.4 Funções exponencial, logarítmicas e por partes
Anton (2014)define a família de como sendo a função na forma , em que e funções exponenciais
, denominada função exponencial de base . Ainda de acordo com o autor, temos as seguintes propriedades
para a função exponencial:
o gráfico da função exponencial sempre passa pelo ponto (0, 1), visto que ;
se , a função apresenta comportamento crescente, ou seja, a função cresce quando também cresce;
se , a função apresenta comportamento decrescente, ou seja, decresce quando é crescente; x
quando , a função é uma função constante, com valor , não sendo considerada uma
função exponencial.
Utilizando o Geogebra, vamos criar o gráfico da função , em que temos a base da função como sendo
igual a 3. Na linha de comando do Geogebra digite: f(x)=3^x. Teremos o gráfico a seguir.
Figura 18 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
É válido mencionar que a função exponencial , seja qual for a base, sempre passa pelo ponto .
Agora, preste bastante atenção em alguns aspectos da função. Inicialmente, observe a base da função do
exemplo. Veja que temos a base . Lembre-se de que, se , a função apresenta comportamento
crescente, ou seja, a função cresce quando também cresce.
Os conjuntos domínio e imagem da função exponencial são dados, respectivamente, por 
 e .
Outro aspecto interessante é que a função exponencial sempre passa pelo ponto (0, 1).
Uma das funções exponenciais mais aplicadas é , chamada de . A base é ofunção exponencial natural
número de Euler, dado por , aqui apresentado com apenas 40 casas
decimais. O número de Euler é um número irracional.
A função exponencial natural é muito utilizada por matemáticos e cientistas para modelar fenômenos
econômicos, físicos, sociais e naturais. Assim, é muito utilizada em cálculos envolvendo derivadas e integrais.
Já quanto as , Fleming (2006) as define como: dado um número real , chamamosfunções logarítmicas
de função logarítmica de base a função de em , que associa a cada elemento o número . Ou seja:
Observe os gráficos que se seguem.
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Figura 19 - Gráfico de uma função logarítmica decrescente.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Agora, observe um exemplo gráfico de uma função logarítmica crescente.
Figura 20 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Em relação a , temos que:
a função é crescente se , e decrescente quando ;
as funções e são inversas uma da outra.
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Figura 21 - Função logarítmica crescente e sua inversa.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe, agora, a função logarítmica decrescente e sua inversa.
Figura 22 - Função logarítmica decrescente e sua inversa.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Lembre-se de que, sempre ao estudar um problema que envolva uma função matemática, se possível, estude a
função sob as formas algébrica, gráfica e numérica. Desta forma, você terá um estudo mais amplo da
representação de uma função matemática.
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Vejamos, agora, um tipo especial de função: a . Uma função definida por váriasfunção definida por partes
sentenças ou, mais comumente, chamada de função definida por partes, é uma função definida por várias
condições de existência.
Um exemplo inicial seria a função modular. A função modular ou valor absoluto é definida por: 
. Observe a seguir o gráfico da função .
Figura 23 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Vejamos outro exemplo detalhado para entendermos melhor.
Exemplo 2
Seja a função , e seu gráfico dado conforme vemos a figura a seguir.
VOCÊ QUER LER?
Em “Análise da contextualização da função exponencial e da função logarítmica nos livros
didáticos do Ensino Médio”, de Daniel Cordeiro de Morais Filho e Michelle Noberta Araújo de
Oliveira, os autores apresentam situações nas quais as funções exponencial e logarítmica são
aplicadas cotidianamente, realçando a importância da contextualização no ensino destas. Para
ler, acesse o : < >.link https://www.sbm.org.br/docs/coloquios/NE-3-07.pdf
https://www.sbm.org.br/docs/coloquios/NE-3-07.pdf
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Figura 24 - Gráfico da função definida por partes.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Um importante operador do Cálculo é o operador limite.
Inicialmente, observe o gráfico a seguir.
Figura 25 - Gráfico da função definida por partes e operador limite.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
O que ocorre com a função quando ? Será que a função existe neste ponto?
Observando o gráfico, note que . Então, a função é definida neste ponto.
Outra questão interessante: o que ocorre com a função quando nos aproximamos de , tanto pela esquerda
(valores menores que 1) quanto pela direita (valores maiores que 1)?
Observe que, conforme caminhamos, nos aproximando de por sua esquerda, a função se aproxima de ,
mas quando nos aproximamos de por sua direita, a função se aproxima de .
Podemos definir o limite de uma função intuitivamente como sendo uma aproximação, uma tendência de
comportamento. Isto é, quando nos aproximamos de um valor de , a função tende a um dado valor. Podemos
indicar esta tendência na notação: (lê-se: limite da função quando tende a é igual a ).
Podemos, também, ter uma noção numérica desse comportamento.
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Seja a função .
Figura 26 - Exemplo de função descontínua.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Vejamos alguns dados tabelados dos valores da função .
Tabela 2 - Valores da função
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que, quando tende a 2, tanto pela esquerda de 2 quanto pela direita de 2, a função tende a 5. Estes
limites são conhecidos por ou .limites laterais unilaterais
Os limites unilaterais são indicados por:
• , que representa o limite unilateral pela esquerda de ;
• , que representa o limite unilateral pela direita de .
Matematicamente, indicamos a tendência com o limite .
Outros comportamentos interessantes a serem estudados em funções são:
• limites quando a variável tende a infinito;
• limites quando a função possui um valor tendendo ao infinito.
Observe o gráfico representativo da função a seguir.
•
•
•
•
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Figura 27 - Gráfico
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A função não é definida para , e representamos esta condição por uma reta vertical tracejada, denominada 
.assíntota vertical
Observe que o domínio da função é definido por: .
Além disso, observe que, quando nos aproximamos de , pela esquerda de 3, a função tende a um número
cada vez maior, ou seja, infinito positivo. Quando nos aproximamos de , por sua esquerda, a função tende a
menos infinito, ou seja, a valores negativos cada vez menores.
Matematicamente, indicamos:
Aqui, as tendências pela direita e esquerda de um ponto são representadas, respectivamente, pelos sinais e 
colocados à direita superior do valor dela, em .
Observe, também, que:
Observe que, quando a variável cresce ou decresce, tendendo a mais ou menos infinito, a função tende a zero.
1.2 Continuidade e limite 
Em muitas situações algébricas, teremos que operar . Este resultado é conhecido como uma indeterminação
, que, aparentemente, não pode ser resolvida. Entretanto, com artifícios algébricos, podemos chagarmatemática
à resolução.
A partir de agora, estudaremos as condições matemáticas para que uma função seja contínua em um dado ponto
do eixo . A continuidade é estabelecida em função do estudo de limites. Lembre-se de que o fato de uma função
ser contínua ou descontínua está relacionado às condições de existência em seu conjunto domínio. O limite,
como veremos, possui uma definição formal, mas o entendimento, a noção intuitiva, é fundamental para o
perfeito entendimento dos operadores do cálculo diferencial e integral. Vejamos!
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1.2.1 Definição e propriedades de limites
Já temos a noção intuitiva de limite, em termos numéricos, associados a uma tabela; e em termos gráficos,
evidenciando que o limite é visto como sendo um comportamento da função nas vizinhanças de um dado ponto.
Iremos definir, precisamente, o limite de uma função.
Vimos que o limite é escrito como .
Segundo Anton (2014), devemos substituir expressões vagas, como “fica arbitrariamente próximo de...”, por
condições específicas aplicadasa qualquer situação exemplo. Desta forma, devemos mostrar que o limite da 
se iguala ao valor quando ou , quando a distância entre e seja tão “pequena quanto quisermos”
e quando for suficientemente próximo de .
Vejamos um exemplo mais detalhado.
Exemplo 3 Adaptado de Anton (2014)
Seja a função dada por . Ao analisarmos o comportamento desta função, intuitivamente, sabemos que
a função tende a 7 quando tende a 4. Desta maneira, . Mas, o quão próximo deve estar de 4 para
que, por exemplo, a função difira de por pelo menos 2 unidades?
Resolução
Desejamos obter para quais valores de é . Teremos portanto:
Dividindo toda a expressão por 2, e somando 4 em todos os termos, temos:
Assim, ao mantermos a variável variando em torno de uma unidade, a função variará duas unidades em torno
de 7. A figura a seguir representa a situação obtida.
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Figura 28 - Figura base para a definição formal de limite.
Fonte: THOMAS, 2005, p. 85.
De acordo com Thomas (2005), o limite de uma função é definido formalmente por: seja definida em um
intervalo aberto em torno de , exceto, talvez, neste ponto. O limite de uma função , quando se aproxima de 
, é o número , escrito na forma , se para cada número existir um número correspondente 
, tal que, para todos os valores de , .
Veja mais um exemplo.
Exemplo 4
Vamos testar a definição, mostrando que .
Resolução
Temos que e que .
Também sabemos que .
Para qualquer , devemos ter .
Nas condições dadas, .
Vamos encontrar , ao resolver:
Então, podemos tomar .
Se , então . O que prova que .
Agora, vejamos alguns teoremas que estabelecem propriedades dos limites.
Teorema 1
Vamos considerar que e são dois números reais. Desta forma, temos que: 
•
•
•
•
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•
•
Teorema 2
Suponha que é um número real e que: e . Desta forma, teremos que:
•
•
•
•
Podemos enunciar este teorema conforme apresentado nos itens a seguir. Clique para ver.
• 
O limite da soma é a soma dos limites.
• 
O limite da diferença é a diferença dos limites.
• 
O limite do produto é o produto dos limites.
• 
O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominado r não seja zero.
• 
O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite.
Vamos a alguns exemplos utilizando os teoremas apresentados.
Exemplo 5
Iremos calcular alguns limites:
•
•
•
Após estudarmos limites, vejamos uma aplicação ao estudo de continuidade de funções.
1.2.2 Continuidade de funções
Aqui, estudaremos a continuidade de funções. Inicialmente, nosso objetivo é encontrar o limite bilateral da
função que se segue no ponto .
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
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Figura 29 - Exemplo para cálculo de limites.
Fonte: Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que a função possui valor .
Observe, também, que . Desta forma, .
Temos que , entretanto, temos , portanto, a função “salta” do valor 3 para o valor 4. Este é um
exemplo em que a função é descontínua em um ponto.
Agora, observe a situação do gráfico a seguir.
Figura 30 - Exemplo de função contínua.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que , e que .
Vejamos as condições para que uma função seja contínua em um ponto :
• a função deve existir em , ou seja, existe ;
• .
• .
•
•
•
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Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 6
Verifique se a função é contínua para .
Resolução
O gráfico da função pode ser feito no Geogebra, usando o comando f(x)=(x^2-1)/(x-1). Observe o gráfico de 
.
VOCÊ SABIA?
As descontinuidades estão associadas a muitos processos e fenômenos que ocorrem na prática.
Elas indicam a ocorrência de importantes fenômenos físicos.
Observe o gráfico na sequência.
Fonte: ANTON, 2014, p. 111.
Observe que a voltagem caiu para zero de maneira repentina.
Assim, podemos ter, por exemplo, uma situação em que ocorre uma conexão malfeita,
induzindo a uma descontinuidade na transmissão de um sinal elétrico.
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Figura 31 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Veja que existe uma descontinuidade da função em . Iremos, então, testar as condições para verificar esta
descontinuidade.
A função existe em , ou seja, existe ?
A função não é definida para , pois teremos uma divisão por zero. Assim, a condição não é
satisfeita
Outra condição seria .
Como os dois limites unilaterais são iguais, existe o limite bilateral . Neste caso, a condição seria
satisfeita.
Vejamos a terceira condição: . Esta condição também não seria satisfeita, pois a função não existe
em . Desta forma, a função não é contínua em .
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 7
Seja a função definida por . Esta função é contínua ou descontínua em ?
Resolução
Para ser contínua em um dado ponto, temos que:
• a função deve existir em , ou seja, existe ;
• ;
• .
Vejamos se as condições são ou não satisfeitas.
Primeiro, existe ?
Observe que a função não é definida em , portanto, não existe. Assim, a condição não é satisfeita.
E quanto a ?
Vejamos:
•
•
•
- -29
Logo, teremos . Desta forma, o limite bilateral não existe, portanto, a segunda condição
também não foi satisfeita.
E ?
Esta condição também não foi satisfeita pela inexistência dos dois termos da igualdade. Logo, a função é
descontínua em . Observe a seguir o gráfico da função .
Figura 32 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe, agora, mais uma situação que ocorre em nosso cotidiano em relação a comportamentos de funções
descontínuas.
Figura 33 - Exemplo de função descontínua.
Fonte: ANTON, 2014, p. 118.
O gráfico apresenta a quantidade de certo medicamento na corrente sanguínea de um paciente, em um intervalo
- -30
O gráfico apresenta a quantidade de certo medicamento na corrente sanguínea de um paciente, em um intervalo
de tempo de 48 horas. Como poderíamos interpretar a descontinuidade apresentada em vários pontos do
gráfico?
A explicação é bem simples: após a aplicação do medicamento no organismo, ele é metabolizado e eliminado por
urinas, fezes ou, até mesmo, suor. Observe uma queda contínua, suave no decréscimo.
Quando ocorre novamente, a cada intervalo de tempo, a aplicação de nova quantidade de medicamento, ocorre
um aumento acentuado da quantidade de medicamento no organismo. A descontinuidade ocorre nos momentos
de aplicação do medicamento, portanto, corresponde a uma variação brusca da quantidade presente no
organismo do paciente.
1.2.3 Cálculo de limites
Anton (2014) relata que um limite na forma , em que e , é um limite do tipo . Vejamos um
exemplo.
Exemplo 8
Vamos determinar .
Resolução
Temos que . Este limite nos conduziria a uma indeterminação matemática. Entretanto, ao usarmos
regras algébricas, como fatoração e simplificação, podemos resolver a situação.
No caso, temos a regra dada por 
Pela simplificação da fração é possível resolver a indeterminação do tipo .
Exemplo 9
Vamos calcular o limite .
Resolução
Resolvendo o limite, teremos , o que chamamos de uma indeterminação matemática. A
simplificação pode nos ajudar neste caso:
Exemplo 10
Determine o .
Resolução
Efetuando a substituição direta, teremos , chegando a uma indeterminação matemática. Para
resolvermos o limite, vamos proceder a uma racionalização:
Observe que, no processo de simplificação, também usamos a propriedade de produtos notáveis 
.
No presente exemplo, foi efetuada a troca:
Desse modo, no denominador tivemos .
Vejamos, agora, como podemos operar com limites quando a variável tende a valores cada vez maiores ou
menores.
- -31
1.3 Limites infinitos e no infinito
Em muitas situações, como quando a variável é o tempo, irá nos interessar o estudo do comportamento da
função quando temos um tempo tendendo a infinito. Imagine que temos uma função que expressa o número de
habitantes da Terra e desejamos calcular a população em tempos cada vez maiores, como dezenas, centenas de
anos.
Podemos usar limites nesse tipo de estudo. Ou, ainda, quando queremos determinar o tempo necessário para um
material radioativo se decompor, que pode ser um tempo grande. Estudamos, então, a função com o tempo
tendendo a infinito.
Vamos a um exemplo.Exemplo 11 Adaptado de Anton (2014)
Aqui, iremos estudar o limite de funções definidas por partes.
O gráfico é dado por:
Figura 34 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Vamos estudar a função em alguns pontos com os limites: .
Observe que a função muda de comportamento à esquerda e à direita de . Desta forma, devemos usar, no
estudo do limite, a função pertinente a cada intervalo, calculando os limites unilaterais:
Considerando que , temos que não existe.
Agora, vamos estudar o comportamento da função quando nos aproximamos de zero: .
Observe que a função é contínua, e, assim, o limite bilateral existe.
- -32
Observe que a função é contínua, e, assim, o limite bilateral existe.
Podemos calcular o limite, portanto, sem calcularmos os unilaterais
Já em , novamente, observe que a função é contínua, e, assim, o limite bilateral existe.
Podemos calcular o limite, portanto, sem calcularmos os unilaterais.
Agora, vamos estudar . comportamentos assintóticos
Uma assíntota delimita o comportamento de uma função. A função não toca ou cruza uma reta assíntota. Neste
estudo, em algumas situações, precisaremos estudar o que acontece com a função quando tendemos ao infinito.
Em muitas situações de cálculo, estaremos interessados no que acontece com a função quando o ou a variável
independente cresce ou decresce indefinidamente.
Utilizaremos a notação seguinte: se os valores da função ficarem tão próximos quando cresce
indefinidamente de um número dado por , podemos escrever . Da mesma forma, se os valores da
função ficarem tão próximos quando decresce indefinidamente de um número dado por , podemos
escrever que (ANTON, 2014).
Existem algumas regras para cálculo de limites no infinito:
•
CASO
Um estacionamento em um cobra R$ 2,00 para a primeira hora (ou para qualquershopping
fração) e R$ 1,00 para cada hora subsequente (ou para qualquer fração), até um valor máximo
de R$ 10,00. O funciona 12 horas por dia, apenas. Sendo assim, como seria o gráficoshopping
que expressaria o custo como função do tempo de permanência, e qual o significado da
descontinuidade para um cliente que utiliza o estacionamento?
Resolução
O gráfico pode ser dado por:
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe o efeito da descontinuidade no gráfico.
Caso o cliente do exceda qualquer fração de tempo no extremo direito de cadashopping
segmento de reta, ocorre um salto brusco de valor a ser pago pelo tempo de uso do
estacionamento. Chamamos este comportamento de descontinuidade de salto. Caso a função
fosse contínua, o cliente pagaria pelas frações de tempo utilizadas (THOMAS, 2005).
•
- -33
•
•
Agora, observe o gráfico da função a seguir.
Figura 35 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe a concordância do comportamento apresentado no gráfico com os limites e . Também visualize que,
no gráfico, a função se aproxima de , mas não toca a reta . Logo, dizemos que é uma assíntota
horizontal. Ocorrerá uma assíntota horizontal quando pelo menos um dos limites ocorrer ou
. Entretanto, observe que a função também não toca ou cruza a reta , ou seja, é uma
assíntota vertical da função.
De forma geral, dizemos que, para termos uma assíntota vertical , devemos ter pelo menos a ocorrência de
um dos limites apresentados a seguir. Clique para ver.
Agora, vamos a um exemplo no qual determinaremos se a função possui assíntotas horizontais ou verticais. A
função é dada por .
•
•
- -34
Figura 36 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Feito isto, vamos estudar os limites no infinito . Nesta situação, chegamos a uma forma
de indeterminação matemática. Para resolvermos a indeterminação, vamos dividir o numerador e o
denominador pela variável de maior potência, no caso, :
Logo, é uma assíntota horizontal.
O mesmo comportamento ocorre para o seguinte caso:
Ou seja, quando cresce indefinidamente, a função tende a , e quando decresce indefinidamente, a função
também tende a (mas não toca ).
Vamos, agora, verificar se existem assíntotas verticais (embora o gráfico já nos indique que existem). Observe
que estudar o que acontece quando pode ser muito interessante. Nesta situação, teremos:
Ou seja, é uma assíntota vertical.
Que raciocínio utilizamos para chegar aos resultados quando tende a 2 pela esquerda e direita? Vamos analisar: 
• quando tende a 2 pela esquerda de 2, temos valores menores do que 2. Desta forma, o denominador de 
 tende a valores muitos pequenos, porém negativos. Teremos, então, o numerador tendendo a 2, e o 
denominador tendendo a zero negativo, o que resulta em menos infinito;
• quando tende a 2 pela direita de 2, temos valores maiores do que 2. Desta forma, o denominador de 
tende a um número muito pequeno, porém positivo. Teremos, então, o numerador tendendo a 2, e o 
denominador tendendo a zero positivo, o que resulta em mais infinito.
•
•
- -35
Após termos a noção intuitiva e formal de limites e sabermos como operar com limites, é o momento de
estudarmos o operador do cálculo denominado . Acompanhe!derivada de uma função
1.4 Derivada: noções iniciais
Falaremos, agora, um pouco sobre derivadas. Aqui, faremos abordagens algébricas e gráficas e veremos que
podemos usar fórmulas para o cálculo de derivadas que irão facilitar muito nosso estudo. Além disso,
entenderemos melhor como a derivada é definida em função de um determinado limite, pois a derivada também
é um limite!
A derivada possui aspectos geométricos e físicos. Embora seja um limite, o cálculo de derivadas é feito com o
Teorema do Cálculo, que estabelece propriedades e regras. Como aspecto físico, a derivada representa taxas de
variações de funções. Desta forma, ao derivarmos a função que define o espaço percorrido por um automóvel,
por exemplo, estamos estudando a variação do espaço em função do tempo.
1.4.1 Interpretação geométrica da derivada
Inicialmente, nosso objetivo é associar a inclinação da uma reta tangente à derivada. Para isto, precisaremos
analisar a figura a seguir. Veja que, nela, iremos considerar um ponto fixo e um ponto que percorre a curva
dada, aproximando-se de .
VOCÊ QUER LER?
No livro “Limites”, você terá acesso a um excelente material, com boas explicações sobre
limites, exemplos e exercícios propostos com respostas para potencializar seu estudo sobre o
assunto. Para ler o conteúdo acesse o : <link http://www.conhecer.org.br/download/cp
>./CURSO%20CALCULO/Modulo%202.pdf
http://www.conhecer.org.br/download/cp/CURSO%20CALCULO/Modulo%202.pdf
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- -36
Figura 37 - Interpretação geométrica.
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em ANTON, 2014.
Em nossa situação geométrica, a reta secante se move em direção à reta tangente. Quando isto ocorre,
verificamos que (lê-se: tende a ).
Podemos expressar a tendência como: a inclinação da reta secante tende à inclinação da reta tangente no
ponto quando .
A inclinação da reta secante é dada por:
Observe que a relação indica uma relação entre a variação da função e a variação da variável
independente . No Cálculo, chamamos esta relação de .taxa de variação média
Podemos chamar de ou de , que expressa a variação da variável independente. No Cálculo, muitash
vezes, chamamos de .incremento
Quando tende a , observe que ou tende a zero. Aqui, retomamos o conceito de limite. Estudar limite é 
estudar o que ocorre com certa função quando a variável tende a certo valor. Desta forma, temos que 
, ou seja, no ponto , a inclinação da reta tangente é dada por .
Que tal melhorar nosso entendimento?
Imagine que a variável represente o tempo . Desta forma, quando o tempo tender a zero, teremos não mais
uma variação média, e, sim, uma variação instantânea. Assim, a variação instantânea de uma função seria dada
por . No Cálculo, a relação é chamada de , escrita como . Algunsderivada
matemáticos usam a notação para simplificar, então escrevem a derivada da função como .linha
Vamos relembrar?
A inclinação da reta secante é dada por , representando umataxa de variação média
da função .
Quando , a inclinação se torna a inclinação da reta tangente da função no ponto . Temos,
então, uma taxa de variação instantânea da função . Esta taxa de variação instantânea é definida
matematicamente como a derivada da função no ponto , e é dada por ou por 
.
Podemos concluir, geometricamente, que a derivada equivale à inclinação da reta tangente em um ponto 
- -37
Podemos concluir, geometricamente, que a derivada equivale à inclinação da reta tangente em um ponto 
.
Que tal observarmos alguns exemplos para a fixação desses conceitos?
Exemplo 12
Aqui, vamos determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (0, 0). Inicialmente, vamos plotar a
função utilizando o Geogebra Para isto, digite y=x^2. Observe o gráfico de .. 
Figura 38 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
O próximo passo será encontrar a inclinação ou coeficiente angular da reta tangente no ponto (1, 1).
Lembremos que e que, quando temos o ponto (1, 1), teremos que e . Logo, a inclinação
(declive ou coeficiente angular) será:
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente.
Temos que a equação da reta (da Geometria) é dada por . Logo, teremos para a reta tangente:
Portanto, a equação da reta tangente é dada por . Podemos plotar a reta no gráfico da função. Para isto,
no Geogebra, digite y=2x-1. Observe o Gráfico de a seguir.
- -38
Figura 39 - Gráfico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que a reta tangente toca exatamente a curva no ponto (1, 1).
Estudaremos algumas regras nos permitem determinar a derivada de uma função, sem a necessidade de
utilizarmos limites. Vejamos alguns teoremas sobre derivadas.
A derivada de uma é 0. Sendo a constante um número real qualquer, temos que: . Éfunção constante
válido lembrar que, quando temos uma função constante, ela não apresenta taxa de variação, ou seja, sua
derivada é igual a zero.
Exemplo 13
Vamos encontrar a derivada de .
Teremos que .
No teorema da , sendo um número real qualquer, temos .regra da potência
Exemplo 14
Vamos encontrar, agora, a derivada de .
Teremos que . Caso o expoente seja negativo, aplica-se a mesma regra. Observe que a regra é
válida para todos os números reais.
Exemplo 15
Vamos encontrar, então, a derivada de .
Aplicando a regra da potência, teremos .
Agora vamos a mais um teorema.
VOCÊ QUER VER?
Saiba um pouco mais sobre a vida de Isaac Newton, uma das maiores mentes de todos os
tempos da humanidade? Ele foi o responsável pela invenção e desenvolvimento do Cálculo
Diferencial e Integral. No vídeo StarTalk: Falando com Estrelas: O que Stephen Hawking
, da National Geographic, temos um suposto debate sobre o queperguntaria a Isaac Newton?
Stephen Hawking perguntaria a Newton. Veja em: <https://www.nationalgeographicbrasil.com
>./video/tv/startalk-falando-com-estrelas-o-que-stephen-hawking-perguntaria-isaac-newton
https://www.nationalgeographicbrasil.com/video/tv/startalk-falando-com-estrelas-o-que-stephen-hawking-perguntaria-isaac-newton
https://www.nationalgeographicbrasil.com/video/tv/startalk-falando-com-estrelas-o-que-stephen-hawking-perguntaria-isaac-newton
- -39
Agora vamos a mais um teorema.
Na , se a função possuir derivadas (dizemos serderivada de uma constante multiplicando uma função
diferenciável) em , e for um número real, temos que também será diferenciável em e sua derivada,
será dada por .
Exemplo 16
Vamos encontrar a derivada de .
Teremos que .
Já no teorema (derivada de somas e diferenças), se as funções e forem diferenciáveis em , então 3C 
.
Exemplo 17
Vamos encontrar a derivada de .
Teremos que:
Note que .
Exemplo 18
Vamos determinar a derivada para a função dada por .
Primeiro, reescreveremos a função, pois, assim, teremos como aplicar a regra da potência .
A solução será dada por .
Nas , temos que, sendo e , suasderivadas de função exponencial e logaritmo natural
derivadas são dadas por:
Observe que a derivada da função exponencial é a própria função . É a única função matemática
que apresenta esta característica.
Agora, vamos fazer um resumo das regras de derivação vistas até o momento:
• , em que é uma constante qualquer, ou seja, um número real;
• ;
• ;
• ;
• .
• ;
•
Analise, agora, uma lista de derivadas de funções trigonométricas:
Para as funções trigonométricas inversas, teremos as seguintes derivadas:
•
•
•
•
•
•
•
- -40
Exemplo 19
Seja a função 
Portanto, a derivada será dada por .
Exemplo 20
Seja a função .
Vamos utilizar as fórmulas:
A derivada será dada por: .
Exemplo 21
Agora, vamos deduzir a equação da reta tangente à curva dada pela função no ponto .
A equação de uma reta qualquer pode ser determinada por .
Para teremos .
Lembre-se de que a derivada equivale numericamente à inclinação da reta tangente e, portanto, em temos:
Logo, a equação da reta tangente em será dada por:
Vamos, então, plotar a função e a reta tangente no mesmo gráfico. Veja o Gráfico de com
a tangente a seguir.
VOCÊ SABIA?
O Cálculo foi inventado quase que ao mesmo tempo por dois gigantes da Ciência: Isaac Newton
e Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz, além de um grande cientista, também era filósofo. Ao
longo de anos, ambos travaram uma batalha para serem reconhecidos como inventor do
Cálculo. Para saber mais a respeito do assunto, leia o artigo “Entenda a ‘treta’ entre Newton e
Leibniz sobre o cálculo infinitesimal”, disponível no : <link https://revistagalileu.globo.com
/Ciencia/noticia/2017/08/entenda-treta-entre-newton-e-leibniz-sobre-o-calculo-
>.infinitesimal.html
https://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/08/entenda-treta-entre-newton-e-leibniz-sobre-o-calculo-infinitesimal.html
https://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/08/entenda-treta-entre-newton-e-leibniz-sobre-o-calculo-infinitesimal.html
https://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/08/entenda-treta-entre-newton-e-leibniz-sobre-o-calculo-infinitesimal.html
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Figura 40 - Gráfico
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Bem, chegamos ao fim deste capítulo. Agora, releia o texto, caso necessário, e faça as atividades para fortalecer
seus conhecimentos!
Síntese
Ao longo deste texto, estudamos importantes elementos do Cálculo. Os operadores aqui estudados — limites e
derivadas — serão algumas das bases para que possamos resolver inúmeros problemas que envolvam funções e
variações de funções. Observe que foram abordadas várias situações algébricas que exigem treinamento para
que você se familiarize com os procedimentos de limites e derivadas.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• relembrar as funções elementares do Cálculo;
• conceituar limites, tendo a sua noção intuitiva e uso de suas propriedades e regras;
• entender o que significa continuidade de uma função;
• entender o conceito de derivada associado a inclinações de retas tangentes;
• aprender a usar as regras de derivação.
•
Bibliografia
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Pearson, 2006.
GALILEU. Entenda a "treta" entre Newton e Leibniz sobre o cálculo infinitesimal. , 18 ago. 2017. DisponívelG1
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GUIDORIZZI, H. L. . 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. Vol. 1.Um curso de cálculo
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http://ecalculo.if.usp.br/historia/leibniz.htm
	Introdução
	1.1 Revisão de funções
	1.1.1 Função de primeiro grau
	1.1.2 Função quadrática ou polinomial de segundo grau
	1.1.3 Funções trigonométricas
	1.1.4 Funções exponencial, logarítmicas e por partes
	1.2 Continuidade e limite
	1.2.1 Definição e propriedades de limites
	1.2.2 Continuidade de funções
	1.2.3 Cálculo de limites
	1.3 Limites infinitos e no infinito
	1.4 Derivada: noções iniciais
	1.4.1 Interpretação geométrica da derivada
	Síntese
	Bibliografia